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Grundlagen der Elektrotechnik

Teil B

Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker

Skript zur Vorlesung

Stand vom 05.04.2011

Universität Paderborn

Fachgebiet Leistungselektronik und

Elektrische Antriebstechnik


Grundlagen der Elektrotechnik B

II

Vorwort

Dieses Skript fasst die wichtigsten Inhalte der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik, Teil

B stichwortartig zusammen. Dies soll kein umfassendes Lehrbuch sein, sondern als

Orientierung und Gedächtnisstütze dienen. Ich empfehle den Studentinnen und Studenten, auf

eigene Notizen nicht zu verzichten und darüber hinaus neben dem Skript auch andere

Lehrbücher zu benutzen. Es vertieft das Verständnis, einen Sachverhalt von einem anderen

Autor, in einer anderen Sichtweise, auch andere Schreibweisen kennen zu lernen. Selbst das

Entdecken vermeintlicher oder tatsächlicher Widersprüche ist von Wert, wenn man gewillt ist,

sich mit den Inhalten und Zusammenhängen auseinander zu setzen, und nicht nur eine

„Formelsammlung“ erwartet.

Paderborn, im April 2008


Grundlagen der Elektrotechnik B

III

Inhalt

1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen_______________________________ 1

1.1 Zweipole und Zählpfeilsysteme_____________________________________________ 2

1.2 Kirchhoffsche Gesetze ____________________________________________________ 3

1.3 Mehrpole_______________________________________________________________ 5

1.4 Ableitung der Kirchhoffschen Gesetze aus den allgemeinen Feldgleichungen ______ 6

2 Mittelwert und Effektivwert _______________________________________________ 8

3 Elementare Zweipole ___________________________________________________ 11

3.1 Bezeichnungen _________________________________________________________ 11

3.2 Widerstand ____________________________________________________________ 11

3.3 Kondensator ___________________________________________________________ 12

3.4 Drossel oder Spule ______________________________________________________ 16

4 Nichtlineare Elemente __________________________________________________ 20

4.1 Nichtlineare Drossel_____________________________________________________ 20

4.2 Nichtlinearer Kondensator _______________________________________________ 22

5 Leistung, Arbeit, Energie im elektrischen Netzwerk___________________________ 24

5.1 Arbeit und Energie _____________________________________________________ 24

5.2 Energiebilanz im Netzwerk_______________________________________________ 24

6 Elementare Ausgleichsvorgänge __________________________________________ 26

6.1 RC-Glied ______________________________________________________________ 26

6.2 RL-Glied ______________________________________________________________ 29

6.3 Anfangs-Endwert-Darstellung für RC- und RL-Glieder _______________________ 31

7 Schwingkreise_________________________________________________________ 32

7.1 LC-Schwingkreis _______________________________________________________ 32

7.2 RLC-Parallelschwingkreis________________________________________________ 36

7.3 RLC-Reihenschwingkreis ________________________________________________ 42

7.4 Aufschaltung von sprungförmigen Größen auf RLC-Netzwerke ________________ 44

8 Gleichstromsteller______________________________________________________ 48

8.1 Tiefsetzsteller __________________________________________________________ 48

8.1.1 Prinzip _____________________________________________________________________ 48

8.1.2 Mit Glättungskondensator ______________________________________________________ 52

8.1.3 Realisierung_________________________________________________________________ 54

8.2 Hochsetzsteller _________________________________________________________ 56

8.2.1 Prinzip _____________________________________________________________________ 56

8.2.2 Mit Glättungskondensator ______________________________________________________ 57

8.2.3 Realisierung_________________________________________________________________ 58

9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken _____________________________ 60

9.1 Sinusförmige Größen____________________________________________________ 60


Grundlagen der Elektrotechnik B

IV

9.2 Darstellung sinusförmiger Größen mit komplexen Zeigern ____________________ 62

9.3 Sinusförmige Größen an Zweipolen________________________________________ 64

9.4 Impedanz und Admittanz ________________________________________________ 65

9.5 Impedanzen und Admittanzen der elementaren Zweipole _____________________ 68

9.6 Reihenschaltung und Parallelschaltung_____________________________________ 71

9.7 Impedanzen einiger Zweipole _____________________________________________ 74

9.8 Allgemeine Voraussetzungen für die Rechnung mit Impedanzen und Admittanzen 75

10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen ___________ 77

10.1 RC-Parallelschaltung ____________________________________________________ 77

10.2 RL-Reihenschaltung_____________________________________________________ 83

10.3 RL-Parallelschaltung ____________________________________________________ 84

10.4 RC-Reihenschaltung ____________________________________________________ 85

10.5 RLC-Parallelschwingkreis________________________________________________ 86

10.6 RLC-Reihenschwingkreis ________________________________________________ 93

11 Übertragungsfunktionen ________________________________________________ 94

12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen ____________________________________ 99

12.1 Momentan-, Wirk-, Blind- und Scheinleistung _______________________________ 99

12.2 Leistung und Energie___________________________________________________ 104

12.3 Wirk- und Blindstrom __________________________________________________ 106

12.4 Wirk- und Blindspannung ______________________________________________ 107

12.5 Wirk- und Blindleistungsbilanz sowie Gesamtenergie in Netzwerken ___________ 108

12.6 Tabelle für Schein-, Wirk- und Blindleistungen _____________________________ 109

13 Reale Bauelemente (L, C, R) ____________________________________________ 110

13.1 Normreihen___________________________________________________________ 110

13.2 Kennwerte____________________________________________________________ 110

13.3 Bauformen ___________________________________________________________ 112

13.3.1 Widerstände _____________________________________________________________ 112

13.3.2 Kondensatoren ___________________________________________________________ 113

13.3.3 Drosseln ________________________________________________________________ 115

13.4 Reales Verhalten ______________________________________________________ 116

13.5 Verlustwinkel und Verlustfaktor _________________________________________ 118

14 Einfache magnetische Systeme mit Kern und Luftspalt_______________________ 120

14.1 Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises _________________________________ 120

14.2 Induktivität und Energie________________________________________________ 122

14.3 Beziehungen zwischen Scheinleistung, Geometrie und Material________________ 124

14.4 Kraftwirkung _________________________________________________________ 129

14.5 Nichtlineare Magnetisierung_____________________________________________ 131

14.6 Hysterese_____________________________________________________________ 135

15 Transformator _______________________________________________________ 138


Grundlagen der Elektrotechnik B

V

15.1 Aufbau, Schaltzeichen __________________________________________________ 138

15.2 Idealisiertes Verhalten__________________________________________________ 139

15.3 Messwandler und Übertrager____________________________________________ 142

15.3.1 Stromwandler ____________________________________________________________ 142

15.3.2 Spannungswandler ________________________________________________________ 144

15.4 Modellierung von Transformatoren mit Streuung ___________________________ 146

15.5 Berücksichtigung der Verluste ___________________________________________ 151

15.6 Leerlaufverhalten______________________________________________________ 152

15.7 Kurzschluss und Verhalten bei Belastung__________________________________ 153

15.8 Zusammenhang zwischen Geometrie und Scheinleistung _____________________ 155

16 Gleichstrommotor_____________________________________________________ 156

16.1 Wirkprinzip __________________________________________________________ 156

16.2 Aufbau_______________________________________________________________ 158

16.3 Kommutator und Ankerwicklungsschemata________________________________ 159

16.4 Mathematische Modellierung ____________________________________________ 160

16.5 Elektrische und mechanische Leistung, Wirkungsgrad_______________________ 163

16.6 Schaltungsarten, Klemmenbezeichnungen und Schaltzeichen _________________ 165

16.7 Fremderregter und permanent erregter Motor _____________________________ 166

16.8 Betrieb mit Vorwiderständen ____________________________________________ 171

16.9 Speisung durch einen Tiefsetzsteller ______________________________________ 172

16.10 Nebenschlussmotor ____________________________________________________ 173

16.11 Reihenschlussmotor ____________________________________________________ 174

17 Linearmotor _________________________________________________________ 178

17.1 Grundprinzip, einphasiger Linearmotor___________________________________ 178

17.2 Zweiphasiger Linearmotor ______________________________________________ 180

17.3 Drehstrom-Linearmotor ________________________________________________ 183

18 Drehstrom ___________________________________________________________ 186

A

B

C

18.1 Energieübertragung____________________________________________________ 186

18.2 Komplexe Zeiger der Sternschaltung______________________________________ 190

18.3 Komplexe Zeiger der Dreieckschaltung____________________________________ 193

18.4 Umrechnung zwischen Stern- und Dreieckschaltung_________________________ 194

Griechische Buchstaben__________________________________________________ i

Literatur ______________________________________________________________ii

Kleines deutsch-englisches Glossar einiger wichtigen Begriffe__________________ iv


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 1

1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen

Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen bestehen aus elektrischen Zwei- oder

Mehrpolen, die durch ideal leitende Verbindungen miteinander verknüpft sind. Ein

elektrisches Netzwerk ist eine Abstraktion, durch die vielfältige elektrotechnische

Anordnungen und Systeme ganz unterschiedlicher Größenordungen dargestellt werden

können. Z.B.:

Elektrische Energieverteilungsnetze (geometrische Ausdehnung: km bis zu einigen

1000 km)

• Elektronische Schaltungen (geometrische Ausdehnung: einige µm (IC) bis zu einigen

cm)

Ein elektrisches Netzwerk besteht aus zwei unterschiedlichen Arten von Strukturelementen:

• Zwei- oder Mehrpole: Elemente mit zwei oder mehreren elektrischen Anschlüssen,

den Polen oder den Klemmen.

• Ideal leitende Verbindungen, die die Anschlüsse der Zwei- oder Mehrpole miteinander

verbinden.

Zwei- oder Mehrpole können ganz unterschiedlicher Art und auch gänzlich unterschiedlicher

Komplexität in ihrem Innern sein. Beispiele:

Zweipole:

• Widerstand

• Kondensator

• Drossel

• Haartrockner (schutzisoliert, ohne Schutzleiter)

• Batterie

Dreipole:

• Transistor

• Spartransformator

• Kühlschrank (mit Schutzleiter)

Vierpole:

• Doppelleitung (zwei Enden mit je zwei Anschlüssen)

• Transformator mit zwei Wicklungen

Fünfpol:

Elektrischer Herd (Drehstromanschluss mit Neutral- und Schutzleiter)


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 2

Beispiel eines Netzwerks mit Zweipolen und Dreipol:

Wir verwenden den Begriff elektrisches Netzwerk in zwei etwas unterschiedlichen

Zusammenhängen:

1. Das Netzwerk als Schaltplan oder Schaltbild: Das Netzwerk gibt an, wie eine reale

Schaltung aufgebaut ist, welche Komponenten es beinhaltet und wie diese

Komponenten untereinander verbunden sind.

2. Das Netzwerk gibt an, wie sich ein System bezüglich äußerer Einflussgrößen verhält,

ohne dass es tatsächlich im Innern so beschaffen wäre, wie es das Netzwerk

beschreibt. Derartige Netzwerke bezeichnen wir als Modelle oder Ersatzschaltbilder.

Beispiele: Ersatzschaltbilder eines Transistor, eines Motors, eines Transformators,

einer Batterie oder einer langen elektrischen Leitung.

1.1 Zweipole und Zählpfeilsysteme

Die Wahl der Zählrichtungen von Strom und Spannung ist frei. Bei der Berechnung

elektrischer Netzwerke wird häufig versucht, die Zählrichtungen so einzuführen, dass die

Ströme und Spannungen positiv sind. Das ist für von vornherein bekannte Größen durchaus

sinnvoll. Für unbekannte Größen sollte die Zählrichtung zwanglos festgelegt werden. Es wird

dadurch nicht ausgedrückt, dass der Strom tatsächlich in der Pfeilrichtung fließt bzw. eine

positive Spannung in Pfeilrichtung anliegt. Die tatsächliche Richtung wird dann durch das

Vorzeichen der Spannung ausgedrückt.

Für eine vorzeichengerechte Beschreibung von Strömen und Spannungen ist also eine

Bemaßung mit Zählpfeilen zwingend notwendig.

Für Zweipole gibt es zwei wichtige Konventionen der Zählrichtungen:

• Verbraucher-Zählpfeil-System (Strom und Spannung werden gleichsinnig gezählt)

i

i

u

Zweipol

Zweipol

u

i

i


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 3

• Erzeuger-Zählpfeil-System (Strom und Spannung werden gegensinnig gezählt)

i

i

u

Zweipol

Zweipol

u

i

i

Leistung am Zweipol:

p ( t)

= u(

t)

i(

t)

• Verbraucher-Zählpfeil-System: Die Leistung p ( t)

= u(

t)

i(

t)

wird vom Zweipol

aufgenommen

• Erzeuger-Zählpfeil-System: Die Leistung p ( t)

= u(

t)

i(

t)

wird vom Zweipol

abgegeben

Sprechweise:

• Ein Strom fließt durch einen Anschluss, einen Pol, einen Leiter

• Eine Spannung liegt an zwischen zwei Anschlüssen, zwei Polen, zwei Punkten

1.2 Kirchhoffsche Gesetze

Erstes Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe* aller Ströme über eine beliebig gewählte

geschlossene Hülle ist stets Null:

∑ ik

( t)

= 0

k

* Die Summe wird vorzeichengerecht entsprechend der gewählten Zählpfeilrichtungen

gebildet.

Als wichtiger Spezialfall ergibt sich aus dem ersten Gesetz die Knotenregel: Die Summe aller

Ströme an einem Knoten ist stets Null. Die oben formulierte erweiterte Form ist jedoch recht

nützlich:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 4

i i

1

2

i + i i i

1 2


3


4

=

0

i3

4

i 2

i 4

i

i

i1

3

i + i i i

1 2


3


4

=

0

i 1

i 2

i 3

Dreipol

i + i i

1 2

+

3

=

0

Zweites Kirchhoffsches Gesetz („Maschenregel“): Die Summe* aller Spannungen entlang

eines beliebig gewählten geschlossenen Umlaufs (Masche) ist stets Null:

∑ uk

( t)

= 0

k

* Die Summe wird vorzeichengerecht entsprechend der gewählten Zählpfeilrichtungen

gebildet.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 5

1.3 Mehrpole

i 1

u 1 n

u 12

i 2

u 2 n

u 23

i 3

n-Pol

u 3 n

i n

Wegen des 1. Kirchhoffschen Gesetzes in seiner allgemeinen Form muss bei Mehrpolen

gelten.

Leistung am Mehrpol:

n


k = 1

p(

t)

= ∑ − i

=

i k

( t)

= 0

n 1

k

k 1

( t)

u

kn

( t)


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 6

1.4 Ableitung der Kirchhoffschen Gesetze aus den allgemeinen

Feldgleichungen

1. Kirchhoffsches Gesetz

Erhaltungssatz bzw. Bilanzgleichung der elektrischen Ladung (Kontinuitätsgesetz):

Beteiligte Größen sind:


∂ V

j ⋅dA

= −

i = q&

d

d


t V

ρ dV

• Vektor der Stromdichte: j

• Ladungsdichte: ρ

• i = − ∫ j ⋅dA

ist der Gesamtstrom durch die Hülle des Volumens V , wobei dieser in

∂V

das Volumen hinein positiv gezählt wird


• q = ρ dV

ist die gesamte elektrische Ladung im Volumen V

V

Hieraus folgt das erste Kirchhoffsche Gesetz, sofern sich die Ladung q im Volumen V nicht

ändert, also q& = 0 :

i = ∑ i k

( t)

= 0

Achtung: Beim Kondensator ändern sich zwar die Ladungen auf den Elektroden, die

Gesamtladung bleibt jedoch immer Null!

k

Das erste Kirchhoffsche Gesetz darf also nicht auf Systeme angewendet werden, bei denen

die Voraussetzung q& = 0 nicht zutrifft, z. B. bei

• Vorgängen mit Wellenausbreitung (sowohl leitungsgeführt als auch gestrahlt)

• Anordnungen, die sich elektrostatisch aufladen können, wo also neben elektrischen

Strömen auch dielektrische Verschiebungsströme auftreten

2. Kirchhoffsches Gesetz

Das Faradaysche Induktionsgesetz lautet in integraler Form

Beteiligte Größen sind:



∂A

d

E ⋅ds

=

dt


A

B ⋅dA


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 7

• Vektor der elektrischen Feldstärke: E

• Vektor der magnetischen Flussdichte oder der magnetische Induktion: B

• u ist die Klemmenspannung der Spule, sie ist gleich dem negativen Wegintegral der

elektrischen Feldstärke entlang des Randes der Fläche A :

u = − E ⋅ ds


∂A

Erläuterung: Wird der Leiter als ideal angenommen, ist die elektrische Feldstärke im

Leiter Null, das Wegintegral im Leiter liefert keinen Beitrag. Es wird jedoch häufig

übersehen, dass der Weg wirklich über die Anschlussklemmen der Spule hinweg zu

schließen ist. Nur dort liefert das Wegintegral genau die Klemmenspannung, bei den

Zählrichtungen, die im nachfolgenden Bild erläutert sind, aber negativ, so dass das

negative Vorzeichen im Induktionsgesetz genau kompensiert wird.

• gesamter magnetischer Fluss durch die Fläche A : φ = ∫ B ⋅dA

:

A

Demnach resultiert:

u = φ &

Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ist also gleich der äußeren Spannung.

A

φ

E ≠ 0

i

u

ds

∂A

Zur Definition der Zählrichtungen beim Induktionsgesetz

Merkregel: Bei Verwendung des Verbraucherzählpfeilsystems für die Klemmen und einer

Orientierung von magnetischen Fluss und elektrischem Strom nach der rechten-Hand-Regel

gilt das Induktionsgesetz mit u = + φ & mit positivem Vorzeichen.

Nur wenn der magnetische Fluss φ durch eine Masche eines Netzwerkes Null ist oder

zumindest sich nicht ändert, folgt das zweite Kirchhoffsche Gesetz

u = ∑ u k ( t)

= 0

k

Trifft diese Voraussetzung nicht zu, gilt das zweite Kirchhoffsche Gesetz nicht. Beispiele:

Elektrische Schaltungen, bei denen magnetische Streuflüsse, z.B. eines

Transformators, die Netzwerkmaschen durchdringen, so dass eine „Brummspannung“

induziert wird.

• Vorgänge mit Wellenausbreitung


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 8

2 Mittelwert und Effektivwert

Arithmetisches Mittel einer zeitlich veränderlichen Größe (t)

1

x 1

=


∫ x(

t)

dt

t t

. 1

1

t

0 t

0

t :

x im Intervall [ ]

Die Mittelwertbildung lässt sich auf beliebige zeitlich veränderliche Größen anwenden.

Häufig handelt es sich aber um periodische Größen: Für eine periodische Größe x(t)

gilt

x( t)

= x(

t − T )

T heißt Periodendauer. Der Mittelwert über eine Periode ist unabhängig von der Wahl des

Anfangszeitpunktes:

Gleichrichtwert:

t

beliebig, z.B. t0

t t + T

0 =

1 = 0

0

0 ,t 1

Quadratisches Mittel oder Effektivwert:

1

x =

T

___

T


0

x(

t)

dt

.

X

=

1

T

T


0

2

x ( t)

dt

. 2

Scheitelwert:


= max

0≤t≤T

x(

t)

Scheitelfaktor (crest factor):

k s

=


X

1 Ebenfalls übliche Bezeichnung x AV = x (AV, Average).

2 Ebenfalls übliche Bezeichnungen: x = x X (RMS, Root Mean Square)

eff RMS =


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 9

Formfaktor (Effektivwert bezogen auf Gleichrichtwert):

k f

=

X

___

x

Mittelwerte verschiedener Signalformen

x(t)

x

___

x X k

s

k

f


( 2 t T )

x ( t)

= xˆ sin π /

T

t

2

0 xˆ

π

1

2


2

2

π

2


( 2 t T )

x ( t)

= xˆ

sin π /

T

t

2


π

2


π

1

2


2

2

π

2



τ

T

T

t

t

1

2


τ

x

T ˆ

1

2


τ

x

T ˆ

1


3

τ

x

T ˆ

3

T

τ

2

3

T

τ

Häufig interessieren Leistungsmittelwerte (arithmetisches Mittel!)

P =

1

p =

T

T


0

p(

t)

dt

Mittel der Leistung an einem ohmschen Widerstand:

Oder:

1

P =

T

T

1

T

T

1

T

2

∫ p(

t)

dt = ∫ u(

t)

i(

t)

dt = ∫ Ri ( t)

dt =

0

0

T

0

RI

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 10

1

P =

T

T

1

T

T

1

T

2

∫ p(

t)

dt = ∫ u(

t)

i(

t)

dt = ∫ u ( t)

dt =

0

0

T

0

1

R

1

U

R

Der Effektivwert eines Strom bzw. einer Spannung erzeugt in einem ohmschen Widerstand

die gleiche Leistung wie ein entsprechender Gleichstrom bzw. eine entsprechende

Gleichspannung!

Messgeräte, die Effektivwerte anzeigen, messen meist über Gleichrichtung und arithmetischer

Mittelung gar nicht den Effektivwert, sondern nur den Gleichrichtwert. Dieser wird über den

Formfaktor in den Effektivwert umgerechnet, wobei angenommen wird, dass sinusförmige

Größen vorliegen. Die Effektivwertmessung nicht-sinusförmiger Größen führt dann

regelmäßig zu falschen Ergebnissen, wenn das Messergebnis nicht mit den entsprechenden

Formfaktoren umgerechnet wird. Messgeräte, die tatsächlich Effektivwerte für beliebige

Kurvenformen direkt messen (true RMS), sind aufwändig und teuer.

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 11

3 Elementare Zweipole

3.1 Bezeichnungen

Im Gegensatz zu Gleichstrom-Gleichspannungs-Kreisen werden Ströme, Spannungen,

Leistungen als zeitlich veränderliche Größen aufgefasst. Für zeitlich veränderliche Größen

werden Kleinbuchstaben verwendet:

3.2 Widerstand

i = i(

t)

u = u(

t)

p(

t)

= u(

t)

i(

t)

Für den Widerstand gilt das ohmsche Gesetz auch für zeitlich veränderliche Vorgänge:

bzw.

mit dem Leitwert

u ( t)

= Ri(

t)

i ( t)

= Gu(

t)

G =

1

R

Achtung: Es wird das Verbraucher-Zählpfeil-System vorausgesetzt.

Der bauteilspezifische Zusammenhang zwischen Strom und Spannung, also das ohmsche

Gesetz beim Widerstand, wird als konstitutive Gleichung bezeichnet.

Das ohmsche Gesetz beschreibt ein idealisiertes Verhalten eines Widerstands. Reale

Widerstände (z.B. gewickelte Drahtwiderstande) zeigen darüber hinaus ein nennenswertes

induktives, sogar ein kapazitives Verhalten.

Leistung und Arbeit

2 1 2

p ( t)

= Ri ( t)

= u ( t)

= Gu

R

t1

t1

t1

2

[ 0,

t1] = ∫ p(

t)

dt = ∫ Ri ( t)

dt = ∫

w t

t0

t0

t0

2

( t)

1

u

R

2

( t)

dt

Die Größe w[ ] ist die während des Zeitintervalls [ t ]

t 0 ,t 1

Diese wird vollständig in eine Wärmemenge


umgesetzt:

0 ,t 1

geleistete elektrische Arbeit.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 12

Q θ

= w t

t1

t1

t1

2

[ 0,

t1] = ∫ p(

t)

dt = ∫ Ri ( t)

dt = ∫

t0

t0

t0

1

u

R

2

( t)

dt

Die geleistete Arbeit wird nicht als Energie bezeichnet. Der Unterschied zwischen den

Begriffen Arbeit und Energie wird bei der Betrachtung von Kondensator und Spule deutlich.

3.3 Kondensator

Schaltsymbol:

i(t)

u(t)

C

Der Kondensator speichert eine elektrische Ladung q , wobei sich auf den beiden Elektroden

jeweils Ladungen mit gegensätzlichen Vorzeichen 3 befinden (die Ladung auf der oberen

Elektrode werde positiv gezählt). Aufgrund der Bilanzgleichung der elektrischen Ladung (vgl.

Abschnitt 1.4) muss bei Annahme obiger Zählrichtungen gelten:

dq(

t)

dt

= i(

t)

Die Ladung q ist aber proportional zur elektrischen Spannung:

q ( t)

= Cu(

t)

.

Die Proportionalitätskonstante C heißt Kapazität. Maßeinheit der Kapazität ist das Farad (F):

As

[ C]

= 1F = 1

V

Eliminiert man die elektrische Ladung aus diesen beiden Gleichungen, erhält man als

Beziehung zwischen Spannung und Strom eine Differenzialgleichung 1. Ordnung

oder kurz

du(

t)

C = i(

t)

,

dt

C u&

( t)

= i(

t)

3 Die Summe der Ladungen beider Elektroden ist folglich immer Null, weshalb das 1. Kirchhoffsche Gesetz

auch auf Schaltungen mit Kondensatoren angewendet werden kann.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 13

Diese Gleichung beschreibt das idealisierte Verhalten eines Kondensators. Die beschreibende

Differenzialgleichung ist die konstitutive Gleichung des Kondensators (man beachte, dass das

Verbraucherzählpfeilsystem vorausgesetzt wurde, andernfalls erhielte man ein anderes

Vorzeichen).

Kapazität eines Plattenkondensators

Die Kapazität eines Kondensators, bei dem der Plattenabstand d klein gegenüber der

Ausdehnung der Platten (oder Folien) mit der Fläche A ist, bestimmt sich zu

wobei

ε0

= 8,854 ⋅10

Herleitung).

r

ε r A

C 0 ε

= ,

d

ε die relative Permittivität (die Dielektrizitätszahl) des Dielektrikums und

−12

F/m

die Permittivität (Dielektrizitätskonstante) des Vakuums ist (ohne

Leistung, Energie

du(

t)

p(

t)

= u(

t)

i(

t)

= Cu(

t)

dt

1

= C

2

d

dt

2 dwC

( t)

( u ( t)

) = = w&

( t)

dt

C

mit

1

w ( ) Cu 2 C t = ( t)

2

Diese Größe ist die innere Energie des Kondensators. Die Energie eines Systems ist

typischerweise nur vom momentanen Zustand abhängig, hier also von u (t)

, nicht aber von

der Vorgeschichte. Die über einem Zeitintervall geleistete äußere Arbeit w [ t 0 ,t 1]

lässt sich

wie folgt integrieren:

w

t1

t1

1 2 2

[ t t ] p(

t)

dt = w&

( t)

dt = w ( t ) − w ( t ) = C( u ( t ) − u ( t ))

= ∫ ∫

0, 1

C

C 1 C 0

1 0

2

t0

t0

w

[ t t ] = w ( t ) − w ( )

0, 1 C 1 C t0

Die geleistete Arbeit ist also die Differenz der Energien zwischen End- und Anfangszustand.

Dies macht den Unterschied zum Widerstand deutlich: Der Kondensator speichert die an ihm

geleistete äußere Arbeit als Energie und kann diese bei Entladung auch wieder abgeben.

Im Prinzip ist die Energie w C (t)

nur bis auf eine Integrationskonstante eindeutig bestimmbar.

