Differenzial- und Integralrechnung I

uni.math.gwdg.de

Differenzial- und Integralrechnung I

4.9. PARAMETER-INTEGRALE 93

F ist differenzierbar mit

∫ p

2

F ′ (p) = 2plog(p 2 dx

+p)+

1 x+p

= 2plog(p 2 +p)+log(x+p) ∣ ∣ p2

1

= (2p+1) ( log(p+1)+logp ) −log(p+1)

= 2plog(p+1)+(2p+1)logp.

Bemerkung. Für Parameterintegrale, die von mehr als einem Parameter abhängen,

gelten analoge Sätze.

Uneigentliche Integrale, die einen Parameter enthalten

Im Fall uneigentlicher Integrale benötigen wir eine weitere Bedingung, um die

stetige Abhängigkeit vom Parameter sicherzustellen.

Definition 4.52. Sei f: [a,b) × J → R, f(·,p) sei R-integrierbar auf jedem

kompakten Teilintervall von [a,b) und ∫ b

f(x,p)dx konvergiere für alle p ∈ J.

a

Dann sagt man, dass das Integral

∫ b

a

f(x,p)dx

gleichmäßig in p ∈ J konvergiert, falls ∀ǫ > 0 ∃c ∈ (a,b) ∀d ∈ [c,b) mit

für alle p ∈ J.


∫ b

d

f(x,p)dx

∣ ≤ ǫ

Satz 4.53. Sei f: [a,b)×J → R stetig und ∫ b

a

f(x,p)dx konvergiere gleichmäßig

in p ∈ J. Dann ist die Funktion F: J → R,

stetig.

F(p) =

∫ b

a

f(x,p)dx

Beweis. O. B. d. A. sei J kompakt. Sei p ∈ J und ǫ > 0. Wir wählen ein c ∈

(a,b) wie in obiger Definition. Die Funktion f: [a,c] × J → R ist gleichmäßig

stetig, also existiert ein δ > 0, so dass |f(x,p) − f(x,q)| ≤ ǫ/(c − a) für alle

(x,q) ∈ [a,c]×J mit |p−q| ≤ δ gilt. Wir erhalten

|F(p)−F(q)|

∫ c

≤ |f(x,p)−f(x,q)|dx+


a

∫ b

und die Funktion F ist an der Stelle p stetig.

c

∣ ∣∣∣∣ ∫ b

f(x.p)dx

∣ + f(x.p)dx

∣ ≤ 3ǫ,

c

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine