Stromdurch ossene Leiter im Magnetfeld, Halle ekt

Physikalisches Anfängerpraktikum 1
Gruppe Mo-16
Wintersemester 2005/06 Jens Küchenmeister (1253810)
Versuch: P1-73
Stromdurchossene Leiter im Magnetfeld,
Halleekt
- Vorbereitung -
Inhaltsverzeichnis
1 Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte 2
1.1 Magnetfeld im Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Widerstand der Feldplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Messungen an einer Metallhallsonde 4
2.1 Bestimmung der Hallkonstante R H , n Au und ξ Au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Elektrische Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit in Gold . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Messungen an einer Halbleiterhallsonde 5
3.1 Messung der Hallspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Abhängigkeit des Hallwiderstands vom Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1

0 Vorbemerkung
Der Aufbau sei wie folgend:
Die Lorentzkraft F = q·(v×B) bewirkt eine Ablenkung der Ladungsträger eines Leiters senkrecht zum
Magnetfeld und zur Stromrichtung. Das Magnetfeld soll hier so schwach sein, dass es die Ladungsträger
nur wenig ablenkt. Diese Ablenkung führt zu einer Ladungstrennung, die wiederum ein elektrisches Feld
E H erzeugt. Die Ladungstrennung schreitet so lange fort, bis das sich aufbauende elektrische Feld eine
der Lorentzkraft F L = n · q · (v D × B) entgegengerichtete gleich groÿe elektrische Kraft F C = n · q · E H
bewirkt.
Bei einem Leiter mit rechteckigem Querschnitt A = b · d führt dieses elektrische Feld zu einer Hallspannung
U H = ∫ E H · ds = b · E H
zwischen den gegenüberliegenden Seitenächen im Abstand b. U H soll hier die Spannung zwischen
oberer und unterer Seitenäche sein. Der Vektor b zeigt also von oben nach unten. Aus der Relation:
folgt mit j = n · q · v für die Hallspannung:
q · E H = −q · (v × B)
U H = − (j×B)·b
n·q
Das Vektorprodukt j × B zeigt im Bild nach unten (in Richtung b), unabhängig davon, ob dpositiv
oder negativ geladene Teilchen den Strom I = j · b · d transportieren. Man kann daher schreiben (wobei
meistens für q = −e gilt, wg. Ladungsträger=Elektronen):
U H = − j·B·b
n·q
= I·B
n·e·d
2

1 Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte
Eine Feldplatte ist eine rechteckige, keramische Trägerplatte, auf die eine Halbleiterschicht aufgetragen
ist (Indiumantimonid). Dieses Material hat die Eigenschaft, dass der elektrische Widerstand mit
der Länge des Stromweges korreliert. Verlängert sich also der Weg des Stromes, so steigt auch der
Widerstand an (sog.Bahnwiderstand).
Verlauf der Strombahnen in einer rechteckigen Feldplatte a) ohne Magnetfeld b) mit Magnetfeld.
Legt man eine Spannung an die Feldplatte, ohne ein Magnetfeld wirken zu lassen (Bild a), so verlaufen
die Strombahnen in Richtung der Pfeile von links nach rechts. Wird jedoch ein transversales Magnetfeld
(senkrecht zur Zeichnungsebene in Bild b) eingeschaltet, so werden die Strombahnen seitlich abgelenkt.
Der Winkel, um den sich die Stromrichtung nach dem Anlegen des Magnetfeldes ändert, heiÿt Hallwinkel.
Dieser kann bei einer Induktion von 1 Tesla ca. 80 ◦ betragen. Bei der Herstellung von Feldplatten
werden in den Kristall des Grundmaterials (InSb) niederohmige (Kurzschluÿ-) Nadeln aus NiSb eingebaut.
Diese sind senkrecht zur Stromrichtung der nicht angesteuerten Feldplatte angeordnet. Die
Abstände zwischen den einzelnen Nadeln liegen je nach Ausführung in der Gröÿenordnung von einigen
Tausendsteln eines Millimeters. Bei angelegtem Magnetfeld werden die ieÿenden Ladungsträger im
Grundmaterial (InSb) um den Hallwinkel aus ihrer Bahn abgelenkt. Längs der Nadeln ieÿen sie fast
unbeeinuÿt, so daÿ sich insgesamt die zick-zack-förmigen Strombahnen von Bild b ergeben. Durch
diese vom Magnetfeld gesteuerte Verlängerung der Strombahnen wird der Widerstand der Feldplatte
erhöht.
Somit wird die Stromstärke in Abhängigkeit von der Stärke des Magnetfeldes sinken - ein zur Messung
der Magnetfeldstärke nutzbarer Eekt.
1.1 Magnetfeld im Luftspalt
Um die Stärke des Magnetfeldes des hier verwendeten Elektromagneten (2 Spulen mit je 2400 Windungen
und maximal 5A, geschlossener Eisenkern mit Luftspalt von 12mm) zu bestimmen, bestünde theoretisch
die Möglichkeit, diese zu berechnen. Da jedoch die Formel für lange Spulen (LängeDurchmesser)
hier nicht gilt, ist die Messung der Feldstärke die genauere Alternative.
Würde man die Feldplatte direkt mit einer Spannungsquelle verbinden, so hätte man das Problem,
dass der sich ändernde Widerstand der Feldplatte sowohl die Stromstärke im Stromkreis, als auch die
über der Feldplatte abfallende Spannung beeinuÿt. U = R·I hat dann plötzlich 2 statt 1 Unbekannten
- zwar könnte man I zusätzlich messen, doch dann müÿte eventuel die Spannung erhöht werden, um
noch messbare Ströme zu erzeugen.
Vorteilhafter ist es, durch einen relativ groÿen Vorwiderstand R V , der zu der Feldplatte in Reihe
geschaltet ist, dafür zu sorgen, dass der durch die Feldplatte ieÿende Strom annähernd unabhängig
von ihrem Widerstand wird. Dazu wird R V etwa 40mal so groÿ gewählt, wie der Widerstand der
Feldplatte maximal werden kann.
3