Da aber stets Differenzen von Energien auftreten, kann diese Integrationskonstante ohne

Einschränkung der Allgemeinheit (wie oben geschehen) zu Null gewählt werden.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 14

Dynamisches Verhalten

Wird beim Kondensator die Spannung vorgegeben, folgt eindeutig der Strom:

Beispiel: Sinusförmige Größen:

i ( t)

= Cu&

( t)

( ωt

−α

) ⇒ i(

t)

= ωCuˆ cos( ωt

−α

) = iˆ

cos( ω −α

)

u(

t)

= uˆ sin

t

Die Amplituden von Spannung und Strom stehen bei einer solchen sinusförmigen Speisung

also im Zusammenhang


= ωCuˆ

,

wobei die Schwingung des Stroms der Spannungsschwingung vorauseilt.

Wird dagegen beim Kondensator der Strom vorgegeben, kann die Spannung nur bis auf den

Anfangswert der Spannung (mathematisch: die Integrationskonstante) bestimmt werden. Der

Anfangswert muss also auf anderem Wege gegeben oder bestimmt werden:

u t)

= u

(

0

1

+

C

t


t0

i(

τ ) dτ

Merke: Die Spannung am Kondensator kann sich nicht sprungförmig ändern.

u(t)

i (t)

i(t)


= ωCuˆ

û

i

C

u(t)

t

T

= 2π /ω

t

Beispiele für zeitliche Verläufe von Strom und Spannung am Kondensator

Parallelschaltung

C u&

( t)

= i ( t)

1

2

1

C u&

( t)

= i

2

( t)


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 15


( C1

+ C2

) u&

( t)

= i1

( t)

+ i2

( t)

Cu&

( t)

= i(

t)

mit der resultierenden Ersatzkapazität der Parallelschaltung:

Reihenschaltung

C = C 1

+ C 2

C u&

( t)

= i(

t)

1

1

C2u&

2

( t)

= i(

t)


1

u&

1(

t)

= i(

t)

C

u&

2

1

1

( t)

= i(

t)

C

⎛ 1 1

u&

1(

t)

+ u&

2 ( t)

=

⎜ +

⎝ C1

C2

Cu&

( t)

= i(

t)

mit der resultierenden Ersatzkapazität der Reihenschaltung:

2


⎟i(

t)


C =

1

C

1

1

1

+

C

2

C1C2

=

C + C

1

2

Merke: Kapazitäten verhalten sich in Reihen- und Parallelschaltung ähnlich wie Leitwerte.

i(t)

i(t)

( )

1 t

i 1

( t)

i 2

( t)

u(t)

C 1

u(t)

C 1

C 2

u

)

u 2

( t

C 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 16

3.4 Drossel oder Spule

Schaltsymbole:

i(t)

i(t)

u(t)

L

u(t)

L

nach neuer

Norm

alt, nicht mehr

verwenden

Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz (vgl. Abschnitt 1.4). Es soll aber berücksichtigt

werden, dass Spulen in der Regel nicht nur aus einer einzigen, sondern mehreren Windungen

bestehen. In diesem Fall ergibt sich der magnetische Verkettungsfluss ψ als Integration über

eine entsprechend vielschichtige Fläche. Unter der vereinfachenden Annahme, dass jede

Windung vom gleichen magnetischen Fluss durchsetzt wird, gilt

ψ = Nφ ,

wobei N die Windungszahl der Spule ist. Das Induktionsgesetz hat wieder die gleiche Form,

lediglich tritt statt des (einfachen) Flusses φ der mehrfach verkettete Fluss auf:


( t)

= u(

t)

.

dt

Das Induktionsgesetz gilt in immer gleicher Form unabhängig davon, wie das Magnetfeld

zustande kommt. Es kann durch irgendwelche äußeren Erregungen (Gegeninduktion, EMK)

oder aber durch den Strom i der Spule selbst erzeugt werden (Selbstinduktion). Wir gehen

hier von letzterem aus. In diesem Fall kann der magnetische Verkettungsfluss ψ bei

Bauelementen mit linearen Materialen als proportional zum Strom i angenommen werden.

Die Proportionalitätskonstante wird als Induktivität L bezeichnet:

ψ =

Die Maßeinheit der Induktivität ist das Henry (H):

Li

Vs

[ L]

= 1H = 1

A

Die Beziehung zwischen Strom und Spannung lässt sich dann in der Form

bzw.

di(

t)

L = u(

t)

dt


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 17

L i&

( t)

= u(

t)

schreiben. Dies ist die konstitutive Gleichung der Spule (auch hier gilt das Verbraucherzählpfeilsystem).

Dieses idealisierte Verhalten berücksichtigt nicht den Innenwiderstand und

mögliche kapazitive Effekte realer Bauelemente.

Induktivität einer langen Zylinderspule

Eine Zylinderspule mit N Windungen und Querschnittsfläche A , bei der die Länge l sehr

groß gegenüber dem Durchmesser ist, besitzt die Induktivität

wobei

r

2

µ r AN

L 0 µ

= ,

l

µ die relative Permeabilität bzw. die Permeabilitätszahl des Kernmaterials und

−7

µ 0 = 4π

10 H/m die Permeabilität des Vakuums 4 ist. Das gleiche Ergebnis gilt auch für

torusförmige Spulen (Ringkernspulen), sofern die Abmessungen des Torusquerschnitts klein

gegenüber dem Torusdurchmesser sind. Man vergleiche die Formel für die Kapazität des

Plattenkondensators! (ohne Herleitung)

Leistung, Energie

di(

t)

p(

t)

= u(

t)

i(

t)

= Li(

t)

dt

=

1

2

d

L

dt

2 dwL

( t)

( i ( t)

) = = w&

( t)

dt

L

Innere Energie der Drossel (vgl. Kondensator):

Dynamisches Verhalten

1

w ( ) Li 2 L

t = ( t)

2

Wird der Strom der Drossel vorgegeben, folgt daraus eindeutig die Spannung:

Beispiel: Sinusförmige Größen:

u ( t)

= Li&

( t)

( ωt

−α

) ⇒ u(

t)

= ωLiˆ

cos( ω −α

)

i(

t)

= iˆsin

t

4 Die Permeabilität des Vakuums, die auch als magnetische Feldkonstante bezeichnet wird, ist tatsächlich auf

diesen „glatten“ Wert festgelegt. Auf diese Weise wird im SI-System die Maßeinheit des elektrischen Stroms

definiert: 1 A ist definiert als derjenige Strom, der jeweils zwei sehr lange, hinreichend dünne, im Abstand von

1 m angeordnete Leiter durchfließt, wenn diese je 1 m Leiterlänge eine Kraft von 2·10 -7 N aufeinander ausüben.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 18

Spannungs- und Stromamplituden stehen bei einer solchen sinusförmigen Speisung im

Zusammenhang


= ωLiˆ

Die Spannungsschwingung eilt dabei dem Strom voraus.

Wird dagegen die Spannung vorgegeben, ist der Anfangswert des Stroms unbestimmt:

i t)

= i

(

0

1

+

L

t


t0

u(

τ ) dτ

Merke: Der Strom in einer Drossel kann sich nicht sprungförmig verändern.

i(t)

u (t)

u(t)


= ωLiˆ

î

u

L

i(t)

t

T

= 2π /ω

t

Beispiele für zeitliche Verläufe von Strom und Spannung an der Drossel

Reihenschaltung

L1i&

( t)

= u1(

t)

L2i&

( t)

= u2

( t)


+ L2

) i&

( t)

= u1(

t)

+ u

Li&

( t)

= u(

t)

( L1

2

( t)

mit der resultierenden Ersatzinduktivität der Reihenschaltung:

Parallelschaltung

L = L 1

+ L 2

L1i&

1(

t)

= u(

t)

L i&

( t)

= u(

t)

2 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 19

i&

( t)

+ i&

1

i&

( t)

=

2

2

1


i&

( t)

=

1

u(

t)

L

1

1

u(

t)

L

2

⎛ 1 1

( t)

=

⎜ +

⎝ L1

L

Li&

( t)

= u(

t)

2


⎟u(

t)


mit der resultierenden Ersatzinduktivität der Parallelschaltung:

L =

1

L

1

1

1

+

L

2

=

L1

L2

L + L

1

2

Merke: Induktivitäten verhalten sich in Reihen-

Widerstände.

und Parallelschaltung ähnlich wie

i(t)

i(t)

u ( t 1

)

L i ( t 1

)

1

u(t)

L1

u ) L 2

2(

t

i(t)

i t 2

L2

( )


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 20

4 Nichtlineare Elemente

4.1 Nichtlineare Drossel

Insbesondere Spulen mit ferromagnetischen Kernen zeigen Sättigungsverhalten. Magnetischer

Fluss und elektrischer Strom sind dann nicht mehr proportional. Das Induktionsgesetz ist aber

ein physikalisches Grundgesetz, dieses gilt weiterhin:

u( t)

= ψ& ( t)

Statt des nun nicht mehr gültigen linearen Zusammenhangs zwischen ψ und i wird nun

angenommen, dass es eine wie auch immer geartete nichtlineare Kennlinie der Art

ψ =ψ (i)

gebe. Diese wird Magnetisierungskennlinie genannt.

ψ

L d (i)

L(i)

i

Magnetisierungskennlinie

Durch Einsetzen und Anwendung der Kettenregel ergibt sich eine neue Differenzialgleichung

als konstitutive Gleichung:


u( t)

= ψ& ( t)

= i&

( t)

= Ld

( i)

i&

( t)

di

Die Gleichung gleicht formell jener bei linearen Verhältnissen. Hierbei ist aber die

sogenannte differenzielle Induktivität


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 21

L d

( i)

=


di

maßgeblich. Es lässt sich zwar auch eine Induktivität als stromabhängiges Verhältnis von

Fluss und Strom definieren,

ψ

L( i)

= ,

i

diese hat aber für das dynamische Verhalten keine Bedeutung.

Leistung und Energie

w ( t ) − w ( t

L

1

L

0

p( t)

= u(

t)

i(

t)

= ψ& ( t)

i(

t)

) =

t1

t1

∫ p(

t)

dt = ∫ i(

t)

dt =

t0

t0


( t)

dt

ψ ( t1

)


ψ ( t0

)

i dψ

Auch im nichtlinearen Fall lässt sich also die äußere Arbeit zu einer inneren magnetischen

Energie wL

integrieren. Die geometrische Interpretation der magnetischen Energie als

Flächeninhalt der Magnetisierungkennline ist in folgendem Diagramm dargestellt (vgl. die

Formel für die magnetische Energie für die lineare Drossel, diese Energie entspräche einer

Dreiecksfläche):

ψ

w L

i

Magnetische Energie in einer nichtlinearen Drossel


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 22

4.2 Nichtlinearer Kondensator

Ausgangspunkt ist wieder die Ladungsbilanz

i ( t)

= q&

( t)

,

die als physikalisches Grundgesetz auch im nichtlinearen Fall gelten muss. Es werde nun

angenommen, es gäbe einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Ladung q und Spannung

u :

Einsetzen und Kettenregel liefert:

mit der differenzielle Kapazität

Kapazitat, jetzt spannungsabhängig:

Leistung und Energie

w ( t ) − w

C

1

q = q(u)

dq

i( t)

= q& ( t)

= u&

( t)

= Cd ( u)

u&

( t)

du

C

( t

C d ( u)

=

C ( u)

=

dq

du

q

u

p ( t)

= u(

t)

i(

t)

= u(

t)

q&

( t)

0

) =

t1

t1

∫ p(

t)

dt = ∫ u(

t)

dt =

t0

t0

dq(

t)

dt

q(

t1

)


q(

t0

)

u dq


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 23

q

w C

u

Geometrische Interpretation der Energie eines nichtlinearen Kondensators


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 24

5 Leistung, Arbeit, Energie im elektrischen Netzwerk

5.1 Arbeit und Energie

Das Integral der elektrischen Leistung an einem Zwei- oder Mehrpol über der Zeit

t1

0

[ , t 1 ] = ∫

w t

t0

p(

t)

dt

ist die geleistete (elektrische) Arbeit. Vereinfacht gesprochen, bezeichnen wir diese Arbeit nur

dann als Energie dieses Elements, wenn diese als Speichergröße identifiziert werden kann

(insbesondere kann diese dann auch wieder abgegeben werden). Mathematisch genauer

formuliert sprechen wir von Energie, wenn das obige Leistungsintegral so integriert werden

kann, dass das Ergebnis nur eine Funktion der Zustandsgrößen 5 x(t)

zum End- bzw.

Anfangszeitpunkt ist:

w

[ t t ] = w(

t ) − w(

t ) = w(

x(

t )) − w(

x(

))

0, 1 1 0

1 t0

Diese Funktion w( x(

t))

heißt dann innere Energie. Wie schon nachgewiesen, existieren für

Kondensator und Spule derartige Energien, die für lineare Fälle

und

1

w ( ) Li 2 L t = ( t)

2

1

w ( ) Cu 2 C t = ( t)

2

lauten. Für den Widerstand findet man eine solche innere Energie nicht.

5.2 Energiebilanz im Netzwerk

Die Leistung an einem Element k in einem elektrischen Netzwerk sei p k (t)

, die dem

Netzwerk über äußere Klemmen zugeführte Leistung sei p e (t)

. Die Leistungsbilanz im

Netzwerk lautet damit

p ( t)

=

e

N


k = 1

p ( t)

k

5 Zustandsgrößen nennt man einen Satz von Variablen, deren Kenntnis ausreicht, um den Zustand eines Systems

vollständig zu beschreiben.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 25

Sind einige der Elemente Energiespeicher (Kondensatoren oder Spulen oder andere Elemente,

die dem Kriterium nach Abschnitt 5.1 genügen), lässt sich eine Gesamtenergie des Netzwerks

definieren

Damit:

wobei


w ( t ) = w k ( t ) ,

k∈Speicher

p ( t)

= w& ( t)

p ( t)

,

e +

p ( t)

=

i


i

k

k∉Speicher

p ( t)

die innere Leistung ist. Diese setzt sich aus Verlusten z. B. der Widerstände zusammen.

Spezialfälle dieser Leistungs- oder Energiebilanz:

• Netzwerk enthalte keine Elemente, die Leistung vernichten oder erzeugen, z. B. ein

Netzwerk nur aus Spulen und Kondensatoren

p e

( t)

= w&

( t)

• dto., darüber hinaus werde keine äußere Leistung zugeführt. Dann folgt eine

Energieerhaltung:

w& ( t)

= 0 bzw. w ( t)

= const.

• Netzwerk enthalte gar keine Speicher: Die von außen zugeführte Leistung wird dann

momentan auf die Netzwerkelemente verteilt:

p e(

t)

= pi

( t)

= ∑ pk

( t)

k


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 26

6 Elementare Ausgleichsvorgänge

6.1 RC-Glied

S

i(t)

u R

(t)

U

0

R

C

u C

(t)

RC-Glied mit Schalter an Spannungsquelle

Wenn Schalter S geschlossen, gilt die Maschengleichung:

Auflösen und Einsetzen:

i(

t)

=

Cu&

U0 = uR ( t)

+ uC

( t)

u

1

u

R

C

RCu&

R

Cu&

R

( t)

= i(

t)

R

C

( t)

=

( t)

= i(

t)

( t)

=

1

R

1

R

( U − u ( t)

)

( U − u ( t)

)

0

0

C

( t)

+ u ( t)

U

C C =

Inhomogene, lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung!

Lösungsweg: Irgendeine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

(partikuläre Lösung) + allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung:

Eine Lösung der inhomogenen Dgl. erraten, z.B.:

Lösung der homogenen Dgl.

durch Exponentialansatz:

u Ci ( t)

= U0 = const.

& C

RCu

( t)

+ u ( t)

= 0

C

0

C


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 27

u

Ch

( t)

u

= Ch0

e

t


τ

1

− RC u

τ

τ heißt Zeitkonstante des RC-Gliedes.

Allgemeine Lösung lautet also

u

C

C0

( t)

= u

t


e τ + u e τ = 0


τ = RC

= u

Ch

Ch0

C0

( t)

+ u

e

t

− τ

Ci

t


+ U

( t)

0

Die Konstante uCh0

ist hier noch unbekannt.

Anpassen der Lösung an die Anfangsbedingung: Schalter schalte bei t = 0,

des Kondensators sei

Anfangsspannung

u =

C ( 0) uC0

Also:

u

C 0 = uCh

0) + uCi(0)

= uCh0

+

u

( U

Ch0 = uC0

−U0

Damit findet man als endgültige Lösung für die Kondensatorspannung:

Der stationäre Endwert ist

u

C

( u −U

)

t


( t)

=

τ

C0

0 e + U

t

− ⎛

= u

τ + ⎜

C0e

U0

1 − e



u

( ∞)

= lim u ( t)

U

C C =

t→∞

Aus der Spannung lässt sich nun auch der Strom berechnen:

0

t


τ

0





0


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 28

i( t)

= Cu&

C

C

= −

τ

1

=

R

( t)

( u −U

)

C0

t


( U − u ) e

τ

0

C0

0

e

t


τ

U 0

τ

u C

(t)

t

u C0

i(t)

τ

Ausgleichsvorgang beim RC-Glied

t

Speziell bei entladenem Kondensator als Anfangszustand:


u ⎜

C

( t)

U

0

1 − e


i(

t)

=

− τ

t

U

= 0

R

e

t


τ




Grundlagen der Elektrotechnik B S. 29

6.2 RL-Glied

I 0

i R

(t)

i L

(t)

S

R L u(t)

RL-Glied mit Schalter an Stromquelle

Wenn Schalter S geöffnet, Knotengleichung:

Auflösen und Einsetzen:

Vorgehen analog wie beim RC-Glied.

heißt Zeitkonstante des RL-Gliedes.

Allgemeine Lösung:

I

0

= iR ( t)

+ iL

( t)

u(

t)

= i

Li&

( t)

L

u(

t)

= RiR(

t)

Li&

( t)

= R

L

R

=

( t)

R

u(

t)

= R( I0

− iL(

t)

)

( I − i ( t)

)

0

L

L

i&

L ( t)

+ iL(

t)

= I

R

τ =

L

R

0

i

t


L

t)

= iLh0e

τ

+

( I

0

Anpassen der Lösung an die Anfangsbedingung: Schalter schalte bei t = 0,

Spulenanfangsstrom sei

i =

L

( 0) iL0


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 30

Stationärer Endwert:

( i − I )

t


i =

τ

L(

t)

L0

0 e + I0

t

− ⎛

= i

τ + ⎜

L0

e I0

1 − e



i L

( ∞)

= I

0

t


τ





Berechnung der Spannung:

u( t)

= Li&

( t)

L

L

= −

τ

= R

( i − I )

L0

t


( I − i ) e

τ

0

L0

Speziell bei stromloser Drossel als Anfangszustand:

0

e

t


τ


i ⎜

L

( t)

I

0

1 − e


u(

t)

=

− τ

t

RI

=

0

e

t


τ




I 0

τ

i L

(t)

t

i L0

u(t)

τ

Ausgleichsvorgang beim RL-Glied

t


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 31

6.3 Anfangs-Endwert-Darstellung für RC- und RL-Glieder

Bei einfachen RC- und RL-Gliedern folgt der Ausgleichsvorgang immer dem gleichen

Schema:

Für die Größe, die die Energie des Speichers beschreibt, also der Strom bei der Drossel oder

die Spannung beim Kondensator, gilt stets:

t−t0

t−

− ⎛ −

x( t)

= x

τ + ⎜

0e

x∞

1 − e



t

τ

0





Anfangswert:

Stationärer Endwert:

x

x = x( 0 )

0 t

lim x(

t)

∞ =

t→∞

• Bestimmung des Anfangswertes direkt aus Maschen- oder Knotengleichung oder der

Anfangswert ist direkt gegeben.

• Bestimmung des stationären Endwerts: Kondensator gedanklich durch idealen

Isolator, Drossel durch idealen Leiter ersetzen und Strom- bzw. Spannungswert an

diesen Klemmen durch Netzwerkanalyse bestimmen.

• Bestimmung der Zeitkonstanten: Kondensator bzw. Spule aus dem Netzwerk

herauslösen, dann den wirksamen Widerstand der restlichen Schaltung an den

freigeschnittenen Klemmen bestimmen.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 32

7 Schwingkreise

7.1 LC-Schwingkreis

C

i C (t) i L (t)

u(t)

L

u

Cu&

Li&

C

− i

= u

C

C

L

= u

= i

= i

L

L

C

L

= u

= i

1

Cu&&

= −i&

= − u

L

LCu&&

+ u = 0

Die Spannung u gehorcht einer autonomen linearen homogenen Differenzialgleichung

2. Ordnung! (Stellen Sie ebenso eine Differenzialgleichung für den Strom auf!)

Es wird wieder eine Exponentialfunktion als Lösung angesetzt. Später wird sich herausstellen,

dass es komplexwertige Lösungen gibt. Die ggf. komplexe Konstante U wird daher schon

jetzt mit einem Unterstrich gekennzeichnet:

st

u = Ue

u&&

= Us

2

e

st

LCUs

2

e

st

+ Ue

st

= 0

Die resultierende Gleichung in s heißt charakteristische Gleichung bzw. das darin

vorkommende Polynom wird charakteristisches Polynom genannt:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 33

LCs

2

+ 1 = 0

s

2

1

= −

LC

s

1,2

= ±

j

LC

Die Lösungen s 1 , s 2 der charakteristischen Gleichung heißen Eigenwerte. Obwohl s 1 , s 2 also

imaginäre Zahlen sein können, werden sie üblicherweise nicht mit einem Unterstrich

gekennzeichnet.

Abkürzungen:

Kennkreisfrequenz:

Kennwiderstand:

ω 0 =

Z =

0

1

LC

L

C

Allgemeine Lösung


t

− jω

t

2

0

0

u(

t)

= U e + U e

1

Da die Lösung reell sein soll, müssen die Koeffizienten U 1,

U 2

komplex sein 6 :

zueinander konjugiert

*

U

2

= U 1

Darstellung mit Sinus und Kosinus:

u( t)

= U

c

cosω 0t

+ U

s

sinω0t

U c = 2Re(

U 1)

U s

= −2Im(

U 1)

Strom:

i( t)

= −Cu&

( t)

= Cω0U

c

sinω0t

− Cω0U

s

cosω0t

Anfangsbedingungen:

6 z*=x-jy bezeichne die zu z=x+jy konjugiert komplexe Zahl


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 34

i

i(

t)

= i

= i

= i(0)

= −C

0

ω 0

0

0

u(

t)

= u

= u

0

0

u

0

= u(0)

= U

1

cosω0t

+

Z

u

U

cosω

t + Cω

u

0

cosω

t − Z

0

i

0

c

0

0

1

cosω0t

− i


0

0

0 0

s

sinω

t

sinω

t

0

0

sinω

t

0

sinω

t

Betrachtet man die Schwingungsamplituden von Strom und Spannung,

0

0

2

0

u ˆ = u + Z

2 2

0i0

ˆ 2 u

i = i0

+

Z

so ergibt sich, dass für deren Verhältnis gerade der Kennwiderstand maßgeblich ist:

2

0

2

0

Energie im Schwingkreis:

=

1

2

w(

t)

= w

=

1

2

u ˆ = Z


0

( t)

+ w

2 1

Li ( t)

+ Cu

2

2

2

( t)

( t)

⎛ 1 ⎞ 1

L

⎜i0

cosω0t

+ u0

sinω0t

C 0

Z

⎟ +


0 ⎠ 2

1 2 1 2

= Li0

+ Cu0

= const.

2 2

L

C

( u cosω

t − Z i sinω

t)

0

0 0

0

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 35

0

0

Zeitliche Verläufe von Spannung und Strom des LC-Schwingkreises

Fragen:

• Welche Kurve zeigt den Strom, welche die Spannung?

• Kennzeichnen Sie die Anfangswerte!

• Identifizieren Sie ω

0

!

• Skizzieren Sie die Energieverläufe im Kondensator und in der Drossel!


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 36

7.2 RLC-Parallelschwingkreis

C

i C (t) i L (t) i R (t)

u(t)

L R

i

i&

C

C

+ i

+ i&

L

L

+ i

+ i&

= 0

= 0

1 1

Cu&&

+ u + u&

= 0

L R

L

LCu&&

+ u&

+ u = 0

R

R

R

Exponentialansatz:

st

u = Ue

LCUs

2

e

st

+

L

Use

R

st

+ Ue

st

= 0

LCs

2

+

L

s + 1 = 0

R

s

2

1 1

+ s +

RC LC

= 0

s

1,2

1

= −

2RC

±

1

2

4R

C

2

1


LC

Abkürzungen:

Kennkreisfrequenz:

Kennwiderstand:

ω 0 =

Z = 0

1

LC

L

C


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 37

Dämpfung oder Dämpfungsgrad 7

1

d =

2R

L

C

1 Z0

=

2 R

Mit diesen Kennzahlen lassen sich die Differenzialgleichung und die charakteristische

Gleichung in den Standardformen

2

u&&

+ 2dω u&

+ ω u

s

2

0 0 =

2

0

+ 2dω s + ω

schreiben. Es folgen die Wurzeln (Eigenwerte) der charakteristischen Gleichung als

0

0

= 0

s

2

1,2

= −ω

0d

± jω0

1−

d

Allgemeine Lösung für die Spannung

Allgemeine Lösung für die Ströme

Fallunterscheidung:

C

R

s t

1

s t

2

1

2

u( t)

= U e + U e

t s t

[ ]

s 1

U e U e

u(

t)

1

( t)

= = 1 +

R R

i

2

t

s t

[ ]

s 1

s e U s e

2

i ( t)

= Cu&

( t)

= C U +

1 1

⎛ 1 ⎞ s t ⎛ 1 ⎞

1

2

iL( t)

= −iR(

t)

− iC

( t)

= −⎜Cs1

+ ⎟U

1e

− ⎜Cs2

+ ⎟U

2e

⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠

Schwache Dämpfung: d < 1, die Eigenwerte bilden ein konjugiert komplexes Paar:

*

s 1 = s 2 .

2

2

2

s t

s

1,2

2 1

= −ω 0d

± jω0

1−

d = − ±

τ

1

2

τ = , ωd

= ω0

1−

d

ω d

0


d

Außerdem muss gelten:

*

U

1

= U 2

7 In der Literatur findet sich für den Dämpfungsgrad auch die alternative Definition d´=2d=Z 0 /R. Hier wird die in

der Systemtheorie und Regelungstechnik übliche Definition der Dämpfung verwendet.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 38

Umrechnung der Exponentialdarstellung in Darstellung mit Sinus und Kosinus:

Ströme:

i

C

s t s t s t *

1 2

1

1

+ U

2e

= U

1e

+ U

1

*

s t

t


( U cosω

t + U ω t) e

τ

1

u(

t)

= U e

e =

sin

⎡⎛

= C⎢⎜ωdU

⎣⎝

i

R


( t)

= Cu&

( t)

= C

⎢ωd


s

U c = Re( U ) , = − Im( U )

2 1

U s

c

d

2 1

u(

t)

1

( t)

= = c d s sin

R R

1

− U

τ

( U cosω

t + U ω t) e

τ

( −U

sinω

t + U cosω

t) − ( U cosω

t + U sinω

t)

c

c

d

⎞ ⎛

⎟cosωdt

− ⎜ωdU

⎠ ⎝

s

c

d

1

+ U

τ

s

1

τ

c

d

⎞ ⎤

⎟sinωdt⎥

e

⎠ ⎦

s

t


d

t


τ

s

d

d



e


t


τ

i ( t)

= −i

L

1

= −

R

( U cosω

t + U sinω

t)

c

R

⎡⎛

= ⎢⎜−ωdCU

⎣⎝

⎡⎛

= ⎢⎜−ωdCU

⎣⎝

( t)

− i

s

s

d

C

( t)

C 1

+ − U

τ R

1

− U

2R

s

c

c

d

e

t


τ

⎡⎛

-C⎢⎜ωdU

⎣⎝

⎞ ⎛

⎟cosωdt

+ ⎜ωdCU

⎠ ⎝

⎞ ⎛

⎟cosωdt

+ ⎜ωdCU

⎠ ⎝

c

s

1

− U

τ

c

1

− U

2R

s

c

⎞ ⎛

⎟cosωdt

− ⎜ωdU

⎠ ⎝

C 1

+ − U

τ R

s

⎞ ⎤

⎟sinωdt⎥

e

⎠ ⎦

⎞ ⎤

⎟sinωdt⎥

e

⎠ ⎦

t


τ

c

1

+ U

τ

t


τ

s

⎞ ⎤

⎟sinωdt⎥

e

⎠ ⎦

t


τ

Anfangsbedingungen:

u (0) u =

= 0

U c

1

iL

( 0) = iL0 = −ω dCU

s

− U

c


2R

U

s

iL0

u0

= − −

ω C 2ω RC

d

d

Zeitlicher Verlauf:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 39

0

0

Beispiel für Verlauf der Spannung beim RLC-Parallelschwingkreis

im Fall schwacher Dämpfung d < 1

• Skizzieren Sie im Spannungsverlauf die Kennwerte τ , ωd

!

