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Universität Konstanz

Mathematische Grundlagen der Informatik

Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft WS 2013/2014

PD Dr. Sven Kosub / Julian Müller, Steffen Sievering, Michael Strecke

11. Übungsblatt

(Musterlösung)

Ausgabe: 17.12.2014

Abgabe: 24.01.2014, bis spätestens 23:59 per Mail an den Tutor

Vertiefung:

(a) Konvergiert die Reihe

(b) Konvergiert die Reihe

(c) Konvergiert die Reihe

(d) Konvergiert die Reihe

(e) Konvergiert die Reihe

∞∑ (−1) n

absolut?

n!

n=0

∞∑

n=0

n=0

(−1) n

2n + 1 absolut?

∞∑ (−1) n

absolut?

∞∑

n=1

∞∑

n=0

n n

sin n

n(n + 1) absolut?

n√ n absolut?

(f) Ist die Funktion f : R ≥0 → R : x ↦→ log 2 (x) stetig in a > 0?

(g) Ist die Funktion f : R ≥0 → R : x ↦→ log 2 (x) stetig in a = 0?

(h) Ist die Funktion f : R → R : x ↦→ |x| stetig?

(i) Ist die Funktion f : R → R : x ↦→ 3x 3 − 7x 2 + 11x − 1 stetig?

(j) Ist die Funktion f : R → R : x ↦→ 2x −1

x−1

stetig in a = 1?

10 Punkte

Lösung:

(a) Für die absolute Konvergenz betrachten wir die Folge a n = (−1)n

n!

. Sei q = 1 2 und n 0 = 2.

Dann gilt

|a n | =

(−1) n

∣ n! ∣ = 1 n! = 1 n ·

1

(n − 1)! ≤ 1 2 ·

1

(n − 1)! = 1 2 ·

(−1) n

∣ n! ∣ = q · |a n−1|

für alle n ≥ 2. Damit ist die Reihe nach dem Quotienten-Kriterium absolut konvergent.

(b) ∑ ∞ (−1) n

n=0 2n+1 konvergiert nicht absolut, da die Reihe ∑ ∞

n=0 ∣ (−1)n

2n+1

∣ = ∑ ∞

n=0

konvergiert.

1

2n+1 nicht


Sei s n = n 1

def k=0 2k+1 . Angenommen s n konvergiert gegen c. Dann gibt es für ε = 1 4 eine

natürliche Zahl n 0 mit |s n −c| = c−s n < 1 4 für alle n ≥ n 0. Hierbei ist zu beachten, dass


s n monoton wachsend ist. Somit muss nun für 2n + 1 ≥ n ≥ n 0 gelten: s 2n+1 − s n < 1 4 .

Wir erhalten nun:

1

4 > s 2n+1 − s n =

2n+1


k=n+1

1

2k + 1 ≥ 1

n + 1

· (n + 1) =

4n + 2 + 1 4n + 3 > n + 1

4(n + 1) = 1 4

Dies ist ein Widerspruch. Damit konvergiert ∑ ∞ (−1) n

n=0 2n+1

nicht absolut.

(c) Für die absolute Konvergenz betrachten wir die Folge a n = (−1)n

n

. Sei nun q = 1 n

2 und

n 0 = 2. Dann gilt:

√ ∣∣∣∣ ∣ √


n

(−1) |an | = n ∣∣∣ 1

n

n n = n n n = 1 n ≤ 1 2 = q

für alle n ≥ 2. Damit ist die Reihe nach dem Wurzel-Kriterium absolut konvergent.

