Schwingungen und Wellen

www6.physik.uni.greifswald.de

Schwingungen und Wellen

Übersicht gkg … pharm. Prüf.

Einführung

1 Allgemeines

2 Mechanik

3 Wärmelehre

4 Elektrizität und Magnetismus

5 Optik

6 Schwingungen und Wellen

7 Atomistische i Struktur der Materie

(8 Grundlagen der Arzneiformenlehre)


Experimente

Schwingungen

g

- Auslenkung eines Federpendels in Abhängigkeit von der Zeit

(Diagramms-Darstellung mit Hilfe des Computers)

bei geringer und starker Dämpfung

- ungedämpfte Schwingung eines mathematischen Pendels

(Ausgleich der Dämpfung durch elektronische Schaltung)

- erzwungene Schwingungen

- Schwebung mit Luftsäulen

- gekoppelte Pendel

Wellen

- Wellenmodelle (Transversal- und Longitudinalwellen)

-Versuche mit der Wellenwanne

- Dopplereffekt von Schallwellen

- stehende Seilwellen


6.1 aus gkg … pharm. Prüf.

6 Schwingungen und Wellen

6.1 Allgemeines über Schwingungen

g

6.1.1 Darstellung: Darstellung harmonischer Schwingungsvorgänge

(quantitativ, s.a. 2.1.4)

6.1.2 Schwingungsenergie: Periodischer Wechsel zwischen

verschiedenen Energieformen am Beispiel Federpendel und

elektrischerSchwingkreis(sa (s.a. 232und474)

2.3.2 4.7.4)

6.1.3 Schwingungsfähige Systeme: Eigenfrequenz von elektrischem

Schwingkreis (s.a. 4.7.4) und Federpendel (s.a. 2.3.2), Resonanz

schwingungsfähiger Systeme

6.1.4 Gedämpfte Schwingungen: Schematische Darstellung einfacher

Einschwing- und Abklingvorgänge


Periodische Vorgänge

Nicht-periodische Vorgänge:

Einmalig (z.B. Aufprall) oder wiederholt aber unregelmäßig (statistische

Verteilung, z.B. Prasseln von Hagelkörnern, radioaktiver Zerfall)

Periodische Vorgänge

wiederholen sich nach einem Zeitintervall T immer wieder

(z.B. Herzschlag, tropfender Wasserhahn)

Harmonische Vorgänge:

Spezialfall der periodischen

Vorgänge. Darstellung durch

Sinus- bzw. Cosinus-Funktion

(z.B: Saitenschwingung, Pendel)

Federpendel Fadenpendel

Schwingungen: Periodische Vorgänge in einer Variablen, der Zeit

Wellen: Ausbreitung von Schwingungsvorgängen im Raum;

dabei im Allg. Energietransport, aber kein Materietransport!


Freie Schwingung

m

d

s

dt

Impulsänderung = Reibungskraft + rücktreibende Kraft

ds

dt

2

d s

m

dt

2

2

+ γ + mω

2 0

s =

0

ds

−γ

dt

= −

2

ks

Homogene

Differentialgleichung

Lösung

ohne Reibung (γ = 0):

s

( t

) =

ω

0

2

ω

T

=

A sin(

ω t + ϕ)

k

m

k

, f0

m

0

= =

=


=

ω

0


0

)

m

k

1


k

m

s(t) ()

0

A

t =−ϕ/ω

T

Charakterisiert durch: Amplitude,

(Kreis-)Frequenz/Periode, (Anfangs)Phase

t


Alternative Lösungsschreibweisen

Es war: s(

t)

= A sin( ω t + ϕ )

anders geschrieben: =

A

cos

( ω

) ( ′

0

t + ϕ − π /2

0

t + ϕ

)

oder auch: = A sin( ω t) + A cos ( ω t)

wobei

s

A = +

0

2

2

A s A c

0

=

c

⎛ 2π


A sin ⎜ t + ϕ ⎟

⎝ T ⎠

=

A

cos

ω

0

Zur Bedeutung der Amplitude A:

Betrachte Federpendel:

Dann ist A die Maximalauslenkung l von der „Ruhelage“ des Pendels,

d.h. die Position der Umkehrpunkte.