• Skizzieren Sie die Verläufe der Ströme i

R

, iL

, iC

.

Starke Dämpfung: d > 1: beide Eigenwerte sind reell:

Ebenso die Konstanten

2

1,2

= −ω0d

± ω0

d −

s

U =

1,2

U1,2

1


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 40

0

0

Beispiel für Verlauf der Spannung beim RLC-Parallelschwingkreis

im Fall starke Dämpfung d > 1

Aperiodischer Grenzfall: d = 1: beide Eigenwerte sind reell und gleich:

s

1 2 = −ω0

= s

In diesem Fall stellen wir fest, dass über den üblichen Exponentialansatz mit diesen

Eigenwerten weiterhin eine, aber eben nur eine Lösung der Differentialgleichung gefunden

werden kann, da beide Eigenwerte gleich sind. Die Anpassung an zwei unabhängige

Anfangsbedingungen (Spulenstrom und Kondensatorspannung) kann damit nicht gelingen.

Das bedeutet, dass das Lösungssystem noch nicht vollständig ist. Für den aperiodischen

Grenzfall ist der Lösungsansatz folgendermaßen zu erweitern:

st

u = U0 e + U1

Dies möge durch Einsetzen in die Differenzialgleichung verifiziert werden. Weitere Details

können den mathematischen Grundlagenlehrbüchern entnommen werden. In der Praxis lässt

sich der Fall d = 1 wegen nicht vermeidbarer Bauteiltoleranzen ohnehin nie exakt einstellen.

t e

st


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 41

Zeichnen Sie die Lage der Eigenwerte s 1 , s 2 für alle Dämpfungsfälle in Abhängigkeit von d

bei konstanter Kennkreisfrequenz ω0

in der komplexen Ebene!

Im

Re


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 42

7.3 RLC-Reihenschwingkreis

u L

L

i(t)

(t)

u (t)

u )

C C

R (t

R

u

u&

C

C

+ u

+ u&

L

L

+ u

+ u&

R

R

= 0

= 0

1

i + Li && + Ri&

= 0

C

LCi && + RCi&

+ i = 0

Exponentialansatz:

Charakteristische Gleichung:

LCs

i ( t)

=

2

st

Ie

+ RCs + 1 = 0

s

2

+

R

L

1

s +

LC

= 0

Eigenwerte:

s

R

= − ±

2L

2

R

2

4L

1,2


1

LC

Abkürzungen:

Kennkreisfrequenz:

Kennwiderstand:

ω 0

=

Z =

0

1

LC

L

C

Dämpfung

R C 1 R

d = =

2 L 2 Z

0

Mit diesen Abkürzungen lassen sich Differenzialgleichung und charakteristische Gleichung

schreiben als


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 43

&&

2

i + 2dω i&

+ ω i

s

2

0 0 =

2

0

+ 2dω s + ω

0

0

= 0

die somit genau gleich lauten wie die des RLC-Parallelschwingkreises. Lösungen:

s

2

1,2

= −ω

0d

± jω0

1−

d

Allgemeine Lösung für den Strom:

Allgemeine Lösung für die Spannungen:

C

R

s t

1

s t

2

1

2

i( t)

= I e + I e

t s t

[ ]

s 1

e I e

2

u ( t)

= Ri(

t)

= R I +

L

1

t s t

[ ]

s 1

s e I s e

2

u ( t)

= Li&

( t)

= L I +

R

L

1 1

2

2

2

( ) s 1t

s t

Ls + R I e − ( Ls R) I e

2

u ( t)

= −u

( t)

− u ( t)

= −

+

1

1

2

2

Weitere Diskussion der Lösungen wie beim Parallelschwingkreis! Siehe dort.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 44

7.4 Aufschaltung von sprungförmigen Größen auf RLC-Netzwerke

In den vorangegangenen Abschnitten wurden sogenannte Anfangswertprobleme von

Netzwerken ohne äußere Einspeisungen behandelt. Werden Spannungen oder Ströme

zusätzlich von außen aufgeschaltet, wird das Superpositionsverfahren angewendet. Dieses

darf wegen der Linearität des Gleichungssystems angewendet werden.

Beispiel:

I 0

S

C

i L (t)

i C (t)

u )

L

L

(t

u C

(t)

)

R

u R

(t

Bei geschlossenem Schalter S ist

u C

= 0

sowie

u

Li&

L

L

+ u

R

+ Ri

L

= 0

= 0

Es findet also nur ein einfacher Ausgleichsvorgang des RL-Gliedes mit exponentiellem

Verlauf und Abklingzeitkonstante L / R statt; es gibt keine Schwingung. Der Strom der

Stromquelle wird ebenfalls über den Schalter kurzgeschlossen. Ist der Schalter genügend

lange geschlossen, wird der Strom i L Null. Also seien

u

C

L

(0) = u

i (0) = i

c0

L0

= 0

= 0

als Anfangswerte für den Zeitpunkt t = 0

Nun gilt die Maschengleichung

angenommen, zu dem der Schalter geöffnet wird.

u

C

+ uL

+ uR

= 0

bzw. für die Zeitableitung

u &

C

+ u&

L + u&

R

= 0


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 45

Einsetzen der Bauelementgleichungen (konstitutive Gleichungen) führt zu der inhomogenen

Differenzialgleichung

1

( iL

− I &&

C

LCi && + RCi&

+ i

L

0

) + LiL

+ RiL

= 0

L

L

&

= I

0

Der homogene Teil der Differenzialgleichung ist der des Reihenschwingkreises (!).

Lösungsweg für die inhomogene Differenzialgleichung:

1. Homogene Lösung (ohne äußeren Strom) siehe vorangegangener Abschnitt:

s1t

s2t

iLh( t)

= I 1e

+ I 2e

2. Irgendeine partikuläre Lösung, am einfachsten die stationäre Lösung:

i Li ( t)

= I0 = const.

3. Allgemeine Lösung durch Superposition:

Daraus folgen die Spannungen:

C

s1t

s2t

iL( t)

= iLh(

t)

+ iLi(

t)

= I0

+ I 1e

+ I 2e

R

R

L

t s t

[ ]

s 1

+ I e I e

2

u ( t)

= Ri ( t)

= R I +

L

L

0

1

t s t

[ ]

s 1

s e I s e

2

u ( t)

= Li&

( t)

= L I +

L

1 1

2

2

2

( ) s 1t

s t

Ls + R I e − ( Ls R) I e

2

u ( t)

= −u

( t)

− u ( t)

= −RI


+

0

1

1

2

2

4. Anfangsbedingungen

0 = i (0) i I I I

L = L0

= 0 + 1 +

2

( Ls + R) I 1 − ( Ls R) 2

0 = u (0) u RI

I

C = C 0 = − 0 − 1

2 +

Die weitere Rechnung beschränkt sich auf den Fall schwacher Dämpfung d < 1. Dann gilt

*

I 1 = I 2 ,

*

s 1 = s 2

Also folgt aus der Anfangsbedingung für den Spulenstrom

I c

= 2Re

I = −I

1

0


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 46

und aus der Anfangsbedingung für die Kondensatorspannung

[( Ls R)

]

0 = −RI 0 − 2Re

1 + I

1

Mit

s

2

( − d + j − )

1 = ω0

1 d

folgt

0 = −RI

0

0 = −d

Re I

− 2Re

1


[( Ls + R)

I ]

1

1−

d

2

1

Im I

d

Im I1 = − Re I

2

1−

d

1

1

bzw.

I

s

=

d

1−

d

2

I

c

= −

d

1−

d

2

I

0

Vollständige Lösung mit angepassten Anfangsbedingungen für schwache Dämpfung in

Darstellung mit Sinus- und Kosinustermen für t > 0:

L

( t)

= I

⎡ ⎛

⎢1

− ⎜cosω

+


dt

⎣ ⎝

d

1−

d


sinω


dt

e


−dω

t

i

0

0

2



⎥⎦


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 47

Wie verhält sich die Kondensatorspannung? Leiten Sie die Gleichungen her und skizzieren

Sie den Verlauf.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 48

8 Gleichstromsteller

Transformatoren dienen der Umformung von Wechselspannungen oder -strömen. Die

Umformung von Gleichspannungen wird mit einem gänzlich anderen Funktionsprinzip

bewerkstelligt. Im Folgenden werden die beiden einfachsten Strukturen vorgestellt, um eine

Gleichspannung herauf- oder herunterzusetzen: Der Tiefsetzsteller und der Hochsetzsteller.

Derartige Gleichstromsteller werden für verschiedene Anwendungen und Leistungsklassen

mit Spannungsbereich von wenigen Volt bis zu einigen 100 V oder sogar kV und Leistungen

von etwa 100mW bis zu einigen 100 kW oder mehr eingesetzt.

8.1 Tiefsetzsteller

8.1.1 Prinzip

i 1

L

S i i

L

2

u 1

u s

u L

u 2

Annahme konstanter Spannungen:

Der Schalter S wird mit dem Tastverhältnis

getaktet (s. Bild).

Begriffe:

Te

T

a

T = T + T Schaltperiode

f

s

s

e

s

a

Prinzipschaltbild des Tiefsetzstellers

Einschaltzeit (Schalter oben)

Ausschaltzeit (Schalter unten)

1

= Schaltfrequenz

T

Stellerspannung:

u 1 ( t)

= U1

, 2 ( t)

U 2

T

D =

T

u = .

e

s


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 49

u s

⎧ u1(

t)

= U

( t)

= ⎨

⎩ 0

1

während der Einschaltzeit

während der Ausschaltzeit

i 1 = i L

L

i 2

i 1 = 0

i L

L

i 2

u 1

u 1

u L

u s =

u2

u 1

u s

= 0

u L

u 2

während der Einschaltzeit

während der Ausschaltzeit

Ersatzschaltbilder während Ein- und Ausschaltzeit

Analyse des stationären Verhaltens

Zeitlicher Verlauf des Stroms i L (t)

(vgl. Bild): Aus

folgt während der Einschaltzeit t ∈ 0, T ] :

Li&

( t)

= u ( t)

= u ( t)

−U

L

[ e

und während der Ausschaltzeit T e,

T ]

L

U1

i ( t)

= i (0) +

L

[ s

L

s

−U

L

2

t

2

t ∈ :

U2

U1

−U2

U2

iL( t)

= iL(

Te

) − ( t − Te

) = iL(0)

+ Te

− ( t − Te

)

L

L L

Der Drosselstrom i L (t)

ist genau dann stationär (bzw. periodisch), wenn

i T ) = i (0) .

L( s L

Daraus folgt:

U1

−U2

U2

i L( 0) + Te

− ( Ts

− Te

) = i

L L

( U −U

) T −U

T − T ) 0

1 2 e 2 ( s e =

U T

U

T

1 e − 2 s =

0

L

(0)

U

U

2

1

T

=

T

e =

s

D


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 50

Das Tastverhältnis bestimmt ähnlich wie das Verhältnis der Windungszahlen beim

Transformator das Verhältnis der Spannungen!

U 1

u s (t)

U 2

Te

Ta

Ts

i ( t ) i 2(

t

1 −U

i

L = ) Lmax

L

U 2

U − 2

L

t

i 2

i Lmin

t

i 1(

t )

i 2

i 1

t

Zeitliche Verläufe beim Tiefsetzsteller im stationären Zustand

Andere alternative Betrachtung mit Mittelwerten: Der Strom i L (t)

ändert sich über eine

Periode Ts

nicht, wenn die Drosselspannung u L (t)

im Mittel Null ist, u = 0 , denn aus

folgt durch Integration über eine Schaltperiode

Li& L ( t)

= u ( t)

L

T s :

L

L

Ts

( i ( T ) i ( 0)

) = u ( t)

dt = T u = 0

L

s

− L ∫ L

s L

0

.

Aus der Maschengleichung:

u ( t)

= u ( t)

U

s L +

erhält man die Aussage über die Mittelwerte im stationären Zustand:

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 51

u

= u

Der Mittelwert der Stellerspannung ist aber

+ U 2 U 2

s L =

u

s

T

s

1

= u

T


s

0

s

( t ) dt

=

TeU

T

s

1

=

DU

1

Daher folgt

u s = U 2 = DU 1

bzw.

U 2 = D

U

1

Für den Mittelwert des Eingansstroms ( )

1 t

i ergibt sich: 2

Ts

Te

1 1

1 = i1

( t)

dt iL(

t)

T

∫ =

s T


0

s 0

i

T

dt =

T

e

s

i

L

T

=

T

e

s

i

i 1 = Di 2

Also

U

2

D = =

U1

i

i

1

2

Der Drosselstrom i L (t)

ist niemals konstant, sondern schwankt stets nach einem

dreieckförmigen Verlauf hin und her. Die Schwankungsbreite des Stroms i L bestimmt sich zu

∆i

L

= i

L max

− i

L min

= i

L

( T ) − i

e

L

U 2

( Ts

) = T

L

a

=

D

( 1−

D)

L

T

s

U

1

Die maximale Stromschwankungsbreite ergibt sich für das Tastverhältnis D = 0, 5

zu

∆i

L max =

Ts

U

4L

1

Damit:

∆i

= .

L

4D(1

− D)

∆iL

max


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 52

∆i Lmax

∆i L

0,5

Stromschwankung über Tastverhältnis

1

D

Die Stromschwankung kann über die Glättungsdrossel L oder über die Schaltperiode

bzw. über die Schaltfrequenz f s = 1/

Ts

beeinflusst werden. Typische Schaltfrequenzen

liegen im Bereich einiger 100 Hz (im Leistungsbereich einiger MW mit Spannungen bis zu

einigen kV) bis zu einigen 100 kHz (im Kleinspannungsbereich von wenigen Volt und

wenigen Watt). Im letzteren Fall kommen MOSFET statt Bipolar-Transistoren zum Einsatz

Ts

8.1.2 Mit Glättungskondensator

i 1

S

i L

L

I 2

U 1

u s

C

i C

u C = u 2

Tiefsetzsteller mit Kondensator zur Spannungsglättung

Ist die Ausgangsspannung u2

nicht von sich aus konstant, kann ein Kondensator zur Glättung

eingesetzt werden. Es wird ein konstanter Laststrom

i 2 = I 2

angenommen. Im stationären Zustand muss der Kondensatorstrom

i

C

( t)

= i ( t)

− I

im zeitlichen Mittel Null sein, i = 0 . Daher gilt

C

L

2

i L = I 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 53

Die resultierende Schwankung der Kondensatorspannung

u

1

1

( t)

= ∫ i t′

dt′

= ∫ ( i t′

− I )

C ( )

L(

) dt′

C

C

C 2

ergibt sich durch einfache geometrische Betrachtung aus den dreieckförmigen

Stromkurvenformen zu (vgl. das folgende Bild)

t

2

1

1 1 1

∆ uC

= uC

max − uC

min = ( iL

( t′

) − I 2 ) dt′

= ∆iL

( t2

− t1

) =

C


C 2 2

t

1

1

4C

∆i

L

T

s

2

∆u

C

=

( − D)

2

D 1 Ts

U1

8LC

Hierbei wird vereinfachend angenommen, dass die Spannungsschwankung ∆uC

klein

gegenüber der mittleren Kondensatorspannung u C = u2

ist, so dass die Rückwirkung auf den

Verlauf der Ströme vernachlässigt werden kann. Die maximal mögliche Spannungsschwankung

wird bei D = 0, 5 erreicht:

∆u

C max =

T

2

s

U

1

32LC


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 54

U 1

(t) u s

u 2

( )

2 t

Te

T

a

i L

(t)

T s

i Lmax

U1 − 2

u

L

− u 2

L

Einfluss der

Spannungsschwankung

auf den

Stromverlauf

t

u

1

I 2

t t 2

i Lmin

i 1(

t )

T s / 2

t

I 2

i 1

u2(

t)

= uC

( t)

u C max

t

u 2

u C min

t

Zeitliche Verläufe beim Tiefsetzsteller mit Glättungskondensator

8.1.3 Realisierung

Der bislang idealisierte Schalter wird schaltungstechnisch durch Halbleiterbauelemente

realisiert. Das Bild zeigt eine Schaltung mit einem Transistor und einer Diode. Der Transistor

wird dabei stets schaltend, nicht im linearen Bereich betrieben, sodass der Transistor entweder

sperrt oder aber im angesteuerten Zustand eine minimale Kollektor-Emitter-Spannung von

wenigen 100mV aufweist. Bei dieser Realisierung muss aber (anders als bei Annahme eines

idealisierten Schalters) vorausgesetzt werden, dass die Ein- und Ausgangsspannungen und

auch die Ströme stets positiv sind. Es gibt auch Schaltungen, die beide Strom- oder beide

Spannungsrichtungen beherrschen. Diese werden hier nicht behandelt.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 55

i 1

i L

L

i 2

u 1

u s

u 2

Realisierung des Tiefsetzstellers mit Transistor und Diode


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 56

8.2 Hochsetzsteller

8.2.1 Prinzip

i 1

L

iL

S

i s = i 2

u 1

u s

u 2

Prinzipbild des Hochsetzstellers

Annahme konstanter Spannungen:

u 1 ( t)

= U1

, 2 ( t)

U 2

u = .

U 2

u s (t)

U 1

Ta

Te

Ts

i L ( t)

= i1 ( t)

i Lmax

U1 − 2

U

L

U 1

L

t

i 1

i Lmin

i 2(

t )

t

i 1

i 2

t

Zeitliche Verläufe beim Hochsetzsteller im stationären Zustand


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 57

Die Intervalle Te

und Ta

werden hier anders definiert als beim Tiefsetzsteller: Während Te

ist

der Schalter in der unteren Position, so dass u s = 0 ; während Ta

ist der Schalter in der oberen

Position. Die Motivation zu dieser Definition ergibt sich erst beim Blick auf die Realisierung

des Schalter durch Transistor und Diode (s. Abschnitt 8.2.3).

Tastverhältnis:

Im stationären Zustand gilt:

Stromschwankung:

1−

T

D =

T

U

e

s

1

D = =

U 2

i

i

2

1

∆i

L

= i

Lmax

− i

Lmin

U

=

L

1

T

e

=

DTs

U

L

1

=

D

( 1 − D)

L

T

s

U

2

8.2.2 Mit Glättungskondensator

i 1

L

i L

S

i s

I 2

U 1

us

C

i C

u 2 = u C

Hochsetzsteller mit Kondensator zur Spannungsglättung

Glättung der Ausgangsspannung mit Glättungskondensator. Annahme konstanten Laststroms

Im stationären Zustand gilt wegen i C = 0

i ( = I

2 t)

2

Spannungsschwankung:

i s = I 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 58

( 1− D)

I 2 I 2DTs

D Ts

i1

∆ uC

= uC

max − uC

min = Te

= =

,

C C C

wobei die Rückwirkung der Spannungsschwankung auf die Stromverläufe vernachlässigt

wurde.

(t) u s

U 1

Ta

Te

(t) i L

Ts

i Lmax

U1 − 2

u

L

U 1

L

Einfluss der

Spannungsschwankung

auf den

Stromverlauf

t

i 1

i Lmin

i s (t)

t

i 1

I 2

u2(

t)

= uC

( t)

u C max

t

u 2

u C min

t

Zeitliche Verläufe beim Hochsetzsteller mit Glättungskondensator

8.2.3 Realisierung

Der Schalter wird wieder durch einen Transistor und eine Diode realisiert, wobei der

eingeschaltete Transistor hier der „unteren“ Stellung des idealisierten Schalters entspricht.

Auch bei dieser Realisierung müssen positive Spannungen und Ströme angenommen werden.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 59

i 1

L

i L

i 2

U 1

u s

U 2

Realisierung des Hochsetzstellers mit Transistor und Diode


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 60

9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken

9.1 Sinusförmige Größen

Sinusförmige Größen sind spezielle periodische Größen; sie lassen sich auf verschiedene

Arten schreiben:

x t)

= xˆ cos( ω t +ϕ )

(

0

x( t)

= xˆsin(

ω t +ϕ1)

x( t)

= X cosωt

+ X sinωt

c

Die Darstellungen sind äquivalent und in einander umrechenbar. Letztendlich wird eine

sinusförmige Größe durch nur drei Konstanten charakterisiert:

• die Amplitude xˆ ,

• die Kreisfrequenz ω ,

• die Phasenverschiebung ϕ

0

.

Umrechnung dieser Konstanten ausgehend vom Additionstheorem

s

[ cosωt

cosϕ

− sinωt

]

x( t)

= xˆ cos( ωt

+ ϕ ˆ

ϕ

0)

= x

0 sin

0

2

x ˆ = X c + X ,

2

s

tanϕ 0

X

= −

X

s

c

bzw.

ˆ

X c = x cosϕ0

, X s = −xsinϕ0

ˆ

Weitere abgeleitete Konstanten:

ω

• Frequenz f =


1

• Zeitkonstante τ =

ω

2 π

• Periodendauer T = = ω

• Effektivwert X =

ˆx

2

1

f


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 61


x(t)

1 2π

T = = f ω

1

τ =

ω

− ϕ 0

t

Frequenz vs. Kreisfrequenz: Die Frequenz f wird in Hertz 8 , Abkürzung: 1 Hz = 1/s,

gemessen. Die Kreisfrequenz ω unterscheidet sich nur um den dimensionslosen Faktor 2π

von der Frequenz f . Als Maßeinheit der Kreisfrequenz wird das Hertz jedoch nicht

verwendet, sondern stets 1/s oder

1

s − , geschrieben.

Einige Eigenschaften sinusförmiger Größen:

• Der Mittelwert einer sinusförmigen Größe über eine Periode ist Null: x = 0

• Seien x1( t),

x2

( t)

sinusförmige Größen der gleichen Frequenz ω , so ist die

Superposition x t)

= c x ( t)

+ c x ( ) ebenfalls sinusförmig mit dieser Frequenz

(

1 1 1 2

t

• Die Ableitung einer sinusförmigen Größe nach der Zeit ist ebenfalls sinusförmig mit

gleicher Frequenz: x t)

= xˆ cos( ω t + ϕ ) ⇒ x&

( t)

= −xˆ

ω sin( ωt

+ )

(

0

ϕ0

• Das Produkt zweier sinusförmigen Größen mit beliebigen Frequenzen ist als Summe

zweier sinusförmiger Größen darstellbar, wobei die Summen- und

Differenzfrequenzen auftreten (Additionstheorem der Trigonometrie):

x(

t)

= x ( t)

x

1

2

x ( t)

= xˆ

cos( ω t + ϕ ) ,

1

( t)

= xˆ


1

1

2

1

[ cos( ( ω + ω ) t + ϕ + ϕ ) + cos( ( ω − ω ) t + ϕ −ϕ

)]

1

1

2


x ( t)

= xˆ

cos( ω t + ϕ )

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

8 Dies hat nichts mit dem Herzschlag, sondern mit Heinrich Hertz zu tun, der die aus der

Maxwellschen Theorie resultierenden elektromagnetischen Wellen erzeugte und nachwies.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 62

9.2 Darstellung sinusförmiger Größen mit komplexen Zeigern

Imaginäre Einheit:

i, j (in der Elektrotechnik wird j bevorzugt)

2

Anbindung an die reellen Zahlen: j = −1

Darstellung komplexer Zahlen nach Real- und Imaginärteil:

x = x r

+ jxi

Darstellung komplexer Zahlen nach Betrag und Winkel:

x = xe ˆ


Im

x

x i


ϕ

x r

Re

Damit:

ϕ

e j = cosϕ

+ jsinϕ

x ˆ = x = +

ϕ = arccos


2 2

x r

xi

xr

sgn xi


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 63

x r

= ˆxcosϕ

x i

= ˆxsinϕ

Komplexe Darstellung reellwertiger sinusförmiger Funktionen:

mit

( x(

))

x ( t)

= xˆ cos( ωt

+ ϕ0 ) = Re t

x(

t)

= xe ˆ

j( ω t+ϕ0 )

Im

x

ϕ = ωt

+

ϕ 0

x r

Re

t

x(t)

t

Komplexer Momentanwertzeiger:

x

ˆ

j ωt

ϕ jϕ

jωt

( t)

xe

( + 0 )

0

= = xe e =

ˆ

xe ˆ

jωt

Die komplexe Amplitude

x ˆ = xe ˆ


0

beinhaltet die beiden Kenngrößen Amplitude und Phasenverschiebung der periodischen

Funktion. Die Frequenz wird dadurch nicht angezeigt.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 64

xˆ =


ϕ = arg( ˆ)

0

x

Gebräuchlich sind außerdem Effektivwertzeiger:

1 1 jϕ jϕ0

ˆ ˆ Xe

2 2

0

X = x = xe =

9.3 Sinusförmige Größen an Zweipolen

Annahme: Spannung und Strom an einem Zweipol seien sinusförmig und von gleicher

Frequenz, jedoch mit unterschiedlicher Phasenlage:

( ω t + ϕ ) = 2 U ( ωt

+ ϕ )

u(

t)

= uˆ cos

cos

u

( ω t + ϕ ) = 2 I ( ωt

+ ϕ )

i(

t)

= iˆcos

cos

Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung:

i

ϕ = ϕ u

−ϕ i

Achtung: Vorzeichenkonvention des Phasenwinkels:

• ϕ > 0 :

Strom eilt der Spannung nach (sog. induktives Verhalten)

i

u

• ϕ < 0 :

Spannung eilt dem Strom nach (sog. kapazitives Verhalten)

û

î i(t) u(t)

ϕ /ω

t


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 65

Im

u(

t)

= ue ˆ

jω t+ϕu

ϕ = ϕ u

−ϕ i

i(

t)

= ie ˆ

jω t+ϕi

u(t)

i(t)

Re

9.4 Impedanz und Admittanz

Annahme: Spannung und Strom eines Zweipols seien sinusförmig mit gleicher Frequenz.

u t)

= uˆ cos( ω t + ϕ ) = U 2 cos( ωt

+ ϕ )

( u

u

i t)

= iˆcos(

ω t + ϕ ) = I 2 cos( ωt

+ ϕ )

( i

i

Darstellung mit Effektivwert- bzw. Momentanwertzeigern:

U

= Ue


u

I

= Ie

jϕi

( u(

))

u ( t)

= Re t ,

( i(

))

i ( t)

= Re t ,

j( ωt

+ ϕ ) j t

( t)

= 2Ue

= 2Ue

u

u ω

j( ωt

+ ϕ ) j t

( t)

= 2Ie

= 2 Ie

i

i ω

Quotient der Momentanwertzeiger:

u

i(

t)

jωt

jϕu

( t)

2Ue

U Ue U j(

ϕu

−ϕi

)

= = = = e

jωt

jϕi

2 Ie

I

Ie

I

Der Quotient ist unter bestimmten Voraussetzungen konstant und wird Impedanz oder

komplexer Widerstand genannt:

Z =

U

I

=

U

I

e

j(

ϕu − ϕi

)

=

U

I

e


Die Impedanz als Verhältnis von Spannung zu Strom lässt sich als frequenzabhängiger

Wechselspannungswiderstand auffassen. Weitere Begriffe:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 66

Wirkwiderstand oder Resistanz:

Blindwiderstand oder Reaktanz:

R = Re( Z)

= Z cosϕ

X = Im( Z)

= Z sinϕ

Scheinwiderstand

Damit:

Z =

Z

Z = R + jX =


Ze

Der Kehrwert der Impedanz heißt Admittanz oder komplexer Leitwert:

Y

=

1

Z

=

I

U

=

I

U

e

j(

ϕ −ϕ

)

i

u

=

I

U

e

− jϕ

Weitere abgeleitete Begriffe:

Wirkleitwert oder Konduktanz

Blindleitwert oder Suszeptanz

G = Re( Y ) = Y

cosϕ

B = Im( Y ) = −Y

sinϕ

Scheinleitwert

Damit:

Y =

Y

Y

= G +

jB = Ye

− jϕ

Umrechnungen zwischen Admittanzen und Impedanzen:

R

G = =

2 2

R + X

Z

R

2

B = −

R

2

X

+ X

2

X

= −

Z

2

G G

R = =

2 2 2

G + B Y

X

= −

G

2

B

+ B

2

B

= −

2

Y

Offene Fragen zur Einführung von Impedanz und Admittanz:

• Wann gibt es überhaupt sinusförmige Ströme und Spannungen an Zweipolen?

