Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

74 KAPITEL 4. INTEGRATION

4.4 Der Fundamentalsatz der Differential- und

Integralrechnung

Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung ist der wichtigste

Satz der Analysis überhaupt. Er sagt grob gesprochen, dass das Integrieren die

Umkehroperation zum Differenzieren ist.

Definition 4.14. Sei I ⊆ R ein Intervall, |I| > 0 und f: I → R. Dann heißt

F : I → R eine Stammfunktion von f, falls F differenzierbar ist und F ′ = f.

Bemerkung. Zwei Stammfunktionen F, G zu f (falls existent) unterscheiden

sich um eine additive Konstante, d. h. F(x) = G(x) +k für alle x ∈ I und ein

k ∈ R.

Satz 4.15 (Fundamentalsatz). Sei f: [a,b] → R Riemann-integrierbar. Dann:

(a) Die Funktion F: [a,b] → R definiert durch F(x) = ∫ x

a

f(t)dt ist stetig auf

[a,b] und differenzierbar an allen Stellen x ∈ [a,b], an denen f stetig ist.

An diesen Stellen gilt F ′ (x) = f(x).

(b) Ist G eine Stammfunktion von f auf [a,b], so gilt ∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a).

Beweis. Wir beweisen Teil (a).

Wir zeigen zuerst, dass F gleichmäßig stetig auf [a,b] ist.

Sei ǫ > 0. Wir wählenM > 0 mit M ≥ sup x∈[a,b] |f(x)| und setzen δ = ǫ/M > 0.

Sei a ≤ x < y ≤ b und y −x ≤ δ. Dann

∫ y ∫ x

|F(y)−F(x)| =

∣ f(t)dt− f(t)dt


a a

∫ y

=

∣ f(t)dt

∣ ≤ M (y −x) ≤ Mδ = ǫ.

x

Sei nun c ∈ [a,b) und f stetig an c. Wir zeigen, dass F ′ (c + 0) = f(c). Der

Beweis, dass F ′ (c−0) = f(c) für c ∈ (a,b] und f stetig an c ist ähnlich.

Sei ǫ > 0. Da f stetig an c ist, existiert eine Konstante δ > 0 mit |f(x)−f(c)| ≤

ǫ für x ∈ [a,b], |x−c| ≤ δ. Sei nun x ∈ (c,c+δ]. Dann

∣ ∫ F(x)−F(c)

∣∣∣

∣ −f(c)

x−c ∣ = 1 x

f(t)dt− 1 ∫ x

f(c)dt

x−c c x−c ∣

c

= 1

∫ x

x−c ∣ (f(t)−f(c))dt

∣ ≤ 1 ǫ(x−c) = ǫ.

x−c

Das beendet den Beweis.

c

Anmerkung. Für eine differenzierbare Funktion F : [a,b] → R mit R-integrierbarer

Ableitung F ′ gilt

∫ b

a

F ′ (t)dt = F(b)−F(a).

Dies ist die Formel, die sich effektiv zur Berechnung von Integralen einsetzen

läßt.

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