Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

www2.uni.jena.de

Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

(je f generalisierte Koordinaten und Impulse sowie die Zeit). Das aber bedeutet, es

existieren nur 6 unterschiedliche Typen Erzeugender Funktionen, die von je 2f +1 linear

unabhängigen Variablen abhängen:

F 1 (q, Q, t), F 2 (q, P, t), F 3 (p, Q, t), F 4 (p, P, t), F 5 (q, p, t), F 6 (Q, P, t).

(10)

Beispiel: Die Erzeugende F 1 (q, Q, t)

Aus Gl. (9) erkennen wir


(p i dq i − P i dQ i ) + (H ′ − H)dt = dF 1 (q, Q, t) =

i

und hieraus folgt durch Vergleich sofort

f∑

i=1

( ∂F1

∂q i

dq i + ∂F 1

∂Q i

dQ i

)

+ ∂F 1

∂t dt,

p i = ∂F 1

, P i = − ∂F 1

, H ′ = H + ∂F 1

∂q i ∂Q i ∂t

(11)

Betrachten wir als Beispiel die durch F 1 = −Q/q vermittelte kanonische Transformation.

Aus Gl. (11) erhalten wir

p = ∂F 1

∂q = Q q 2 , P = ∂F 1

∂Q = 1 q .

Die neue generalisierte Koordinate Q ist also Q = pq 2 .

Die Erzeugende F 2 (q, P, t)

Gegeben sei eine Erzeugende F 2 ′ (q, P, t) und wir starten wieder von Gl. (9),


(pi dq i − P i dQ i ) + (H ′ − H)dt = ∑ ( ∂F 2

′ dq i + ∂F ′ )

2

dP i + ∂F 2


∂q i ∂P i ∂t .

Diesmal können wir nicht sofort den Koeffizientenvergleich durchführen, denn auf der

linken Seite der Gleichung tauchen statt der gewünschten dP i die dQ i auf. Wir müssen

also zunächst dQ i in Abhängigkeit von q j und P j ausdrücken:

dQ i = ∑ ( ∂Qi

dq j + ∂Q )

i

dP j + ∂Q i

∂q

j j ∂P j ∂t dt.

Setzen wir das ein, so ist


p i dq i − ∑ [ ∑

i

j i

(

P j

∂Q j

∂q i

dq i + P j

∂Q j

∂P i

dP i

)

+ P j

∂Q j

∂t dt ]

+ (H ′ − H)dt

= ∑ i

( ∂F


2

∂q i

dq i + ∂F ′ 2

∂P i

dP i

)

+ ∂F ′ 2

∂t dt.

7

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine