Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

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Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

Ergänzende Materialien zur Vorlesung

Theoretische Mechanik, WS 2005/06

Dörte Hansen

Seminar 11

1 Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und

Hamilton-Jacobi-Theorie

Wie die Lagrangesche Mechanik so basiert auch die Hamiltonsche Mechanik auf der

Einführung sogenannter generalisierter Koordinaten, die die physikalischen Freiheitsgrade

des Systems reflektieren. Ausgehend von der Lagrangefunktion L(q i , ˙q i , t) erhält

man die zugehörige Hamiltonfunktion H(q i , p i , t) durch eine Legendretransformation

H(q, p, t) =

f∑

p i ˙q i − L(q, ˙q, t), (1)

i=1

bei der die generalisierten Geschwindigkeiten durch die zugehörigen kanonisch konjugierten

Impulse ersetzt werden. Die Koordinaten (q 1 , . . . , q f , p 1 , . . . p f ) sind Koordinaten

des 2f-dimensionalen Phasenraums.

Natürlich beschreibt die Hamiltonsche Mechanik keine ”

neue“ Physik. Sie bietet aber

eine Alternative zur Lagrangeschen Mechanik und hat gegenüber dieser mehrere Vorteile:

• Sie biete einen intuitiven Zugang zur Quantenmechanik. Die Bewegungsgleichungen

der Hamiltonschen Mechanik lassen sich 1:1 in die Quantenmechanik übersetzen.

• Die Bewegungsgleichungen der Hamiltonschen Mechanik sind Differentialgleichungen

1. Ordnung und somit für numerische Untersuchungen besser geeeignet

als die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen.

• Die Bedingungen für die Integrierbarkeit von Systemen oder Untersuchungen zum

chaotischen Verhalten eines mechanischen Systems lassen sich im Rahmen der Hamiltonschen

Mechanik gut diskutieren.

1


1.1 Hamiltonsche Bewegungsleichungen

Der Übergang vom Lagrangeschen Formalismus zum Hamiltonschen Formalismus

wird durch die Legendretransformation (1) vermittelt, wobei die generalisierten Geschwindigkeiten

in Abhängigkeit der generalisierten Koordinaten und Impulse ausgedrückt

werden müssen. Letztere sind bekanntlich als

p i := ∂L

∂ ˙q i

(2)

definiert. Die Transformation ˙q i = ˙q i (q, p, t) ist (lokal) dann möglich, wenn

( ∂ 2 )

L

det ≠ 0

∂ ˙q i ∂ ˙q j

ist. In den im Rahmen der Vorlesung betrachteten Fällen ist diese Bedingung immer

erfüllt.

Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich aus Gl. (1) leicht herleiten. Bilden

wir auf beiden Seiten der Gleichung das totale Differential, so ist

dH(q, p, t) = ∂H

∂q i

dq i + ∂H

∂p i

dp i + ∂H

∂t dt = dp i ˙q i + p i d ˙q i − ∂L

∂q i

dq i − ∂L

∂ ˙q i

Verwenden wir

∂L

= − d ∂L

= −ṗ i ,

∂q i dt ∂ ˙q i

ergibt sich durch Koeffizientenvergleich sofort

1.2 Poisson-Klammern

˙q i = ∂H

∂p i

,

ṗ i = − ∂H

∂q i

,

}{{}

p i

d ˙q i − ∂L

∂t dt.

∂H

∂t = −∂L ∂t . (3)

Häufig interessiert man sich nicht nur für die durch das Differentialgleichungssystem

(3) beschriebene Dynamik des Systems, sondern möchte die zeitliche Entwicklung bestimmter

Observablen – beispielsweise des Drehimpulses oder der Energie – verfolgen.

Im Rahmen der Hamiltonschen Mechanik hängen all diese Observablen F von den generalisierten

Koordinaten und Impulsen ab. Ihre zeitliche Änderung ist mithin durch die

totale Zeitableitung

dF

dt = ∂F ˙q i + ∂F ṗ i + ∂F

∂q i ∂p i ∂t

gegeben. Ersetzen wir ˙q i und ṗ i durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so

ergibt sich

dF

dt = ∂F ∂H

− ∂F ∂H

+ ∂F

∂q i ∂p i ∂p i ∂q i ∂t

=: {F, H} +

∂F

∂t . (4)

2


Allgemein bezeichnet man

{F, G} = ∂F

∂q i

∂G

∂p i

− ∂F

∂p i

∂G

∂q i

(5)

(F und G seien beliebige Observablen) als Poisson-Klammer der Observablen F und G.