Durch die Messung von U F nden wir heraus, welcher Erregerstrom I e r für die später benötigten
Magnetfelder eingestellt werden muss. Dann kann mit der Eichkurve die magnetische Feldstärke B
ablesen.
1.2 Widerstand der Feldplatte
Aus den im Experiment gemessenen Gröÿen (U 0 sei die Spannung an der Quelle, U F die an der
Feldplatte gemessene Spannung und R V der Vorwiderstand)lässt sich der Widerstand der Feldplatte
(R F ) folgendermaÿen bestimmen. Es gilt:
Somit ergibrt sich durch Umformung:
R ges = R V + R F , U F = R F · I, U 0 = R ges · I
U 0 = R V · I + R F · I = R V · UF
R F
⇒ R F = U F
U 0 −U F
· R V
wobei gegeben ist: U 0 = 6, 35 ± 0, 05V und R V = 25kΩ ± 1%.
Für die Widerstandsänderung gilt:
∆R = R F −R 0
R 0
2 Messungen an einer Metallhallsonde
2.1 Bestimmung der Hallkonstante R H , n Au und ξ Au
Die in diesem Versuchsteil verwendete Goldhallsonde ist eine sehr dünne, d = 61 ± 3nm, rechteckig auf
eine Glasplatte aufgedampfte Goldschicht. Wenn die Kontakte für den Sondenstrom I S einer Hallsonde
sich nicht exakt gegenüber liegen, ist eine fehlerfreie Messung der Hallspannung nicht möglich, da durch
das nicht kantenparallele E-Feld fälschlicherweise bereits ohne Magnetfeld eine Hallspannung gemessen
wird.
+ U F
Da eine 100% perfekte Fertigung kaum erreicht werden kann, versucht man diesen Fehler dadurch
auszuschlieÿen, dass man auf einer Seite zwei Kontakte anbringt und die Hallspannung für den feldfreien
Betrieb zunächst bei jeder Änderung von I S mittels Potentiometer auf Null eicht.
Es soll in einem Bereich von 0A ≤ I S ≤ 0, 15A und 0T ≤ B ≤ 1, 4T die Hallspannung
U H gemessen werden. Danach soll der lineare Zusammenhang von U H (I S ) und U H (B) gezeigt werden.
Hierfür verwendet man am besten mehrere äquidistante Messwerte, wobei bei einer Messung nur I S und
bei der nächsten nur das B-Feld geändert wird. Die Messwerte werden also gegeneinader aufgetragen
und aus der Ausgleichsgeraden soll die Hallkonstante R H , die Konzentration freier Elektronen n Au und
die mittlere Zahl der freien Elektronen ξ Au bestimmt werden.
Die Ausgleichsgeraden seien von folgender Form:
4