• Unter welchen Bedingungen ist der Quotient von Spannungs- und Stromzeiger

unabhängig von den Amplitude und den Anfangsphasenwinkeln?


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 67

Verschiebung einer allgemeinen Antwort auf später. Zunächst spezielle Betrachtung der

elementaren Zweipole Widerstand, Spule, Kondensator:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 68

9.5 Impedanzen und Admittanzen der elementaren Zweipole

Widerstand

Annahme sinusförmigen Stroms:

u(

t)

= Ri(

t)

=

=

=

mit

2 R Re

2 Re

2 Re

U = RI

jωt

( Ie )

jωt

( RIe )

jωt

( Ue )

Das Ohmsche Gesetz gilt also auch für die komplexen Zeiger! Impedanz und Admittanz des

Widerstands sind demnach:

U

Z = = R , Y = 1 = G

I

R

Z und Y sind unabhängig von den Amplituden und Phasenwinkeln!

Kondensator

Annahme sinusförmiger Spannung

mit

i(

t)

= Cu&

( t)

=

=

=

=

2 C

d

dt

2 Re

2 Re

2 Re

Re

jωt

( Ue )

⎛ d jωt

⎜C

( Ue )

⎝ dt

jωt

( jωCUe

)

jωt

( Ie )




I

=

jωCU

bzw.

Z

U 1

= = , Y = jωC

I jωC


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 69

Die Differenziation nach der Zeit geht bei der Rechnung mit komplexen Zeigern in eine

Multiplikation mit jω

über:

d

dt

e

jωt

=


e

jωt

Kurz:

d

dt



Daher nennt man jω

auch Differenzialoperator.

Drossel

Annahme sinusförmigen Stroms:

mit

u(

t)

= Li&

( t)

=

=

=

=

d

L

dt

Re

2 Re

2 Re

2 Re

jωt

( Ie )

⎛ d jωt

⎜ L ( Ie )

⎝ dt

jωt

( jωLIe

)

jωt

( Ue )




bzw.

U

=

jωLI

Z

U

= = jωL

,

I

Y =

1

jωL


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 70

Im

Im

Im

I

U

I

U

U

Re

Re

Re

I

Im Im Im

Z = R

Z

=

jωL

Re Re Re

1

Z =

jωC

Widerstand Kondensator Spule

Zeigerdiagramme für Widerstand, Kondensator und Spule.

Die Wahl der absoluten Winkel für die Spannung- und Stromzeiger ist willkürlich (da sich

gezeigt hat, dass Impedanz und Admittanz von den Anfangswinkeln nicht abhängen).

Hier ist der Spannungszeiger in Richtung der reellen Achse ausgerichtet.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 71

9.6 Reihenschaltung und Parallelschaltung

Reihenschaltung zweier Zweipole

Re

u(

t)

= u ( t)

+ u ( t)

1

jωt

jωt

jωt

( Ue ) = Re( U e ) + Re( U e )

U = U

U = Z

U =

1

1

+ U

I + Z

( Z + Z )

1

1

U = Z I

2

2

2

2

I

I

2

mit

Z = Z 1

+ Z 2

Die Impedanz in einer Reihenschaltung bestimmt sich durch die komplexe Summe der

Teilimpedanzen. Für die resultierende Gesamtadmittanz gilt demnach

Y

=

1

Y

1

1

1

+

Y

2

Y

1Y

2

=

Y + Y

1

2

Im

U U

2

U 1

I

Re

Zeigerdiagramm für die Reihenschaltung

Achtung: Zwar addieren sich die komplexen Stromzeiger bei der Parallelschaltung,

U = U 1 + U 2

, u ˆ = uˆ1 + uˆ

2 ,

nicht aber die reellen Effektivwerte oder reellen Amplituden! Der Gesamteffektivwert lässt

sich lediglich durch


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 72

U ≤ U 1 + U 2

abschätzen (sogenannte Dreiecksungleichung).

Parallelschaltung zweier Zweipole

mit

Re

i(

t)

= i ( t)

+ i ( t)

jωt

jωt

jωt

( Ie ) = Re( I e ) + Re( I e )

I = Y U + Y

I =

I = I

1

1

+ I

( Y + Y )

1

1

1

I = YU

2

2

2

2

Y = Y 1

+ Y 2

U

U

2

bzw.

Z

=

1

Z

1

1

1

+

Z

2

=

Z

1

Z

2

Z + Z

1

2

Im

I 2

I

I 1

U

Re

Zeigerdiagramm für die Parallelschaltung

Achtung: Zwar addieren sich die komplexen Zeiger bei der Parallelschaltung,

I = I 1

+ I 2

, i ˆ = iˆ

ˆ

1 + i 2 ,


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 73

nicht aber die reellen Effektivwerte. Es gilt wiederum nur eine Abschätzung

I ≤ I 1 + I 2 ..

Fazit: Jeder aus den elementaren Zweipolen Widerstand, Kondensator, Spule durch Parallelund

Reihenschaltung aufgebaute Zweipol besitzt selbst eine Impedanz, die nach den

angegebenen Gleichungen bestimmt werden kann.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 74

9.7 Impedanzen einiger Zweipole

Zweipol Z( jω)

R

R

Abkürzungen

L

jωL

C

1

jωC

R

L

R + jωL

= R( 1+

jωτ

)

L

τ =

R

R

C

R +

1

jωC

1+

jωτ

= R

jωτ

τ = RC

L

C

2

1−ω

LC

jωC

= Z

0

2 2

ω0

−ω

jωω

0

ω = 0

Z =

0

1

LC

L

C

R

L

C

1+

2

jωRC

− ω LC

jωC

= Z

0

2

ω + 2 jdωω

− ω

2

0

jωω

0

0

d =

1

2

R

Z

0

R

L

jωL

jωτ

= R

L

τ =

1+ jωL

/ R 1+

jωτ

R

R

C

R 1

= R

1+ jωRC

1+

jωτ

τ = RC

L

C

jωL

jωω

= Z

2 0

1−

ω LC ω − ω

2

0

0

2

ω = 0

Z =

0

1

LC

L

C

R L C

jωL

jωω0

= Z

2 0

2

1+ jωL

/ R − ω LC ω + 2 jdωω

− ω

2

0

0

1

=

2

Z

R

d

0


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 75

9.8 Allgemeine Voraussetzungen für die Rechnung mit Impedanzen und

Admittanzen

Aufgreifen der offenen Fragen aus 9.4:

• Wann sind Ströme und Spannungen an einem Zweipol sinusförmig?

• Wann sind die Quotienten der komplexen Zeiger (Impedanz, Admittanz) unabhängig

von Amplitude und Phasenlage?

Offensichtlich ist dies der Fall, wenn ein elektrischer Zweipol aus den elementaren Elementen

Widerstand, Kondensator und Spule aufgebaut wird. Dies soll nun aber unter etwas

allgemeineren Annahmen betrachtet werden.

Das Verhalten von Strom und Spannung eines Zweipols werde durch eine allgemeine

Differenzialgleichung der Form

a

d u(

t)

dt

n

0

u( t)

+ a u&

1

( t)

+ a u&&

2

( t)

+ .... + an

= b i(

t)

b i(

t)

b i ( t)

....

n 0

+ &

1

+ &

2

+ +

b

m

m

d i(

t)

m

dt

beschrieben. Die Differenzialgleichung ist

• von endlicher Ordnung

• linear, d.h.:

seien u 1( t),

i1

( t)

; u2 ( t),

i2

( t)

zwei Lösungen, so ist mit beliebigen Konstanten c 1 ,c 2

auch

u t)

= c u ( t)

+ c u ( ) , i t)

= c i ( t)

+ c i ( ) eine Lösung.

( 1 1 2 2 t

( 1 1 2 2 t

• zeitinvariant:

Sei u( t),

i(

t)

eine Lösung, so ist auch u( t − T ), i(

t − T )

Zeitverschiebung T eine Lösung.

für beliebige

Zeigen Sie die letzten beiden Punkte durch Einsetzen!

Zweipole bzw. Systeme, die diese Voraussetzungen erfüllen, heißen linear zeitinvariant

(linear time-invariant), kurz LZI- oder LTI-Systeme. Allgemein lässt sich zeigen, dass sich für

LTI-Systeme die oben gestellten Fragen positiv beantworten lassen. Für diese Systeme gibt es

stets sinusförmige Ströme und Spannungen als Lösung und der Quotient U / I ist

• unabhängig von den Amplituden U und I,

• unabhängig von den absoluten Phasenwinkeln ϕ u , ϕi

; nur der Differenz-

Phasenwinkel ϕ = ϕ u −ϕ

geht ein.

i

Nur unter diesen Voraussetzung ist es möglich, Impedanzen zu bestimmen und damit zu

arbeiten!


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 76

Die obige allgemeine Differenzialgleichung stellt eine durchaus umfangreiche Klasse von

LTI-Systemen, nicht aber alle denkbaren. Der Nachweis wird hier nur auf solche LTI-

Systeme beschränkt, die sich durch eine solche Differenzialgleichung darstellen lassen:

Der Ansatz

u

jωt

jωt

( t)

= 2 Re( Ue ) i( t)

= 2 Re( Ie )

wird in die Differenzialgleichung eingesetzt:

Re

jωt

2

n

jωt

2

m

[ U e ( a + a ( jω)

+ a ( jω)

+ .... + a ( jω)

)] = Re[ Ie ( b + b ( jω)

+ b ( jω)

+ .... + b ( j ) )]

0 1

2

n

0 1

2

n ω

2

n jωt

2

m

( a + a ( jω)

+ a ( jω)

+ .... + a ( jω)

) = Ie ( b + b ( jω)

+ b ( jω)

+ .... + b ( j )

U )

0 1

2

n

0 1

2

n ω

Es gibt sinusförmige Lösungen mit

U

I

b

=

a

0

0

+ b ( jω)

+ b ( jω)

1

+ a ( jω)

+ a ( jω)

1

2

2

2

2

+ .... + b ( jω)

n

n

m

+ .... + a ( jω)

n

Der Quotient, die Impedanz, ist also tatsächlich unabhängig von Amplitude und

Anfangsphasenwinkel und ergibt sich allein aus den Koeffizienten der Differenzialgleichung:

Z = Z(

jω)

=

b

a

0

0

+ b ( jω)

+ b ( jω)

1

+ a ( jω)

+ a ( jω)

1

2

2

2

2

+ .... + b ( jω)

n

n

m

+ .... + a ( jω)

n


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 77

10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und

Admittanzen

10.1 RC-Parallelschaltung

Unter einer Ortskurve versteht man die grafische Darstellung einer Impedanz Z oder

Admittanz Y in der komplexen Ebene in Abhängigkeit der Frequenz ω . Hierbei wird nur die

frequenzabhängige Trajektorie des Endpunktes des komplexen Zeigers gezeichnet. Dies soll

an einem Beispiel dargestellt werden:

R

C

Die Ortskurve der Admittanz

1 1

Y = + jωC

= 1 + jωτ

R R

( )

, mit τ = RC

ist in der komplexen Ebene eine Gerade, die parallel zur imaginären Achse verläuft.

Im

ω → ∞

1

R

Y

ωτ = 1

45°

1

R

ω = 0

Re

Admittanzortskurve der RC-Parallelschaltung

Die Impedanzortskurve in der komplexen Ebene ist ein Kreis, wie man durch folgende

Umformungen erkennt. Der Vereinfachung halber wird die Impedanz auf den Widerstand

bezogen:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 78

Der Betrag des 2. Summanden ist

~

Z =

=

Z

R

1

2

1

=

1+

jωτ

1

+ −

1+

jωτ

1

2

1 1−

jωτ

= +

2 2(1 + jωτ

)

1−

jωτ

2(1 + jωτ

)

1−

jωτ

= =

2 1+

jωτ

2

1+

( ωτ )

2

1+

( ωτ )

2

=

1

2

Die Ortkurve ist folglich ein Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse bei R / 2 und Radius

R / 2 . Die Ortkurve startet bei ω = 0 auf der reellen Achse im Punkt Z = R . Für ω → ∞

strebt sie gegen Z = 0 , wobei der Winkel gegen -90° geht. Der Winkel von -45° wird bei der

Frequenz

angenommen.

ωτ = 1,

ω =

1

τ

Im

ω = ∞


− tan 1 ( ωτ )

R / 2

R

ω = 0

Z

Re

− R / 2

ωτ = 1

Impedanzortskurve der RC-Parallelschaltung

An Ortskurven lassen sich gut Beträge und Winkel, also die Scheinwiderstände bzw.

Scheinleitwerte und die Phasendrehungen, auch die Reaktanzen, Resistanzen bzw.

Konduktanzen und Suszeptanzen ablesen. Es fällt aber schwer, zu einer konkreten Frequenz

den entsprechenden Punkt der Ortskurve zu identifizieren, wenn nicht eine Frequenzskala auf

der Ortskurve angebracht wird. Die Frequenzabhängigkeit lässt sich einfacher im Bode-

Diagramm überblicken:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 79

Im Bode-Diagramm werden Amplitude und Winkel in separaten Teilbildern über der

Frequenz dargestellt. Die beiden Teilbilder heißen Amplituden- oder Betragsgang und

Phasengang. Das folgende Bild eine solche Darstellungen der Impedanz des RC-

Parallelschaltung.

Amplituden- und Phasengang der Impedanz der RC-Parallelschaltung,

Darstellung mit linearen Achsen

Eine solche Darstellung mit linearen Achsen ist jedoch wenig aussagekräftig. Skaliert man

dagegen die Achsen für Amplitude und Frequenz logarithmisch, treten viele Charakteristika

viel deutlicher heraus. Für die Amplitude verwendet man dabei üblicherweise die Darstellung

in Dezibeln:

dB( =

x)

20lg10

x


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 80

x dB(x)

1 0

10 20

100 40

0,1 -20

0,01 -40

10 * 10

2 3,01

2 6,02

1/

2 -3,01

1/

2

-6,02

Die Motivation dieser dB-Definition ergibt sich aus dem Wert von 10 dB (s. *): Eine

Erhöhung einer Spannung oder eines Stroms an einem ohmschen Widerstand um 10 dB

resultiert in einer 10-fachen Leistung.

Die logarithmische Darstellung ist aber nur für dimensionslose Größen möglich. Während

also Amplitudengänge einer Strom- oder Spannungsverstärkung direkt logarithmisch

dargestellt werden können, ist eine Impedanz oder Admittanz zuvor auf einen geeigneten

Bezugswert zu beziehen. Denkbar ist, diese einfach auf 1

zu beziehen, doch vorteilhafter

verwendet man eine natürliche, sich aus der Problemstellung ergebende Bezugsgröße,

beispielsweise die Kenn-Impedanz Z 0 oder Kenn-Admittanz Y 0 .

Im vorliegenden Beispiel wurde bereits die auf R bezogene Impedanz Z ~ eingeführt, welche

also dimensionslos ist. Die resultierende Darstellung mit logarithmischen Achsen ist im

folgenden Bild zu sehen. In dieser Darstellung bekommen sowohl der Amplitudengang als

auch der Phasengang sehr charakteristische Formen, was man in der linearen Darstellung

nicht oder nur sehr schwer erkennt 9 :

• Der Amplitudengang strebt für kleine und große Frequenzen asymptotisch Geraden

zu. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist die sogenannte Knickfrequenz. Diese wird

durch ω = 1/

τ bestimmt.

• Die fallende Asymptote hat eine Steigung von -20 dB/Dekade

• Bei der Knickfrequenz beträgt die Abweichung von den Asymptoten -3 dB. Der

Phasenwinkel ist dort -45°.

• Die Abweichung des Amplitudengangs von den Asymptoten ist symmetrisch zur

Knickfrequenz

• Der Phasengang ist symmetrisch zur Knickfrequenz

• Auch der Phasengang kann überschlägig durch Geradenstücke approximiert werden.

9 Die Darstellung des Frequenzverhaltens mit Logarithmus des Betrags ln Z ~ und Winkel ϕ ist gegenüber

derjenigen mit Betrag und Winkel nicht zuletzt aufgrund tiefliegender mathematischer Zusammenhänge

überlegen, die hier nur angedeutet werden sollen: Die Funktionentheorie zeigt, dass Real- und Imaginärteil

sogenannter analytischer Funktionen, wie die Impedanz oder Admittanz eine ist, nicht voneinander unabhängig

sind, sondern bestimmten Gesetzmäßigkeiten gehorchen. Dies gilt auch für den Logarithmus der Impedanz (bzw.

der Admittanz), deren Realteil der Logarithmus des Betrags (also des Scheinwiderstands) und deren Imaginärteil

~ ~

der Phasenwinkel ist: ln Z = ln Z + jϕ

.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 81

• Die Fehler dieser Approximationen sind weiter unten dargestellt. Sie betragen in der

Amplitude max. 3 dB, in der Phase max. 6°.

• Die logarithmische Frequenzskalierung erlaubt außerdem einen Überblick über einen

großen Frequenzbereich als bei linearer Achse.

Bodediagramm der bezogenen Impedanz der RC-Parallelschaltung,

exakter Frequenzgang und Approximation durch Geradenstücke


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 82

Fehler der Approximation durch Geradenstücke nach Amplitude und Winkel

Geht man vom Bodediagramm der Impedanz zu dem der Admittanz über, wird ein weiterer

Vorteil der logarithmischen Darstellung ersichtlich. Bei der Bildung des Kehrwerts werden

sowohl Amplitude als auch die Phase einfach gespiegelt:

~ 1

Y = ~

Z


~

dB( Y ) = −dB(

Z

~ ) ,

~ ~

∠Y

= −∠Z

Das Bodediagramm kann nun sofort aus dem der Impedanz abgeleitet werden:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 83

Bodediagramm der bezogenen Admittanz der RC-Parallelschaltung,

exakter Frequenzgang und Approximation durch Geradenstücke

10.2 RL-Reihenschaltung

R

L

Z = R + jωL

= R( 1+

jωτ

) ,

~ Z

Z = = 1+

jωτ ,

R

1

Y = R(1

+ jωτ )

, L

τ =

R

~ 1

Y = RY =

1+

jωτ

Die RL-Reihenschaltung zeigt also eine ähnliche Charakteristik wie die RC-Parallelschaltung,

nur dass die Rollen von Impedanz und Admittanz vertauscht sind.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 84

10.3 RL-Parallelschaltung

R

L

Y

=

1

+

R

1

=

jωL

1 1+

jωτ

,

R jωτ

Z

jωτ

= R , 1 + jωτ

L

τ =

R

~

Y = RY

1+

jωτ

= ,

jωτ

~

Z =

Z

R

jωτ

=

1+

jωτ

Die Ortskurven der Impedanz und Admittanz sind eine Geraden bzw. ein Kreise, was man

ähnlich wie in Abschnitt 10.1 schnell nachgewiesen werden kann.

Im

1

R

− 45°

ω = ∞

Re

1

R

Y

ωτ = 1

ω → 0

Admittanzortskurve der RL-Parallelschaltung

Im

R / 2

ωτ = 1

ω = 0

Z

ω = ∞


tan 1 ( 1/ ωτ )

R / 2

R

Re

Impedanzortskurve der RL-Parallelschaltung


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 85

10.4 RC-Reihenschaltung

R

C

Z

= R +

1

jωC

1+

jωτ

= R ,

jωτ

Y

=

1 jωτ

R 1 + jωτ

, τ = RC

~

Z =

Z

R

1 + jωτ

= ,

jωτ

~

Y = RY

jωτ

=

1 + jωτ

Die normierte Impedanz und Admittanz gleichen denen der RL-Parallelschaltung, nur das

wiederum die Rollen von Impedanz und Admittanz vertauscht sind.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 86

10.5 RLC-Parallelschwingkreis

R L C

Bestimmung der Impedanz:

Z

=

1

+

R

1

1

+

jωL

jωC

= Z

0

2

ω + 2djωω

− ω

2

0

jωω

0

0

= Z

0


1+

2 jdΩ

− Ω

2

Verwendete Abkürzungen (vgl. Abschnitt 7.2)

ω = 1

0

LC

, L

Z =

C

0 ,

d

1 Z 1 L

= 0

= ,

2 R 2R

C

Zweckmäßigerweise bezieht man auch die Frequenz auf die Kennkreisfrequenz. Die Größe

Ω =

wird dann als normierte Frequenz oder Verstimmung bezeichnet. Bezieht man außerdem die

Impedanz auf die Kennimpedanz, folgt die Darstellung

ω

ω 0

~

Z =

Z

Z

=

0 1+

2


jdΩ

− Ω

2

Die Admittanz ist dann

Y

=

2

1 1 1 ω0

+ 2 jdωω0

− ω 1+

2 jdΩ

− Ω

+ + jωC

=

= Y0

R jωL

Z jωω


0

0

2

2

Bezieht man auf die Kennadmittanz

C 1

Y 0 = =

L Z

0

ergibt sich die bezogenen Admittanz

~ Y 1+

2 jdΩ

− Ω

Y = =

Y jΩ

0

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 87

Die Ortskurve der Impedanz ist auch hier ein Kreis, wie man wie folgt nachweist:

~

Z =

=

=

=

=

Z

Z

0

1

4d

1

4d

1

4d

1

4d


=

1 + 2 jdΩ

− Ω


+

1 + 2 jdΩ

− Ω

4djΩ

+

4d

2

− ( 1 + 2 jdΩ

− Ω )

2

( 1 + 2 jdΩ

− Ω )

1 − 2 jdΩ

− Ω


4d

2

( 1 + 2 jdΩ

− Ω )

⎡ 1 − 2 jdΩ

− Ω

⎢1


⎣ 1 + 2 jdΩ

− Ω

2

2

1


4d

2

2

2




Der Betrag des 2. Summanden ist gleich 1. Die Ortskurve ist also ein Kreis mit Mittelpunkt

auf der reellen Achse bei

Z =

4d

0 R

und dem gleichen Radius. Der maximale Scheinwiderstand wird gerade in dem Punkt

erreicht, in welchem die Ortskurve die reelle Achse schneidet, also Z rein reell ist. Dies ist

bei

mit

2

Ω max =1

Z max Z = R

max =

ω

der Fall. Bei der Frequenz Ω = 1 macht sich also nur der Widerstand R in der Impedanz

bemerkbar. Die Erklärung hierfür ist, dass sich bei dieser Frequenz die komplexen Leitwerte

von Spule und Kondensator genau kompensieren.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 88

Im

Ω = 0

Ω = ∞

Z

R

Ω = 1

Re

Impedanzortskurve des RLC-Parallelschwingkreises

Das Verhältnis von maximaler Impedanz und Kennimpedanz wird als Güte

Z

max

Q p = =

Z0

bezeichnet. Die Güte gibt also die Resonanzüberhöhung an. Außerdem lässt sich

näherungsweise das Verhalten der Impedanz für kleine und große Frequenzen untersuchen.

Die Ergebnisse sind der folgenden Tabelle dargestellt.

R

Z

0

Z ~ ∠Z ~

Ω > 1

= Qp

= 0°

1

≈ ≈ −90°

Ω

Diese Charakteristika spiegeln sich unmittelbar im Bodediagramm wieder. Die

asymptotischen Näherungskurven stellen sich im Amplitudengang als Geraden mit

Steigungen von +20 dB/Dekade bzw. -20 dB/Dekade dar.

Ganz allgemein stellen sich Amplitudengänge der Form

A = A Ω

0

n


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 89

(mit positiven oder negativen Exponenten n), welche häufig als Asymptoten komplizierter

Amplitudengänge auftreten, in doppelt-logarithmischen Achsen als Geraden dar:

Diese Geraden haben die Steigung

dB( A ) = 20 n lg10 Ω + db( A0

) ,

dB( A)

− dB( A )

lg Ω

10

0

=

20 n

,

was üblicherweise als „ n ⋅ 20 dB/ Dekade “ bezeichnet wird.

Je größer die Güte, also je kleiner die Dämpfung, desto schneller dreht die Phase beim

Durchgang durch die Resonanzstelle Ω = 1. Wie man durch kurze Rechnung zeigen kann,

beträgt die Winkeländerung

∠Z

~

1

( Ω = 1) = −


d

= −2

Q p

Legt man an den Phasengang im Punkt Ω = 1 eine Tangente, schneidet diese die

waagerechten ± 90°

-Linien bei logarithmischer Frequenzdarstellung an den Stellen

Ω

π

π


= e d

1 , Ω = e d

2

Mit diesen Punkten lässt sich die Tangente und mit dieser ein genäherter Phasengang rasch

konstruieren.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 90

Bodediagramm der Impedanz des RLC-Parallelschwingkreises hier für d = 0, 1 bzw. Q = 5 ,

dargestellt sind im Amplitudengang die beiden Asymptoten mit

im Phasengang die Tangente im Punkt Ω = 1

± 20dB/Dek.

