Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

76 KAPITEL 4. INTEGRATION

Die Kompositioen stetiger Funktionen ist stetig, die Komposition differenzierbarer

Funktionen ist differenzierbar. Für R-integrierbare Funktionen ist dies im

Allgemeinen falsch.

Beispiel 4.17. Seien f: [0,1] → R, β: [0,1] → [0,1],

{

{

0, x = 0, 1/q x , x ∈ [0,1]∩Q,

f(x) = β(x) =

1, x ∈ (0,1], 0, x ∈ [0,1]\Q.

f, β sind beide R-integrierbar, jedoch ist die Funktion f ◦β,

{

1, x ∈ [0,1]∩Q,

(f ◦β)(x) =

0, x ∈ [0,1]\Q,

auf [0,1] nicht R-integrierbar.

Es gilt jedoch:

Satz 4.18. Sei f: [a,b] → [c,d] R-integrierbar, g: [c,d] → R stetig. Dann ist

g ◦f: [a,b] → R R-integrierbar.

Beweis. Sei M = max

x∈[c,d] |g(x)|. Sei ǫ > 0 und ǫ 1 = ǫ/(b − a + 2M). Da g

gleichmäßig stetig auf [c,d] ist, existiert eine Konstante δ, 0 < δ ≤ ǫ 1 , mit

|g(x)−g(y)| ≤ ǫ 1 für alle x,y ∈ [c,d], |x−y| ≤ δ.

Gemäß dem vorigen Satz existiert eine Partition P, so dass

|S(f,P 0 )−S(f,P 1 )| ≤ δ 2

für alle markierten Partitionen P 0 ,P 1 mit unterliegender Partition P. Seien

{

J 1 = j ∣ }

sup |f(s)−f(t)| ≤ δ ,

s,t∈[x j−1,x j]

Dann

J 2 =

{

j ∣ ∣

sup |f(s)−f(t)| > δ

s,t∈[x j−1,x j]

• s,t ∈ [x j−1 ,x j ] für ein j ∈ J 1 impliziert ∣ ∣ g

(

f(s)

)

−g

(

f(t)

)∣ ∣ ≤ ǫ1 .

• s,t ∈ [x j−1 ,x j ] für ein j ∈ J 2 impliziert ∣ ( ) ( )∣ g f(s) −g f(t) ∣ ≤ 2M.


Behauptung: (x j −x j−1 ) ≤ δ.

j∈J 2

Wir wählen dazu für jedes j ∈ J 2 Stellen s j , t j ∈ [x j−1 ,x j ] mitf(s j )−f(t j ) > δ.

Wir setzen weiterhin s j = t j = x j für j ∈ J 1 . Seien Q 0 ,Q 1 die markierten

Partitionen mit unterliegender Partition P und Markierungen s j ∈ [x j−1 ,x j ]

bzw. t j ∈ [x j−1 ,x j ]. Dann

δ ∑ j∈J 2

(x j −x j−1 ) ≤ ∑ j∈J 2

(

f(sj )−f(t j ) ) (x j −x j−1 )

=

}

.

n∑ (

f(sj )−f(t j ) ) (x j −x j−1 ) = |S(f,Q 0 )−S(f,Q 1 )| ≤ δ 2 ,

j=1

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