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Thema für eine Diplomarbeit “Gemischte Finite-Elemente-Methoden ...

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Prof. Dr. Ansgar Jüngel

Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Universität Mainz Thema für eine Diplomarbeit “Die unstetige Petrov-Galerkin-Methode für elliptische Randertprobleme” Ziel: Diskretisierung des elliptischen Randwertproblems ∆u = f in Ω, u = u D auf Γ D , ∇u · u = u N auf Γ N , wobei Γ D ∪Γ N der Rand von Ω sei, mit Hilfe der unstetigen Petrov-Galerkin-Methode und Beweis von Fehlerabschätzungen. Vorkenntnisse: Numerik III, Finite-Elemente-Methoden Aufgaben: • Diskretisierung eines elliptischen Randwertproblems mit der unstetigen Petrov-Galerkin-Methode; Vergleich mit anderen gemischten Finite-Elemente-Methoden • Existenz und Eindeutigkeit einer diskreten Lösung • Beweis von Fehlerabschätzungen für die Lösung • Numerische Beispiele in ein bzw. zwei Raumdimensionen, u.a. zur Berechnung eines elektrostatischen Potentials bei gegebener Ladungsdichte • Eventuell: numerische Lösung eines linearen konvektionsdominanten Problems Literatur: [1] P. Causin: Mixed-hybrid Galerkin and Petrov-Galerkin finite element formulations in fluid mechanics. Dissertation, Politecnico di Milano, Mailand, Italien, 2002. [2] C. Bottasso, S. Micheletti, R. Sacco: The discontinuous Petrov-Galerkin method for elliptic problems. Comp. Meth. Appl. Mech. Engin. 191 (2002), 3391-3409. [3] A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements. Springer, New York, 2004. Ansprechpartner: Markus Brunk, (Stefan Holst)

Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Universität Mainz Thema für eine Diplomarbeit “Analysis und Numerik für eine nichtlineare parabolische Gleichung vierter Ordnung” Ziel: Existenz zeitlich globaler Lösungen der nichtlinearen parabolischen Gleichung vierter Ordnung n t + (n(ln n) xx ) xx − (f(n)) xx = 0, x ∈ (0, 1), t > 0, n(0,t) = n(1,t) = 1, n x (0,t) = n x (1,t) = 0, n(x, 0) = n I (x),x ∈ (0, 1), die den Teilchentransport in Quantenhalbleitern mit verschwindendem elektrischen Feld modelliert. Die Funktion n(x,t) stellt die Teilchendichte dar. Die Funktion f(n) ist eine monoton wachsende Funktion, z.B. f(n) = lnn oder f(n) = n α , α > 0. Numerische Lösung dieser Gleichung mit der Methode der Finiten Differenzen. Vorkenntnisse: partielle Differentialgleichungen oder Funktionalanalysis, ideal: Numerik III. Aufgaben: • Existenz zeitlich globaler Lösungen der eindimensionalen Gleichungen mit dem Fixpunktsatz von Schauder • Nach Wunsch: analytische Untersuchung des Langzeitverhaltens • Numerische Diskretisierung mit Finiten Differenzen und numerische Untersuchung des Langzeitverhaltens der Lösungen Literatur: [1] M. Gualdani, A. Jüngel, G. Toscani: A nonlinear fourth-order parabolic equation with non-homogeneous boundary conditions. Preprint, Universität Mainz, Germany, 2004. [3] A. Jüngel: A. Jüngel: Quasi-hydrodynamic Semiconductor Equations. Birkhäuser, Basel, 2001. [3] A. Jüngel and R. Pinnau: Global non-negative solutions of a nonlinear fourth-oder parabolic equation for quantum systems. SIAM J. Math. Anal. 32 (2000), 760-777. Ansprechpartner: Maria Gualdani

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