Klausur im WS 2009/2010 Einführung in Operations Research

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Klausur im WS 2009/2010 Einführung in Operations Research

Prof. Dr. W. Domschke

Fachgebiet Operations Research

Institut für Betriebswirtschaftslehre

Technische Universität Darmstadt

Name:

Vorname:

Matr.-Nr.:

Klausur im WS 2009/2010

Einführung in Operations Research

am Freitag, 19. 2. 2010

13.00-14.30 Uhr

• Bitte tragen Sie alle erforderlichen Angaben ein!

• Es sind keine Hilfsmittel außer einem nicht programmierbaren Taschenrechner zugelassen!

• Ergebnisse ohne ausreichende Begründung werden nicht gewertet!

Aufgabe

• Für das vollständige, rechtzeitige Ausfüllen des Deckblattes vergeben wir einen Bonuspunkt!

Bonuspunkt

Fachbereich:

Studiengang:

Bachelor/Diplom:

1 2 3 Summe

Maximal 1 30 30 30 91

Aufgabe 1: Lineare Optimierung (30 Punkte)

a) Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem:

Minimiere Fx ( ) = 4x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 10

(1)

unter den Nebenbedingungen

x 1

+ 2x 2

= 17

(2)

– 2x1 + 4x 3 ≥ 3

(3)

x 2

+ 7x 3 ≤ 18

(4)

x 1

≥ 0 , x 2

≥ 0 , x 3

≥ 0

(5)

a1) Woran ist zu erkennen, dass das Modell (1)-(5) nicht unmittelbar mit dem primalen Simplex-Algorithmus

gelöst werden kann, wenn - wie üblich - zu Beginn ausschließlich Schlupfvariablen in die Basis

aufgenommen werden? Begründen Sie ausführlich!

(1 P.)

Das Problem lässt sich nicht unmittelbar durch die Einführung von Schlupfvariablen in die kanonische

Form bringen.

Z.B. – 2x1+ 4x 3

≥ 3 wird durch Einführung einer Schlupfvariable zu – 2x1+ 4x 3

– x 6

= 3 , so dass der

Koeffizient der Schlupfvariable (bei positiver rechter Seite) negativ ist.

Alternativ kann auch Nebenbedingung (2) betrachtet werden: Benötigt eine künstliche Variable oder

muss aufgespalten werden --> Schlupfvariablen mit unterschiedlichen Vorzeichen

a2) Stellen Sie für die Modellierung (1)-(5) ein vollständiges Starttableau zur Verwendung des dualen Simplex-Algorithmus

auf. Formen Sie dazu die Modellinstanz zunächst geeignet um (nicht dualisieren!).

Markieren Sie abschließend das Pivotelement, das in der ersten Iteration des dualen Simplex-Algorithmus

gewählt würde. Führen Sie jedoch keine weiteren Rechnungen durch.

Hinweis: Es müssen nicht zwingend alle Zeilen des Tableaus verwendet werden.

(6 P.)

Umformung:

(1): Maximiere – F( x) = – 4x1 – 6x 2 – 3x 3 – 10

(2): x 1 + 2x 2 ≤ 17 --> x 1 + 2x 2 + x 4 = 17

– x 1

– 2x 2

≤–

17 --> – x 1

– 2x 2

+ x 5

= – 17

(3): 2x 1

– 4x 3

≤– 3 --> 2x 1

– 4x 3

+ x 6

= – 3

(4): x 2

+ 7x 3

≤ 18 --> x 2

+ 7x 3

+ x 7

= 18

Starttableau:

x 4

x 5

x 6

x 7

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i

1 2 1 17

-1 [-2] 1 -17

2 -4 1 -3

1 7 1 18

Erreicht

Note:

A

-F 4 6 3 -10

- 1 -

- 2 -


a3) Welches "rechnerische" Verfahren zur Lösung des LPs (1)-(5) haben Sie in der Vorlesung neben dem

dualen Simplex-Algorithmus noch kennen gelernt?

(1 P.)

M-Methode

b) Gegeben sei das (primale) LP-Modell A, das in nebenstehender

Abbildung dargestellt ist. Das Modell enthält

zwei Strukturvariablen (Koordinatenachsen), zwei Nebenbedingungen

(durchgezogene Geraden) und eine zu

maximierende Zielfunktion (gestrichelte Gerade). Für

beide Strukturvariablen sind Nichtnegativitätsbedingungen

einzuhalten.