Aω 0 die Maximalgeschwindigkeit (bei Nullpunktsdurchgang).

Für die jeweils beteiligten Energien gilt:

k 2 m

A = ( Aω ) 2

0

in Übereinstimmung

2 2

mit

k

pot. Energie = kin. Energie

ω 0

=

m

Beachte aber: zu jeweils

unterschiedlichen Zeiten!


Gedämpfte Schwingungen

Immer noch

m

2

d s

2

dt

ds 2

+ γ + mω0

s

dt

=

0

Jetzt aber mit Reibung (γ ≠ 0):


γ

t

2

m

Lösung im Allg.: s

( t

)

= A

e

sin(

ω t

+

ϕ

)

=

A (

t

)sin(

ω

t

+ ϕ

)

0

ϕ

Auch die Amplitude ist jetzt

eine Funktion der Zeit

γ

− t

2m

A (

t

) = A

0

e =

A

0

e

−δ

t

s(t)

Abklingzeit 1/δ

Logarithmisches Dekrement δT

Die Frequenz verschiebt sich:

ω = k m − γ 2 4m

2

Beachte: Vorgänge g dieser Art

sind keine harmonische

Schwingungen

im engeren Sinne!

t

= ω

Weitere Stichpunkte: Kriechfall,

2 2

0

− δ ≠ ω0

aperiodischer Grenzfall

2 2

δ ≥ ω0


Erzwungene Schwingung

2

d s

m

2

dt

ds 2

+ γ + mω0

s

dt

Reibung

d

s

ds

m =

dt dt

2

d s

m

2

dt

=

0

Rückstellkraft

2

2

+ γ + mω0

s F(

t

2

ds 2

+ γ + mω0

s =

dt

F

0

)

freie Schwingung,

homog. Differentialgleichung

sin( ω t)

im Allg. inhomog. Dgl. mit

(äußerer) Kraft

Einfachster Fall:

periodisch treibende Kraft

ω i.a. verschieden von ω 0

Beispiel:

„Spezielle Lösung“

der inhomog. Dgl.

s(

t)

= A(

ω)sin(

ω t − ϕ)


Resonanz

m

2

d s

2

dt

ds 2

+ γ + mω0

s =

dt

F

0

sin( ω t)

erzwungene

Schwingung

Reibung Rückstellkraft

s( t)

= A(

ω)sin(

ω t − ϕ)

A

( ω

) =

F

0

2 2 2

( ω − ω ) + ( 2δω) 2

0

periodisch

treibende Kraft

A(ω) )

ω 0

γ klein

ω ist Frequenz der treibenden

Kraft, daher erzwungene

Schwingung.

Resonanz („Mit-Tönen“) heißt,

dass bei der Anregung die

„Eigenfrequenz“ getroffen wurde.

γ groß

ω


Amplitude und Phase

Lösung für erzwungene Schwingung

s ( t

) = A

( ω)sin(

ω t −

ϕ

)

Amplitude

A(

ω)

=

F

2 2 2

( ω − ω ) + ( 2δω) 2

mit Resonanzfrequenz

(d.h. Maximum der Amplitude bei)

ω

r

=

0

2 2

ω 0

− 2δ

0

2δω

Phase ϕ ( ω)

= arctan

2 2

ω − ω

0

ω


Einschwing- und Abklingvorgänge

Lösungen der homog. Dgl.

sind automatisch auch Lösungen

jeder inhomog. Dgl.

2

d s

m

2

dt

ds 2

+ γ + mω0

s

dt

=

2

d s ds 2

m + γ + mω

2

0

s =

dt

dt

0

F(

t)

also auch der speziellen

mit harmonischen

antreibenden Kräften: 2

d s ds 2

m

+

γ +

m

ω

s =

F

sin(

ωt

)

dt

2 0 0

t

Die Lösungen der homog. Dgl. klingen allerdings aufgrund

des Dämpfungsterms mit der Zeit ab, während die speziellen

Lösungen der inhomog. Dgl. eine konstante Amplitude beitragen.

Damit „gewinnt“ auf die Dauer die spezielle Lösung.