Falls die Observable F nicht explizit von der Zeit abhängt, (∂ t F = 0), und die Poisson-

Klammer von F mit H verschwindet, so ist die Observable F zeitlich konstant, d.h. F

ist ein Integral der Bewegung. Insbesondere gilt aufgrund der linearen Unabhängigkeit

der generalisierten Koordinaten und Impulse

(

dp i

dt = {p ∂pi ∂H

i, H} = − ∂p )

i ∂H

= − ∂H , (6)

∂q j ∂p j ∂p j ∂q j ∂q i

dq i

dt = {q i, H} = ∂H

∂p i

, (7)

d.h. in diesem speziellen Fall reduzieren sich die Poisson-Klammern auf die bekannten

Hamiltonschen kanonischen Gleichungen.

Da die Poisson-Klammern uns in ihren quantenmechanischen Entsprechungen den Kommputatorklammern)

wiederbegegnen werden, wollen wir uns einige ihrer Eigenschaften

ansehen:

• Antisymmetrie:

Aus der Definition der Poisson-Klammern (5) ist sofort ersichtlich, dass

{F, G} = −{G, F }.

• Bilinearität:

Auch diese Eigenschaft ist sofort aus der Definition der Poisson-Klammern einsehbar:

{F, G + H} = {F, G} + {F, H}.

• Produktregel:

Man kann sich leicht überzeugen, dass (Reihenfolge beachten!)

• Jacobi-Identität:

{F, G · H} = G{F, H} + {F, G}H.

{F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}} = 0.

Um diese Identität zu beweisen, führen wir die symplektische Matrix

( )

f

J =

− f

3


ein, wobei f die f-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Fassen wir die generalisierten

Koordinaten und Impulse zu einem Vektor im 2f-dimensionalen Phasenraum

zusammen,

⎛ ⎞

(x µ ) =



zusammen, so läßt sich die Poisson-Klammer von F und G auch in der folgenden

Form schreiben:

q 1

.

q f

p 1

.

p f



{F, G} = ∂F

∂x µ

J µν

∂G

∂x ν

Damit nun läßt sich die Jacobi-Identität leicht beweisen. Betrachten wir zunächst

eine der Doppelklammern, so ist z.B.

{F, {G, H}} = ∂ µ F J µν ∂ ν {G, H} = ∂ µ F J µν ∂ ν (∂ α GJ αβ ∂ β H)

Insgesamt ergibt sich somit

= ∂ µ F J µν ∂ ν ∂ α GJ αβ ∂ β H + ∂ µ F J µν ∂ α GJ αβ ∂ ν ∂ β H.

{F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}}

= ∂ µ F J µν ∂ ν ∂ α GJ αβ ∂ β H + ∂ µ F J µν ∂ α GJ αβ ∂ ν ∂ β H

+ ∂ µ GJ µν ∂ ν ∂ α HJ αβ ∂ β F + ∂ µ GJ µν ∂ α HJ αβ ∂ ν ∂ β F

+ ∂ µ HJ µν ∂ ν ∂ α F J αβ ∂ β G + ∂ µ HJ µν ∂ α F J αβ ∂ ν ∂ β G.

Auf den ersten Blick scheint dies keine große Vereinfachung darzustellen, doch

betrachten wir z.B. nur die beiden Terme, in denen zweite Ableitungen von F

auftreten, so ist

∂ µ GJ µν ∂ α HJ αβ ∂ ν ∂ β F + ∂ µ HJ µν ∂ ν ∂ α F J αβ ∂ β G

= ∂ µ GJ µν ∂ α HJ αβ ∂ ν ∂ β F + ∂ α HJ αβ ∂ β ∂ ν F J νµ ∂ µ G = 0,

wobei verwendet wurde, dass J schiefsymmetrisch ist, d.h. J µν = −J νµ . Analog

verfährt man mit den anderen vier Termen, so dass am Ende tatsächlich die Jacobi-Identität

bewiesen ist.