Welches der unten dargestellten LP-Modelle (I, II, III oder IV) ist das zu A duale Problem (Hinweis:

Es handelt sich um genau eines der Modelle)? Begründen Sie Ihre Wahl, ohne das duale Problem explizit

anzugeben, indem Sie für jedes der übrigen drei Modelle beschreiben, warum es nicht das zu A

duale Problem sein kann.

(9 P.)

3

zweite duale

Strukturvariable

Modell I

3

3

2

1

zweite duale

Strukturvariable

zweite primale

Strukturvariable

1

Modell II

2

3

erste primale

Strukturvariable

c) Gegeben seien die Nebenbedingungssysteme zweier zueinander dualer Probleme:

Primales Problem (P)

Duales Problem (PD)

x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 4

(1) w 1 + 3w 2 ≥ 8

(a)

3x 1

+ x 2

+ 2x 3

≤ 7

(2) 2w 1

+ w 2

≥ 6

w 1 + 2w 2 ≥ 5

(b)

(c)

x 1 , x 2 , x 3 ≥0

(3) w 1 , w 2 ≥0

(d)

Eine optimale Basislösung w* des Problems (PD) laute w∗ = ( w∗ 1 = 2,

w∗ 2 = 2)

. Wie lautet die damit

korrespondierende optimale Basislösung x∗ = ( x∗ 1 , x∗ 2 , x∗ 3 ) des Problems (P)? Geben Sie jeden Ihrer

Gedanken- bzw. Rechenschritte explizit an.

(5 P.)

w∗ 1 > 0 --> Schlupf der Nebenbedingung (1) = 0 --> x 1 + 2x 2 + x 3 = 4

w∗ 2 > 0 --> Schlupf der Nebenbedingung (2) = 0 --> 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 7

Nebenbedingung (c) --> w∗ 1 + 2 w∗ 2 = 6>

5 und somit positiver Schlupf, d.h. x∗ 3 = 0

Einsetzen liefert x 1 + 2x 2 = 4 ,

3x 1 + x 2 = 7 .

Auflösen ergibt x∗ 1 = 2 und x∗ 2 = 1 .

2

2

1

1

1 2

zweite duale

Strukturvariable

erste duale

Strukturvariable

3

1 2

zweite duale

Strukturvariable

erste duale

Strukturvariable

3

d) Gegeben sei das folgende Simplex-Optimaltableau. Dabei seien x 1 , x 2 und x 3 Strukturvariablen; x 4

und seien Schlupfvariablen.

3

Modell III

3

Modell IV

x 4

x 5

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i

0 2 0 1 2 14

2

2

x 3

0 -1 1 0 -1 1

1

erste duale

Strukturvariable

1 2 3

1

1

2

erste duale

Strukturvariable

3

Das zu A duale Problem ist Modell II

Modell I enthält 3 Nebenbedingungen. Es dürfte jedoch nur 2 enthalten, da A zwei Strukturvariablen enthält.

Modell III ist unbeschränkt. Das primale Problem dürfte dementsprechend keine zulässige Lösung besitzen.

Dies ist jedoch nicht der Fall. (Alternativ: Max-Zielfunktion)

Modell IV enthält zwei Nebenbedingungen, die jeweils nur eine Variable beschränken. Dies müsste dann

im primalen Problem ebenfalls so sein, da die Koeffizientenmatrix bei der Bildung des dualen Problems

transponiert wird. (Alternativ: nichtnegative Variablen --> größer gleich NBen)

x 1

1 -1 0 0 -1 4

F 0 1 0 0 0 14

d1) Welcher Sonderfall lässt sich aus dem Tableau erkennen? Begründen Sie Ihre Antwort! (2 P.)