Im Zusammenhang mit dem An- bzw. Ausschalten von treibenden

Kräften spricht man von „Einschwing- und Abklingvorgängen“.

dt


Schwebung

4T 1

Überlagerung

zweier Schwingungen

T S

5 T 2

Einfachster Fall:

- gleiche Amplitude

- verschiedene Frequenzen

trigonometrische

Additionstheoreme

s

s

1( t)

= s0

1

2 ( t

) =

s0

2

t

cos( ω t)

cos( ω t

)

Oft (vor allem bei

kleinen Amplituden)

gilt das Superpositionsprinzip

s ( t

) = s cos(

ω t

) + s cos(

t

)

( 0

1

0

ω

2

⎛ ω

⎛ ⎞


+

1

− ω2

⎜ ⎞ ω1

ω2

= 2s0

cos t⎟

cos t⎟ ⎝ 2



2


„Differenzfrequenz“

„Summenfrequenz“


Fourier-Theorem

Fouriersches Theorem:

Jede beliebige periodische

Funktion s(t) läßt sich in eine

Summe

von Sinus- und Cosinus-Funktionen

zerlegen:

∞ s

(

t

) = ∑an

cos(


t

) +

bn

sin(


t

)

n=

0

1768-1830


Fourier-Zerlegung EKG

Fouriersches Theorem:

Jede beliebige periodische

Funktion s(t) läßt sich in eine

Summe

von Sinus- und Cosinus-Funktionen

zerlegen:

∞ s

(

t

) = ∑an

cos(


t

) +

bn

sin(


t

)

n=

0

1768-1830


Ton, Klang, Geräusch, Knall

Ton:

harmonische Schwingung

Linienspektrum

Klang:

anharmonische Schwingung

g

Grundton+Harmonische

Linienspektrum

Geräusch:

Überlagerung von vielen

Wellen aus großem Frequenzbereich

kontinuierliches Spektrum

Knall:

zeitlich gedämpftes Geräusch

kontinuierliches Spektrum

Signal in Zeitdomäne

(Amplitudenfunktion)

Signal in Frequenzdomäne

(Spektrum)


Schallwahrnehmung

Geige

gespielter

Grundton

Obertöne

Metall. Flöte


Kurzer Ausflug in die Musik

Frequenzverhältnis von Oktave 2

= = 2, 000000

(reine) Quinte

f

f 1

2

1

f 2

/ f 1

= 3/2 = 1,500000

(reine) Quarte

f 2

/ f 1

= 4/3 =

1,333333

Die Oktave besteht aus

aus 5 Ganz- und 2 Halbtonschritten, also aus 12 Halbtonschritten

Bei Gleichbehandlung („temperierter Stimmung“) ergibt sich für

jeden Halbtonschritt ein Intervall von

12 1/12

f2 / f1

= 2 = 2 ≈

1,059463

also für die

Oktave

12/12

1

f2 /

f1

=

2 =

2 =

2,000000

7/12

(reine) Quinte f / f = 2 1, 498307

2 1


5/12

(reine) Quarte f2

/ f1

= 2 ≈ 1, 334840


6.2 aus gkg … pharm. Prüf.

6.2 Wellen

6.2.1 Ausbreitung: Zusammenhang von Ausbreitungsgeschwindigkeit,

g g

Frequenz und Wellenlänge; Abhängigkeit dieser Größen vom

Medium; Definition der Wellenzahl; Ausbreitungsgeschwindigkeit

elektromagnetischer Wellen im Vakuum (s.a. 5.1.2)

6.2.2 Darstellung: Raum- und Zeitdarstellung von sinusförmigen Wellen

6.2.3 Schwingungsformen: Transversale und longitudinale Wellen

(schematisch); Beispiele (elektromagnetische Wellen, Schallwellen);

Lichtpolarisation (s.a. 5.4.1)

6.2.4 Interferenz: Huygens’sches Prinzip; Überlagerung zweier

Wellenzüge, Voraussetzung für vollständige Auslöschung;

Grundzüge der Interferenz am optischen Strichgitter (s.a. 5.3.5)


Wellentypen

Period dendaue er

Transversalwelle

Longitudinalwelle

Wellenlänge


Period dendaue er

Wellengeschwindigkeit

u

( x,

t

) = u0 sin(

kx − ωt

)