• Poisson-Klammern für die generalisierten Koordinaten und Impulse:

{p i , p j } = {q i , q j } = 0, {q i , p j } = δ ij (8)

4


Poisson-Klammern spielen in vielen Bereichen der Hamiltonschen Mechanik eine Rolle;

so kann man beispielsweise mit ihrer Hilfe kanonische Transformationen behandeln,

vor allem aber Aussagen über die zeitliche Variabilität bestimmter Observabler treffen.

Noch wichtiger aber ist ihre Bedeutung für das Verständnis des Überganges zur Quantenmechanik.

Alle hier genannten Eigenschaften der Poisson-Klammern behalten auch

in der Quantenmechanik ihre Gültigkeit, wenn man die Poisson-Klammern durch ihr

entsprechendes quantenmechanisches Pendant ersetzt. Vor diesem Hintergrund soll als

Beispiel für den Umgang mit Poisson-Klammern die Drehimpulsalgebra hergeleitet werden.

Wir betrachten dazu die Poisson-Klammer zweier Komponenten des Drehimpulses

{L i , L j }. Unter Beachtung der Definition L i = ε ijk x j p k erhalten wir

{L i , L j } = ε ikl ε jmn {x k p l , x m p n }

= ε ikl ε jmn

[

x m {x k p l , p n } + {x k p l , x m }p n

]

So ist z.B.

= ε ikl ε jmn

[

−x m {p n , x k p l } − {x m , x k p l }p n

]

]

= −ε ikl ε jmn

[x m x k {p n , p l } +x

} {{ } m {p n , x k } +x

} {{ } k {x m , p l } p

} {{ } n + {x m , x k } p

} {{ } l p n

0

−δ nk δ ml 0

= ε inl ε jmn x m p l − ε ikm ε jmn x k p n

= ε lin ε jmn x m p l − ε ikm ε njm x k p n

= (δ jl δ im − δ lm δ ij )x m p l − (δ in δ kj − δ ij δ kn )x k p n

= x i p j − δ ij x m p m − x j p i + δ ij x n p n

= x i p j − x j p i .

{L 1 , L 2 } = x 1 p 2 − x 2 p 1 = L 3

Die Poisson-Klammer zweier Komponenten des Drehimpulses ergibt also immer (bis

auf ein Vorzeichen) die übriggebliebene Drehimpulskomponente. Damit können wir die

berühmte Drehimpulsalgebra formulieren,

{L i , L j } = ε ijk L k .

Sie wird uns später in der Quantenmechanik wiederbegegnen.

1.3 Kanonische Transformationen

1.3.1 Motivation

Bei der Behandlung der Lagrangeschen Mechanik haben wir den Begriff der zyklischen

Koordinate kennengelernt. Eine generalisierte Koordinate q i heißt zyklisch, wenn die

Lagrangefunktion von dieser Koordinate gar nicht explizit abhängt. Der zugehörige

kanonische konjugierte Impuls einer zyklischen Koordinate ist dann eine Erhaltungsgröße.

Mit anderen Worten: pro zyklischer Variable ”

spart“ man eine Integration. Nun

5


wissen wir, dass es für ein gegebenes System möglich ist, ganz verschiedene generalisierte

Koordinaten einzuführen. Betrachten wir als Beispiel das Keplerproblem. Wählt man als

generalisierte Koordinaten die kartesischen Koordinaten, so ist keine der Koordinaten

(x, y, z) zyklisch, im Hamiltonschen Formalismus sind also 6 Differentialgleichungen

erster Ordnung für die generalisierten Koordinaten und Impulse zu lösen. Wählt man

jedoch Polarkoordinaten, so zeigt sich, dass ϕ eine zyklische Variable ist. Der zugehörige

kanonisch konjugierte Impuls p ϕ ist erhalten, er entspricht gerade der z-Komponente des

Drehimpulses.

Im allgemeinen wird man bestrebt sein, durch Einführung neuer generalisierter Koordinaten

und Impulse so viele zyklische Koordinaten wie möglich einzuführen. Dabei sind

jedoch nicht beliebige Koordinatentransformationen möglich, da wir vernünftigerweise

fordern wollen, dass die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (3) forminvariant

bleiben. Jene Transformationen, die diese Bedingung erfüllen, werden als kanonische

Transformationen bezeichnet.