(d) Die Reihe ∑ ∞

n=1

sin n

n(n+1) konvergiert absolut. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass ∑ ∞

n=1

∣ sin n

n(n+1)

∣ ≤ 1

n(n+1) für alle n ∈ N. Damit konvergiert ∑ ∞

n=1

konvergiert. Es gilt nun

nach dem Majoranten-Kriterium absolut.

sin n

n(n+1)

(e) Es gilt lim √ n n→∞ n = 1 ≠ 0. Damit kann die Reihe ∑ ∞

n=0 | n√ n| = ∑ ∞ n√

n=0

n nicht

konvergieren.

a·(2

(f) Definiere δ = ε −1)

def 2

zu einem beliebigen ε > 0 und a > 0. Damit gilt:

ε

( x

) ( ) x − a + a

| log 2 (x) − log 2 (a)| = log 2 (x) − log 2 (a) = log 2 = log

a 2

a

(

= log 2 1 + x − a ) (

< log

a

2 1 + δ ) (

= log

a 2 1 + a · )

(2ε − 1)

a · 2

( )

ε

= log 2 1 + 2ε − 1

2 ε < log 2 (1 + 2 ε − 1) = log 2 (2 ε ) = ε

falls x ≥ a mit |x − a| = x − a < δ und

( a

) (

)

a

| log 2 (x) − log 2 (a)| = log 2 (a) − log 2 (x) = log 2 = log

x 2

a − (a − x)

( ) (

) ( )

a

a

< log 2 = log

a − δ 2

a · (1 1

)

− 2ε −1

= log 2 2 ε −2 ε +1

2 ε 2 ε

= log 2 (2 ε ) = ε

falls x < a mit |x − a| = a − x < δ. Damit ist f stetig in a > 0.

(g) Sei (x n ) n∈N eine Folge mit lim n→∞ x n = a = 0. Dann gilt aber lim n→a f(x n ) =

lim n→∞ log 2 (x n ) = −∞. Also existiert dieser Grenzwert nicht und damit ist die Funktion

nach Lemma 5.11 nicht stetig in a = 0.

(h) Sei δ = def ε zu beliebigem ε > 0. Es gilt nun für alle a ∈ R:

Damit ist f stetig.

|x − a| < δ = ε → |f(x) − f(a)| = ||x| − |a|| = |x − a| < ε

1

n(n+1)


(i) Die Funktionen h(x) = x und g(x) = −1 sind trivialerweise stetig.

Nach Proposition 5.12 sind nun die Funktionen h(x) · h(x) = x 2 , (h(x) · h(x)) · h(x) = x 3

sowie 3((h(x) · h(x)) · h(x)), −7(h(x) · h(x)) und 11h(x) stetig. Weiterhin ist die Summe

dieser Funktionen 3((h(x)·h(x))·h(x))−7(h(x)·h(x))+11h(x)+g(x) = 3x 3 −7x 2 +11x−1

stetig.

2 xn

x n−1 =

(j) Sei (x n ) n∈N eine Folge mit lim n→∞ x n = a = 1. Dann gilt lim n→∞ f(x n ) = lim n→∞

∞ also existiert auch dieser Grenzwert nicht und die Funktion ist nach Lemma 5.11 nicht

stetig in a = 1.

Kreativität:

Beweisen Sie die folgende Aussage:

10 Punkte

Jede stetige Funktion f : [a, b] → R (mit a < b) ist (von oben) beschränkt.

Sie dürfen für den Beweis lediglich die aus der Vorlesung bekannten Sachverhalte verwenden.

Hinweis: Zeigen Sie die Kontraposition der Aussage. Wenden Sie dazu die für den Beweis des

Satzes von Weierstraß benutzte Intervallschachtelungstechnik auf eine geeignet konstruierte

Folge an.

Lösung:

Analog zum Beweis des Satzes von Weierstraß gilt nach Proposition 5.12, dass −f stetig

ist, wenn f stetig ist. Damit genügt es die Aussage für die Beschränkung nach oben zu zeigen.

Wie im Hinweis genannt, zeigen wir die Kontraposition der Aussage:

Wir nehmen an, f : [a, b] → R (mit a < b) wäre nicht (von oben) beschränkt, d.h. zu jedem

y ∈ R existiert ein x ∈ [a, b] mit f(x) > y.