Das Problem ist dual degeneriert (bzw. besitzt mehrere optimale Basislösungen / parametrische Lösungen),

da der Zielfunktionszeileneintrag der Nichtbasisvariable x 5 Null beträgt und somit die Aufnahme

von in die Basis den Zielfunktionswert nicht ändern würde.

x 5

- 3 -

- 4 -


d2) Es soll nun eine zusätzliche Nebenbedingung (Schlupfvariable x 6

) berücksichtigt werden. Das unten

gegebene Tableau ist bereits um die zur Reoptimierung benötigten Einträge erweitert. Bestimmen Sie

eine optimale Basislösung durch die Durchführung einer Iteration eines geeigneten Simplex-Verfahrens

und geben Sie die optimalen Werte der Strukturvariablen ( x∗ 1 , x∗ 2 , x∗ 3 ) an. (6 P.)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i

x 4

x 3

x 1

x 6

0 2 0 1 2 0 14

0 -1 1 0 -1 0 1

1 -1 0 0 -1 0 4

0 [-1] 0 0 1 1 -1

F 0 1 0 0 0 0 14

x 4

x 3

0 0 0 1 4 2 12

=5

0 0 1 0 -2 -1 2

x∗ 1

x 2 0 1 0 0 -1 -1 1

x 1 1 0 0 0 -2 -1 5

x∗ 2 =1

=2

F 0 0 0 0 1 1 13

Aufgabe 2: TPP / Modellierung (30 Punkte)

a1) Gegeben ist ein klassisches TPP mit drei Anbietern

und vier Nachfragern. Begründen Sie, wieso der

nebenstehende Transportplan des TPP

unzulässig ist!

Des Weiteren ergänzen Sie ihn so, dass eine zulässige Basislösung entsteht! Liegt ein Sonderfall der

linearen Optimierung vor und falls ja, welcher?

ja nein (3P.)

Sonderfall: BV mit Wert 0, primale Degeneration (1 P. auch wenn nur einer der beiden Ausdrücke

genannt)

a2) Zeichnen Sie den zugehörigen Baum zu der im

nebenstehenden Tableau angegebenen Basislösung!

Markieren Sie in diesem Baum durch Eintragen von

±∆ den Kreis, der in der MODI-Methode zur Aufnahme

der Variable in die Basis geeignet wäre!

(3 P.)

1 2 3 4 a i

1 0 3 1 4

2 6 1 7

3 5

5

b j 5 6 3 2

zu wenige Basisvariablen (es müssten 6 sein), außerdem sind die NB von Anbieter 1 und Nachfrager 4

verletzt. (1 P.; ein Grund reicht)

x 33

Baum: 1,5 P.

1 2 3 4 a i

1 1 3

4

2 2 5

7

3 3 2 5

b j 5 6 3 2

x∗ 3

- 6 -

A 1

–∆

Deltas 1 P.; neue Kante: 0,5 P.

B 4

+∆ +∆

A 2

+∆

B 1

B 2 A 3

B 3

–∆ –∆

- 5 -


a3) Gegeben sind folgende Kostenmatrix sowie Angebots- und Nachfragemengen (letztere sind identisch

mit denen von a1) und a2)):

2 3 6 3

C = 4 5 3 7 a = (4, 7, 5) b = (5, 6, 3, 2)

3 2 1 2

Führen Sie ausgehend von der im folgenden Transporttableau gegebenen Basislösung (identisch mit

der Lösung in a2)) eine Iteration der MODI-Methode durch. Die Dualvariablenwerte sind bereits angegeben.

Tragen Sie die neue Lösung in das zweite Tableau ein! Geben Sie auch den Zielfunktionswert

der Lösung an! (4 P.)

1 2 3 4 a i u i

1 0

+∆

1

–∆

3 2 4 0

2

+∆

2

–∆

5 -5 4 7 2

3

–∆

3 -2

+∆

-6 2 5 1

b j 5 6 3 2 F=67

v j 2 3 6 1

1 2 3 4 a i

1 4 0

4

2 5 2

7

3 3 2 5

b j 5 6 3 2 F=49

∆ = min{ 353 , , } = 3

Reduzierte Kosten: 0,5 P.

Kreis: 1 P.

∆ : 1 P.

Basistausch: 1 P.

F-Wert: 0,5 P.

alternative Lösung:

BV x 31 = 0 statt x 13 = 0

a4) Im folgenden Tableau ist eine andere Basislösung gegeben. Ist diese Basislösung

optimal? ja nein

Begründen Sie Ihre Antwort! Bestimmen Sie hierzu durch Setzen von u 3 = 0 Dualvariablenwerte und

reduzierte Kosten für die ermittelte Lösung, und tragen Sie diese in das Tableau ein! (3,5 P.)