1.3.2 Kanonische Transformationen

Eine Transformation q i → Q i (q, p, t), p i → P i (q, p, t) heißt kanonisch, falls es eine

transformierte Hamiltonfunktion H ′ (Q, P, t) gibt, so dass die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

forminvariant bleiben,

˙Q i = ∂H′

∂P i

,


i = − ∂H′ .

∂Q i

Die Frage ist nur: Wie findet man eine entsprechende kanonische Transformation? Häufig

werden dazu sogenannte Erzeugende Funktionen verwendet, aus denen eine kanonische

Transformation ableitbar ist. Da laut Definition sowohl (q, p) als auch (Q, P ) die Hamiltongleichungen

(3) erfüllen sollen, müssen die Funktionale


]

[ f∑

dt p u ˙q i − H(q, p, t)

1

} {{ }

L(q, ˙q,t)

und


[ f∑

dt P i ˙q i − H ′ (Q, P, t)

1

} {{ }

L ′ (Q, ˙Q,t)

dieselben Extremalpunkte haben. Beim Variationsprinzip sind aber die Anfangs -und

Endpunkte aller Wege fixiert. Obige Forderung bedeutet daher, dass sich die Integranden

der Funktionale nur um eine totale Zeitableitung voneinander unterscheiden dürfen,

oder,


pi ˙q i − H(q, p, t) = ∑ P i ˙Q i − H ′ (Q, P, t) + d F (q, p, Q, P, t),

dt


(pi dq i − P i dQ i ) + (H ′ (Q, P, t) − H(q, p, t))dt = dF (q, p, Q, P, t). (9)

]

F ist in diesem Ansatz zunächst eine beliebige (stetig differenzierbare) Funktion von

4f + 1 Variablen, von denen allerdings nur 2f + 1 Variablen linear unabhängig sind

6


(je f generalisierte Koordinaten und Impulse sowie die Zeit). Das aber bedeutet, es

existieren nur 6 unterschiedliche Typen Erzeugender Funktionen, die von je 2f +1 linear

unabhängigen Variablen abhängen:

F 1 (q, Q, t), F 2 (q, P, t), F 3 (p, Q, t), F 4 (p, P, t), F 5 (q, p, t), F 6 (Q, P, t).

(10)

Beispiel: Die Erzeugende F 1 (q, Q, t)

Aus Gl. (9) erkennen wir


(p i dq i − P i dQ i ) + (H ′ − H)dt = dF 1 (q, Q, t) =

i

und hieraus folgt durch Vergleich sofort

f∑

i=1

( ∂F1

∂q i

dq i + ∂F 1

∂Q i

dQ i

)

+ ∂F 1

∂t dt,

p i = ∂F 1

, P i = − ∂F 1

, H ′ = H + ∂F 1

∂q i ∂Q i ∂t

(11)

Betrachten wir als Beispiel die durch F 1 = −Q/q vermittelte kanonische Transformation.

Aus Gl. (11) erhalten wir

p = ∂F 1

∂q = Q q 2 , P = ∂F 1

∂Q = 1 q .

Die neue generalisierte Koordinate Q ist also Q = pq 2 .

Die Erzeugende F 2 (q, P, t)

Gegeben sei eine Erzeugende F 2 ′ (q, P, t) und wir starten wieder von Gl. (9),


(pi dq i − P i dQ i ) + (H ′ − H)dt = ∑ ( ∂F 2

′ dq i + ∂F ′ )

2

dP i + ∂F 2


∂q i ∂P i ∂t .

Diesmal können wir nicht sofort den Koeffizientenvergleich durchführen, denn auf der

linken Seite der Gleichung tauchen statt der gewünschten dP i die dQ i auf. Wir müssen

also zunächst dQ i in Abhängigkeit von q j und P j ausdrücken:

dQ i = ∑ ( ∂Qi

dq j + ∂Q )

i

dP j + ∂Q i

∂q

j j ∂P j ∂t dt.

Setzen wir das ein, so ist


p i dq i − ∑ [ ∑

i

j i

(

P j

∂Q j

∂q i

dq i + P j

∂Q j

∂P i

dP i

)

+ P j

∂Q j

∂t dt ]

+ (H ′ − H)dt

= ∑ i

( ∂F


2

∂q i

dq i + ∂F ′ 2

∂P i

dP i

)

+ ∂F ′ 2

∂t dt.