Wir können nun eine beliebige Folge (x n ) n∈N definieren mit f(x n ) > n und x i ≠ x j für

i ≠ j. Zu dieser Folge konstruieren wir nun analog zum Beweis des Satzes von Weierstraß

induktiv eine Folge (I n ) n∈N von ineinander geschachtelten Intervallen I n = [a n , b n ], in denen

unendlich große Funktionswerte angenommen werden.

I 0 = [a 0 , b 0 ] = def [a, b]

[

]

⎧⎪ ⎨

a n−1 , a n−1+b n−1

2

I n = [a n , b n ] = def

⎪ ⎩

[

an−1 +b n−1

2

, b n−1

]

falls

[

a n−1 , a n−1+b n−1

2

]

∩ {x m | m ≥ n}

unendlich viele Elemente enthält

sonst

für n > 0

Es gilt nun wie im Skript, dass alle I n unendlich sind und I 0 ⊇ I 1 ⊇ I 2 ⊇ . . . ⊇ I n ⊇ I n+1 ⊇ . . ..

Weiterhin gilt

|a − b|

|a n − b n | ≤

2 n


Wir wählen nun erneut wie im Skript aus jedem Intervall I n ein Element x ′ n ∈ I n ∩{x m | m ≥ n}

aus. Es gilt nun für die Folge (x ′ n) n∈N , dass x ′ n ∈ [a, b] und der Grenzwert x = def lim

n→∞ x′ n existiert.

Da aber f aber in I n unendlich große Funktionswerte annimmt, existiert

nicht und damit ist f nach Lemma 5.11 nicht stetig.

lim

n→∞ f(x′ n)

Es ist somit gezeigt, dass f nicht stetig sein kann, wenn f nicht (von oben) beschränkt ist.

Damit folgt die Aussage.


Transfer:

10 Punkte

Sie arbeiten in einem Projekt zum Wissenschaftlichen Rechnen mit, dessen Ziel es ist numerische

Algorithmen auf einem Cluster zur Ausführung zu bringen. Um möglichst präzise

Rechnungen durchführen zu können, verfolgen Sie die Idee, reelle Zahlen nicht einfach nach n

Stellen abzuschneiden, sondern mit geschlossenen Intervallen I = [a, b] (mit a ≤ b) zu rechnen,

in denen die sich gefragten Zahlen befinden. Eine reelle Zahl x ∈ R wird dabei auf n

Nachkommastellen genau in dem Intervall

gespeichert.

I x = def

[

⌊x · 10 n ⌋ · 10 −n , ⌈x · 10 n ⌉ · 10 −n]

Neben Mengenoperationen benötigen Sie auch eine Intervallarithmetik. Als Ansatz wählen Sie

für eine beliebige Operation ◦ : R × R → R die Fortsetzung auf Intervalle I 1 , I 2 ⊆ R mittels

I 1 ◦ I 2 = def { x ◦ y | x ∈ I 1 und y ∈ I 2 }

Beispielsweise ergibt sich somit [a 1 , b 1 ] + [a 2 , b 2 ] = [a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ] für die Addition der beiden

Intervalle I 1 = [a 1 , b 1 ] und I 2 = [a 2 , b 2 ].

(a) (2 Punkte) Drücken Sie das Ergebnis der Multiplikation I 1·I 2 für zwei beliebige Intervalle

I 1 , I 2 ⊆ R wieder als Intervall aus.

(b) (4 Punkte) Bestimmen Sie p(I x , I y ) für p(x, y) = def x 2 − 3xy + 5y 2 , x = 1 √

2

und y = π 10

auf 3 Nachkommastellen genau.

(c) (4 Punkte) Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall I ⊆ R ≥0 mit p(I, I y ) ⊆ I z für

p(x, y) = def x 2 − 3xy + 5y 2 , y = 1 3 und z = 1 6

auf 3 Nachkommastellen genau.

Lösung:

Die gegebene Regel für die Darstellung reeller Zahlen als Intervall ergibt für ganze Zahlen

z ∈ Z das Intervall [z, z]. Im Folgenden wird dies nicht mehr ausgeschrieben, ganze Zahlen

werden jedoch in dieser Form als Intervalle behandelt.