,

p


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 91

Bodediagramm der Impedanz des RLC-Parallelschwingkreises mit d als Parameter

Bodediagramm der Admittanz des RLC-Parallelschwingkreises mit d als Parameter

Die Bandbreite ist derjenige Frequenzbereich, in welchem das Verhältnis von

Scheinwiderstand Z zum maximalen Scheinwiderstand Zmax

größer als 1/

2 ist. In

Dezibeln entspricht dies einem maximal erlaubten Abfall um 3 dB. Bei der Bestimmung

dieser Frequenzgrenzen arbeitet man vorteilhafterweise mit dem Betragsquadrat, um die sonst

auftretenden Quadratwurzeln zu vermeiden:

Z

Z

Z

Z

Z

=

0

=

max 0 Zmax

1+

2

2 jdΩ

jdΩ

− Ω

2

Z

Z

2

2

max

=

2

4d

Ω

1

=

2 2 2 2

( 1−

Ω ) + 4d

Ω 2

2

2 2 2 2

( 1−

Ω ) 4d


⎥⎦

2 2 1

4d

Ω = ⎡ + Ω

2 ⎢⎣

2 2 2 2

( 1−

Ω ) = 4d

Ω

2 =

1−

Ω 2d Ω


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 92

Fallunterscheidung: Annahme Ω > 1:

2

Ω − 2dΩ −1

= 0

Positive Lösung liefert obere Grenzfrequenz (negative Lösung bleibt außer Acht):

2

Ω B 2 = d + d +

1

Annahme 0 < Ω < 1:

2

Ω + 2dΩ −1

= 0

Die positive Lösung liefert diesmal untere Grenzfrequenz:

Normierte Bandbreite:

2

Ω B 1 = −d

+ d +

1

∆Ω

B

= Ω Ω

2d

B2 − B1

= =

1

Q

p

bzw.

∆ ω =

B

Die Bandbreite ist umgekehrt proportional zur Güte. Anders ausgedrückt: Das Produkt aus

normierter Bandbreite und Güte ist stets gleich 1:

ω 0

Q

p

Q ∆Ω

p

B

= 1

Man beachte, dass außerdem gilt

Ω 1 .

B1 Ω B 2 =

Diese Eigenschaft drückt aus, dass die beiden Frequenzgrenzen auf der logarithmischen

Frequenzachse genau symmetrisch um Ω = 1 angeordnet sind.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 93

Zur Definition der Bandbreite

10.6 RLC-Reihenschwingkreis

R

L

C

~ Z 1+

2 jdΩ

− Ω

Z = =

,

Z jΩ

0

2

~

Y =

Y

Y

=

0 1+

2


jdΩ

− Ω

2

Die Impedanz und Admittanz erhalten wieder die gleiche Form wie beim RLC-

Parallelschwingkreis, nur das abermals die Rollen vertauscht sind. Daher können die

Ergebnisse aus dem vorangegangenen Abschnitt direkt übertragen werden.

Für die Güte des Reihenschwingkreises gilt entsprechend

Ymax 1 1/

R

Q s = = = .

Y 2d

Y

0

0


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 94

11 Übertragungsfunktionen

Bislang wurden bei Impedanzen und Admittanzen die komplexen Zeiger von Strom und

Spannung an denselben Klemmen eines Netzwerks ins Verhältnis gesetzt. Ganz allgemein

kann man auch den Quotient beliebiger komplexer Zeiger in einem Netzwerk bilden. Ein

solcher Quotient wird Übertragungsfunktion genannt, z.B.:

U

H =

I

1

I

H =

U

Setzt man zwei Spannungen bzw. zwei Ströme ins Verhältnis, spricht man von einer

frequenzabhängigen Spannungsverstärkung bzw. Stromverstärkung:

2

U

H =

U

2

1

2

1

H =

I

I

2

1

Beispiel: Übertragungsverhalten eines RLC-Reihenschwingkreises

I

L C R

U

U L

U C

U R

Impedanz:

1+

jωRC

− ω LC

Z = bzw.

jωC

2

Z

Z

0

1+

2 jdΩ

− Ω

=


2

Admittanz:

Y

Y


=

1 jdΩ

− Ω

0 + 2

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 95

Im Folgenden sollen die frequenzabhängigen Verhältnisse der Teilspannungen

zur Gesamtspannung U untersucht werden.

U L ,

U C , U R

H

L

U

=

U

L

=

Z

Z

L

=

jωL

=

Z

Y


Y

0 + 2

2

− Ω

=

1 jdΩ

− Ω

2

H

C

U

=

U

C

=

Z

Z

C

=

1

jωC

Z

=

1 Y


Y

=

0 1+

2

1

jdΩ

− Ω

2

H

R

U

=

U

R

=

Z

Z

R

= RY

1

=

Q

s

Y

Y

=

0 1+

2

2 jdΩ

jdΩ

− Ω

2

Das Resonanzmaximum von

H = H liegt wie das der Admittanz bei Ω = 1

R

R

H R max = 1

R

mit

Die Maxima von

Maximums von

HC

aber, das Maximum von

HL

und HC

liegen aber bei anderen Frequenzen. Die Frequenz des

wird durch Nullstellensuche der 1. Ableitung bestimmt. Einfacher ist es

H

2

C

, noch einfacher, das Minimum von

2

1/

HC

zu suchen, wobei

man nochmals Rechenarbeit sparen kann, indem man nicht nach Ω , sondern nach

differenziert:

1

2 2 2 2

( 1−

Ω ) 4d

Ω

= +

2

H C

2

( − ) + 4 = 0

2

( 2

d 1/ HC )

= −2 1 Ω d

2

d(

Ω )

2

Ω

Ω

2

= 1−

2d

2

Ω

C

=

1−

2d

2

Die Stelle des Maximums von

H L bestimmt man auf ähnlich konzentriertem Rechenweg 10 :

2 2 2 2

2

1 (1 − Ω ) + 4d

Ω ⎛ 1 ⎞

=

= 1 +

2

4

⎜ −

2


H L

Ω

⎝ Ω


4d

2

1

Ω

2

10 Selbstverständlich gelangt man auch ohne solche rechensparende Substitutionen auf dem konventionellen Weg

der Kurvendiskussion zum selben Ergebnis, hat dann aber einige Zeilen mehr zu schreiben.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 96

2

( 2

d 1/ H L ) ⎛ 1 ⎞

= 2 1 4

2

⎜ −

2

⎟ + d

d(1/

Ω ) ⎝ Ω ⎠

= 0

Ω

L

=

1

1−

2d

2

Demnach gilt

Ω CΩ L = 1,

Das bedeutet, dass diese beiden Resonanzstellen sich auf der logarithmischen Frequenzachse

symmetrisch um Ω = 1 anordnen. Die Ergebnisse bedeuten aber, dass es reelle Lösungen nur

gibt, wenn die Dämpfung klein genug ist, genauer:

1

d

2 <

2

bzw.

d <

1

2

bzw.

Q s

>

1

2

Ist die Dämpfung größer bzw. die Güte kleiner, prägt sich keine Resonanzüberhöhung mehr

aus. Die Maxima von H und HC

gewinnt man durch Einsetzen. Beide resultieren zu

L

H

C max

= H

L max

=

2d

1

1−

d

2

=

Q

s

1

1−

(2Q

)

s

2

Für große Güte bzw. kleine Dämpfung wird dies sehr gut durch

H

C max

H

= L max

≈ Q

s

genähert. Für die Frequenz Ω = 1

gilt sogar exakt (vgl. Frequenzkennlinien)

H ( 1) = und H ( 1) = − jQs

.

L jQ s

C


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 97


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 98


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 99

12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen

12.1 Momentan-, Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Es werde ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen:

u( t)

= U 2 cos( ω t + ϕu

)

i( t)

= I 2 cos( ω t + ϕi

)

Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme:

p(

t)

= u(

t)

i(

t)

= 2 UI

= UI

= UI

cos( ωt

+ ϕu

)cos( ωt

+ ϕi

)

[ cos( ϕu

−ϕi

) + cos( 2ωt

+ ϕu

+ ϕi

)]

[ cosϕ

+ cos( 2ωt

+ ϕ + ϕ )]

Die Momentanleistung besteht aus einem zeitlich konstanten Term und einem mit der

doppelten Frequenz oszillierenden Term. Weitere Umformung liefert:

p(

t)

= UI

= UI

Alternative Rechnung mit komplexen Zeigern:

[ cosϕ

+ cosϕ

cos 2( ωt

+ ϕu

) + sinϕ

sin 2( ωt

+ ϕu

)]

cosϕ[ 1+

cos 2( ωt

+ ϕ )] + UI sinϕ

sin 2( ωt

+ ϕ )

u

u

i

u

u(

t)

=

i(

t)

=

2 Re

2 Re

( ) [ ]

j ω 2 t

j ω t * −

Ue Ue U e

j ω

= +

t

2

( ) [ ]

j ω 2 t

j ω t * −

Ie Ie I e

j ω

= +

t

2

p(

t)

= u(

t)

i(

t)

=

=

1

2

1

2

= Re

= UI

jωt

* − jωt

jωt

* − jωt

[ Ue + U e ][ Ie + I e ]

* * 2 jωt

* * −2

jωt

[ U I + U I + U Ie + U I e ]

*

2 jωt

( U I ) + Re( U Ie )

j(

ϕ u −ϕ

i )

j(2ωt

+ ϕ u + ϕ i )

Re( e ) + UI Re( e )

= UI cosϕ

+ UI cos

( 2ωt

+ ϕ + ϕ )

u

i


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 100

Hieran erkennt man, dass die Momentanleistung aus zwei Anteilen besteht:

• Einem Gleichanteil der Größe UI cosϕ

.

• Einem mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term mit der Amplitude UI .

Es soll aber noch eine andere Darstellung erarbeitet werden:

p(

t)

= UI Re

= UI Re

= UI Re

= UI cosϕ

= UI cosϕ

j(

ϕu

−ϕi

)

j(2ωt+

ϕu

+ ϕi

)

( e ) + UI Re( e )


j(2ωt+

2ϕu

−ϕ

)

( e ) + UI Re( e )


− jϕ

j(2ωt+

2ϕu

)

( e ) + UI

e e )

In dieser Darstellung identifizieren wir drei Terme:

+ UI cosϕ

cos2( ωt

+ ϕu

) + UI sinϕ

sin2( ωt

+ ϕu

)

( 1+

cos2( ωt

+ ϕ )) + UI sinϕ

sin 2( ωt

+ ϕ )

• Wiederum den Gleichanteil der Größe UI cosϕ

.

u

• Einen mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term, welchen wir in dieser

Phasenlage auch bei einem ohmschen Widerstand erwarten würden. Die Amplitude

dieser Schwingung ist genau so groß wie der Gleichanteil UI cosϕ

. Auch diese

Eigenschaft entspräche der Leistung an einem ohmschen Widerstand.

• Einen weiteren mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term, allerdings mit einer

gegenüber dem vorangegangenen Term um 90° voreilenden Phasenlage und einer

Amplitude von UI sinϕ

.

Die mittlere Leistung einer Periode heißt Wirkleistung. Das ist auch der Gleichanteil der

Momentanleistung:

P = p = UI cosϕ

= Re

*

( U I )

Die Wirkleistung P ist aber gleichzeitig die Amplitude des ozillierenden Leistungsanteils,

welcher in Phase mit der Leistungspendelung an einen ohmschen Widerstand ist. Der Term

heißt Leistungsfaktor oder Wirkfaktor.

λ = cosϕ

Als Blindleistung wird die Amplitude der Leistungsschwingung mit der um 90° verschobenen

Phase bezeichnet:

Q = UI sinϕ

= Im

*

( U I )

Die Scheinleistung wird einfach als Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung

definiert:

u


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 101

S = UI

Unter Verwendung der Wirk- und Blindleistung lässt sich die Momentanleistung schreiben als

( 1+

cos2( ω t + ϕ )) + Qsin

( ωt

+ ϕ )

p(

t)

= P

2

Aus der ersten Darstellung der Momentanleistung sehen wird, dass die Scheinleistung S die

Schwingungsamplitude des gesamten oszillierenden Anteils ist:

Außerdem findet man eine Darstellung mit Wirk- und Scheinleistung:

p(

t)

= P + S cos 2

u

( ω t + ϕ + ϕ )

u

i

u

û

î i(t) u(t)

ϕ

ωt

P + S

p(t)

P

P 0

− S

ωt

Momentwerte von Spannung, Strom und Leistung

Wirk-, Blind-, Scheinleistung und der Phasenwinkel hängen also wie folgt zusammen:

P = S cosϕ

Q = S sinϕ

bzw.

Letzteres lässt sich geometrisch interpretieren.

2

2

2

S = P + Q .


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 102

S

Q

ϕ

P

Geometrische Interpretation der Beziehung zwischen

Wirk-, Blind-, Scheinleistung und dem Phasenwinkel:

Wirk- und Blindleistung lassen sich zu einem komplexen Leistungszeiger

*

S = U I = P + jQ =


Se

zusammenfassen. Damit erhalten wir eine weitere Interpretation der Momentanleistung p(t)

als Realteil eines mit der doppelten Frequenz um den Mittelpunkt S rotierenden Zeigers der

Länge S :

j(2ω t+

ϕu

+ ϕi

)

j2(

ωt+

ϕ )

( S + Se ) = Re( S + Se )

i

p( t)

= Re

.

Im

j

Se

( 2ω t+

ϕu

+ ϕi

)

Q

S

ϕ

P − S

P

p(t)

P + S

Re

Interpretation der Momentanleistung als Realteil eines rotierenden komplexen Zeigers

Begriffe (für Verbraucherzählrichtung):

P > 0

P < 0

Q > 0

Q < 0

verbrauchend, dissipierend oder motorisch

erzeugend oder generatorisch

induktiv

kapazitiv


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 103

Maßeinheiten

[ P]

= 1 W = 1 VA

[ Q]

= 1 VA

[ S]

= 1 VA

Bei Blind- und Scheinleistungen wird die Einheit 1 VA, obwohl es formal korrekt wäre,

üblicherweise nicht als 1 W geschrieben 11 .

Im Generatorzählpfeilsystem kehren sich die Vorzeichen bzw. die Bedeutungen um:

P > 0

P < 0

Q > 0

Q < 0

erzeugend oder generatorisch, liefert Wirkleistung

verbrauchend, dissipierend oder motorisch

liefert induktive Blindleistung, zeigt selbst also kapazitives Verhalten

liefert kapazitive Blindleistung, zeigt selbst also induktives Verhalten

Darstellungen mit Admittanzen und Reaktanzen

Mit

U = Z I = ( R + jX ) I bzw. I = YU = ( G + jB)

U

folgen die Darstellungen (vgl. Abschnitt 9.4)

P Q S

2

RI

2

XI

2

ZI

2

GU

2

− BU

2

YU

Bedeutung der Blind- und Scheinleistung

Elektrotechnische Komponenten und Systeme werden häufig nach den Effektivwerten des zu

führenden Stroms I und der Spannung U bemessen und ausgelegt (einfachstes Beispiel:

11 Für die Blindleistung ist die Einheit „1 var“ zwar weit verbreitet (r für reactive, also für die Blindkomponente),

und sogar nach DIN 1301, Teil 1 zulässig, doch besteht weder Grund noch Notwendigkeit, für die

Blindleistung eine gesonderte Einheit einzuführen, da VA völlig ausreicht. Die Einheit „var“ ist im System der

internationalen Einheiten nicht vorgesehen. Beispiele weiterer, leider immer wieder ins Kraut schießender

unzulässiger Schreibweisen: A eff , V ss , W el , U/min usw. Korrekt: Der Effektivwert des Strom ist I=5 A, die

Spannungsschwankung beträgt U ss =0,5 V, die elektrische Leistung ist P el =1,5 MW, die Drehzahl (das ist die

Zahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit) beträgt n=1000/min.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 104

Kabel). Das Produkt beider Größen ist die Scheinleistung. Die Scheinleistung ist also ein Maß

für die Bemessung, damit meist auch für die Kosten. Bei Systemen der Energieübertragung

und -wandlung möchte man häufig bei gegebener Scheinleistung möglichst viel Wirkleistung

umzusetzen, also einen Leistungsfaktor cosϕ

möglichst nahe 1 erreichen.

Der normale Haushaltsstromzähler misst nur die Wirkleistung, die Blindleistung bleibt außer

Acht. Die Energieversorgungsunternehmen (EVU) stellen jedoch bei großen

Stromverbrauchern auch die bereitgestellte Blindleistung in Rechnung bzw. setzen

Grenzwerte für den zulässigen Leistungsfaktor des Verbrauchers.

12.2 Leistung und Energie

Nach obigen Abschnitt gilt

( 1+

cos2( ω t + ϕ )) + Qsin

( ωt

+ ϕ )

p(

t)

= P

2

Nach Abschnitt 5 gilt auch die Energiebilanz:

p( t)

= pi ( t)

+ w&

( t)

Aus einer Mittelwertbildung über eine Periode folgt, dass die zugeführte Wirkleistung im

zeitlichen Mittel die im Innern des Zweipols verbrauchte (dissipierte) Leistung sein muss,

u

u

denn für periodische Vorgänge muss gelten

P = p( t)

= p + w&

= ,

w& = 0 ,

i p i

Eine einfache Zuordnung der mit Kosinus und Sinus oszillierenden Terme in der

Momentanleistung zu den Termen p i (t)

und w& (t)

gelingt im Allgemeinen jedoch nicht. Es

gelingt im Allgemeinen auch nicht, allein durch Betrachtung von Wirk- und Blindleistung

ohne Kenntnis der inneren Struktur des Zweipols eine Aussage über die mittlere gespeicherte

Energie zu gewinnen.

Für Kondensatoren und Spulen können wir aber durch Kenntnis der inneren Zusammenhänge

als mittlere gespeicherte Energien angeben:

W

C

= w

C

1 2 2

Q

= Cu

2

1

( t)

= CU

2

1 S

= UI = = −

2ω 2ω


W

1 2 2

Q

L = wL

=

= Li

2

1

( t)

= LI

2

Für die Scheitelwerte der gespeicherten Energien gilt:

1 S

= UI =

2ω 2ω


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 105


C

= 2W

C

Q

= −

ω


= 2W

L L =

Q

ω


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 106

12.3 Wirk- und Blindstrom

Wirkstrom:

Blindstrom:

I w

= I cosϕ

I b

= I sinϕ

Damit lassen sich Wirk- und Blindleistung schreiben als

P = UI w

Q = UI b

Im

U

I b

I w

ϕ

I

Re

In Parallelschaltungen addieren sich die Wirk- und Blindströme der einzelnen Zweipole:

Ebenso gilt:

I w = ∑ I wk , I b = ∑ I bk

k

k

P = ∑ P k , Q = ∑Q k ,

k

k

auch

S

= ∑ S k

k

Solches gilt aber nicht für die Summe der Scheinleistungen ∑

k

S !

k


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 107

12.4 Wirk- und Blindspannung

Wirkspannung:

U w

= U cosϕ

Blindspannung:

U b

= U sinϕ

Damit lassen sich Wirk- und Blindleistung schreiben als

P = U

Q = U

w

b

I

I

Im

U

U b

ϕ

I

U w

Re

In Reihenschaltungen addieren sich die Wirk- und Blindspannungen der einzelnen Zweipole:

Ebenso gilt:

U w = ∑U wk , U b = ∑U bk

k

k

P = ∑ P k , Q = ∑Q k , S = ∑

k

k

k

S k


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 108

12.5 Wirk- und Blindleistungsbilanz sowie Gesamtenergie in Netzwerken

Aus den Abschnitten 12.3 und 12.4 folgt, dass sich Wirk- und Blindleistung über die

Elemente eines Netzwerks bilanzieren:

sowie für die komplexen Leistungszeiger

P = ∑ P k , Q = ∑

k

k

S

= ∑ S k

k

Ähnliches gilt nicht für die Summe der Scheinleistungen ∑ S k , ebenso nicht für die

k

Phasenwinkel.

Aus der Bilanz der Blindleistungen ergibt sich, dass Elemente mit positiver und negativer

Blindleistung sich gegenseitig kompensieren können. Dies ist der wesentliche Gedanke bei

der Blindleistungskompensation, bei der die (häufig induktive) Blindleistung eines

Verbrauchers durch einen Blindleistungskompensator mit entgegengesetzter (meist

kapazitiver) Blindleistung kompensiert wird.

Wird ein Netzwerk aus elementaren R, L, C-Elementen aufgebaut, lässt sich für die mittlere

im gesamten Netzwerk gespeicherte Energie nach Abschnitt 12.2 finden:

Q k

W

1

= ∑ W k = ∑ Q


k

k

k

Aufgrund der Betragsbildung in der Summe lässt sich die Gesamtenergie im Allgemeinen

nicht aus der Gesamtblindleistung bestimmen.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 109

12.6 Tabelle für Schein-, Wirk- und Blindleistungen

ϕ S P Q

R

0

RI

2 =

2

U

R

2

U

RI

2 = 0

R

L

C

π

2

+ 2

π

2

− 2

ωLI

0 2

ωLI

ωCU

0 2

−ωCU

R

L

ωL

arctan

R

+

2 2 2 2

R + ω L I

2

RI

2

ωLI

R

C

1

− arctan

ωRC

R

2 1 2

+ I

2

2 2

RI

ω C

2

I


ωC

R

L

R

+ arctan

ωL

1

R

2

1

+

2

ω L

2

U

2

U 2

R

2

U

ωL

R

C

− arctanωRC

1

R

2

2

+ ω C

2

U

2

U 2 2

−ωCU

R


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 110

13 Reale Bauelemente (L, C, R)

13.1 Normreihen

Standardisierte Bauelemente werden für bestimmte Normwerte bereitgehalten. Die Werte

ergeben sich durch logarithmische Teilung einer Dekade und Rundung auf möglichst glatte

Werte. Es gibt die Normreihen E3, E6, E12, E24:

E3 E6 E12 E24 exakte

logarithmische

Teilung

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0000

1,1 1,1007

1,2 1,2 1,2115

1,3 1,3335

1,5 1,5 1,5 1,4678

1,6 1,6156

1,8 1,8 1,7783

2,0 1,9573

2,2 2,2 2,2 2,2 2,1544

2,4 2,3714

2,7 2,7 2,6102

3,0 2,8730

3,3 3,3 3,3 3,1623

3,6 3,4807

3,9 3,9 3,8312

4,3 4,2170

4,7 4,7 4,7 4,7 4,6416

5,1 5,1090

5,6 5,6 5,6234

6,2 6,1897

6,8 6,8 6,8 6,8129

7,5 7,4989

8,2 8,2 8,2540

9,1 9,0852

10 10 10 10 10,0000

13.2 Kennwerte

Idealisierte Bauelemente werden allein durch den Wert ihres Widerstands, der Induktivität

oder der Kapazität bestimmt. Reale Bauelemente werden darüber hinaus durch eine Zahl

weiterer Spezifikationen beschreiben.

Grundsätzlich lassen sich die angegebenen Daten in zwei Kategorien einteilen:



Betriebskennwerte, die das Verhalten im normalen Betrieb charakterisieren

Grenzwerte, die keinesfalls verletzt werden dürfen


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 111

Je nach Bauelement und Einsatzbereich sind dies z.B.:

Betriebskennwerte:

• Kennwert des Widerstands, der Induktivität der Kapazität

• Toleranzen der Kennwerte

• typische Verlustleistung

• Angaben über parasitäre Effekte (z. B. Innenwiderstand und Kapazität bei Spulen)

• Grenzfrequenz

• Temperaturkoeffizient

• Angaben über Abweichungen von der Linearität

• geometrische Abmaße

• Schutzklasse

• usw.

Grenzwerte:

• maximale Spannung

• maximaler Strom

• maximale Änderungsrate von Strom oder Spannung (Strom- oder Spannungssteilheit)

• maximale Spitzen-Verlustleistung

• maximale Dauerleistung

• zulässiger Bereich der Betriebstemperatur

• zulässiger Bereich der Luftfeuchtigkeit

• zulässige Umgebungsbedingungen (z.B. explosive Gase)

• zulässige Bereiche der Temperatur und Luftfeuchtigkeit für Transport, Lagerung und

Montage (Löttemperatur)

• mechanische Beanspruchbarkeit

• Lebensdauer, Zahl der Temperaturzyklen

• usw.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 112

13.3 Bauformen

13.3.1 Widerstände

SMD-Widerstand

0,125 W bis 70 ºC

SMD-Leistungs-Widerstand 1 W,

zulässige Betriebsspannung 300 V bis 155 ºC

Drahtwiderstände 4 W Toleranz ±5%. Nicht

gewickelt, sehr geringe Induktivität

Drahtwiderstände 50Ω/25 W

Drahtwiderstände 10Ω/100 W Toleranz 5%.

Drahtwiderstände 300 W.

Bremswiderstände für Schaltschränke,

1,0-50 kW

z. B. für Antriebe mit Frequenzumrichtern.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 113

Widerstandsspannungsteiler für

Hochspannungs-Messung

ca. 500kV

13.3.2 Kondensatoren

Keramischer Kondensator,

unipolar,

Hohe Resonanzfrequenz bis 10MHz.

Spannung 50 V

SMD Keramischer Kondensator,

unipolar,

Nennspannung 50V

Tantal-Kondensator mit radialen

Anschlüssen, Polaritätskennzeichnung (+),

kleiner Verlustfaktor.

SMD Tantal-Kondensator bis 35V.

Frequenzbereich bis 1MHz

Elektrolytkondensator,

Low-ESR besonders im Frequenzbereich

10kHz – 1MHz,

Temperaturbereich: -55 bis +105 ºC.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 114

SMD Elektrolytkondensator bis 50V,

Polaritätskennzeichnung (-) ,

Temperaturbereich: -40 bis +85 ºC

Folienkondensator,

Temperaturbereich -55 bis +100 ºC.

Hochspannungskondensator,

Einsatz für Schaltnetzteile,

Kapazitätstoleranz ±20% ·

Temperaturbereich -40 bis +105 °C,

-25 bis +105 °C.

Schraubenkondensator,

für hochprofessionelle

Stromversorgungsgeräte,

hohe Strombelastbarkeit,

spannungslose Lagerung bis 10 Jahre

möglich.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 115

13.3.3 Drosseln

SMD Drossel

10 bis 1000 mH

Frequenzbereich bis 20MHz

Nennstrom 400 to 3500 mA

Entstördrosseln,

z. B. für Thyristor- und Triac-Schaltungen

Luftspule

Entstördrossel mit Ferrit-Ringkern

Drossel mit EI-Ferritkern


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 116

13.4 Reales Verhalten

Modellierung des realen Verhaltens durch Ersatzschaltbilder mit idealen Elementen.

Die Wahl des passenden Ersatzschaltbildes (also des Modells) ist abhängig von der

Problemstellung und der notwendigen Detaillierungstiefe. Die Entscheidung für ein Modell

erfolgt aufgrund:

• Modell-Verifikation durch Messung unter Problem-typischen Bedingungen

• durch Vergleich verschiedener Modellierungsansätze (wenn Messungen nicht möglich

sind)

• Erfahrung

Beispiele für verschiedene Modelle bzw. Ersatzschaltbilder:

Widerstand

R

L s

L s

R

R

C s

idealer Widerstand

mit parasitärer Induktivität

(insb. bei gewickelten

Drahtwiderständen)

außerdem mit parasitärer Kapazität


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 117

Kondensator

Ri1

R i 2

C

R i

C

C1

C 2

Re

idealer Kondensator

mit Innenwiderstand

(sogenanntem ESR:

equivalent series resistor)

Kettenleitermodell mit Entladewiderstand

Spule

L

R i

R i

L

L

C s

ideale Spule

mit Innenwiderstand

(ESR)

zusätzlich mit parasitärer

Kapazität


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 118

13.5 Verlustwinkel und Verlustfaktor

Als reaktive Bauelemente bezeichnet man Kondensatoren und Spulen, da diese im Idealfall

nur eine Reaktanz, aber keine Resistanz aufweisen. Die Güte realer Bauelemente wird durch

die Abweichung vom idealen Verhalten bewertet. Dazu wird der Verlustwinkel eingeführt.