1 2 3 4 a i u

u i 1 + v 1 = 2

u 2 + v 2 = 5

1 4 2 6 0 4 -1

u 2 + v 4 = 7

2 -2 5 -1 2 7 3 u 3 + v 1 = 3

3 1 1 3 -2 5 0

u 3 + v 2 = 2

u 3

+ v 3

= 1

b j 5 6 3 2

Dualvariablen: 2 P.

v j 3 2 1 4

Reduzierte Kosten: 0,5 P.

b) Es soll eine mathematische Formulierung für ein "abgewandeltes" Transportproblem entwickelt werden.

In teilweiser Abwandlung zum klassischen TPP, welches Sie in der Vorlesung kennen gelernt

haben, sind folgende Aspekte zu berücksichtigen:

1. Jeder Nachfrager j = 1,..., n soll genau b j Mengeneinheiten (ME) erhalten.

2. Jeder Anbieter i = 1,..., m liefert insgesamt mindestens min i ME.

3. Jeder Anbieter i = 1,..., m liefert insgesamt höchstens a i ME.

b1) Kreuzen Sie in folgender Notationstabelle für jedes Symbol an, ob es ein Parameter (vorgegebener

Wert) oder eine Entscheidungsvariable ist!

(1 P.)

Symbol Bedeutung Parameter Variable

b j

min i

a i

x ij

c ij

Bedarf von Nachfrager j

Mindestangebotsmenge von Anbieter i

Höchstangebotsmenge von Anbieter i

Transportmenge von Anbieter i zu Nachfrager j

Transportkosten (pro ME) von Anbieter i zu

Nachfrager j

b2) Erstellen Sie unter Verwendung obiger Notation eine Formulierung des "abgewandelten" TPP als

lineares Optimierungsmodell! Geben Sie auch die Definitionsbereiche der Variablen an! (4 P.)

m

n

Minimiere F( x ) = ∑ ∑ c ij ⋅ x ij (1 P.; fehlende Summe -1 P.; fehlende Indizes -1 P.; falsche

i=

1 j=

1

Indizes -0,5 P.; fehlender Klammern -0,5 P.)

unter den Nebenbedingungen


m

x ij

i=

1


= b j

∀ j =

n

1 ,…,

n

(0,5 P.)

min i

≤ x ij

≤ a i

∀ i = 1 ,…,

m (2 P.)

j=

1

≥0 ∀ i = 1 ,…, m und j = 1 ,…,

n (0,5 P.)

x ij

Es existieren mehrere Nichtbasisvariablen mit negativen reduzierten Kosten. (1 P.)

falsche Schlußfolgerung → -1 P.

- 7 -

- 8 -


3) Das Modell soll nun um die folgende Annahme erweitert werden: Wenn ein Anbieter i einen Nachfrager

j beliefert, fallen Fixkosten in Höhe von f ij Geldeinheiten an.

Geben Sie an, welche zusätzliche Nebenbedingung hierfür erforderlich ist und wie die Zielfunktion

abgeändert werden muss! Verwenden Sie die zusätzliche Notation aus der folgenden Tabelle! Führen

Sie falls erforderlich weitere Symbole ein und erläutern Sie diese in der Tabelle!

(3 P.)

Symbol

f ij

z ij

M ij

Bedeutung

Fixkosten für Transport von Anbieter i zu Nachfrager j

= 1, wenn Transport von Anbieter i zu Nachfrager j stattfindet, 0 sonst

hinreichend große Zahl = min{ a i , b j }(0,5 P.)

m


n

i=

1 j=

1

Minimiere Fxz ( , ) = ∑ ( c ij

⋅ x ij

+ f ij

⋅z ij

) (1 P.)

zusätzliche Nebenbedingung:

x ij

≤ M ij ⋅z ij ∀ j

=

1 ,…,

n

(1,5 P.)

c) Vervollständigen Sie für das folgende Optimierungsmodell die unten gegebene, noch unvollständige

Formulierung in Xpress-Syntax, indem sie die vorgegebenen Felder ausfüllen!

Es handelt sich hierbei um ein kapazitiertes

Warehouse-Location-Problem mit potentiellen

Standorten i=1,...,m und Kunden j=1,...,n. x ij

bezeichnet die Transportmenge von Standort i

zu Kunde j. y i

ist 1, falls an Standort i ein Lager

eingerichtet wird und sonst 0. Rechts finden Sie

bereits den Teil des XPress-Modells, der für das

Einlesen der Daten zuständig ist. (5 P.)

