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Thema für eine Diplomarbeit “Gemischte Finite-Elemente-Methoden ...

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Prof. Dr. Ansgar Jüngel

Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Universität Mainz Thema für eine Diplomarbeit “Numerische Diskretisierung von Schrödinger-Poisson-Systemen” Ziel: Numerische Lösung von stationären “mixed-state” Schrödinger-Gleichungen, gekoppelt mit der Poisson-Gleichung, mit Lent-Kirkner-Randbedingungen. Simulation von eindimensionalen Tunneldioden und numerische Berechnung von Strom-Spannungskennlinien. Vorkenntnisse: Numerik III, ideal: Modellierung von Halbleitern. Aufgaben: • Numerische Diskretisierung der stationären, eindimensionalen Schrödinger-Gleichungen mit Finiten Differenzen und Gummel-Iteration • Simulation von Tunneldioden und Berechnung der Strom-Spannungskennlinien für verschiedene Temperaturen und effektive Massen • Nach Wunsch: Diskretisierung der transienten Gleichungen oder Existenz von Lösungen der stationären Gleichungen Literatur: [1] N. Ben Abdallah, P. Degond, P. Markowich: On a one-dimensional Schrödinger-Poisson scattering model. ZAMP 48 (1997), 135-155. [2] A. Jüngel: Transport Equations for Semiconductors, Kapitel 5.4. Vorlesungsskript, http://www.jungel.de.vu, 2005. [3] O. Pinaud: Transient simulations of a resonant tunneling diode. J. Appl. Phys. 92 (2002), 1987-1994. Ansprechpartner: Stefan Holst

Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Universität Mainz Thema für eine Diplomarbeit “Fehlerabschätzungen für unstetige Galerkin-Approximationen elliptischer Gleichungen” Ziel: Diskretisierung der Poisson-Gleichung ∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω, mittels der unstetigen Galerkin-Methode, Beweis von Fehlerabschätzungen und Vergleich mit numerisch erzielten Konvergenzraten. Vorkenntnisse: Numerik III, Finite-Elemente-Methoden. Aufgaben: • Formulierung einer zweidimensionalen Poisson-Gleichung mittels der unstetigen Galerkin-Methode • Beweis von Fehlerabschätzungen in Sobolev-ähnlichen Normen • Implementierung der Methode und numerische Lösung einer Poisson-Gleichung (in einer oder zwei Dimensionen) • Berechnung der numerischen Konvergenzraten und Vergleich mit den theoretischen Resultaten Literatur: [1] F. Brezzi, G. Manzini, D. Marini, P. Pietra, A. Russo: Discontinuous Galerkin approximations for elliptic problems. Numer. Methods Part. Diff. Eqs. 16 (2000), 365-378. [2] B. Cockburn: Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems. In: T. Barth, H. Deconink (eds.), High-Order Methods for Computational Physics, Springer (1999), 69-224. Ansprechpartner: Stefan Holst

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