Dieser ist die Abweichung vom idealen Phasenwinkel von 90° bei induktiven bzw. von -90°

bei kapazitiven Bauelementen:

π

δ = −

2

∠Z

π

= − ϕ

2

Der Phasenwinkel ϕ der Impedanz lässt sich über ihren Real- und Imaginärteil, also der

Resistanz und Reaktanz bestimmen:

tanϕ =

X

R

tanϕ =

X

R

Daraus folgt:


tan⎜


π

2


− ϕ ⎟ =


R

X

tanδ =

R =

X

B

G

Der Term tanδ

wird Verlustfaktor genannt. Er wird durch Messung der Reaktanz und

Resistanz bzw. der Suszeptanz und der Konduktanz bestimmt. Typischerweise sind

Verlustwinkel und Verlustfaktor nicht konstant, sondern frequenzabhängig.

Beispiel: Kondensator mit Innenwiderstand

C

R i

C

idealer Kondensator

mit Innenwiderstand

(ESR)

Der äquivalente Serienwiderstand Ri

eines Kondensators (auch R ESR , engl.: Equivalent

Series Resistor) fasst verschiedene Verluste eines realen Kondensators zusammen:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 119

- Ohmsche Verluste der Zuleitungen

- Dielektrische Verluste durch Umladung des Kondensators

- Isolationsverluste

Impedanz des Ersatzschaltbildes und resultierender Verlustfaktor:

1

Z = Ri

+ ,

jωC

1

R = Ri

, X = −

ωC

R

tanδ

= = ω R

X

i

C


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 120

14 Einfache magnetische Systeme mit Kern und Luftspalt

14.1 Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises

u

i

lL

N

AFe

l Fe

i 1(

t )

u 1(

t )

Spule mit Kern mit Luftspalt

im Kern

Luftspule

Schaltzeichen

Magnetischer Fluss:

φ ∫b

⋅ dA

=

A

Magnetische Spannung:

b: magnetische Flussdichte

h: magnetische Feldstärke

θ ∫ h ⋅ ds

=

l

Annahme stückweise homogener Felder im k-ten Element des magnetischen Kreises:

φ

k

=

A b

k

k

θ

k

= l

k

h

k

Annahme eines linearen Materialgesetzes:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 121

ergibt

bk

= µ rk µ 0

θ = R φ

mit dem magnetischen Widerstand oder der magnetischen Reluktanz

k

k

k

h

k

θk

R k = =

φ

k

l

A µ

k

k

rkµ 0

Der Kehrwert des magnetischen Widerstands ist die magnetische Leitfähigkeit

1 φk

Ak

µ rkµ 0

Λ k = = =

R θ

k

Im einem einfachen magnetischen Kreis gilt (Quellenfreiheit des magnetischen Feldes):

Das Induktionsgesetz:

Wird ein ohmscher Innenwiderstand

Die Größe

heißt Verkettungsfluss.

Der Durchflutungssatz:

φ = φ k = const.

k

u = N φ & = ψ&

l

k

Ri

der Spule berücksichtigt, lautet die Gleichung:

u − R i = N φ & = ψ&

i

ψ = Nφ

∑θ k = Ni .

Die Quelle der magnetischen Spannung Ni heißt Durchflutung.

Es folgt

k

ψ =

N 2 i

R magn

mit dem gesamten magnetischen Widerstand


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 122

R = R + R

magn

L

Fe

Häufig kann der Kernwiderstand bei hochpermeablem Material gegenüber einem Luftspalt

vernachlässigt werden:

Rmagn ≈ R L

i

u Ri

i

φ

θ Fe

u

R i

Nφ &

Ni

R Fe

R L

θ L

elektrisches Teilsystem

magnetisches Teilsystem

gekoppelte Teilsysteme

14.2 Induktivität und Energie

Vgl. Abschnitte 3.4 und 4.1!

L =

ψ 2

N 2

i

=

R

magn

Je geringer der magnetische Widerstand, desto größer die Induktivität. Ohne Luftspalt wird

bei ansonsten gleich bleibenden Parametern die größte Induktivität erreicht:

= N

Λ

ψ

L = =

i

N

2

A

Fe

l

µ

Fe

rFe

µ

0

Energie (vgl. Abschnitt 3.4):

wL =

1 Li

2

Anscheinend steigt die speicherbare Energie mit der Induktivität. Das ist aber ein Trugschluss

bzw. nur für die Betrachtung konstanten Stroms richtig. Andere Darstellung der Energie:

w

1

2L

1

2

2 2

L = ψ = φ R magn

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 123

Bei gegebenem magnetischem Material ist die Flussdichte begrenzt und somit auch der Fluss

und Verkettungsfluss begrenzt. Bei einem maximal möglichen Fluss nimmt die speicherbare

Energie also mit steigender Induktivität ab!

Physikalische Interpretation: Die magnetische Energie wird Wesentlichen im Luftspalt, kaum

im Eisen gespeichert. Eine Drossel, die Energie speichern soll, muss einen Luftspalt oder

einen äquivalenten magnetischen Widerstand haben. Das hochpermeable Kernmaterial dient

lediglich der Flussführung und Flusskonzentration durch die Wicklung.

Viele weitere sinnvolle Darstellungsformen für die magnetische Energie:

w

L

1 2

= Li

2

1

= ψ i

2

1

= φNi

2

1 2

= φ R

2

1

= φ∑θk

2

1

=

2

1

=

2

1

=

2

=

1

2


V

k

k

k

k




magn

φ θ

A b l

k k k

V b h

k

k

k

bh dV

k

h

k

Hierbei sind

V = A l

k

k k

die Volumina der Elemente und V das Gesamtvolumen.

Die Größe

ist die Energiedichte des magnetischen Feldes.

1

bh

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 124

14.3 Beziehungen zwischen Scheinleistung, Geometrie und Material

i

Fe

A Fe

A W

A Fe : Querschnittsfläche des Kerns

A W : Fläche des Wicklungsfensters

Sinusförmige Speisung:

u( t)

=

ψ ( t)

=

2 U cosωt

U

2 sinωt

ω

Scheitelwert der Flussdichte:

ψ ( t)

2 U

b( t)

= = sinωt

= bˆ

sinωt

NA ω NA

Fe

Fe

U

bˆ 2 =

ω N

A Fe

Bei einer gegebenen maximalen Flussdichte

Spannung

ˆb max

des Kernmaterials folgt die maximale

U

max

=

1

2


max

ω N

A Fe

Fenster (Window) für Wicklung:

A =

W

A

Cu

k

cu

N

N : Windungszahl


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 125

A Cu : Drahtquerschnitt

k : Füllfaktor, typische Werte: 0,25-0,65 (Drahtwicklungen) bis 0,9 (für Formspulen)

Cu

Maximaler Strom bei gegebener maximaler Stromdichte J max

(Effektivwert):

I

= A

J

max Cu max =

A

W

k

Cu

N

J

max

Maximale Scheinleistung:

S

max

= U

max

I

max

=

1

2

J

max


max

ω k

Cu

A

Fe

A

W

Das Produkt

A =

p

A

Fe

A

W

heißt Flächenprodukt und ist eine typische Kenngröße magnetischer Bauelemente (Einheit:

[ A ] = 1m

p

4

) und steht in direkter Beziehung zur Scheinleistung:

A

p

=

J

b

2

max ˆmax

ω k

Cu

S

max

Werden magnetische Bauelemente gleicher Konstruktion, aber unterschiedlicher

geometrischer Skalierung, welche durch eine charakteristische Längenabmessung l

beschrieben werde, miteinander verglichen, ergeben sich die folgenden Wachstumsgesetze:

Länge

Volumen

Masse

Kernquerschnitt

Wicklungsfenster

Flächenprodukt

Scheinleistung

l

3

V ~ l

3

M ~ l

2

~ l

A Fe

A W

2

~ l

4

~ l A p

S

4

max Ap

~ l ~

~ V

4 / 3

Nach Abschnitt 12.2 gilt

Außerdem gilt nach Abschnitt 14.2

W

= w

L L =

S


W

L

1

= wL

= φ

2

1

4

2 2

Rmagn

= bˆ

max

A

2

Fe

R

magn

Daraus folgt der benötigte magnetische Widerstand zu


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 126

R

magn

2S

=


max

2 2

max AFe

=

ω

2

J

max



ω k

max Cu

2 2

max AFeω

A

Fe

A

W

=

2 J


max

max

k

A

Cu

Fe

A

W

Alternativer Weg:

R

NI

= φ

2NI


A

max

magn = =

max

Fe


max

2NS

A

Fe

max

U

max

Der notwendige magnetische Widerstand wird entweder bei hochpermeablen Kernen durch

einen entsprechenden Luftspalt oder durch Kernmaterial mit passender Permeabilität

realisiert.

Bei hochpermeablem Kernmaterial wird der magnetische Gesamtwiderstand im Wesentlichen

allein durch den Luftspalt bestimmt,

R

magn


µ 0

lL

A

Fe

und es folgt für die notwendige Luftspaltbreite

l

L


S

= µ A R = =

2 µ J

0 0 max

0 max

2

ˆ

Cu

Fe magn


max AFeω

bmax

k

A

W

Wird der magnetische Widerstand ohne Luftspalt, aber mit Kernmaterial mittlerer

Permeabilität (Index Fe wird weiterhin verwendet), folgt aus dem magnetischen Widerstand

R

magn

l

=

µ 0 µ

Fe

rFe

A

Fe

für die notwendige Permeabilitätszahl

lFe

lFebˆ

2

max AFeω

µ rFe =

=

=

A µ R 2µ

S

Fe

0 magn 0 max 2


µ J

0

max

l

max

Fe

k

Cu

A

W

In diesem Fall werden typischerweise Kerne aus pulverisierten Materialien (Pulverkerne)

eingesetzt.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 127

Typische Werte verschiedener Materialien

Material

ˆb max /T µ r

Ferrite (NiZn, MnZn) 0,1-0,5 10-2000

Dynamobleche (Fe) 1-1,5 1000-10000

Permalloy, MuMetall (FeNi) 1 10000-50000

Fe-Pulverkerne 0,5-1,9 10-100

FeNi-Pulverkerne 1-1,5 20-300

FeSiAl-Pulverkerne 1 25-120

Die maximalen effektiven Stromdichten Jmax

in Cu liegen (je nach Gesamtvolumen der

Wicklung und Kühlung) in der Größenordnung von 10 A/mm 2

A Fe

A Fe

A W

Cu

Fe

A W

Cu

Fe

Geometrische Darstellung der Durchdringung von magnetischem und elektrischem Kreis


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 128

Skizze einer Auslegung eines magnetischen Bauelements:

• Anforderung festlegen: Z. B. U , max , ω oder U , , ω bzw. I max , L,

ω

max I

max L

• daraus folgt Smax

• Materialvorauswahl liefert ˆb max , Wickelverfahren und Kühlung (häufig

Erfahrungswerte) bestimmen kCu

und Jmax

• damit Flächenprodukt Ap

bestimmen

A , A festlegen, hier gibt es einen Konstruktionsfreiheitsgrad α : AW

= α Ap

,

• W Fe

A = /α . Ggf. für ersten Entwurf: α = 1

W A p

• geometrische Konstruktion mit den Flächen A W A Fe ausführen bzw. entsprechende

Standardkerne auswählen

• Luftspalt bestimmen oder Materialauswahl über µ r festlegen


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 129

14.4 Kraftwirkung

u

i

F

Fe

d

F

Fe

Magnetischer Druck (Vorgriff auf Feldtheorie):

1

p = bh

2

Der magnetische Druck ist gleich der Energiedichte. Betrachtung der Einheiten:

[ p]

A Vs Ws

= 1 = 1

2 3

m m m

Nm N

= 1 = 1

3

2

m m

=

J

1

m

3

An der Grenzfläche Luft-Eisen wirkt die Druckdifferenz:

∆p

=

p

L

− p

Fe

1

= ( bLh

2

L

− b

Fe

h

Fe

)

Die Kraft ergibt sich also als

F

= 2A

Fe∆

p

Wegen

h Fe

≈ 0

und

b L = b Fe

gilt näherungsweise

p 1

∆ ≈

2 b L h L


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 130

und somit für die Kraft:

F = 2A

Fe

Fe

2

lL

2

2

2

Fe N

2

µ 0 A N i µ 0 A

∆ p = AFebLhL


=

4d

i

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 131

14.5 Nichtlineare Magnetisierung

Viele magnetische Materialien können nur näherungsweise für kleine Feldstärken bzw.

Flussdichten durch das lineare Materialgesetz

b = µ r h 0 µ ,

beschrieben werden. Für größere Felder wird das Verhalten stark nichtlinear (gesättigt). Der

Zusammenhang wird dann durch eine nichtlineare Kennlinie beschrieben (Unterscheidung

von Funktionswert und Funktionsname durch Klein- und Großbuchstaben):

b = B(h) ,

Unter der Annahme homogener Felder folgt die Kennlinie zwischen magnetischer Spannung

und Fluss durch Umskalierung der Materialkennlinie:

⎛ v ⎞

φ = Ab = AB( h)

= AB⎜

⎟ = Φ ( v)

⎝ l ⎠

Entsprechendes folgt für den Zusammenhang zwischen Verkettungsfluss und Strom, sofern

der magnetische Kreis nur aus dem einen betrachteten Element besteht:

⎛ Ni ⎞

ψ = NAb = NAb( h)

= NAb⎜

⎟ = Ψ ( i)

⎝ l ⎠

b

Typische Magnetisierungkennlinie mit Sättigung

h


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 132

Besteht der magnetische Kreis aus einem nichtlinearem Element (Kern), einem linearen

magnetischen Widerstand (Luftspalt) und einer magnetischen Spannungsquelle (Durchflutung

der Wicklung) wie im dargestellten Bild, so kann die Lösung der resultierenden nichtlinearen

Gleichung grafisch ermittelt werden: Dazu werden die nichtlineare Kennlinie φ über θFe

(oder umgekehrt) sowie die lineare Kennlinie der magnetischen Spannungsquelle NI mit dem

magnetischen Innenwiderstand R gezeichnet und der Schnittpunkt bestimmt.

magn

φ

R L

Ni

h

φ

(φ ) Θ Fe

nichtlinearer

Kern

Nichtlinearer magnetischer Kreis

φ

Ni

R L

Ni

θ

Schnittpunkt der Kennlinien der magnetischen Quelle mit linearem Innenwiderstand

mit der Kennlinie der nichtlinearen Reluktanz


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 133

Alternativ: Bildung der gesamten magnetischen Spannung

v = θ + θ = R φ + Θ

L

Fe

als neue nichtlineare Kennlinie. Die nichtlineare Kennlinie wird um die Luftspaltgerade

geschert:

L

Fe

(φ)

φ

Luftspaltgerade

θ = RLφ

θ

Fe =

Θ

Fe

(φ)

um die Luftspaltgerade

gescherte Kennlinie

θ = R Lφ

+ ΘFe(φ)

θ

Gescherte Gesamt-Magnetisierungskennlinie

Wird eine Spule mit nichtlinearer Magnetisierung mit sinusförmiger Spannung beaufschlagt,

folgt ein sinusförmiger Verkettungsfluss

ψ& ( t)

= u(

t)

= 2 U cosωt

,

2 U

ψ ( t)

= sinωt

,

ω

der Strom dagegen ist nicht sinusförmig, sondern resultiert aus der Umkehrfunktion zu Ψ (i)

:

−1

i = Ψ ( ψ ) = I(

ψ )

Je nachdem, wie weit die Magnetisierungkennlinie bis in die Sättigung ausgesteuert wird,

resultiert eine mehr oder weniger starke Stromverzerrung:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 134


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 135

14.6 Hysterese

b

b r

Neukurve

− h c

h

b r :

h c :

remanente Flussdichte

Koerzitivfeldstärke

Die Kurve, die die Umkehrpunkte der aussteuerungsabhängigen Hystereseschleifen verbindet,

heißt Kommutierungskurve.

Die Form der Hysterese hängt ab von der Vorgeschichte, die Gestalt ändert sich auch mit der

Frequenz. Bei nicht vollständigem Umlauf bzw. bei asymmetrischer Aussteuerung ergeben

sich weitere Abweichungen.

Um Materialien mit Hysterese zuverlässig zu entmagnetisieren, werden Wechselfelder mit

langsam abnehmender Amplitude aufgeschaltet.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 136

ψ


i

dw = idψ

W V

i

Wegen

∫ dw = ∫ p( t)

dt = ∫ u(

t)

i(

t)

dt = ∫ψ

& ( t)

i(

t)

dt = ∫ i(

ψ ) dψ

= ∫

W V = v(

φ)


gibt die von der Hysterese umschlossene Fläche die Ummagnetisierungs- oder

Hystereseverluste an. Ist T die Periodendauer eines Umlaufs, ist die mittlere Verlustleistung

WV

P V = =

T

f

W

V

In erster Nährung sind die Verluste also der Frequenz proportional.

P V ~

f

Für höhere Frequenzen gilt dies nicht mehr, da sich auch die Gestalt der Hysterese

frequenzabhängig ändert. Die Verluste können dann überproportional steigen:

P

V

e

f

~ f , e ≈ 1...2

f

Für die Abhängigkeit von der Amplitude kann als grobe Näherung angesetzt werden:

P

V

ˆeb

~ b ; e ≈ 2...3

b


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 137

Die Zusammenfassung dieser beiden empirischen Gesetze führt zu der sogenannten

Steinmetz-Gleichung

P = K

V

f


e f e b


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 138

15 Transformator

15.1 Aufbau, Schaltzeichen

l L

φ

i 1

i 2

u 1

N 1

N 2

u 2

Zwei-Wicklungs-Transformator mit Luftspalt

(dargestellt sind gleichsinnige Wicklungsrichtungen)

mit Kern

mit Luftspalt

im Kern

Lufttransformator

i ( ) i ( )

i ( ) i 2 ( t)

1 t

2 t

u 1(

t)

u 2 ( t)

u 1 ( t)

u ( ) 2 t

1 t

gleichsinnige

Wicklungsrichtungen

gegensinnige

Wicklungsrichtungen

Elektrische Schaltbilder

(mit Verbraucherzählpfeilsystemen auf Primär- und Sekundärseite)


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 139

15.2 Idealisiertes Verhalten

RL

φ 1

φ 2

N 1 i 1

N 2 i 2

R Fe

Einfaches Reluktanzmodell

φ = φ 1 = φ 2

1


ψ 1 ψ =

N N

2

2

⇒ 12 2

ψ &

1

N

1

ψ&

=

N

2


u 1 u2

u

= bzw.

1 N =

1 = α

N1

N 2 u2

N 2

α : Übersetzungsverhältnis (vielfach auch ü)

φ =

N1i1

+ N 2i

R

magn

2

=

N1i

R

1

L

+ N 2i

+ R

Fe

2

bzw.

N i

N

i

1 1 + 2 2

= φ

R magn

Zunächst idealisierte Annahme R = 0

magn

(kein Luftspalt, hochpermeabler Kern):

N i

+ N i

1 1 2 2 =

0

12 nur unter der Annahme, dass die Flussanfangswerte verschwinden, ist auch der Umkehrschluss möglich


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 140

bzw.

i

i

2

1

N

= −

N

1

2

= −α

Ströme und Spannungen der Primär- und der Sekundärseite werden beim idealen

Transformator genau mit dem Übersetzungsverhältnis übersetzt.

i ( ) i 2 ( t)

1 t

u 1 ( t)

u 2(

t )

Verbraucher-

Zählpfeilsystem

Erzeuger-

Zählpfeilsystem

Schaltbild mit gemischten Zählpfeilsystemen

Verwendet man gemischte Zählpfeilsysteme bei gleichsinnigen Wicklungen wie in obigem

Bild, lassen sich die Strom- und Spannungsübersetzungen mit positivem Vorzeichen

schreiben:

u

u

1

2

i

=

i

2

1

=

N

N

1

2

= α ,

Die komplexe Zeigerrechnung für sinusförmige Größen lässt sich auch auf Transformatoren

anwenden:

U

U

1

2

=

I

I

2

1

=

N

N

1

2

= α

Es gilt die Leistungsbilanz (gemischtes Zählpfeilsystem):

p = = ,

1 u1i1

= p2

u2i2

Der ideale Transformator speichert keine Energie!

Schein-, Wirk- und Blindleistung sind beim idealen Transformator (gemischte

Zählpfleilsysteme) auf Primär- und Sekundärseite gleich (invariant):

S = = bzw.

1 U1I1

= S2

U 2I

2

*

*

1

= U

1

I 1 = S

2

U

2

I 2

S =

P =

1 = Re S

1

= P2

Re

Q =

1 = Im S

1

= Q2

Im

S

S

2

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 141

Das ideale Transformatorverhalten beruht auf folgenden Annahmen:

• beide Wicklungen sind ideal miteinander verkettet, es gibt keinen Streufluss

• der magnetische Widerstand des Kreises ist Null

• die ohmschen Widerstände der Wicklungen sind Null

i ( ) i 2 ( t)

1 t

i 1 ( t)

u ( )

1 t

u 2 ( t)

Z

u 1 ( t)

2

Z


= α

Z

idealer

Transformator

α :1

Transformation von Impedanzen

Z

U

U

2 1 1

= = ,

2

I 2 α I1

Auf die Primärseite transformierte Impedanz:

U

Z


=

I

1 2

= α

1

Z


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 142

15.3 Messwandler und Übertrager

Transformatoren, die so gestaltet sind, dass sie dem idealen Verhalten möglichst nahe

kommen, werden als Wandler oder Übertrager eingesetzt. Hierbei steht nicht die Leistungs-,

sondern die Signalübertragung, ggf. auch die galvanische Entkopplung von Ein- und Ausgang

im Vordergrund.

15.3.1 Stromwandler

Transformator zur Strommessung: Ist der zu messende Strom zu groß für den eigentlichen

Stromsensor, kann er zuvor durch einen Stromwandler heruntergesetzt werden. Dazu wird das

Übersetzungsverhältnis α < 1 gewählt. Gleichzeitig wird durch den Stromwandler eine

galvanische Entkopplung, also eine Potenzialtrennung, erreicht. Der Stromwandler darf nur

einen geringen ohmschen Widerstand aufweisen und benötigt daher geeignete

Leiterquerschnitte. Oft ist N 1 = 1, d. h. die Primärwicklung wird nur einmal durch den Kern

geführt.

Der in der Regel sehr kleine Innenwiderstand Ri

des sekundärseitigen Stromsensors übersetzt

sich auf die Primärseite nach dem vorangegangenen Abschnitt entsprechend

2

i′ = α

R R < R

i

i

i ( ) i t ) = α i ( )

1 t

2 ( 1 t

u ( t)

1 ≈

0

Ri

A u ( t)

0

2 ≈

Stromwandler

RFe

φ 1 ≈ 0

2

N 1 i 1

N 2 i

Magnetischer Kreis des Stromwandlers


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 143

Der Stromwandler wird spannungsmäßig nur sehr wenig belastet, daher ist der magnetische

Fluss im Kern klein. Ein ggf. nicht-idealer magnetischer Kernwiderstand verursacht daher

trotzdem keinen großen magnetischen Spannungsabfall und beeinträchtigt das

Stromübersetzungsverhältnis kaum. Aus dem nicht idealen magnetischen Widerstand und

dem elektrischen Widerständen von Stromsensor und Wicklungen resultiert letztlich eine

untere Grenzfrequenz (s. elektrisches Ersatzschaltbild) von

R

R

( R R )

2 + i 2 + i Fe

ω min = =

.

2

L2

N2

R

2

i1 ( t) / α R 1 /α R2

i 2 ( t)

α u 1(

t )

L

2 =

N

2

2

R Fe

Ri

Stromsensor

Elektrisches Ersatzschaltbild des Stromwandlers

(Transformation der Größen auf die Sekundärseite)

Mit einem Stromwandler können folglich keine Gleichströme gemessen werden. Sollen auch

Gleichströme gemessen werden, kann man sich des Kompensationsprinzips bedienen. Ein

Sensor (Hall-Sensor) misst im Luftspalt eines Stromwandlers das Magnetfeld. Eine steuerbare

Stromquelle wird so reguliert, bis das magnetische Feld verschwindet.

Magnetfeldsensor

Kompensationsregler

i 1

φ

i 2

A

i 2

u 1

N 1 =1

N 2

steuerbare

Stromquelle

Strommessung nach dem Kompensationsprinzip


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 144

15.3.2 Spannungswandler

Ist die zu messende Spannung zu groß für den eigentlichen Spannungssensor, kann sie durch

einen Transformator mit α > 1 heruntergesetzt werden.

Der Innenwiderstand des Spannungssensors

vorangegangenen Abschnitt entsprechend

Ri

übersetzt sich auf die Primärseite nach dem

2

i′ = α

R R > R

i

i

u ( )

1 t

i ( t)

0 i2(

t)

≈ 0

1 ≈

Ri

1

V u2( t)

= u1(

t)

α

Spannungswandler

N1i1


0

φ

R Fe

φ

N

i

2 2 ≈

0

Magnetischer Kreis des Spannungswandlers

i ( ) R 1

α 2 R2

αi 2 ( t)

1 t

u 1 ( t)

L

1 =

N

2

1

R Fe

2

α R i

Spannungssensor

Elektrisches Ersatzschaltbild des Spannungswandlers

Der Spannungswandler wird strommäßig nur sehr gering belastet. Er kommt daher mit

geringen Leiterquerschnitten aus, der Widerstand der Sekundärwicklung kann gegenüber dem

Innenwiderstands des Spannungssensors in der Regel vernachlässigt werden. Auf der


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 145

Primärseite ergibt sich jedoch aus Primärwiderstand und Induktivität eine untere

Grenzfrequenz von

R

R R

1 1 Fe

ω min = = .

2

L1

N1

Hierbei ist aber die Sättigung des Kerns und die damit verbundene Veränderung der

Induktivität nicht berücksichtigt: Es gilt unter Vernachlässigung von R1

1

b&

( t)

= u1(

t)

N A

1

Fe

Die Annahme einer maximalen Flussdichte

Spannung

ˆb max

führt bei angenommener sinusförmiger

u1( t)

= U1

2 cosω(

t)

zu der zusätzlichen Einschränkung an Amplitude und Frequenz

1 N 1 AFebˆmax

U

<

ω

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 146

15.4 Modellierung von Transformatoren mit Streuung

Im Folgenden werden gleichsinnige Wicklungen und Verbraucherzählpfeilsysteme auf

Primär- und Sekundärseite angenommen:

φ m

i 1

φ φ

1

2

i 2

u 1

φσ1

φ σ 2

u 2

φ m

Streuflüsse im Transformator mit Luftspalt.

Streuung: die nicht vollständige Verkettung zweier Wicklungen; der Anteil des Flusses einer

Wicklung, der nicht mit der anderen verkettet ist, heißt Streufluss: φ σ1, φ σ 2 . Der Anteil des

Flusses, der beide Wicklungen miteinander verkettet, ist der Hauptfluss φ m (m: main oder

mutual).

Eine Streuung ist nicht grundsätzlich unerwünscht, sondern ist bei manchen Anwendungen

durchaus sinnvoll und nutzbringend.