Minimiere

m

m n

F( xy , ) = ∑ c i ⋅y i + d ij ⋅x i=

1 ∑i=

1∑j=

1 ij

n

∑ x für i = 1,...,m

j=

1 ij ≤ a i ⋅ y i


m

x i=

1 ij

x ij ≥ 0

y i ∈{ 01 , }

= b j

für j = 1,...,n

für i = 1,...,m und j = 1,...,n

für i = 1,...,m

model wlp

uses "mmxprs"

parameters

datafile = 'wlp.dat'

end-parameters

declarations

m: integer ! Anzahl der potenziellen Standorte

n: integer ! Anzahl der Kunden

end-declarations

initializations from datafile

m n

end-initializations

declarations

c: array(1..m) of real

! Kosten für Errichtung von Lager i

a: array(1..m) of real

! maximale Umschlagkapazität von Lager i

b: array(1..n) of real ! Bedarf von Kunde j

d: array(1..m, 1..n) of real

! Transportkosten von Lager i zu Kunde j pro ME

end-declarations

initializations from datafile

a b c d

end-initializations

declarations

b4) Das Modell aus b3) soll nun wie folgt abgewandelt werden: Es soll anstelle der Kosten die längste

Transportdauer t ij von einem Anbieter zu einem Nachfrager minimiert werden.

Geben Sie an, welche zusätzliche Nebenbedingung hierfür erforderlich ist und wie die neue Zielfunktion

lautet! Formulieren Sie das Modell als ein lineares gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem.

Verwenden Sie die Notation aus b1), b3) und der folgenden Tabelle! Führen Sie hierzu eine Hilfsvariable

ein und erläutern Sie diese in der Tabelle!

(3,5 P.)

Symbol

t ij

z

Bedeutung

Dauer für Transport von Anbieter i zu Nachfrager j (in Zeiteinheiten)

Hilfsvariable (Maximum der Transportdauern) (0,5 P.)

x: array(1..m, 1..n) of mpvar

y: array(1..m) of mpvar

end-declarations

Zielfunktion := sum(i in 1..m) c(i) * y(i) + sum( i in 1..m, j in 1..n ) d(i,j) * x(i,j)

forall (i in 1..m) sum(j in 1..n) x(i,j)


Aufgabe 3: Kombinatorische Optimierung (30 Punkte)

3.1: Traveling Salesman Problem

Betrachten Sie das Traveling Salesman - Problem (TSP)

im nebenstehenden Graphen. An den Pfeilen sind jeweils

die Kosten c ij für die Benutzung einer Strecke angegeben.

a) Es gibt unterschiedliche Typen von TSP. Welcher Typ

wird hier betrachtet?

(1 P.)

Es handelt sich um einen gerichteten Graphen daher:

asymmetrisches TSP

b) Geben Sie eine mathematische Formulierung eines

solchen Problems (vollständiges TSP) in allgemeiner Form an! Verzichten Sie dabei auf die Bedingungen

zur Vermeidung von Kurzzyklen. Fügen Sie den Nebenbedingungen jeweils eine kurze verbale

Beschreibung ihrer Funktion bei!

(3 P.)

Minimiere F(x) =

n

x ij


j = n1

∑ x ij

i=

1

x ij

∈ { 01 , }

n


n


i=

1 j = 1

c ij x ij

= 1 für i = 1,...,n Aus jedem Knoten zeigt genau ein Pfeil heraus.

= 1 für j = 1,...,n In jeden Knoten mündet genau ein Pfeil.

für i, j = 1,...,n x ij = 1 sofern eine Verbindung von i nach j realisiert wird, sonst = 0

c) Welchem anderen bekannten Modell entspricht Ihre Formulierung (ohne Kurzzyklenvermeidung) aus

Aufgabenteil b)? Welches Lösungsverfahren (ausser Branch&Bound) ist geeignet, um dieses Modell

optimal zu lösen?

(2 P.)

Es handelt sich um das lineare Zuordnungsproblem (oder auch Spezialfall des klassischen TPP).

1

2

6

7

5

3

4

2

4

4

3

2

3

9

4

1

3

5

3

Aufgabe 3.2: Branch&Bound und Tabu Search

Einem Unternehmer liegen fünf unterschiedliche Aufträge vor. Aufgrund beschränkter Kapazitäten kann

er nicht alle erfüllen. Jeder Auftrag (j = 1,...,5) besitzt einen gegebenen Kapazitätsbedarf k j sowie einen

erwarteten Deckungsbeitrag db j

. Er überlegt, welche Aufträge angenommen werden sollen und welche er

ablehnen muss, so dass sein Gesamtdeckungsbeitrag maximiert wird, aber die verfügbare Kapazität

(K =15) nicht überschritten wird.

a) Modellieren Sie die Aufgabe als mathematisches Optimierungsproblem. Wie bezeichnet man die Problemstellung?

