Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
3.3.1 Definition
Eine Menge A heißt abzählbar (unendlich), wenn es eine bijektive Abbildung f : A → N
gibt. Wir schreiben dann: |A| = |N| = ω. Für eine endliche Menge A schreiben wir |A| < ω.
Für eine unendliche Menge A, die nicht abzählbar ist, schreiben wir |A| > ω und nennen A
überabzählbar.
Beispiel
1. |{1, 2, 3, 4, 5}| < ω
2. |N| = |Z| = |Q| = ω
3. Für ein endliches Alphabet Σ gilt: |Σ ∗ | = ω
4. |R| > ω
5. |{g : N → {0, 1}}| > ω
3.3.2 Beweistechniken für die Abzählbarkeit
Hier stellen wir kurz einige Techniken zum Nachweis der Abzählbarkeit einer Menge vor:
1. Explizite Angabe einer „Abzählungsfunktion“.
2. Teilmengenbeziehung: Für eine abzählbare Menge A ist jede Teilmenge B ⊆ A abzählbar
oder endlich.
3. Standardkonstruktionen (Beweis per Induktion usw.)
Beispielsweise kann man den Beweis für |Z| = |Q| = ω durch die explizite Angabe einer
Abzählung führen. Um zu beweisen, daß die ganzen Zahlen Z abzählbar unendlich sind, definieren
wir eine Funktion, die die ganzen Zahlen bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbildet. In
Abb. 1.2 ist diese Funktion skizziert.
6 4 2 0 1 3 5 7
| |
| | | | | | |
−3 −2 −1
1 2 3
Abbildung 1.2. Die Skizze zeigt, dass Z abzählbar ist.
Für die rationalen Zahlen Q gehen wir ähnlich vor. Wir beweisen zunächst, daß die Menge
aller Brüche abzählbar ist. Dazu tragen wir alle Brüche in ein Koordinatensystem ein, in dem
die x-Achse den Zähler und die y-Achse den Nenner repräsentieren. In Abbildung 1.3 ist die
entsprechende Abzählung skizziert. Da die Menge der rationalen Zahlen eine Teilmenge der
Brüche ist, folgt mit der Teilmengenbeziehung, dass auch die Menge der rationalen Zahlen
abzählbar ist.