Prof. Dr. H. König SS 2009 Klausur zu “Analysis II” 18.07.2009, 9-12 ...

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Prof. Dr. H. König SS 2009 Klausur zu “Analysis II” 18.07.2009, 9-12 ...

Prof. Dr. H. König SS 2009

Klausur zu “Analysis II”

18.07.2009, 9-12 Uhr

Geben Sie bitte jede der Aufgaben unter C und D auf separaten Blättern ab, sortiert

in der Reihenfolge der Aufgabenstellung und jeweils versehen mit Ihrem Namen und Ihrer

Matrikelnummer. Für B können Sie ein Blatt verwenden, die richtige Antwort zu den

Multiple-Choice-Aufgaben A kreuzen Sie bitte direkt auf diesem Blatt an. Die beiden Aufgaben

unter D W sollen von 1-Fach BA- und Diplomstudierenden, die beiden Aufgaben unter

D L von den 2-Fach BA- und Lehramtstudierenden (POL I) bearbeitet werden.

A. 1. Ist die Ableitung von x ↦→ sin(x 2 ) in x 0 gleich

(a) 2 cos(x 0 ) , (b) 2x 0 cos(x 2 0 ) , (c) cos(x2 0 ) ? (1/2 P.)

2. Ist die Taylorentwicklung von x ↦→ ln(1 + x) in 0 gleich

(a)

∞∑

n=1

(−1) n−1 xn n , (b) ∞∑

n=1

x n n

, (c)

∞∑

n=0

x n ?

(1/2 P.)

3. Lautet das Lagrange-Restglied R n+1 (f, x) in der Taylorformel von f um x 0

(a) f (n+1) (x 0 ) (x 0 + θ(x − x 0 )) n+1 (n + 1)!

(b) f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 )) (x − x 0 ) n+1 (n + 1)!

(c) f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 )) (x 0 + θ(x − x 0 )) n+1 n ? (1/2 P.)

4. Sei (X, || · ||) normierter Raum. Sei f : (X, d) → R stetig. Welche Eigenschaft von

X garantiert stets die gleichmäßige Stetigkeit von f

a) X kompakt, (b) X beschränkt und abgeschlossen, (c) X vollständig? (1/2 P.)

B. 1. Formulieren Sie präzise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen

f : [a, b] → R.

(1 P.)

2. Geben Sie die genaue Formulierung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

an (beide Teile, schwächste Voraussetzungen).

(1 P.)

3. Sei (X, d) ein metrischer Raum und K ⊂ X. Wie lautet die Definition der Kompaktheit

von K (in Quantorenschreibweise)?

(1 P.)

4. Seien X, Y Banachräume, x 0 ∈ X und f : X → Y. Wann heißt f in x 0 (total /

Fréchet -) differenzierbar?

(1 P.)

5. Seien || · || und || · || ′ zwei Normen auf einem K-Vektorraum X. Wann heißen diese

Normen äquivalent?

(1 P.)

C. 1. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern sie existieren

lim

x→0

x x/2 , lim

x→0

x − sin(x)

x 3 . (4 P.)


2. Berechnen Sie die Integrale

∫ 2

0


16 − x 2 dx ,


3 ∫

1

dx

x(1+x 2 ) .

(4 P.)

Bei Verwendung der Substitutionsformel muss die Substitutionsfunktion präzise angegeben

werden. Ferner ist die Voraussetzung für die Anwendung der Formel zu überprüfen.

Numerische Werte sind erst am Ende einzusetzen.

(4 P.)

Zusatzpunkt für die Berechnung von

3. Sei A =

( 3/5 1/5

2/5 2/5

) ( 1

und x 0 =

2


∫3

1

)

.

arctan(x)

x 2 dx. (+1 P.)

Sei f : R 2 → R 2 gegeben durch f(x) = Ax + x 0 , x = ( )

x 1

x 2 ∈ R 2 , d. h.

( ) ( )

x1 (3x1 + x

f =

2 )/5 + 1

.

x 2 (2x 1 + 2x 2 )/5 + 2

Sei R 2 mit der Maximumsnorm || · || ∞ versehen.

Zeige, dass f : (R 2 , ||·|| ∞ ) → (R 2 , ||·|| ∞ ) kontrahierend ist: d.h. es existiert 0 < k < 1

mit: || f(x) − f(y) || ∞ ≤ k ||x − y|| ∞ für alle x, y ∈ R 2 .

(4 P.)

4. Man finde die Konvergenzbereiche der folgenden komplexen Potenzreihen

∞∑

n=0

(z − 1) n

e n+1 ,

∞∑

n=1

n

z n

.

100 ln n

Die Untersuchung des Randes der Konvergenzbereiche soll dabei unterbleiben.

(4 P.)

5. Sei U := {( x

y

)

∈ R 2 | x + y > 0 } und f : U → R 2 gegeben durch

( ) x

f =

y

( x 2 + 2y − 4 arctan(x + y)

x ln(x + y) − y

( ) 2

Zeige: f ist differenzierbar. Bestimme die Ableitung von f im Punkt

,

−1

( ) 2

also Df . Gebe den Definitionsbereich und den Bildbereich dieser Ableitung

−1

( ) 2

in an. Von wohin nach wohin bildet die Ableitung Df ab, und wie sieht Df

−1

( )

∂f 2

formelmäßig aus? Bestimme die Richtungsableitung

∂v −1

( ) 4/5

in Richtung v = . (4 P.)

3/5

)

.

D W

Für 1-Fach-BA-Studierende und Diplomstudierende:

6. Seien (X, d) und (Y, d ′ ) metrische Räume und sei f : X → Y eine Abbildung.

Beweisen Sie: f ist stetig (im Sinne der ɛ − δ−Definition) genau dann, wenn das

Urbild jeder abgeschlossenen Menge in Y unter f abgeschlossen in X ist. (4 P.)


7. Sei f : [0, π/2] 2 → R, f(x, y) = sin x+sin(y)+sin(x+y). Bestimmen Sie die Extrema

von f . Wo liegt das absolute Maximum, wo das absolute Minimum?

(4 P.)

Sonderpunkte für das Auffinden der relativen Extrema auf dem Rand: (+ 2 P.)

D L Für 2-Fach-BA-Studierende und Lehramtsstudierende (nach Pol I):

6. Sei f : [0, 2π] → R stetig differenzierbar und

a n := 1 π

∫ 2π

0

f(x) cos(nx) dx , n ∈ N.

Zeige: Es gibt eine Konstante c > 0 , so dass für alle n ∈ N gilt: |a n | ≤ c/n

(4 P.)

7. Sei f : [−1, 1] → R gegeben durch

f(x) = (1 − x) √ 1 − x 2 .

Untersuchen Sie den Graphen von f auf Extrema, Wendepunkte, Monotonie, Konvexität

und Konkavität.

(4 P.)

Sonderpunkte: Berechne

∫ 1

−1

f(x) dx.

(+ 2 P.)

Maximale Punktzahl: 35. Viel Erfolg!

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