7


Definieren wir nun

ergibt sich als Transformationsvorschrift

F 2 (q, P, t) := F ′ 2 (q, P, t) + ∑ P j Q j ,

p i = ∂F 2

∂q i

, Q i = ∂F 2

∂P i

, H ′ = H + ∂F 2

∂t , (12)

wobei wir hier mehrfach die Unabhängigkeit der Variablen (q, p, t) verwendet haben.

Betrachten wir zum Beispiel eine kanonische Transformation, die durch

Q = ln p,

P = −qp

gegeben ist. Diesmal suchen wir die zugehörige Erzeugende F 2 . Aus Gl. (12) erhalten

wir

d.h.

p = ∂F 2

∂q = −P q ,

F 2 (q, P, t) = −

∫ P

q

dq + f(P ) = −P ln q + f(P ).

Andererseits ist

Damit ist

Q = ∂F 2

∂P

df

dP

und die Integration ergibt


f(P ) =

Somit ist die gesuchte Erzeugende

1.4 Hamilton-Jacobi-Theorie

= − ln q +

df

dP

= ln(qp) = ln(−P ),

!

= ln p.

ln(−P )dP = P ln(−P ) − P.

F 2 (q, P, t) = P [ln(−P/q) − 1] .

Zu einer beliebigen Zeit t ist ein Zustand im Phasenraum durch die Angabe von x(t) ≡

(q(t), p(t)) vollständig charakterisiert. Ist x(t 0 ) bekannt, so existiert eine eindeutige

Lösung der Bewegungsgleichungen für alle Zeiten.

8


Im vorigen Abschnitt haben wir die Grundlagen kanonischer Transformationen kennengelernt.

Es ist leicht einsehbar, dass der Zusammenhang zwischen x(t) und x(t 0 ) als eine

spezielle, explizit zeitabhängige Transformation

q(t) → Q(q(t), p(t), t) = Q,

aufgefaßt werden kann. Aus der allgemeinen Beziehung

H ′ = H + ∂F

∂t

p(t) → P (q(t), p(t), t) = P

sehen wir, dass mit Hilfe einer geeigneten, explizit zeitabhängigen Erzeugenden sogar

H ′ = 0 erreicht werden kann. Unser Ziel soll nun darin bestehen, eine geeignete Erzeugende

einer kanonischen Transformation zu finden, die die zeitlich veränderlichen

x(t) = (q 1 (t), . . . q f (t), p 1 (t), . . . p f (t)) auf die Anfangswerte x(0) zurückführt, wobei die

q i (t) durch Q, P und t ausgedrückt werden. Traditionell wird hierzu eine Erzeugende

vom Typ F 2 (q, P, t) verwendet. In Gl. (12) ist der Zusammenhang zwischen F 2 (q, P, t)

und den p i und Q i angegeben. Wir setzen diese Beziehungen nun in den Ausdruck für

H ′ (Q, P, t) ein und fordern, dass die transformierte Hamiltonfunktion H ′ verschwinden

soll,

H ′ (Q, P, t) = H(q, p, t) + ∂F 2(q, P, t)

∂t

= H

(

q, ∂F )

2

∂q , t + ∂F 2

∂t

Die auf diese Weise erhaltene nichtlineare, partielle Differentialgleichung

(

H q 1 , . . . , q f , ∂F 2

, . . . , ∂F )

2

; t + ∂F 2

= 0

∂q 1 ∂q f ∂t

für F 2 wird als Hamilton-Jacobi-Gleichung bezeichnet. Die Lösungen hängen von

den f + 1 Variablen t, q 1 , . . . , q f und von f + 1 frei wählbaren Integrationskonstanten

α 1 , . . . , α f+1 ab. Eine dieser Integrationskonstanten ist rein additiv und kann daher

o.B.d.A. Null gesetzt werden, so dass noch f Integrationskonstanten übrig bleiben.

Im allgemeinen wählt man die Darstellung der Lösung so, dass die Konstanten α i gerade

die neuen kanonisch konjugierten Impulse P i sind. In diesem Fall nennt man F 2

Prinzipalfunktion oder Hamiltonsche Wirkungsfunktion S,

= 0.

