Nichtlineare Dimensionsreduktionsmethoden in der ... - DPI

40 Isomap
gen. Unter dieser Voraussetzung ist der euklidische Abstand zwischen einem
Punkt und einem seiner nächsten Nachbarn eine gute Approximation an den
tatsächlichen geodätischen Abstand, weil die Mannigfaltigkeit lokal in guter
Näherung linear ist. 2 Man kann dann als Näherung an den geodätischen
Abstand zweier beliebiger Punkte x 1 und x 2 das Integral über die infinitesimalen
Wegelemente ersetzen durch eine Summe über euklidische Abstände
zwischen benachbarten Punkten, die auf oder möglichst dicht an der entsprechenden
Geodätenlinie zwischen den Punkten liegen sollen. Man bewegt
sich also von x 1 zu x 2 nur über nächste Nachbarn und addiert dabei jeweils
die (bekannten) euklidischen Distanzen zwischen den benachbarten Punkten
auf. Als Approximation an den geodätischen Abstand setzt man dann den
kürzesten möglichen Weg von x 1 zu x 2 über die Nachbarn.
5.1 Die ursprüngliche Version von Isomap
In der ursprünglichen Version von Isomap werden jedoch nicht alle Punkte
zur Approximation der geodätischen Abstände herangezogen [30]. Stattdessen
wird aus den N Eingabedaten x 1 , . . . , x N eine zufällige Untermenge aus
r < N Vektoren ausgewählt und ein Graph konstruiert, in dem jedem dieser r
Vektoren ein Knoten zugeordnet wird. 3 Zwei Knoten v i und v j dieses Graphen
werden genau dann durch eine Kante miteinander verbunden, falls es einen
Vektor x k gibt, dessen beide nächsten Nachbarn im Eingaberaum gerade die
den Knoten v i und v j zugeordneten Vektoren sind. Als Länge der Kanten wird
der (bekannte) euklidische Abstand zwischen den beiden Vektoren gesetzt.
In diesem Graph werden dann mit dem Floyd-Warshall-Algorithmus (vgl.
Algorithmus A.2) die kürzesten Wege zwischen allen Knoten berechnet, die
als Approximationen an die geodätischen Abstände dienen. Liegen genügend
Samples der Mannigfaltigkeit vor und ist der Parameter r richtig gewählt,
so bildet der Graph ein die Topologie der Mannigfaltigkeit repräsentierendes
Netzwerk (topology representing network, vgl. [20]). Ist r zu klein, so sind die
den Knoten zugeordneten Punkte im Eingaberaum relativ weit voneinander
entfernt, und ihr euklidischer Abstand ist keine gute Näherung mehr an den
tatsächlichen geodätischen Abstand. Ist r hingegen zu groß, so fehlen viele
Kanten zwischen benachbarten Knoten, da für jeden Punkt im Eingaberaum
höchstens eine Kante im Graphen ausgebildet werden kann (nämlich die zwischen
seinen beiden nächsten Nachbarn, falls diese zum Graph gehören, aber
2 Als Analogon betrachte man z.B. die nichtlineare Kugelgeometrie der Erdoberfläche,
die ebenfalls lokal in guter Näherung als euklidisch aufgefasst werden kann.
3 Die hier verwendeten graphentheoretischen Begriffe werden in A.2 erläutert.