(a) Da die Intervalle zur Darstellung reeller Zahlen auf n Stellen genau dienen soll, wird das

Ergebnis der Multiplikation wieder auf n Stellen genau angegeben.

I 1 · I 2 = [a 1 , b 1 ] · [a 2 , b 2 ]

= def [⌊min({a 1 · a 2 , a 1 · b 2 , a 2 · b 1 , b 2 · b 1 }) · 10 n ⌋ · 10 −n ,

⌈max({a 1 · a 2 , a 1 · b 2 , a 2 · b 1 , b 2 · b 1 }) · 10 n ⌉ · 10 −n ]

Als linke Grenze wird also das minimale und als rechte Grenze das maximale Ergebnis

der Multiplikation der Grenzen der Ausgangsintervalle gewählt.


(b) Es ist

I x =

[⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ] 1

1

√2 · 10 3 · 10 −3 , √2 · 10 3 · 10 −3 =

[⌊√ ⌋ ⌈√ ⌉ ]

2

2

2 · 103 · 10 −3 ,

2 · 103 · 10 −3

= [ 707 · 10 −3 , 708 · 10 −3] = [0,707; 0,708]

[⌊ π

⌈ π

I y =

10 · 103⌋ · 10 −3 ,

10 · 103⌉ · 10 −3] = [ 314 · 10 −3 , 315 · 10 −3] = [0,314; 0,315]

Damit gilt nun (unter Verwendung der gegebenen Additionsregel und der in (a) bestimmten

Multiplikation):

p(I x , I y ) = I 2 x − 3I x I y + 5I 2 y

= [0,707; 0,708] 2 − 3 · [0,707; 0,708][0,314; 0,315] + 5[0,314; 0,315] 2

= [0,499; 0,502] − 3 · [0,221; 0,224] + 5[0,098; 0,100]

= [0,499; 0,502] + [−0,672; −0,663] + [0,490; 0,500]

= [−0,173; −0,161] + [0,490; 0,5]

= [0,317; 0,339]

Durch Rechnung mithilfe von Intervallen statt Abschneiden von Nachkommastellen können

wir nun den sich durch mehrere Rechnungen verstärkenden Rechenfehler abschätzen.

(c) Es ist

[⌊ ⌋ 1

I y =

3 · 103

I z =

⌈ ⌉ 1

· 10 −3 ,

3 · 103

· 10 −3 ]

= [0,333; 0,334]

[⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ] 1 1

6 · 103 · 10 −3 ,

6 · 103 · 10 −3 = [0,166; 0,167]

Definiere außerdem I = def [a, b]. Nun soll gelten p(I, I y ) ⊆ I z , d.h.

I 2 − 3I[0,333; 0,334] + 5[0,333; 0,334] 2 ⊆ [0,166; 0,167]

⇐⇒ [a, b] 2 + [a, b][−1,002; −0,999] + [0,550; 0,560] + [−0,167; −0,166] ⊆ [0; 0]

⇐⇒ [a, b] 2 + [a, b][−1,002; −0,999] + [0,383; 0,394] = [0; 0]

Da die Intervalle Repräsentationen reeller √ Zahlen sind, kann nun die aus der Schule

bekannte p, q-Formel x 1/2 = − p 2 ± p 2

4

− q für quadratische Gleichungen der Form

x 2 + px + q = 0 verwendet werden:

I 1/2 = −[−1,002; −0,999][0,5; 0,5] ± √ [−1,002; −0,999] 2 [0,25; 0,25] − [0,383; 0,394]

= [0,499; 0,501] ± √ [0,998; 1,005][0,25; 0,25] + [−0,394; −0,383]

= [0,499; 0,501] ± √ [0,249; 0,252] + [−0,394; −0,383]

= [0,499; 0,501] ± √ [−0,145; −0,131]

Da nun unter der Wurzel die Repräsentation einer negativen reellen Zahl steht, existiert

kein Intervall I ⊆ R ≥0 mit p(I, I y ) ⊆ I z .

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