F 2 =: S(t, q 1 , . . . , q f , α 1 , . . . , α f ), (13)

und die Hamilton-Jacobi-Gleichung nimmt dann die folgende Form an:

(

H q 1 , . . . , q f , ∂S , . . . , ∂S )

+ ∂S = 0. (14)

∂q 1 ∂q f ∂t

Die Hamiltonsche Wirtkungsfunktion S soll also so bestimmt werden, dass die transformierte

Hamiltonfunktion H ′ (Q, P, t) verschwindet und die neuen generalisierten Koordinaten

und Impulse zeitunabhängig werden. Theoretisch müsste man somit ”

nur“ die

Hamilton-Jacbi-Gleichung lösen und anschließend die Beziehungen

Q i = ∂S

∂P i

(15)

9


nach den alten generalisierten Variablen q i (t) auflösen, um so q i (t) als Funktion der

neuen generalisierten Variablen und Impulse zu erhalten. Die p i (t) ergeben sich dann

aus der Relation

p i (t) (12)

= ∂S

∂q i

. (16)

Die Bezeichnung von S als Hamiltonsche Wirkungsfunktion ist leicht einsehbar, wenn

man die totale Zeitableitung von S betrachtet. Dann ist nämlich



dS

dt = ∑ i



∂S

∂q i

}{{}

p i

+ ∂S

∂P i


}{{} i

0


⎦ + ∂S

∂t

(12)

= ∑ i

p i ˙q i − H = L.

Das aber bedeutet, dass S bis auf eine additive Konstante gerade die Wirkung entlang

einer Bahnkurve ist.

Scheinbar ist also die Hamilton-Jacobi-Gleichung das ultimative Werkzeug für die

Berechnung der Dynamik im Rahmen der Hamiltonschen Mechanik. Die mit Hilfe der

Hamilton-Jacobi-Gleichung bestimmte Erzeugende S erlaubt die Einführung neuer,

zeitunabhängiger generalisierter Koordinaten und Impulse. Der Preis dafür ist allerdings

hoch, und in den meisten Fällen sogar zu hoch, hat man doch mit der Hamilton-Jacobi-

Gleichung eine partielle, nichtlineare Differentialgleichung zu lösen. Das aber erweist sich

häufig als nicht bzw. nur sehr schwer möglich.

In wichtigen Spezialfällen, dann nämlich, wenn es sich um ein abgeschlossenes System

handelt, ist eine Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung den Separationsansatz

S(q, P, t) = W (q, P ) − Et (17)

möglich. E = H(q, p) ist hierbei die erhaltene Gesamtenergie des Systems, W (q, P ) wird

als charakteristische Funktion bezeichnet. Dieser Ansatz wird durch die Hamilton-

Jacobi-Gleichung

H(q, p) = H(q, ∂S

∂q ) = −∂S ∂t

motiviert. Betrachten wir als einfaches Beispiel die Hamiltonfunktion

H = p2

2m + U(q),

wobei U(q) ein beliebiges, eindimensionales Potential ist. Die allgemeine Hamilton-

Jacobi-Gleichung

H(q, ∂S ∂S

, t) +

∂q ∂t = 0

10


eduziert sich auf

H(q, ∂S

∂q ) = −∂S ∂t .

Da H nicht explizit zeitabhängig ist, können wir einen Separationsansatz für S wählen,

S(q, P ) = W (q, P ) − E t.

Der neue generalisierte Impuls P soll gerade die erhaltene Gesamtenergie E des Systems

sein. Ersetzen wir nun

so ist

p = ∂W

∂q ,

H = E = 1 ( ) ∂W 2

+ U(q).

2m ∂q

Diese Differentialgleichung läßt sich formal leicht nach W auflösen,

∂W

∂q = √ 2m(P − U(q)),

d.h. die Hamiltonsche Wirkungsfunktion ist

S =

∫ √2m(P

− U(q))dq − P t,

wobei P ≡ E ist. es läßt sich nun leicht ableiten, dass

Q = ∂S ∫

∂P = −t + m dq

√ ,

2m(P − U(q))

und

p = ∂S

∂q = √ 2m(P − U(q).

11

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