Anmerkungen zum Modell des Teilchens im Kasten - Unics.uni ...

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Anmerkungen zum Modell des Teilchens im Kasten

In diesem Modell wird ein Materieteilchen betrachtet, das sich in einem Kasten

der Länge a mit unendlich hohen Potentialwänden bendet. Auÿerhalb

des Kastens ist also die potentielle Energie V unendlich. Innerhalb des Kastens

mögen keine Kräfte auf das Teilchen einwirken, d.h. dort gilt V = 0.

Siehe dazu Abb. 1.

Abbildung 1: Potential für das Teilchen im Kasten mit unendlich hohen Wänden.

Die Wellenfunktion des Teilchens setzt sich aus drei Teilen zusammen,

welche das Verhalten in den drei Raumbereichen I, II und III beschreiben. Für

alle drei Bereiche muss die Schrödinger-Gleichung (zeitunabhängige Form)

erfüllt sein:

Ĥψ = Eψ (1)

Für das vorliegende eindimensionale Problem besitzt der Hamilton-Operator

die Form

d 2

Ĥ = − 2

+ V (x) , (2)

2m dx2 wobei der erste Term der Summe die kinetische und der zweite Term die

potentielle Energie des Systems wiedergibt.

Für die Bereiche I und III, d.h. innerhalb der beiden Potentialwände,

erhält man die folgende Schrödinger-Gleichung:

− 2 d 2 ψ

+ ∞ · ψ = Eψ (3)

2m dx2 Da die Energie des Teilchens nicht unendlich werden darf, muss die Wellenfunktion

in diesen Bereichen überall verschwinden, d.h. es gilt:

ψ I (x) = 0 für alle x < 0

ψ III (x) = 0 für alle x > a

1

(4)


Die Schrödinger-Gleichung für Bereich II lautet:

− 2 d 2 ψ

= Eψ (5)

2m dx2 Dies entspricht der Gleichung eines freien Teilchens (V = 0), und für die

Lösung kann einer der folgenden Ansätze gemacht werden:

ψ ′ II(x) = A ′ e ikx + B ′ e −ikx

oder ψ II (x) = A sin kx + B cos kx

Im Folgenden wird der zweite Ansatz, welcher reellwertige Wellenfunktionen

liefert, verwendet. Man überzeugt sich leicht durch Einsetzen, dass tatsächlich

beide Ansätze die Gleichung (5) lösen, wenn die Gröÿe k gegeben ist

als:

k = 1 (2mE) 1 2 (7)

Um k und somit auch E zu bestimmen, betrachtet man das Verhalten

der Wellenfunktion an den Rändern des Kastens bei x = 0 und x = a.

Eine Forderung für erlaubte Wellenfunktionen ist, dass diese eindeutig sein

müssen, woraus sich ergibt, dass die Funktionen ψ I und ψ II bzw. ψ II und

ψ III an den Rändern des Kastens jeweils identisch sein müssen:

ψ I (0) = ψ II (0) = 0

ψ II (a) = ψ III (a) = 0

Betrachtet man die Form der Wellenfunktion ψ II , so ist klar, dass die erste

dieser Randbedingungen nur erfüllt sein kann, wenn in Gleichung (6) B = 0

gewählt wird, da cos(0) = 1 ist. Es folgt:

ψ II (x) = A sin kx (9)

Um die zweite Bedingung in (8) zu erfüllen, muss der Sinus-Term bei x = a

verschwinden. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt

(6)

(8)

k = nπ a

n = 1, 2, 3, . . . (10)

Für n = 0 ergibt sich keine Lösung des Problems, da dann die Wellenfunktion

überall verschwindet. Für negative Werte von n ergeben sich keine neuen

Lösungen, da in diesem Fall die Wellenfunktionen lediglich an der x-Achse

gespiegelt werden, was sich auch durch Multiplikation mit −1 erreichen lässt.

Aus Gleichung (7) ergibt sich dann für die erlaubten Energien die Bedingung:

E n = k2 2

2m = n2 π 2 2

= h2

2ma 2 8ma 2 n2 (11)

Die Energie ist somit quantisiert mit der Quantenzahl n. Man erkennt, dass

die Energie quadratisch mit der Quantenzahl anwächst. Die Wellenfunktionen

haben die Form:

( nπ

)

ψ n (x) = A sin

a x ; x ∈ [0, a] (12)

2


Dabei wurde der Index II weggelassen, da jetzt klar ist, dass die Lösung nur

für den Bereich II gilt. Zu jeder Quantenzahl n gibt es genau eine Wellenfunktion

ψ n . Zur Bestimmung von A wird die Normierungsbedingung verwendet,

welche ausdrückt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Kasten

zu nden gleich eins ist:

1 =

∫ a

0

|ψ n | 2 dx = A 2 ∫

( nπx

)

sin 2 dx (13)

a

Beachten Sie, dass bei der Integration die Bereiche unterhalb Null und oberhalb

a nicht berücksichtigt werden müssen, weil die Wellenfunktion dort verschwindet.

Um das Integral zu lösen, führt man die Substitution u = nπx/a

mit du = (nπ/a)dx ein:

A 2



0

∫ π

a

nπ sin2 u du = 1

⇔ a π

sin 2 u du = 1 A 2

⇔ a π

0

∫ π

0

1

2 (1 − cos 2u) du = 1 A 2

⇔ a π · 1

2 · π = 1 A 2

(14)

⇔ A =


2

a

Damit erhält man:


2

( nπ

)

ψ n (x) =

a sin a x

(15)

Man beachte, dass die ψ n (x) als Einheit die Quadratwurzel einer reziproken

Länge besitzen, was mit der Interpretation als Wahrscheinlichkeitsamplitude

des eindimensionalen Problems übereinstimmt. Die ersten vier Wellenfunktionen

ψ n (n = 1, 2, 3, 4) sind zusammen mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten

und den Energieniveaus in Abb. 2 dargestellt.

Auf dem dritten Übungsblatt wurde eine andere Denition des Kastens

gewählt. Er erstreckt sich hier auf der x-Achse von −a/2 bis a/2. Dies geschah

in Hinblick auf die Klassikation der Wellenfunktionen gemäÿ ihrer

Parität, d.h. des Verhaltens bei Spiegelung an der Ordinate. Um die Wellenfunktionen

in diesem Fall zu erhalten, müssen die Funktionen aus Gleichung

(15) lediglich um a/2 in negative x-Richtung verschoben werden. Man erhält

dann:


2

[ nπ

(

ψ n (x) =

a sin x + a )]

; x ∈ [−a/2, +a/2] (16)

a 2

3


Abbildung 2: Energieniveaus, Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten

des Teilchens im Kasten (aus: G. Wedler, Lehrbuch der Physikalischen

Chemie, 4. Auage).

4

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