R L

φ 1

φσ1

φ σ 2

φ 2

N 1 i 1

N 2 i 2

R Ls1

R Ls2

R Fe1

R Fe2

R Fe3

Reluktanzmodell mit Luftspalt und Streuwegen.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 147

Rm

, Λ

m

φ 1

φ σ1

φ σ 2

φ 2

θ

1 = N1i1

R

Λ

σ1 ,

σ1

R

Λ

σ 2 ,

σ 2

θ

2 = N 2i2

φ m

Vereinfachtes Reluktanzmodell

Berechnung des magnetischen Kreises:

N i

1 1

φ σ 1 = ,


1

N

2 2

φ σ 2 = ,


2

i

φ

m

=

N 2

1 i1

+ N2i

R

m

⎛ 1

φ1

=


⎝ R

σ1

1

+

R

m

⎞ 1

⎟N1i1

+

⎠ Rm

N

i

2 2

=

( Λm

+ Λ 1) N1i1

+ Λm

N2i2

σ

Matrixschreibweise:

⎛ 1

φ2

=


⎝ R

σ 2

1

+

R

m


⎟N


i

2 2

1

+

R

m

N i

1 1

=

( Λm

+ Λ 2 ) N2i2

+ Λm

N1i1

σ

⎡φ1

⎤ ⎡Λm

+ Λσ

⎢ ⎥ = ⎢

⎣φ2

⎦ ⎣ Λm

1

m

Λ

m

Λ + Λ

σ 2

⎤ ⎡N1

⎥ ⎢

⎦ ⎣ 0

0 ⎤ ⎡i1


N

⎥ ⎢ ⎥

2⎦

⎣i2


bzw.

= N i

mit den Vektoren und Matrizen

⎡i1

⎤ ⎡φ1

⎤ ⎡N1

0 ⎤ ⎡Λm

+ Λσ

1 Λm


i = ⎢ ⎥ , =

⎣i

⎢ ⎥ , N =

2⎦

⎣φ

⎢ ⎥ , =

2 ⎦ ⎣ 0 N


⎥ ,

2 ⎦ ⎣ Λm

Λm

+ Λσ

2 ⎦

wobei

1

Λ m = ,

R

m

Λ σ 1

1

= ,

R

σ1

Λ σ 2

=

1

R

σ 2

die magnetischen Leitwerte der Haupt- und Streuwege sind. Die magnetische Leitwertmatrix

ist symmetrisch,


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 148

Übergang auf Verkettungsflüsse:

T

= .

⎡ψ

1⎤

⎢ ⎥

⎣ψ

2⎦

⎡N1

= ⎢

⎣ 0

0 ⎤ ⎡φ1


N

⎥ ⎢ ⎥

2⎦

⎣φ2


,

= N N i = L i

Die Matrix

⎡L11

L12


L = N N = ⎢ ⎥ ,

⎣L21

L22⎦

heißt Induktivitätsmatrix. Die Induktivitätsmatrix ist ebenfalls symmetrisch:

T

L

L = , bzw. L 12 = L21

⎡L

L = ⎢


m1

+ L

L

m

σ1

L

m2

L

m

+ L

σ 2




mit

N N

= Λ ,

1 2

Lm

N1 N2

m =

Rm

L

N1

= Λ ,

R

2

m1 N1

m =

2

m

L

N2

= Λ ,

R

2

m2 N2

m =

2

m

2

1

2 N

L σ1

= N1

Λ σ 1 = ,

R

σ1

2

σ 2 = N2Λ σ 2

L =

N

R

2

2

σ 2

Begriffe:

L 11 : primäre Selbstinduktivität

L 22 : sekundäre Selbstinduktivität

L : Hauptinduktivität oder Gegeninduktivität

m

L : primäre Hauptinduktivität

m1

L : sekundäre Hauptinduktivität

m2

L : primäre Streuinduktivität

σ1

L : sekundäre Streuinduktivität

σ 2

Streuung oder Streuziffer

σ =

L

2

2

11L22

− Lm

Lm

= 1−

= 1

L11L22

L11L22

L


L

m1

m2

11

L

L

22


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 149

Transformation der Größen der Primärseite mit dem Übersetzungsverhältnis:

u

1 u

α

1′ = 1 , ψ 1 = 1

Induktivitätsmatrix für die transformierten Größen:

⎡ ψ1′

⎤ ⎡ i1′


⎢ ⎥ = L′

⎢ ⎥

⎣ψ

2⎦

⎣i2


1

′ ψ , i1′

= α i1

α

L′

=

⎡L′



m

+ L′

L′

m

σ1

L′

L′

+ L

m

m

σ 2




mit

2

m′ = N2 m

Lm2

, L ′ 2

σ1

= N 2 σ1

= L 2 σ1

L =

1

α

Die Streuung ist gegenüber dieser Transformation invariant:

Die Summe der Ströme

heißt Magnetisierungsstrom.

σ = σ ′

i = i 1

′ + i 2

Interpretation in einem elektrischen Ersatzschaltbild (sog. T-Ersatzschaltbild):

µ

i1

i′

1 L′

σ1

L σ 2 i2

i µ

u 1

u′

1

L m′

= L m2

u 2

N 1 : N 2

idealer

Transformator

T-Ersatzschaltbild des Transformators mit Streuung,

Transformation der Primärgrößen auf die Sekundärseite


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 150

Je nach Erfordernis können alternativ die sekundärseitigen Größen auf die Primärseite

transformiert werden:

1

u2′ = α u 2 , ψ 2′ = α ψ 2 , i 2′

= i 2

α

2

2 2

m′ = N1 m

Lm1

, L ′

σ 2 = N1

σ

2 = α Lσ

2

L =

u 1

i1


1

σ 2

i µ

L′

L m′

= L m1

i′

2

u′

2

i2

N

1 : N 2

u 2

idealer

Transformator

T-Ersatzschaltbild des Transformators mit Streuung,

Transformation der Sekundärgrößen auf die Primärseite

Zusammenfassung der bisherigen Einsichten: Ein Transformator kann drei verschiedenen

Funktionen dienen:

• Spannungs- bzw. Stromanpassung

• Potentialtrennung

• Bereitstellung eines induktives Verhalten


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 151

15.5 Berücksichtigung der Verluste

Berücksichtigung der Innenwiderstände der Wicklungen:

i1

1

1

σ1 L σ 2

R 2 i2

i′

R′

L′

u 1

u′

1

L m′

= L m2

u 2

N 1 : N 2

idealer

Transformator

T-Ersatzschaltbild des Transformators mit Streuungen und elektrischen Widerständen.

R′

=

1

N

N

2

2

2

1

R

1

1

=

2 R

α

1

Die Eisen- oder Kernverluste setzen sich aus den Ummagnetisierungs- oder

Hystereseverlusten und den Wirbelstromverlusten zusammen. Beide Verlustterme können im

Ersatzschaltbild näherungsweise durch einen ohmschen Widerstand parallel zur

Hauptinduktivität berücksichtigt werden.

i 1

i′

1

R′ L′

1

1

σ

L σ 2

R 2

i 2

u 1

u′

1

R Fe

L′

m

u 2

α =

N 1 : N 2

idealer

Transformator

T-Ersatzschaltbild mit Berücksichtigung der Kernverluste


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 152

15.6 Leerlaufverhalten

Im Leerlauf (Sekundärwicklung offen) fließt nur Magnetisierungsstrom. Die

Streuinduktivitäten und Innenwiderstände sind meist klein gegenüber der Hauptinduktivität,

so dass für den Leerlauf das vereinfachte Ersatzschaltbild benutzt werden kann:

i 1

i′

2 = 0

u1

R Fe

L′

m

u′

2

Leerlauf-Ersatzschaltbild

Im Leerlauf gilt auch für den realen Transformator mit guter Genauigkeit

U

U

1

2

= α

Wird ein Transformator an eine sinusförmige Netzspannung geschaltet, entsteht – je nach

Einschaltzeitpunkt – ein Gleichanteil im Fluss (nur wenn im Spannungsmaximum oder

Minimum eingeschaltet wird, resultiert kein Fluss-Gleichanteil). Dadurch wird das

magnetische Material stark einseitig gesättigt. In Folge entstehen hohe Spitzen im

Magnetisierungsstrom, welcher über den dadurch verursachten Spannungsabfall am

Innenwiderstand der Primärwicklung den Flussgleichanteil langsam abbaut. Dieser Vorgang

heißt Rush-Effekt. Insbesondere bei großen Transformatoren mit kleinen Innenwiderständen

kann dies etliche Sekunden oder sogar Minuten dauern.

i 1

R 1

i′

2 = 0

u n ~

u1

R Fe

L′

m

u′

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 153

15.7 Kurzschluss und Verhalten bei Belastung

Beim Kurzschluss der Primär- oder der Sekundärwicklung oder bei großer Belastung können

Magnetisierungsstrom und Kernverluste vernachlässigt werden.

i1

Rk

L k

i2 = −i1


u1

u′

2

Z

′ 2

= α Z

Ersatzschaltbild für größere Belastung oder Kurzschluss

R k = R 1 + R 2


Kurzschlussimpedanz (bei Z ′ = 0 ):

L k = L σ + L′

1 σ 2

Z = R + jωL

= R +

k

k

k

k

jX

k

Nennimpedanz:

Z

N

U

=

I

1N

1N

Relative Kurzschlussspannung:

u =

k

Z

Z

k

N

Interpretation der Kurzschlussspannung: Im Kurzschlussversuch wird die Spannung der

jeweils nicht kurzgeschlossenen Wicklung so lange erhöht, bis Nennstrom fließt.

Relative Streuung:

x =

k

X

Z

k

N

Bei kleinen Innenwiderständen gilt

uk ≈ x k


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 154

Im

Ohmsche Last

Induktive Last

Im

ϕ 1

ϕ 2 = 0

ϕ 1

I

I

= −

1 I 2

= −

1 I 2

U


2

ϕ = + π

2

2

U


2

U 1

R k I1

R k

I 1

U 1

jωL

jωL

k I 1

k I 1

Re

Kappsches

Dreieck

Re

Kapazitive Last

Im

ϕ 1

I

= −

1 I 2

ϕ = − π

2

2

U 1

jωL

k I 1

Re

U


2

I 1 R k

Zeigerdiagramme am Transformator


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 155

15.8 Zusammenhang zwischen Geometrie und Scheinleistung

Die Zusammenhänge zwischen Scheinleistung und geometrischer Bemessung wie bei der

Spule (vgl. Abschnitt 14.3) gelten ähnlich auch für den Transformator. Beim Zwei-

Wicklungstransformator müssen sich aber zwei Wicklungen das Wicklungsfenster teilen:

A = A + A

W

W1 W 2

Berücksichtigt man unterschiedliche Füllfaktoren der beiden Wicklungen, erhält man

A

A

A

N I

1 max1

W = W1

+ W 2 = +

kCu1Jmax

Die Durchflutungen sind jedoch gleich groß,

N = ,

1Imax1

N2Imax 2

sofern man wiederum den Magnetisierungsstrom vernachlässigt. Analog zum Rechengang in

Abschnitt 14.3 erhalten wir:

mit

1

S N = Jmax b ˆmax ω k′

2

Cu

N

k

A

2

I

J

Cu2

Fe

A

max 2

W

max

k′

Cu

=

1

k

Cu1

1

1

+

k

Cu2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 156

16 Gleichstrommotor

16.1 Wirkprinzip

i E

i L

i L

u E

b

F

Permanent-

Magnet

b

F

elektrische

Erregung

Erregung

mit Permanentmagnet

Wirkprinzip aufgrund der Lorentzkraft

Kraftwirkung auf den stromdurchflossenen Leiter (Lorentzkraft), vektorielle Formulierung:

r r r

F = i l × b

L

Hier bei ist l r die gerichtete Länge des Leiterabschnitts, der dem Magnetfeld ausgesetzt ist

Stehen die vektoriellen Größen wie in der dargestellten Anordnung senkrecht aufeinander,

können wir schreiben.

F

= i

L

bl

.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 157

uE

i E

i L

T L

F

F

b

d

Drehmoment auf Leiterschleife

Drehmoment (torque):

T

d

= 2F

= Fd

2

L =

i

L

b d l

Induzierte Spannung in der Leiterschleife, entweder aus Induktionsgesetz:

oder aus der Leistungsbilanz:

Der Term

d

uL = ψ&

L = 2b

ω l =

2

u

i

p el = p mech

b d l ω

= T ω i bd lω

L L L =

L

u L = b d l ω

φ 0

= b d l

lässt sich als der magnetische Fluss deuten, der die Leiterschleife bei senkrechter Ausrichtung

und bei homogener Flussdichte durchdringen würde. Hiermit:

u L

= φ 0 ω

TL = φ0

i L


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 158

16.2 Aufbau

Hauptpol

Erregerwicklung

Ankerwicklung

Ständerjoch

Anker,

Läufer oder

Rotor

Bürste

Ankerwicklung

Luftspalt

Ständer oder

Stator

Schnittskizze eines Gleichstrommotors

Gleichstrommotor mit zwei Polpaaren, p = 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 159

16.3 Kommutator und Ankerwicklungsschemata

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16

Pol

i L

Kommutator

iA

i A

Wicklungsschema des Ankers

Schleifenwicklung, hier für p = 2 ,

Zahl der parallelen Zweige 2 a = 2 p

13 ←

14 ←

12 ←

15 ←

i L

→ 3

→ 2

→ 4

→ 1

15 ←

12 ←

14 ←

13 ←

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

→ 1

→ 4

→ 2

→ 3

iA

i A

Wicklungsschema des Ankers

Wellenwicklung, hier für p = 2 ,

Zahl der parallelen Zweige 2 a = 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 160

16.4 Mathematische Modellierung

Bezeichnungen:

TL

Drehmoment einer Leiterschleife

T gesamtes Drehmoment des Ankers (Luftspaltdrehmoment)

N A Zahl der Anker-Leiterschleifen

NE

Gesamtzahl der Erregerwindungen aller Pole

2a

Zahl der parallelen Ankerstromzweige

p Polpaarzahl

α Polbedeckung, Verhältnis der aktiven Polflächen zur Ankeroberfläche

φE

Erregerfluss

bE

Erregerflussdichte

l aktive Länge des Ankers

d Ankerdurchmesser

δ Luftspaltbreite

A Polfläche

pol

Resultierendes auf den Anker wirkendes Drehmoment:

T

N

T α N α i = N

= A L = A φ0

L

A

b

E

d lα

i

L

Ankerstrom i A

teilt sich auf 2a Zweige auf:

i

1

=

2a

L i A

Damit:

π d lα

φ E = bE

Apol

= b

2 p

E

T

=

p N


A

φ

E

i

A

= c

M

φ

E

i

A

Die Konstante

c

M =

p N


A

heißt Motorkonstante. Sie ist eine dimensionslose Zahl, die nur vom konstruktiven Aufbau

abhängt. Mit der Abkürzung


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 161

α N A d l b

ψ E′

= cM

φE

=

2a

lässt sich die Drehmomentgleichung sehr knapp als

T = ψ E ′ i A

schreiben. Die induzierte Spannung (elektromotorische Kraft, EMK) folgt wieder aus der

Leistungsbilanz,

u = φ ω = ψ ′ ω ,

i c M

E

oder alternativ durch Summation der induzierten Spannungen der in Reihe geschalteten

Leiterschleifen.

Spannungsgleichung des Ankerkreises unter Berücksichtigung des Ankerwiderstands

Ankerinduktivität LA

und des Bürstenspannungsabfalls u B :

u = u + L i&

+ R i + 2u

A

i

A

A

A

E

A

E

B

R A , der

Mit guter Genauigkeit kann der Bürstenspannungsabfall uB

als eine konstante, vom

Ankerstrom unabhängige Spannung von etwa 1 V angesetzt werden.

Erregerstromkreis:

u = L i&

+ R

E

E

Beachte: Im Allgemeinen sind zwei Wicklungen stets über die Gegeninduktivität miteinander

gekoppelt. Die Flüsse von Erreger- und Ankerwicklung sind aber durch die zueinander

senkrechte Anordnung nicht miteinander verkettet, so dass die Gegeninduktivität zwischen

diesen Wicklungen Null ist.

Bestimmung der Induktivität des Erregerkreises: Hierzu wird der magnetische Widerstand der

Eisenwege gegenüber dem des Luftspalts vernachlässigt:

E

E

i

E

Λ

E

=

R

µ A


µ 0 α π d l

=


2 p

1

=

0 Pol

=

0

L

µ α π d l

4 pδ

Ist N E die Gesamt-Windungszahl aller in Reihe geschalteten Erregerspulen, wirkt je Polpaar

die magnetische Spannung (Durchflutung oder magnetomotorische Kraft, MMF)

θ N E i E

E = p

,

woraus sich der Erregerfluss zu


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 162

φ

E

= Λ θ

E

E

µ 0 α π d lN

=

2

4 p δ

E

i

E

ergibt. Ein Motor wird so konstruiert, dass die Flussdichte

b

E

=

φE

A

pol

µ 0 NE

= i

2 pδ

E

nicht zu stark im gesättigten Teil der Magnetisierungskennlinie liegt. Typische Werte liegen

im Bereich von 1 bis 1,4 T.

Der Erregerfluss ist mit allen

ist also

N E

Windungen verkettet; der mehrfach verkettete Erregerfluss

ψ

E

= N

E

φ

E

= N

E

Λ θ

E

E

2

E

µ 0 α π d lN

=

2

4 p δ

i

E

Die Erregerinduktivität ergibt sich dann zu

L

ψ

=

i

E

E

=

E

µ α π d l N

0

4 p

2

δ

2

E

Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen

Drehmoment

T = c φ i = ψ ′ i = L′

i

M

E

A

E

A

E

E

i

A

Erregerfluss

ψ

E

= L

E

i

E

Ankerspannung

Erregerspannung

A

cM

L

ψ E′

=

N

E

E

A

E

i

A

E

= L′

i

A

E E

u = ψ ′ ω + L i&

+ R i + 2u

u = L i&

+ R

E

E

E

E

i

E

A

B


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 163

Ersatzschaltbilder

i A

LA

RA

i E

LE

RE

u A

u = ′ ω

i

ψ E

u E

Ersatzschaltbilder des Anker- und des Erregerkreises

Dynamisches Verhalten

Das dynamische Verhalten des Anker- bzw. Erregerstroms entspricht dem eines RL-Glieds.

Die maßgeblichen Anker- und Erregerzeitkonstanten sind

τ

A

=

L

R

A

A

und

L

E

τ E = .

RE

16.5 Elektrische und mechanische Leistung, Wirkungsgrad

Elektrische Leistung (Verbraucherzählpfeilsystem):

p = p + p = u i + u

Mechanische Leistung (Erzeugerzählpfeilsystem):

Energiebilanz:

el

el

elA

elE

p mech = ωT

A

E

A A

p = w&

+ w&

+ p + p

V

i

E E

mech

Verlustleistung:

V

VA

VE

2

EiE

p = p + p = R + R

2

AiA

Innere Energien:

1 2

w A = LAiA

,

2

w =

E

1

2

L

2

EiE

Wirkungsgrad des Ankerkreises (Vernachlässigung der Erregerverluste) im stationären

Zustand für den motorischen Betrieb:


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 164

( )

ω

ψ

ψ

ω

ω

ψ

ω

ψ

ψ

ω

ω

ψ

ω

ω

η

T

R

T

R

T

T

R

T

I

I

R

T

I

U

T

P

P

E

A

E

A

E

E

E

A

A

E

A

A

A

A

elA

mech

2

2 1

1


+

=


+

=











+


=


+

=

=

=


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 165

16.6 Schaltungsarten, Klemmenbezeichnungen und Schaltzeichen

Man unterscheidet verschiedene Schaltungsarten:

• Fremderregung: Erreger- und Ankerkreis werden aus verschiedenen elektrischen

Quellen gespeist

• Nebenschluss: Erreger- und Ankerkreis sind parallel geschaltet

• Reihenschluss: Erreger- und Ankerkreis sind in Reihe geschaltet

• Doppelschluss: Mischform von Neben- und Reihenschluss

Wicklung

Ankerwicklung

Wendepolwicklung*

Kompensationswicklung*

Erregerwicklung für Reihenschlussschaltung

Erregerwicklung für Nebenschlussschaltung

Erregerwicklung für Fremderregung

Klemmen

A1, A2

B1, B2

C1, C2

D1, D2

E1, E2

F1, F2

* Auf diese Wicklungen wird im Rahmen dieser Lehrveranstaltung nicht eingegangen.

A1

Anker

D1 D2 E1 E2 F1 F2

Erregerwicklungen

(alternativ)

A2

B1

B2

C1

C2

Wendepolwicklung

Kompensationswicklung

Schaltbild des Gleichstrommotors mit verschiedenen Wicklungen

(Erregerwicklungen werden stets senkrecht zum Ankerstrompfad dargestellt)


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 166

16.7 Fremderregter und permanent erregter Motor

Beim fremderregten Betrieb werden Erreger- und Ankerwicklung unabhängig voneinander

gespeist. Typischerweise werden der Erregerstrom und damit der Erregerfluss konstant

gehalten,

i

= const. ⇒ φ = const.

bzw. ψ ′ const.

E E

E =

Dies gelingt durch Aufschaltung einer konstanten Erregerspannung uE

allerdings nur

unvollkommen, da sich der Strom aufgrund des temperaturabhängigen Erregerwiderstands

RE

verändern kann. Ggf. wird deshalb eine Erregerstromregelung vorgesehen, welche die

Erregerspannung derart reguliert, so dass stets der gewünschte Erregerstrom fließt.

Beim permanent erregten Motor wird der Erregerfluss von einem Permanentmagneten

erzeugt. Sein Verhalten gleicht dem des fremderregten Motors mit konstantem Erregerstrom.

i A

u A

i E

ω,T

u E

Fremderregter Gleichstrommotor

Stationäres Strom-Spannungs-Verhalten bei konstanter Drehzahl

U = ψ ′ ω + R

A

E

Wird der Anker bei sich drehender Maschine kurzgeschlossen, U A = 0 , fließt der

Kurzschlussstrom

A

I

A

I

Ak

ψ E′

ω

= −

R

A

Wird dagegen der Motor nicht belastet, also T = 0 und somit I A = 0

Leerlaufspannung

stellt sich die

U = ψ E

′ ω

A 0

ein.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 167

U A

U A0

R A

ω = const.

I Ak

I A

Stationäre Strom-Spannungskennlinie für eine konstante Drehfrequenz

U A

ω > 0

R A

ω = 0

I A

ω < 0

Kennlinienschar für konstante Drehfrequenzen


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 168

U A

U A

erzeugend

(generatorisch)

verbrauchend

bremsend

antreibend

(motorisch)

ω = 0

I A

I A

verbrauchend

erzeugend

(generatorisch)

antreibend

(motorisch)

bremsend

Betriebsarten

dargestellt in der Strom-Spannungs-Ebene

Betriebsarten:

Pel

P

P

P

el

me

me

> 0

< 0

> 0

< 0

verbrauchend, dissipierend

erzeugend, generatorisch

antreibend, motorisch

bremsend

Stationäres Drehmoment-Drehzahl-Verhalten bei konstanter Spannung

Einsetzen der Drehmomentbeziehung in die Spannungsgleichung:

U

A

R

=

ψ ′

A

E

T + ωψ


E

Auflösen nach ω

Ankerspannung:

ergibt das stationäre Drehmoment-Drehzahl-Verhalten für konstante

U

ω =

ψ ′

A

E

R T


ψ

A

2

E′

Losbrech-Drehmoment und Anker-Anlaufstrom (bei ω = 0 ):

U

I =

A

A0 ,

RA

T

0

U Aψ E′

=

R

A

Problem: Bei kleinem Ankerwiderstand kann ein sehr großer Anlaufstrom resultieren.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 169

Leerlaufdrehzahl (bei T = 0 bzw. I = 0)

A

U A

ω0

=

ψ ′

E

ω

ω 0

U A = const.

R A

2

E


ψ ′

T 0

T

Stationäre Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie bei konstanter Ankerspannung

Stationäre Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien bei konstanten Ankerspannungen


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 170

U A

= 0

Betriebsarten

dargestellt in der Drehmoment-Drehzahl-Ebene


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 171

16.8 Betrieb mit Vorwiderständen

Steht nur eine feste Speisespannung zur Verfügung, soll der Motor aber trotzdem

drehzahlvariabel betrieben werden, zumindest aber das Anfahren aus dem Stillstand auf eine

Betriebsdrehzahl bewerkstelligt werden, ist die klassische Lösung die Verwendung von

Vorwiderständen im Anker- ggf. auch im Erregerkreis. Dadurch werden Einschaltströme und

die Drehmomente begrenzt bzw. die Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien entsprechend

verändert.

Vorwiderstände erhöhen aber die Verluste und verschlechtern somit den Wirkungsgrad.

R V

i A

U

i E

ω,T

u E

Betrieb mit Vorwiderstand

I A

I max

ψ E′


R + R

A

V1

ψ E′


R + R

A

V 2

ψ E′


R

A

U A

ψ ′

E

ω

Anfahren mit Vorwiderständen


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 172

16.9 Speisung durch einen Tiefsetzsteller

Der Betrieb mit Vorwiderständen kann vermieden werden, wenn eine variable

Spannungsquelle zur Verfügung steht. Hierzu kann beispielsweise ein Tiefsetzsteller dienen,

der den Ankerkreis speist. Der Tiefsetzsteller benötigt eine Induktivität am Ausgang. In der

Regel ist keine zusätzliche Stellerdrossel notwendig, da die Ankerinduktivität diese Funktion

übernimmt. Durch Veränderung des Tastverhältnisses wird die (mittlere) Ankerspannung

verändert. Ggf. kann auch der Erregerkreis durch einen weiteren Steller gespeist werden.

Durch den Tiefsetzstellter werden im Gegensatz zu Vorwiderständen nur verhältnismäßig

geringe zusätzliche Verluste verursacht.

i 1

i A

LA

RA

u 1

u A

u = ′ ω

i

ψ E

Speisung des Ankerkreises durch Tiefsetzsteller


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 173

16.10 Nebenschlussmotor

i

i A

u

i E

u A

ω,T

u E

Nebenschlussschaltung

u

A

= R i + ψ ′ ω + L i& = R i + L′

i ω + L i&

A A

E

A A

A A

E E

A A

u

E

= R

E

i

E

+ L i&

E

E

T =ψ ′ i = L′

E

A

E

i

E

i

A

Nebenschluss:

u = u A = u E , i = i A + iE

Stationäres Verhalten:

I

A

U − LE′

I

=

R

A

E

I =

E

U

R

E

ω U − LE′

U / RE

ω 1−

LE′

/ R

=

=

R

R

A

A

E

ω

U

I

= I

E

+ I

A

⎡ 1 1 LE′

ω ⎤

= ⎢ + − U

RA

RE

RAR



E ⎦

T

= L′

E

I

E

I

A

= L′

E

1−

LE′

/ R

R R

A

E

E

ω

U

2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 174

16.11 Reihenschlussmotor

u

A

= R i + ψ ′ ω + L i& = R i + L′

i ω + L i&

A A

E

A A

A A

E E

A A

u

E

= R

E

i

E

+ L i&

E

E

T =ψ ′ i = L′

i

E

A

E

E

i

A

u

i

u E

u A

ω,T

Reihenschlussschaltung

Reihenschluss:

Drehzahlabhängiger effektiver Widerstand:

u = u A + u E , i = i A = iE

R = R A + R E , L = L A + LE

u = Ri + LE′


+ Li&

u = ( R + LE′

ω)

i + Li&

u = R′

(ω) i + Li&

R ′(

ω)=

R + LE′

ω

T =ψ E

′ i = LE′

i

2

Das Drehmoment hängt quadratisch vom Strom ab und ist deshalb immer positiv oder Null

(Eine Änderung des Vorzeichens ist nur durch Wechsel der Verschaltung von Erreger- und

Ankerwicklung möglich, also mit i = i A = −i

.)

