Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

4.10. UNGLEICHUNGEN MIT INTEGRALEN 95

Satz 4.57. Für p > 0 gilt

Γ(p+1) = pΓ(p).

Insbesondere gilt Γ(n+1) = n! für alle n ∈ N 0 .

Beweis. Für p > 0 gilt

Γ(p+1) =

∫ ∞

0

= lim

ǫ→+0

R→∞

x p e −x dx = lim

ǫ→+0

R→∞

(


−x p e −x ∣∣

R

+p

ǫ

∫ R

ǫ

∫ R

Weiterhin erhalten wir induktiv zusammen mit

Γ(1) =

∫ ∞

0

ǫ

x p e −x dx

e −x dx = −e −x ∣ ∣∣


x p−1 e −x dx

0 = 1,

)

= pΓ(p).

dass Γ(1) = 0! und Γ(n+1) = nΓ(n) = n·(n−1)! = n! für alle n ∈ N 0 gilt.

4.10 Ungleichungen mit Integralen

Viele Ungleichungen, die wir für endliche Folgen reeller Zahlen hatten, verallgemeinern

sich auf den Fall von Integralen.

4.10.1 Die Hölder-Ungleichung

Satz 4.58. Seien f,g: [a,b] → R R-integrierbar, p > 1 und q = p

p−1 (d.h.

1

p + 1 q

= 1). Dann gilt


∫ b

a

( ∫ ) 1 (

b

p ∫ b

f(x)g(x)dx

∣ ≤ |f(x)| p dx |g(x)| q dx

a

Beweis. Wie im Fall endlicher Folgen reeller Zahlen dürfen wir annehmen, dass

∫ b

a

|f(x)| p dx =

∫ b

a

a

|g(x)| q dx = 1

gilt. Wir erhalten dann mittels der Youngschen Ungleichung

|f(x)g(x)| ≤ |f(x)|p

p

für alle x ∈ [a,b], also

∫ b

∫ b

f(x)g(x)dx

∣ ∣ ≤ |f(x)g(x)| dx

a

≤ 1 p

a

∫ b

a

|f(x)| p dx+ 1 q

+ |g(x)|q

q

∫ b

a

) 1

q

|g(x)| q dx = 1 p + 1 q = 1.

.

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