Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

3.4. DIE BESTIMMUNG VON EXTREMWERTEN I 57

1

−1

−1

1

−2

Abbildung 3.4: Die Funktion y = x 2 −x 4

2

1

−2

−1

−1

1 2

−2

Abbildung 3.5: Die Funktion y = x 3

Beispiel 3.13. Wir betrachten die Funktion f(x) = (10x−x 2 ) 2/3 auf dem Intervall

[−1,8]. Man rechnet nach, dass

f ′ (x) =

4(5−x)

3(10x−x 2 ) 1/3.

Die Ableitung existiert nicht für x = 0 (und für x = 10, das jedoch nicht zum

Intervall [−1,8] gehört) und verschwindet für x = 5. Wir berechnen

f(−1) = 3√ 121, f(0) = 0, f(5) = 3√ 625, f(8) = 3√ 256.

Also ist der maximale Wert von f auf [−1,8] gleich 3√ 625 (angenommen an der

Stelle x = 5), der minimale Wert ist 0 (angenommen an der Stelle x = 0).

Es gibt differenzierbare Funktionen, deren Ableitung an vielen Stellen unstetig

ist. Deshalb überrascht das folgende Resultat:

Satz 3.14. Sei f: [a,b] → R differenzierbar. Ferner sei L eine Zahl strikt

zwischen f ′ (a+0) und f ′ (b−0). Dann gibt es ein c ∈ (a,b) mit f ′ (c) = L.

Beweis. O. B. d. A. sei f ′ (a + 0) < L < f ′ (b − 0). Die Funktion g: [a,b] → R,

g(x) = f(x)−Lx ist differenzierbar (und daher stetig) auf [a,b]. Außerdem ist

g ′ (a) < 0 < g ′ g(x)−g(a) g(x)−g(b)

(b). Wegen lim

x→a+0 x−a

< 0, lim

x→b−0

x−b

> 0 existieren

u, v mit a < u < v < b und g(u) < g(a), g(v) < g(b). Die Funktion g nimmt

ihr Minimum auf [a,b] an. Wegen g(u) < g(a) und g(v) < g(b) geschieht dies

weder an a noch an b. Also hat g ihr Minimum an einer Stelle c ∈ (a,b). Dann

ist jedoch g ′ (c) = 0 und f ′ (c) = L.

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