Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

1.2.6 Satz Ist L = L M für einen NFA M, so gilt L = L M ′ für einen DFA M ′ .
Beweis ( ”
Potenzmengenkonstruktion“) Sei M = (Q, Σ, q 0 , F, δ). Nach Definition 1.2.1
und Bemerkung 1.2.2 kann die Gesamtheit aller Berechnungen von M auf Eingabe x durch
eine Folge δ(q 0 , ε), δ(q 0 , a 1 ), δ(q 0 , a 1 a 2 ), . . . , δ(q 0 , a 1 · · · a i ), . . . , δ(q 0 , x) von Teilmengen von
Q dargestellt werden. Wir benutzen dementsprechend P(Q) als Zustandsmenge für M ′ ,
und definieren: M ′ := (Q ′ , Σ, q ′ 0, F ′ , δ), wo
Q ′ := P(Q) = {B | B ⊆ Q};
q ′ 0 := {q 0 };
F ′ := {B ∈ Q ′ | B ∩ F ≠ ∅};
δ ′ (B, a) := ⋃ q∈B
δ(q, a), für B ∈ Q ′ , a ∈ Σ.
(δ ′ (B, a) ist die Menge der Zustände, die M erreichen kann, wenn in einem Zustand q ∈ B
der Buchstabe a gelesen wird.)
Behauptung: δ ′ ({q}, w) = δ(q, w) für alle q ∈ Q, w ∈ Σ ∗ . (δ ′ ist die eben definierte
Funktion, δ ist wie in 1.2.1). Beweis der Behauptung durch Induktion über |w| :
w = ε :
w = ua für u ∈ Σ ∗ , a ∈ Σ:
δ ′ ({q}, ε) Def.1.1.1(b) = {q} Def.1.2.1(b) = δ(q, ε).
δ ′ ({q}, ua)
Def.1.1.1(b)
= δ ′ (δ ′ ({q}, u), a) I.V.
= δ ′ (δ(q, u), a)
⋃
Def. δ
=
′
δ(q ′ , a) Bem.1.2.2 = δ(q, ua).
q ′ ∈δ(q,u)
Damit haben wir, für alle x ∈ Σ ∗ :
x ∈ L M
Def.1.2.1(c)
⇔
Def. q ′ 0 ,F ′
⇔
δ(q 0 , x) ∩ F ≠ ∅ Beh.
⇔ δ ′ ({q 0 }, x) ∩ F ≠ ∅
δ ′ (q ′ 0, x) ∈ F ′ Def.1.1.1(c) ⇔ x ∈ L M ′.
Also ist L M = L M ′.
□
1.2.7 Beispiel Wir führen Beispiel 1.2.4 fort, indem wir einen DFA für L R(h) angeben.
Die Potenzmengenkonstruktion liefert:
Q ′ := P({0, 1, . . . , h})
Σ = {1, . . . , h}
q ′ 0 := {0}, F ′ := {B ⊆ {0, 1, . . . , h} | h ∈ B}
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