(2,5 P.)

Maximiere 5 x 1 + 9 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 9 x 5

4 x 1 + 7 x 2 + 9 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 Einplanungsreihenfolge: x 5 , x 4 , x 2 , x 1 , x 3

x = (0,25; 1; 0; 1; 1) obere Schranke: 23,25

Das Modell kann mit der Modi-Methode (oder auch Simplex wegen totaler Unimodularität) optimal

gelöst werden.

d) Geben Sie eine Nebenbedingung zur Verhinderung des Kurzzyklus 2–4–5–3–2 an, die Bestandteil

einer möglichen Formulierung des obigen TSP als Optimierungsproblem sein könnte. Benutzen Sie die

in Aufgabenteil b) definierten Entscheidungsvariablen.

(2 P.)

x 24 + x 45 + x 53 + x 32


Verzweigungsbaum:

x = (0,25 ; 1; 0; 1; 1)

P 0

F = 23,25

F = 0

P 2 P

P 5 P 3

6

x = (0 ; 1; 0; 1; 1) x = (0 ; 0; 1; 2/3; 1)

x = (1 ; 0; 4/9; 1; 1) x = (1 ; 1; 0; 0; 1)

F = 19,33

F = 22 = F F = 14,67

F = 23 = F

F = 22

F = 22

Fall b)

Fall a)

Fall b)

neue beste Lösung Fall a) gibt schon was besseres neue beste Lösung

gefunden gibt schon was besseres

gefunden

x 1 = 0

x 1 = 1

x = (1 ; 4/7 ; 0; 1; 1)

x = (0 ; 1; 1/9; 1; 1)

P 1 P 4 F = 23,14

F = 22,33

F = 22

F = 0

x 3 = 0 x 3 = 1

x 2 = 0 x 2 = 1

optimale Lösung

f) Wenden Sie nun auch das Tabu Search Verfahren auf das obige Problem an! Eine Startlösung ist Ihnen

bereits vorgegeben. In jeder der 4 auszuführenden Iterationen von Tabu Search soll, anhand der Bestfit

Strategie, ein Auftrag hinzugefügt oder einer entfernt werden. Jeder umgeplante Auftrag darf in

den nächsten 2 Iterationen nicht erneut geändert werden. Wofür wird diese Regelung gebraucht?

(Erläuterung!) Geben Sie in jeder Iteration die aktuelle Lösung, ihren Deckungsbeitrag und die Tabuliste

an. Geben Sie ebenfalls das ermittelte Endergebnis der "Optimierung" explizit an! (6 P.)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

db j 5 9 3 4 9 Deckungsbeitrag

k j 4 7 9 3 4

Kapazitätsbedarf

Tabuliste

Start 1 0 0 1 1 18 11 -

Iter. 1 1 0 0 0 1 14 8 x 4

Iter. 2 1 1 0 0 1 23 15 x 4 , x 2

Iter. 3 0 1 0 0 1 18 11 x 2 , x 1

Iter. 4 0 1 0 1 1 22 14 x 1 , x 4

Endergebnis: x =(1;1;0;0;1)

Begründung: Ohne die o.g. Regelung würde das Verfahren kreisen und somit in einem lokalen Optimum

feststecken.

Optimale Lösung: x = ( 1 , 1 , 0 , 0 , 1 ) Optimaler Zielfunktionswert: 23

d) Wie verändert sich der Lösungsgang von c), wenn Sie die Maximum Upper Bound (MUB)-Regel verwenden?

Ändert sich die Anzahl der betrachteten Knoten, wenn ja wo und warum?

(2 P.)

Zunächst wird P 4 betrachtet, danach wird die optimale Lösung mit F=23 in P 6 gefunden und P 1

und P 5 können wegen ihrer schlechteren oberen Schranken ausgelotet werden.

Es werden also insgesamt weniger Knoten betrachtet, da P 1 ausgelotet werden kann und somit

eine Betrachtung von P 2 und P 3 entfällt.

- 13 -

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