Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

92 KAPITEL 4. INTEGRATION

für h → 0 bei festem p ∈ J.

Beispiel 4.49. (a)

∫ 1

0

dx

x+p = log(x+p)∣ ∣ 1 = log(1+ 1 ), p > 0.

0 p

(b)

∫ 1

0

x p dx = xp+1

∣ 1

p+1

= 1

0 p+1 , p > −1.

Der vorige Satz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes:

Satz 4.50. Seien f, ∂f

∂p

: [a,b]×J → R stetig, α,β: J → [a,b] differenzierbar.

Dann ist die Funktion

differenzierbar und

Beweis. Es gilt

F(p) =

∫ β(p)

α(p)

f(x,p)dx

∫ β(p)

F ′ (p) = β ′ (p)f (β(p),p)−α ′ ∂f

(p)f (α(p),p)+

α(p) ∂p (x,p)dx.

F(p+h)−F(p)

h

∫ β(p)

∂f


∂p (x,p)dx

= 1 h

α(p)

∫ β(p+h)

+

β(p)

∫ β(p)

α(p)

= β(p+h)−β(p)

h

+

∫ β(p)

α(p)

f(x,p+h)dx− 1 h

( f(x,p+h)−f(x,p)

h

∫ α(p+h)

α(p)

f(x,p+h)dx

− ∂f

∂p (x,p) )

dx

f(s,p+h)− α(p+h)−α(p) f(r,p+h)

h

( ) ∂f ∂f

(x,q)−

∂p ∂p (x,p) dx,

wobei q,r,s von x,p,h abhängen, r ∈ [α(p),α(p+h)] (bzw. r ∈ [α(p+h),α(p)],

falls α(p + h) < α(p)), s ∈ [β(p),β(p + h)] (bzw. s ∈ [β(p + h),β(p)], falls

β(p + h) < β(p)) und q ∈ [p,p + h] (bzw. q ∈ [p + h,p], falls p + h < p). Im

Grenzübergang h → 0 erhalten wir als Limes

β ′ (p)f (β(p),p)−α ′ (p)f (α(p),p)+0.

Beispiel 4.51.

∫ p

2

F(p) = log(x+p)dx, p > 0.

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