Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

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Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

1.1 Hamiltonsche Bewegungsleichungen

Der Übergang vom Lagrangeschen Formalismus zum Hamiltonschen Formalismus

wird durch die Legendretransformation (1) vermittelt, wobei die generalisierten Geschwindigkeiten

in Abhängigkeit der generalisierten Koordinaten und Impulse ausgedrückt

werden müssen. Letztere sind bekanntlich als

p i := ∂L

∂ ˙q i

(2)

definiert. Die Transformation ˙q i = ˙q i (q, p, t) ist (lokal) dann möglich, wenn

( ∂ 2 )

L

det ≠ 0

∂ ˙q i ∂ ˙q j

ist. In den im Rahmen der Vorlesung betrachteten Fällen ist diese Bedingung immer

erfüllt.

Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich aus Gl. (1) leicht herleiten. Bilden

wir auf beiden Seiten der Gleichung das totale Differential, so ist

dH(q, p, t) = ∂H

∂q i

dq i + ∂H

∂p i

dp i + ∂H

∂t dt = dp i ˙q i + p i d ˙q i − ∂L

∂q i

dq i − ∂L

∂ ˙q i

Verwenden wir

∂L

= − d ∂L

= −ṗ i ,

∂q i dt ∂ ˙q i

ergibt sich durch Koeffizientenvergleich sofort

1.2 Poisson-Klammern

˙q i = ∂H

∂p i

,

ṗ i = − ∂H

∂q i

,

}{{}

p i

d ˙q i − ∂L

∂t dt.

∂H

∂t = −∂L ∂t . (3)

Häufig interessiert man sich nicht nur für die durch das Differentialgleichungssystem

(3) beschriebene Dynamik des Systems, sondern möchte die zeitliche Entwicklung bestimmter

Observablen – beispielsweise des Drehimpulses oder der Energie – verfolgen.

Im Rahmen der Hamiltonschen Mechanik hängen all diese Observablen F von den generalisierten

Koordinaten und Impulsen ab. Ihre zeitliche Änderung ist mithin durch die

totale Zeitableitung

dF

dt = ∂F ˙q i + ∂F ṗ i + ∂F

∂q i ∂p i ∂t

gegeben. Ersetzen wir ˙q i und ṗ i durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so

ergibt sich

dF

dt = ∂F ∂H

− ∂F ∂H

+ ∂F

∂q i ∂p i ∂p i ∂q i ∂t

=: {F, H} +

∂F

∂t . (4)

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