Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

www2.uni.jena.de

Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

Definieren wir nun

ergibt sich als Transformationsvorschrift

F 2 (q, P, t) := F ′ 2 (q, P, t) + ∑ P j Q j ,

p i = ∂F 2

∂q i

, Q i = ∂F 2

∂P i

, H ′ = H + ∂F 2

∂t , (12)

wobei wir hier mehrfach die Unabhängigkeit der Variablen (q, p, t) verwendet haben.

Betrachten wir zum Beispiel eine kanonische Transformation, die durch

Q = ln p,

P = −qp

gegeben ist. Diesmal suchen wir die zugehörige Erzeugende F 2 . Aus Gl. (12) erhalten

wir

d.h.

p = ∂F 2

∂q = −P q ,

F 2 (q, P, t) = −

∫ P

q

dq + f(P ) = −P ln q + f(P ).

Andererseits ist

Damit ist

Q = ∂F 2

∂P

df

dP

und die Integration ergibt


f(P ) =

Somit ist die gesuchte Erzeugende

1.4 Hamilton-Jacobi-Theorie

= − ln q +

df

dP

= ln(qp) = ln(−P ),

!

= ln p.

ln(−P )dP = P ln(−P ) − P.

F 2 (q, P, t) = P [ln(−P/q) − 1] .

Zu einer beliebigen Zeit t ist ein Zustand im Phasenraum durch die Angabe von x(t) ≡

(q(t), p(t)) vollständig charakterisiert. Ist x(t 0 ) bekannt, so existiert eine eindeutige

Lösung der Bewegungsgleichungen für alle Zeiten.

8

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine