Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

4.2. EIGENSCHAFTEN DES RIEMANN-INTEGRALS 69

Satz 4.5. Sei f: [a,b] → R R-integrierbar. Dann ist f beschränkt.

Beweis. Es gibt ein δ > 0, so dass

∫ b

f(x)dx−S(f,P)

∣ ∣ ≤ 1 2

a

für alle markierten Partitionen P mit ∆(P) ≤ δ. Folglich

∫ ∣

b

∣∣∣∣ ∫ b

|S(f,P 0 )−S(f,P 1 )| ≤

f(x)dx−S(f,P 0 )

∣ ∣ + f(x)dx−S(f,P 1 )

∣ ≤ 1,

a

falls ∆(P i ) ≤ δ für i = 0,1.

Wir wählen q ∈ N mit β = b−a

q

≤ δ und setzen x j = a+jβ für j = 0,1,...,q.

Wir zeigen, dass M = 1/β + max |f(x j)| eine obere Schranke für |f| ist. Wir

1≤j≤q

betrachten dazu die markierte Partition P 0 : a = x 0 < x 1 < ··· < x q−1 < x q = b

mit c j = x j für j = 1,...,q.

Zusätzlich zu P 0 betrachten wir für x ∈ [x i−1 ,x i ] für ein i ∈ {1,2,...,q} die

markierte Partition P 1 , die man erhält, indem man in P 0 die Markierung des

Intervalls [x i−1 ,x i ] von c i = x i zu c i = x abändert. Dann gilt ∆(P 0 ) = ∆(P 1 ) ≤

δ und

S(f,P 0 )−S(f,P 1 ) = f(x i )(x i −x i−1 )−f(x)(x i −x i−1 ) = (f(x i )−f(x))β.

a

Folglich

|f(x)| =

1

∣β (S(f,P 0)−S(f,P 1 ))−f(x i )


≤ 1 ∣ S(f,P0 )−S(f,P 1 ) ∣ +|f(xi )| ≤ 1 β

β +|f(x i)| ≤ M.

Eine oft nützliche Ungleichung ist:

Satz 4.6. f: [a,b] → R sei R-integrierbar mit M = sup |f(x)|. Dann

x∈[a,b]


∫ b

a

f(x)dx

∣ ≤ M (b−a).

Beweis. Für jede markierte Partition P gilt

|S(f,P)| ≤

n∑

|f(c i )|(x i −x i−1 ) ≤ M

i=1

n∑

(x i −x i−1 ) = M (b−a).

i=1

Bevor wir tatsächlich Integrale berechnen, müssen wir zuerst eine Möglichkeit

haben zu entscheiden, ob eine Funktion f: [a,b] → R R-integrierbar ist.

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