Da zudem gilt:
U H (I s ) = m IS · I S + b IS
U H B = m B · B + b B
U H = − I·B
n·q·d = −R H · I·B d
also R H = 1
n·q
Sind die beiden Ausgleichsgeraden der Messungen bekannt, kann man R H bestimmen durch:
R H = m I S ·d
I S
R H = m B·d
B
+ b I S
BI S
+ b B
BI S
Somit folgt für die Konzentration freier Elektronen in Gold n Au :
n Au = 1
R H q
Zur Bestimmung der mittleren Anzahl freier Elektronen pro Goldatom (ξ Au ) benötigt man zunächst
die Konzentration N der Goldatome (Anzahl/Volumen). Für N gilt:
N = ρ Au
M Au
· N A
wobei N A die Avogardo-Konstante ist, M Au = 197 g
mol
die molare Masse und ρ Au = 19, 32 g
Stodichte. Folglich ergibt sich für N = 5, 88 · 1028 T eilchen
m
Somit folgt für die mittlere Anzahl freier Elektronen:
3
cm 3
die
ξ Au = n Au
N
Da ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld Spannung induziert, wird hier eine zusätzliche Spannung
neben der Hallspannung mitgemessen werden.
2.2 Elektrische Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit in Gold
An der Hallsonde sind noch zwei zusätzliche Kontakte im Abstand l = 29, 0±0, 1mm angebracht. Wenn
man nun die Spannung U r misst, die bei einem bekannten Steuerstrom I S abfällt, kann man zusammen
mit den Werten des Leiterstücks den Widerstand zwischen den Kontakten bestimmen. Damit kann im
Anschluss die elektrische Leitfähikeit σ Au und die Elektronenbeweglichkeit µ Au von Gold bestimmt
werden. Die Herleitung erfolgt folgendermaÿen:
Für die Stromdichte j gilt:
Die Dention der elektrischen Beweglichkeit ist:
Daraus folgt:
j = σ · E
µ = v E
v = µ · j
σ = µ·I S
σ·b·d
Es gilt nun U r = R · I S . Man kann also eine Ausgleichsgerade mit Wertepaaren (I S , U r ) bestimmen,
deren Steigung gerade der gesuchte Widerstand R ist.
Hat man dieses R ermittelt, kann man es direkt benutzen, denn:
R = Ur
I S
= l·E
σ·b·d·E =
l
σ·b·d
⇒ σ = l
R·b·d
Die elektrische Leitfähigkeit von Gold ist demnach: σ Au =
Um die Elektronenbeweglichkeit µ Au bestimmen zu können, verwendet man die Hallspannung:
l
R·b·d .
U H = µ Au
σ Au
· BI S
d
= R H · I S + b ⇒ R H = µ σ
Für die Elektronenbeweglichkeit gilt damit:
µ Au = σ Au R H ,
wobei für R H der durch die Ausgleichsgerade bestimmte Wert ist.
5

3 Messungen an einer Halbleiterhallsonde
Die Hallsonde aus Metall wird in diesem Versuchsteil durch eine Halbleiterhallsonde ersetzt. Es werden
die gleichen Messungen wie in Aufgabe 2 durchgeführt, jedoch stammt die Halbleiterhallsonde aus
industrieller Fertigung, was einen Geometrieabgleich unnötig macht, da die Fehlspannungen klein gegen
die Hallspannung sind.
Die neuen Werte der Halbleiterhallsonde sind:
• d = 2, 5 ± 0, 5µm
• b = 1, 5 ± 0, 05mm
• l = 3, 0 ± 0, 05mm
3.1 Messung der Hallspannung
Analog zu Aufgabe 2 soll hier folgendes bestimmt werden:
• Hallspannung U H (I S )
• Hallspannung U H (B)
• Diagramme und Ausgleichsgeraden
• Hallkonstante R H
• Ladungsträgerkonzentration
Zusätzlich soll für die Auswertung der Aufgabe 3.2 noch die Spannung über den Anschlusskontakten
der Halbleitersonde (U S ) bestimmt werden.
3.2 Abhängigkeit des Hallwiderstands vom Magnetfeld
Die Durchführung erfolgt analog zu Aufgabe 2.2. Es sollen gegeneinander aufgetragen werden:
• Widerstand R(B) über B
• die relative Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall über B.
Anschlieÿend soll noch die Beweglichkeit der Elektronen (µ InAs ) in der Halbleitersonde bestimmt und
ein Vergleich mit der Goldhallsonde angestellt werden.
6