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Prof. Dr. K.-H. Bellgardt, Institut für Technische Chemie

Technische Reaktionsführung:

Nicht-isotherme Reaktoren

Übungsaufgabe: Temperaturregelung im CSTR

Ermitteln Sie aus den Bilanzgleichungen für den polytropen CSTR

das linearisierte Streckenmodell für die Temperatur im Reaktor.

Das Stellventil des Kühlmittelstroms besitze zur Linearisierung der

Charakteristik des Wärmetauchers eine gleichprozentige

Kennlinie.

Als Eingangsgrößen des Systems sollen die Steuerspannung für

das Stellventil des Kühlmittelstroms und eine Störung auf der

Kühlmitteltemperatur berücksichtigt werden.

Welches Aussehen haben die Lösungsfunktionen des Systems?

Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover

Temperaturregelung im CSTR:

Theoretische Beschreibung der Regelstrecke

Modell der Regelstrecke: Bilanzgleichungen

dc 1

t

= 1 c 0

dt 1

−c 1

t −k 0

e − E A

RT t c 1

t

dT t

dt

Nicht-lineare DGLn

dynamisches Verhalten

schwer analysierbar!

= 1 T 0

−T t - R H

k

c 0

e − E A

RTt c 1

t− a k Wmax

T 0

t

U

P

c P

U V

tT t−T K

max

13-1

Ziel:

Temperaturregelung im CSTR:

Theoretische Beschreibung der Regelstrecke

Beispiel:

Einfache, irreversible Reaktion R 1

+R 2

=2R 3

r V

=kc 1

=k 0

e

- E A

RT c 1

Regelung der Temperatur T

über den Kühlmittelstrom V . K

Kennlinie von Wärmetauscher und Stellventil

k W

≈ k W max

U max

U V

Bilanzgleichungen

mit

- R

H 0

dc 1

dt = 1 ˙V c 0

V 1

−c 1

−r


V

R

dT

c P

dt =c 1˙V

P

T

V 0

−T - R

H r V

−aka k W

W

T max

−T U K


R U V

t T −T K



max

Regelstrecke

.

0

T 0

c 1

V

Stellgröße

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T K

.

V K

Steuerspannung U V

des Motorventils

T=T E

Regelgröße

Temperatur

mit r V

=kc 1

=k 0

e

- E A

RT c 1

13-2

Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren

Berücksichtigung einer Störung: Als Beispiel soll T 0

durch äußere Einflüsse um

∆T 0

vom vorgegeben Wert abweichen können

28.06.10

Abgekürzte Schreibweise (Zustandsdarstellung eines dynamischen Systems)

dc 1

t

= f

dt 1 c 1

t,T t

dT t

= f

dt 2c 1

t,T t,U V

t ,T 0

t

Keine Störung (∆T 0

=0) und

konstante Eingangsgröße (U V

=U Vs

)

d

dt =0 f 1c 1s

,T s=0

d

dt =0 f 2c 1s

,T s

,U Vs=0

Das System strebt einem

stationären Zustand zu:

Wie kann man einfach Aussagen über die Systemeigenschaften erhalten?

c 1

t ∞=c 1s

T t ∞=T s

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13-3

U13-1


Prof. Dr. K.-H. Bellgardt, Institut für Technische Chemie

Temperaturregelung im CSTR:

Analyse der Regelstrecke

Linearisiertes Modell : System linearer DGLn 1. Ordnung

d c 1

t

=

dt 11

c 1

t 12

T t

d T t

=

dt 21

c 1

t 22

T t 21

U V

t 22

T 0

t

c 1

= 1

21

d T

dt

− 22

21

T − 21

21

U V

− 22

21

T 0

d c 1

= 1 d 2 T

− 22 d T

− 21

d U V

22

T 0

dt 21 dt 2 21 dt 21 dt 21 dt

Nach c 1

auflösen

Nach t ableiten

In Stoffbilanz

einsetzen

Systemfunktionen

Temperaturregelung im CSTR:

Lineares Ersatzmodell der Regelstrecke

f 1

= 1 c 1 0 −c 1−k 0

e − E A

RT c 1

Koeffizienten des linearen Ersatzsystems

11

= ∂ f 1

∂c 1

12

= ∂ f 1

∂T

11

= ∂ f 1

=0

∂U V

12

= ∂ f 1

=0

∂T 0

=− 1 −k 0 e− E A

RT S

= k 0E A

RT s

2 e− E A

RT s

c 1s

Linearisiertes Modell:

System linearer

DGLn 1. Ordnung,

Einfach lösbar!

f 2

= 1 T 0

−T - R H

k

c 0

e − E A

RT c 1

− a k Wmax

U

P

c P

U V T −T K

max

21

= ∂ f 2

∂c 1

22

= ∂ f 2

∂T

21

= ∂ f 2

∂U V

22

= ∂ f 2

∂T 0

= − RH

k

c 0

e − E A

RT S

P

=− 1 −− RH k 0 E A

e − E A

RT s

c

2

1s

− a k Wmax

U

c P

RT s

c P

U Vs

max

=− a

c P

k Wmax

U max

T s

Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover

= 1

d c 1

t

=

dt 11

c 1

t 12

T t

d T t

=

dt 21

c 1

t 22

T t 21

U V

t 22

T 0

t

Temperaturregelung im CSTR:

Analyse der Regelstrecke

1 d 2 T


21 dt

22

2 21

d T

= V

− − 11


21 dt

11 22


21

12 T 21 d U V



dt dt 11 U V 21 T 22 0

− dt

11 T 0

Überführung in eine normalisierte Darstellung: „Einsen“ vor den Größen selbst!

Inhomogene

DGL

dividieren

System mit Verzögerung

2. Ordnung

a 2

d 2 T

dt 2

d T

a 1

T = K

dt

S T U

ausklammern

Proportional-

Differential-System

d U V

U

dt V

ausklammern

Proportional-

Differential-System

T

T 0

Z T

dt 0

K Z

13-6

Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren

28.06.10

1 d 2 T

− 22 d T

− 21

d U V

22

T 0

21 dt 2 21 dt 21 dt 21 dt

= 11 d T

− 11 22

T − 11 21

U

21 dt 21

V

− 11 Umsortieren

22

T

21

0

12

T

21

1 d 2 T


21 dt

22

2 21

d T

= − − 11


21 dt

11 22


21

12 T 21 d U V



dt dt 11 U V 21 T 22 0

− dt

11 T 0

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13-9

Homogene

DGL

Beschreibt die Eigendynamik

(„Verzögerung“)

a 2

d 2 T

dt 2

d T

a 1

T =0

dt

Beschreibt den Einfluss

der Stellgröße

Mathematisch: Störfunktion

Beschreibt den Einfluss

der Störgröße

Die Analyse der Lösungen der homogenen DGL liefert allgemeine

Aussagen über die Dynamik und Stabilität des Systems

Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover

13-10

U13-2


Prof. Dr. K.-H. Bellgardt, Institut für Technische Chemie

Lösungen linearer Differentialgleichungen

Eigenwerte konjugiert komplex

Das System ist stabil für σ=Re λ

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