Stationäre Drehmoment-Drehzahl-Charakteristik des Reihenschlussmotors:

E

U

= R′

( ω ) I = ( R + L′

)I

E ω


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 175

T

= L′

I

E

2

=

L′

E

2

R′

2

2

U LE′

U

=

( ω)

( R + L′

ω)

E

2

Die Abhängigkeit des Drehmoments von der Drehzahl ist bei konstanter Spannung also eine

Hyperbel mit einer Asymptote bei

R

ω = − .


Wird der Reihenschlussmotor mit konstanter Spannung betrieben und dabei mechanisch

entlastet, also T → 0 , wächst die Drehzahl über alle Grenzen, ω → ∞ (s. Bild); der Motor

„geht durch“ und kann sich ggf. durch die anwachsenden Fliehkräfte selbst zerstören. Es ist

daher gefährlich, einen Reihenschlussmotor ohne Last zu betreiben.

L E

Bei negativer Drehrichtung ω < 0

arbeitet der Reihenschlussmotor bremsend, für

ω < −

darüber hinaus auch generatorisch, da sich dann unterschiedliche Vorzeichen von Strom und

Spannung ergeben.

R

L E


Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien des Reihenschlussmotors für

verschiedene Spannungen U bei Gleichspannungsspeisung

Da das Drehmoment nur quadratisch vom Strom abhängt, kann ein Reihenschlussmotor auch

mit Wechselspannung gespeist werden. Um dies zu untersuchen, wenden wir die komplexe

Wechselstromrechnung an. Es muss sorgfältig zwischen der mechanischen Drehfrequenz ω


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 176

und der elektrischen Frequenz, die hier mit

werden:

ωel

bezeichnet werden soll, unterschieden

U

= R′

( ω ) I +


LI

el

I

=

U

R′

( ω ) +

j

ω el

L

Das Drehmoment ist bei WS-Speisung nicht konstant, sondern pulsiert wegen

T ( t)

= LE ′ i 2 ( t)

mit der doppelten elektrischen Frequenz 2 ωel

. Das mittlere Drehmoment ergibt sich wie folgt

aus dem Strom- bzw. Spannungseffektivwert:

T

= L′

i

E

2

= L′

I

E

2

=

R′

2

L′

U

E

2

2

el

( ω ) + ω L

2

Drehmoment-Drehzahl-Charakteristik:

2 2 2

2

( R′ ( ω)

+ ω L ) T = L U

el E′

T

=

L′

E

2

( R + L′

)

E

2

el

2

ω + ω L

U

2

Das mittlere Drehmoment ist also bei gleichem Spannungseffektivwert bei WS-Speisung

etwas kleiner als bei GS-Speisung. Auch zeigt sich keine Asymptote bei ω = −R / LE′

, sondern

nur das Drehmoment-Maximum.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 177

Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien des Reihenschlussmotors für GS-Speisung

(oberste Kurve) und verschiedene Frequenzen bei WS-Speisung,

der Spannungseffektivwert U ist für alle Kurven konstant

U

ω > 0

R ω = 0

ω < 0

ω = −R / L E


I

Strom-Spannungs-Kennlinien des Reihenschlussmotors für verschiedene Drehzahlen


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 178

17 Linearmotor

17.1 Grundprinzip, einphasiger Linearmotor

x

Fe

i E

Fe

i a

τ p

ξ

i a

Prinzipbild Linearmotor

Bezeichnungen:

δ

x

ξ

b

iE

N

ia

A

τ

l

p

E

p

Luftspalt

Bewegungskoordinate des Läufers

Statorfeste Koordinate

Normalkomponente der magnetischen Flussdichte

Erregerstrom

Zahl der Erregerwindungen

Phasenstrom („Ankerstrom“ vgl. Gleichstrommotor)

Polfläche

Polteilung

aktive Leiterlänge

Sinusförmige Approximation des Erregerfeldes:

ξ − x

b(

ξ,

x)

= b ˆ cos π

τ

Ungefähre Abschätzung des Scheitelwerts der magnetischen Flussdichte aus dem

magnetischen Erregerkreis, Vernachlässigung der magnetischen Widerstände der Eisenwege:

µ N E

b =

i


ˆ 0 E

Kraftwirkung auf einen Leiter des Stators mit Strom i , der sich an der Position ξ befindet:

p

F

ξ − x

= l bi = bl ˆ i cos π

τ

p


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 179

Leiter a ist an den Positionen ξ = 0 und ξ = τ p und entsprechend periodisch fortgesetzt, aber

nur jeweils zwei Leiter davon befinden sich im Erregerfeld. Gesamtkraft auf Leiter a:

F

a

= 2bl

ˆ i

a


cos

τ

p

Richtung der Vortriebskraft hängt vom Stromvorzeichen und der Läuferposition x ab.

Erzeugung einer gleichgerichteten Vortriebskraft entweder durch Stromkommutierung wie

beim Gleichstrommotor oder durch Einspeisung eines Wechselstroms:

i

a

= iˆ

cosϕ

( t)

a

F

a

ˆ xπ

= 2bl

iˆcos

cosϕa

( t)

τ

p

Wahl des Strom-Phasenwinkels abhängig von der Position x:

ϕ ( t)

=

a

x(

t)

π

τ

p

F ( t)

= 2bl

ˆ iˆcos

a

2

ϕ ( t)

= Fˆ

a

a

cos

2

ϕ ( t)

a

Resultat: Vortriebskraft nur in eine Richtung, aber pulsierend. Scheitelwert und mittlere Kraft:

ˆ = 2bl

ˆ iˆ

, = bl ˆ iˆ

F a

Induzierte Spannung der Leiterschleife a kann aus der Leistungsbilanz gewonnen werden:

F a

p

me

= F x&

= u

a

i

ai a


2bl

ˆ ia

cos x&

= u

τ

p

i

ai a

u

ai


τ p 2τ

pbl

ˆ

= 2bl

ˆ cos x&

= 2bl

ˆ cosϕa

ϕ&

a = ω cosϕa

τ

π π

p

= ψˆ

ω cosϕ

a

u

ai

= ψˆ

ω cosϕ

a

mit


bl

ψˆ =

π

p ˆ


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 180

i a

L

R

u a

u

ai

=ψˆ

ω cosϕ

( t)

a

Elektrisches Ersatzschaltbild des einphasigen Linearmotors

17.2 Zweiphasiger Linearmotor

Idee zur Vermeidung der Kraftpulsation: Zweites, phasenverschobenes Wicklungssystem:

x

Fe

i E

Fe

i a

ξ

i

τ

b

p

i a

i b

i a

Kraftwirkung auf Leiter b, Positionen ξ = τ / 2 und ξ = τ / 2:

p

3 p

F

b

= 2l

bi ˆ

b

⎛ ⎞



π

cos − ⎟

⎝ τ p 2


i

b

= iˆ

cosϕ

( t)

b

F

b


ˆ xπ

π ⎞

= 2l

biˆcos⎜

− ⎟ cosϕb(

t)

τ p 2

⎝ ⎠

Wahl:

x(

t)

π π π

ϕb

( t)

= − = ϕa

( t)


τ 2 2

p


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 181

Gesamtkraft:

F ( t)

= 2l

bi ˆ ˆcos

b

2

ˆ 2⎛

π ⎞

( ) 2 ˆcos ( ) 2 ˆ 2

ϕ b t = l bi ⎜ϕa

t − ⎟ = l biˆsin

ϕa(

t)

⎝ 2 ⎠

F(

t)

= F ( t)

+ F ( t)

= 2l bi ˆ ˆ

ϕ

2

2

( cos ϕ ( t)

+ sin ( t)

) = 2l

bi ˆ ˆ const.

a b

a

a =

Gesamtkraft ist nun konstant, erfordert aber zwei Wicklungen (4 Anschlüsse), die

phasenversetzt gespeist werden müssen.

i a

L

R

u a

u

ai

=ψˆ

ω cosϕ

( t)

a

i b

L

R

u b

u

bi

=ψˆ

ω cos ϕ ( t)

b

Elektrisches Ersatzschaltbild des zweiphasigen Linearmotors


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 182

î i a (t)

(t)

i b

t


F a (t) F b (t)

t

Zeitlicher Verlauf der beiden Phasenströme und der Kräfte


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 183

17.3 Drehstrom-Linearmotor

p

a

a

x

i

bl

F

τ

π

cos

2 ˆ

= ,










=

3

2

cos

ˆ

2

π

τ

π

p

b

b

x

bi

l

F ,









+

=

3

2

cos

ˆ

2

π

τ

π

p

c

c

x

bi

l

F

)

(

ˆcos

)

( t

i

t

i

a

a

ϕ

= , )

(

ˆcos

)

( t

i

t

i

b

b

ϕ

= , )

(

ˆcos

)

( t

i

t

i

c

c

ϕ

=

mit

p

a

t

x

t

τ

π

ϕ

)

(

)

( = ,

3

2

)

(

3

2

)

(

)

(

π

ϕ

π

τ

π

ϕ


=


= t

t

x

t

a

p

b ,

3

2

)

(

3

2

)

(

)

(

π

ϕ

π

τ

π

ϕ +

=

+

= t

t

x

t

a

p

c


)

(

ˆcos

ˆ

2

)

(

2

t

bi

l

t

F

a

a

ϕ

=








=

=

3

2

)

(

ˆcos

ˆ

2

)

(

ˆcos

ˆ

2

)

(

2

2 π

ϕ

ϕ

t

bi

l

t

bi

l

t

F

a

b

b







+

=

=

3

2

)

(

ˆcos

ˆ

2

)

(

ˆcos

ˆ

2

)

(

2

2 π

ϕ

ϕ

t

bi

l

t

bi

l

t

F

a

c

c

Gesamtkraft:

bi

l

t

F

t

t

t

bi

l

t

F

t

F

t

F

t

F

a

a

a

c

b

a

ˆ

ˆ

3

)

(

3

2

)

(

cos

3

2

)

(

cos

)

(

cos

ˆ

ˆ

2

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

=













+

+








+

=

+

+

=

π

ϕ

π

ϕ

ϕ

Ebenfalls keine Drehmomentpulsation!

Fe

Fe

i a

i E

x

ξ

b

i

a

i

τ p

c

i

b

i

a

i

i c


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 184

Summe der Ströme:

i ( t)

= i

( t)

+ i

( t)

+ i

ˆ


⎛ 2π

⎞ ⎛ 2π

⎞⎤

( t)

= i ⎢cosϕa

( t)

+ cos⎜ϕa

( t)

− ⎟ + cos⎜ϕa

( t)

+ ⎟

3

3



⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

0 a b c

=

Die Summe ist Null (dies ist beim zweiphasigen Motor nicht der Fall!). Umsetzung dieser

Erkenntnis in technischer Realisierung: Es werden nicht 3× 2 Klemmen für die Stromzufuhr

benötigt, sondern nur 3, da der gemeinsame Rückstrom Null ist und deshalb keinen Leiter

benötigt (Sternschaltung):

0

i a

R

L

u ai

u a

i b

R

L

u bi

u b

i c

R

L

u ci

u c

Elektrisches Ersatzschaltbild des Drehstrom-Linearmotors


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 185

î i a (t)

i b (t)

(t)

i c

t


F a (t) F b (t)

F c (t)

t

Zeitlicher Verlauf drei Phasenströme und der Kräfte

Stator des Transrapid


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 186

18 Drehstrom

18.1 Energieübertragung

Betrachtung eines Drehstromsystems aus dem Blickwinkel der Energieübertragung.

Ausgangspunkt:

1. Energieübertragung mit Gleichspannung über Doppelleitung:

I

RL

I

U 0

R L

U

Erzeuger

Doppelleitung

Verbraucher

Übertragene Leistung:

p ( t)

= P = UI = const.

Leitungsverluste:

P

V =

2R

I

L

2

Relative Verluste:

v =

P

V

P

=

2RLI

UI

2

= 2R

L

I

U

Wirkungsgrad der Energieübertragung:

η =

P

P + P

1

=

1 v

V +


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 187

2. Energieübertragung mit Wechselspannung über Doppelleitung:

Gleiche Verhältnisse wie bei Gleichspannung, aber oszillierende Momentanleistung:

S = UI

Verlustfaktor:

p t)

= P + S cos(2ω t + ϕ + ϕ )

( u i

v =

P

V

P

=

2RLI

UI

2

= 2R

L

I

U

3. Energieübertragung mit Drehspannung über drei Leiter:

R L

I 1

U 012

R L

U 12

I 2

U 1

U 023

R L

U 23

I 3

U 2

U 3

Erzeuger

Leitung

Verbraucher

Annahme eines symmetrischen Drehspannungssystems (gleiche Amplituden, um 120°

versetzte Phasen):

u ( t)

=

u ( t)

=

2U

cos( ω t + ϕ )

1 u


2U

cos( ω t − + ϕ )

3


2U

cos( ω t + + ϕ )

3

2 u

u ( t)

=

3 u

i ( t)

=

i ( t)

=

2 I cos( ω t + ϕ )

1 i


2 I cos( ω t − + ϕ )

3

2 i


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 188

i ( t)

=


2 I cos( ω t + + ϕ )

3

3 i

Die Summe der Ströme und der Spannungen in einem symmetrischen Drehstromsystem ist

stets Null.

Übertragene Scheinleistung:

Leitungsverluste:

S = 3UI

Verlustfaktor:

P

V =

3R

I

L

2

v =

P

V

P

3RLI

=

3UI

2

= R

L

I

U

Außenleiterspannungen (verkettete Spannung):

u12( t)

= u1(

t)

− u2(

t)

=


⎛ 2π

⎞⎤

2U

⎢cos(

ωt

+ ϕu

) − cos⎜ωt

− + ϕu

⎟⎥


⎝ 3 ⎠⎦

= −

π ⎛ π ⎞

⎛ π ⎞

2U

2sin sin⎜ωt

+ ϕu

− ⎟ = 2 3U

sin⎜−ωt

−ϕu

+ ⎟

3 ⎝ 3 ⎠

⎝ 3 ⎠

= 2

⎛ π ⎞

3U

cos⎜ωt

+ ϕu

+ ⎟

⎝ 6 ⎠

13

Die Außenleiterspannung ist um

3 größer als die Strangspannung.

Begrenzende Größen für ein Kabel sind seine maximale Stromtragfähigkeit und die maximale

Spannung (Isolationsfestigkeit). Damit zwischen den Leitern die gleiche Spannung wie beim

Einphasen-System anliegt, muss die Strangspannung um 3 herabgesetzt werden

U → U / 3 .

Selbst dann ist der Verlustfaktor

v =

P

V

P

2

3RLI

=

3U

/ 3I

=

3R

L

I

U

besser als beim Einphasensystem. Die dann übertragene Scheinleistung ist

S = 3UI

13

x + y x − y

cos x − cos y = −2 sin sin

2 2


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 189

D.h. bei gleichen Leiterströmen und gleichen Außenleiterspannungen überträgt ein Drei-

Leiter-Drehstromkabel mit 1,5-fachem Materialeinsatz (3 statt 2 Leiter) und 1,5-fach höheren

Verlusten das 1,73-fache der Leistung einer Doppelleitung. Das ist eine Erhöhung der

Ausbeute um 15%.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 190

18.2 Komplexe Zeiger der Sternschaltung

Sternschaltung aus jeweils gleichen Impedanzen Z :

I 2

U 12

U 2

U 23

Z

Z

I 1

Z

U 1

U 3

I 3

U 31

Strangspannungen:

U

i

Strangströme: I i

Außenleiterspannungen oder verkettete Spannungen:

U

ij

= U

i

−U

Bei der Sternschaltung sind Außenleiterströme und Strangströme gleich.

Annahme eines symmetrischen Drehspannungssystems, d. h. die Strangspannungen seien

sinusförmig, von gleicher Amplitude und Frequenz sowie ihrer Phasenlage um jeweils 120°

versetzt. Beschreibung durch komplexe Zeiger, Momentanwerte der Strangspannungen:

Mit dem 120°-Drehoperator

folgt

u1( t)

= 2U

cos( t ) = 2 Re

ω + ϕu

1


u2 ( t)

= 2U

cos( t ) = 2 Re

3

jωt

( U e )

ω − + ϕu

2


u3( t)

= 2U

cos( t ) = 2 Re

3

ω + + ϕu

3


j

a = e

3

j

jωt

( U e )

jωt

( U e )


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 191

Eigenschaften des Drehoperators:

U

−1

2

a U

1

= , U

3

= aU

1

−1

a = a

2

−2

, a = a

, a 3 = 1,

* −1

a = a

Verkettete Spannungen:

U

U


( ) 2 π

1

j ⎞

π


j

1 − a U

3

6

1 = ⎜1

− e ⎟U

1

= 3 e U

1

= − j aU

1


12 = U

1 − U

2 =

3






( ) 2 π 2 π

1

j j ⎞

π


− +

− j

a − a U

3 3

2

1

= ⎜e

− e ⎟U

1

= 3 e U

1

= − j U

1

23

= U

2

−U

3

=

3

U






+ j

j

31

= U

3

−U

1

=

3




( )

3

6

−1

a −1 U

1

= ⎜e

−1⎟U

1

= 3 e U

1

= − j a U

1



Die Effektivwerte der verketteten Spannungen sind um 3 größer als diejenigen der

Strangspannungen.



Im

U 1

U 31


3

ϕ u

U 12

U 3

Re

U 23

U 2

Komplexe Zeiger von Strang- und Außenleiterspannungen

Strangströme:

I

i =

U

Z

i


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 192

Das symmetrische System der drei Spannungszeiger bzw. der drei Stromzeiger kann

stellvertretend durch einen einzigen Strangspannungszeiger U = U

1

und einen einzigen

Stromzeiger I = I 1 beschrieben werden:

U = Z I

Zur Leistung tragen alle drei Stränge bei, komplexer Zeiger der Scheinleistung:

S = S

1

= U

= U

+ S

*

1I

1

*

1I

1

*

2

+ S

+ U

+ a

2

−1

3

I

= 3U

I = 3Z

I

*

2

U

1

2

+ U

aI

*

1

3

I

*

3

+ a

−2

U

1

a

2

I

*

1

Wirk-, Blind- und Scheinleistung:

P = Re(S)

Q = Im(S)

S =

S

Momentanleistung:

p ( t)

= u1(

t)

i1

( t)

+ u2

( t)

i2

( t)

+ u3(

t)

i3(

t)

= P = const.

In einem symmetrischen Drehstromsystem ist die Momentanleistung gleich der Wirkleistung,

sie pulsiert anders als im Einphasensystem nicht.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 193

18.3 Komplexe Zeiger der Dreieckschaltung

Dreieckschaltung aus jeweils gleichen Impedanzen:

I 2

I 23

U 12

U 23

Z

Z

Z

I 12

I 1

I 31

U 31

I 3

Strangströme: I ij

Außenleiterströme:

Strangspannungen:

I

i

U

ij

= I − I (i, j, k zyklisch)

ij

ki

Bei der Dreieckschaltung sind Außenleiterspannungen und Strangspannungen gleich.

Im

I 1


3

I 12

I 2

I 31

Re

I 23

I 3

Komplexe Zeiger von Strang- und Außenleiterströmen

Die Effektivwerte der Außenleiterströme sind um den Faktor 3 größer als die der

Strangströme.


Grundlagen der Elektrotechnik B S. 194

18.4 Umrechnung zwischen Stern- und Dreieckschaltung

Z 1


Z 12

Z 31

Z 2

Z 3

Z 23

Ausgangspunkt für die Umrechnung ist der Innenwiderstand zwischen jeweils zwei

Klemmen, welcher einerseits durch die Elemente der Stern- und andererseits durch diejenigen

der Reihenschaltung ausgedrückt wird:

Z

Z

Z

1 + Z 2 = Z12

|| ( Z 31 + Z 23)

2 + Z 3 = Z 23 || ( Z12

+ Z 31)

3 + Z1

= Z 31 || ( Z 23 + Z12)

Z

=

Z

Z

=

Z

Z

=

Z

12

12

23

Z 31 + Z12

Z

+ Z 23 + Z

Z12

+ Z 23Z

+ Z + Z

12

31

12

23

Z 23 + Z 31Z

+ Z + Z

Addition zweier Gleichung und Subtraktion der dritten ergibt die links stehenden folgenden

Gleichungen

23

23

31

31

31

12

31

Z

Z

Z

1

2

3

=

Z

=

Z

=

Z

12

12

12

Z12

Z 31

+ Z 23 + Z

Z 23Z12

+ Z + Z

23

Z 31Z

23

+ Z + Z

23

31

31

31

Z

Z

+ Z

Z

+ Z

1 2 2 3 3 1

Z 23 =

= Z 2 + Z 3 +

Z1

Z

Z

+ Z

Z

+ Z

1 2 2 3 3 1

Z 31 =

= Z 3 + Z1

+

Z 2

Z

Z

+ Z

Z

+ Z

1 2 2 3 3 1

Z 12 =

= Z1

+ Z 2 +

Z 3

Z

Z

Z

Z 2 Z

Z

2

1

Z 3Z

Z

Z1Z

Z

3

1

2

3

Für den Spezialfall eines symmetrischen Systems mit

ergibt sich

Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z Y und Z 12 = Z 23 = Z 31 = Z ∆

1

Z Y =

3 Z ∆ bzw. Z = 3Z Y


Grundlagen der Elektrotechnik B

Anhang S. i

A

Griechische Buchstaben

Minuskel Majuskel Name

Alpha

Beta

Gamma

Delta

Epsilon

Zeta

Eta

ϑ** Theta

Iota

Kappa

Lambda

My

Ny

Xi

Omikron

Pi

Rho

Sigma

Tau

Ypsilon

φ Phi

Chi

Psi

Omega

* Wegen Übereinstimmung mit lateinischen Typen werden diese griechischen Buchstaben

meist nicht als mathematische Symbole verwendet, das Schluss-Sigma wird ebenfalls nicht

benutzt.

** Die typografische Darstellung dieser Minuskeln variiert je nach Schriftsatz.


Grundlagen der Elektrotechnik B

Anhang S. ii

B

Literatur

Folgende Lehrbücher stehen in größerer Zahl in der Universitätsbibliothek zur

Verfügung:

M. Albach:

Grundlagen der Elektrotechnik 1. Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen

Pearson-Studium, 2004

M. Albach:

Grundlagen der Elektrotechnik 2. Periodische und nicht periodische Signalformen

Pearson-Studium, 2005

L.-P. Schmidt, G. Schaller, S. Martius:

Grundlagen der Elektrotechnik 3. Netzwerke

Pearson-Studium, 2006

Weitere Lehrbücher, zum großen Teil ebenfalls im Bestand der Universitätsbibliothek:

A. Führer, K. Heidemann, W. Nerreter:

Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2

Hanser-Verlag, Universitätsbibliothek: XWA1623

R. Kories, H. Schmidt-Walter:

Taschenbuch der Elektrotechnik. Grundlagen und Elektronik

Harri Deutsch-Verlag, Universitätsbibliothek: XVP3171

E. Hering, K. Bressler, J. Gutekunst:

Elektronik für Ingenieure

Springer-Verlag, Universitätsbibliothek: YEA2840

W. Ameling:

Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1 u. 2

Bertelsmann-Verlag, Universitätsbibliothek: XVP1315

R. Unbehauen:

Grundlagen der Elektrotechnik. Band 2: Einschwingvorgänge, nichtlineare Netzwerke,

theoretische Erweiterungen

Springer-Verlag, Universitätsbibliothek: YCF2075

R. Pregla:

Grundlagen der Elektrotechnik, Band 2

Hüthig-Verlag, Universitätsbibliothek: XWA1518

H. Fricke, H. Frohne, P. Vaske:

Grundlagen der Elektrotechnik

Teubner-Verlag, Universitätsbibliothek: XVP2808


Grundlagen der Elektrotechnik B

Anhang S. iii

A. v. Weiss, M. Krause:

Allgemeine Elektrotechnik. Grundlagen der Gleich- und Wechselstromlehre

Vieweg-Verlag, Universitätsbibliothek: XVP2060(10)

H. Clausert, G. Wiesemann:

Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2. Wechselströme, Leitungen, Anwendungen der

Laplace- und der Z-Transformation

Verlag Berliner Union, Universitätsbibliothek: XVP2167(6)

N. Mohan, T. M. Undeland, W. P. William:

Power Electronics. Converters, Applications and Design

Wiley-Verlag, Universitätsbibliothek: YAA1296

D. C. Giancoli:

Physik

Pearson-Studium, 2006


Grundlagen der Elektrotechnik B

Anhang S. iv

C

Kleines deutsch-englisches Glossar einiger wichtigen Begriffe

Admittanz

Anker

Anschluss

Arbeit

Bandbreite

Blindleistung

Bodediagramm

Dämpfung

Drehmoment

Drehzahl

Dreieckschaltung

Drossel

Durchflutung

Effektivwert

elektrische Feldstärke

Elektromotorische Kraft

Elektrotechnik

Energie

Erregung

Feld

Formfaktor

fremderregt

Frequenz

Gleichspannung

Gleichstrom

Gleichstrommotor

Gleichstromsteller

Güte

Hauptinduktivität

Hochsetzsteller

Impedanz

Induktivität

induzierte Spannung

Kapazität

Knoten

Kondensator

Kraft

Kurzschluss

Kurzschlussstrom

Ladung

Last

Leerlaufspannung

Leistung

Leistungsfaktor

Leitwert

magnetische Feldstärke

admittance

armature

terminal

work

bandwidth

reactive power

Bode plot

damping

torque

rotational speed, revolution speed

delta connection

inductor

magnetomotive force (MMF)

root mean square (RMS) value

electric field strength

electromotive force (EMF)

electrical engineering

energy

excitation

field

waveform factor

separately excited

frequency

direct voltage, DC voltage

direct current, DC

DC motor

DC/DC converter

quality factor

mutual inductance

boost converter

impedance

inductivity

induced voltage

capacity

node

capacitor, condensor

force

short circuit

short-circuit current

charge

load

open-circuit voltage, off-load voltage

power

power factor

conductance, conductivity

magnetic field strength


Grundlagen der Elektrotechnik B

Anhang S. v

magnetische Flussdichte

magnetische Spannung, Durchflutung

magnetischer Fluss

Magnetisierungsstrom

Masche

Mittelwert

Netzwerk

Ortskurve

Parallelschaltung

Quelle

Reihenschaltung

Resonanzfrequenz

Schaltkreis

Scheinleistung

Scheitelfaktor

Spannung

Spannungsquelle

Spule

Sternschaltung

Streuinduktivität

Strom

Stromquelle

Tiefsetzsteller

Transformator

Übertragungsfunktion

Wechselspannung

Wechselstrom

Wicklung

Widerstand

Windung

Winkelgeschwindigkeit

Wirkleistung

Wirkungsgrad

Zeitkonstante

magnetic flux density

magnetomotive force (MMF)

magnetic flux

magnetizing current

mesh

mean, average value

network

frequency response locus

parallel connection

source

series connection

resonant frequency

circuit

apparent power

crest factor

voltage

voltage source

coil

star connection, Y-connection, wye connection

leakage inductance

current

current source

buck converter

transformer

transfer function

alternating voltage, AC voltage

alternating current, AC

winding

resistance, resistor

turn

angular velocity

active power

efficiency

time constant

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