9.¨Ubung zu Theoretischer Physik II ¨Ubungstermin: SS 2008 30.05 ...

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9.Übung zu Theoretischer Physik II

Übungstermin:

SS 2008 30.05.2008

33. Der Operator für das magnetische Moment eines Elektrons ist durch

⃗M =

e

2mc (⃗ L + 2 ⃗ S)

gegeben. Der Erwartungswert von M z im Zustand |j, j z 〉 läßt sich schreiben als

〈M〉 =

e

2mc g Lj z .

Diese Bezeichnung definiert den Land-Faktor g L . Berechne g L für die Zustände | 5 2 , 3 2 〉 und

| 3 2 , 3 2 〉 mit l = 2, s = 1 2 .

34. Betrachte noch einmal den dreidimensionalen harmonischen Oszillator, diesmal in

Kugelkoordinaten:

(a) Mache einen Ansatz analog zum in der Vorlesung behandelten Wasserstoffatom und

zeige, daß der radiale Anteil der Wellenfunktion R (r) folgender Differentialgleichung

gehorcht:

(

)

u ′′ + k 2 − λ 2 r 2 l(l + 1)

− u = 0,

r 2

mit u(r) = rR (r), λ und k Konstanten.

(b) Betrachte das asymptotische Verhalten von u für r → 0 und r → ∞. Zeige, daß man

ansetzen kann.

35. Fortsetzung des vorhergehenden Beispiels:

u (r) = r l+1 e −λr2 /2 ν(r)

(a) Zeige, daß ν(r) folgender Gleichung gehorcht:

(

ξ d2 ν

dξ + l + 3 ) dν

2 2 − ξ dξ + s − ( )

l + 3 2

ν = 0,

2

mit ξ = λr 2 und s = k 2 /2λ (Kummersche Differentialgleichung).

(b) Löse die Gleichung mit einem Potenzreihenansatz und bestimme die Energiewerte

aus der Bedingung, daß die Reihe abbricht, sowie den Grad der Entartung.


36. Addition von Drehimpulsen: Betrachte den Fall für die Kopplung von zwei Drehimpulsen

mit den Werten j 1 = 1 und j 2 = 1. Die gemeinsame Basis für die Drehimpulsoperatoren

J 2 1 , J 2 2 , J 1z und J 2z ist bekannt:

{|1, 1; m 1 , m 2 〉} mit m 1 , m 2 = −1, 0, 1

Wie sehen die Eigenzustände |J, M〉 zu J 2 , J z , J 2 1 und J 2 2 aus, wenn J der

Gesamtdrehimpuls ist?

Hinweis: Betrachte die Unterräume für J = 2, 1, 0 separat.

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