Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

3.7. KONVEXITÄT 61

Satz 3.22. Sei f: (a,b) → R (k − 1)–mal differenzierbar für ein k ≥ 2, c ∈

(a,b) und f (k−1) sei an der Stelle c differenzierbar. Gilt f ′ (c) = f ′′ (c) = ··· =

f (k−1) (c) = 0 und ist k gerade, so besitzt f an der Stelle c ein lokales Maximum,

falls f (k) (c) < 0, und ein lokales Minimum, falls f (k) (c) > 0.

Beispiel 3.23. Sei f(x) = x2l

(2l)!

für l ∈ N.

Man erhält induktiv, dass f (j) (x) = x2l−j

(2l−j)!

für j = 0,1,...,2l (und f (j) (x) = 0

für j > 2l), damit f ′ (0) = f ′′ (0) = ··· = f (2l−1) (0) = 0 und f (2l) = 1 > 0. Also

hat f an der Stelle 0 ein lokales Minimum. (Dies ist tatsächlich ein globales

Minimum.)

5

4

3

2

1

−1

0 1

Abbildung 3.8: Die Funktion y = x 4

3.7 Konvexität

Definition 3.24. Sei I ⊆ R ein Intervall, f: I → R. Dann heißt f konvex

(konkav), falls ∀x,y ∈ I ∀α ∈ [0,1]:

f((1−α)x+αy) ≤ (1−α)f(x)+αf(y)

(bzw. f((1−α)x+αy) ≥ (1−α)f(x)+αf(y)).

Die Funktion f heißt strikt konvex (strikt konkav), falls diese Ungleichung für

x ≠ y, α ∈ (0,1) strikt ist.

Lemma 3.25. Sei f: I → R stetig. Dann ist f konvex (konkav) genau dann,

wenn ∀x,y ∈ I ( ) x+y

f ≤ f(x)+f(y)

2 2

( ( ) x+y

bzw. f ≥ f(x)+f(y) )

2 2

gilt. f ist strikt konvex (strikt konkav) genau dann, wenn diese Ungleichung für

alle x,y ∈ I, x ≠ y strikt ist.

Beweis. Eine nicht zu schwere Übungsaufgabe.

Beispiel 3.26. 1. Die Funktion f(x) = x 2 ist strikt konvex, da ( )

x+y 2

2 <

x 2 +y 2

2

für x ≠ y.

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