T

λ

2 π 1 = =

ω ν

Periodendauer


=

k

Wellenlänge

math. Form einer Welle

c

=

λ ω

f λ = =

T

k

Ausbreitungsgeschwindigkeit

der Welle

Allgemein:

c Phase

c

Gruppe

ω

=

k


= Dispersion

dk

Wellenlänge


Wellen-Beispiele

Feder

Gas im

Rohr

Seil


Wellenfronten, Huygens, Reflexion, Brechung

Beispiel: Ebene Welle

Huygens-Fresnelsches Prinzip:

Der Schwingungszustand eines

Punktes im Wellenfeld ld ist gegeben

durch die Überlagerung sämtlicher

Elementarwellen in diesem Punkt

Ausbreitungsrichtung

(senkrecht auf Wellenfronten)

Reflexion:

Brechung:

'

α

1

= α 1

sin

α1

sinα

2

=

c

c

1

2

α 1 α 1 ‘ Medium 1

mit c 1

α

2

Medium 2

mit c 2


Interferenz

Räumliche Überlagerung von Wellen (wie z.B. auch bei

Refexion in der Wellenwanne (letzte Folie)

Beispiel: Interferenz von zwei Kugelwellen:

Wellenberge volle Linien

Wellentäler gepunktete Linien

Phasenversatz von 180°

Verstärkung

Auslöschung


Doppler-Effekt, Prinzip

Betrachte eine im schwingungsfähigen Medium bewegte Quelle:

Hinter der Quelle:

größere Wellenlänge

d.h. kleinere Frequenz

Vor der Quelle:

kleinere Wellenlänge

d.h. größere Frequenz

Demonstration mit Wasserwellen

Christian Doppler

1803-1853

Weitere Stichworte: t Überschallgeschwindigkeit

h it

Machscher Kegel


Doppler-Effekt: Bewegte Quelle bzw. Empfänger

Bewegter Empfänger

Bewegte Quelle

≈ ν

0


⎛ 1 −


v

c




Näherungen


ν 0


⎛ 1 +


v

c

⎟ ⎠


Weitere Stichpunkte

Fermatsches Prinzip:

Licht nimmt den schnellsten Weg (nicht den kürzesten!)

(Analogie mit Rettungsschwimmer)

⇒ Erklärung der Brechung

(wenn Geschwindigkeit it zusätzlich frequenzabhängig folgt Dispersion) i Stehende Wellen:

- insb. bei Reflexion an senkrechter Begrenzung

- Interferenz zwischen einlaufender und reflektierter Welle

- Knoten an geschlossenem Ende, Bauch an offenem Ende

Polarisation:

- Nur bei Transversalwellen!

- Lineare Polarisation, zirkulare (elliptische) Polarisation


Akustik

Schallwellen: in Gasen Longitudinalwellen (Kompression und Verdünnung)

c

=

RT κ: Adiabatenkoeffizient = 7/5 für O 2 und N 2

κ

R: Gaskonstante = 8.31 J/(mol K)

M mol

T: Gastemperatur (typ. 300 K)

M mol : molare Masse = 29 g/mol für Luft

c = 347 m/s für Luft

Festkörper

(20°C)

c in m/s

Flüssigkeiten

(20°C)

c in m/s Gase (0°C) c in m/s

Aluminium 6260 Wasser 1483 Helium 965

Eisen 5860 Aceton 1192 CO 2 259

Gummi 1040 Glycerin 1923 Luft 331

Akustische Wellen zeigen keine Dispersion.


Hörwah hrnehmu ung

Audiogramm

Hörschwelle

Schallintensität

L /dB 0

Weber-Fechnersches Gesetz:

Die Empfindungsstärke ist proportional dem

Logarithmus der Reizstärke

Der Schallpegel L steigt logarithmisch mit der

Schallintensität I (bzw. dem Schalldruck p)

I p

L = 10 lg = 20 lg Einheit dB (Dezibel)

I

0 p0

I 0 = 10 -12 W/m 2

Musikbereich

Sprachbereich

f / kHz

p 0 = 20 μPa

Lautstärkepegel tä L N s

ist gleich Schallpegel

eines 1-kHz-Tones,

der als ebenso laut

empfunden wird.

Einheit: phon oder dB(A)

Hörbereich: 16 Hz – 20.000 Hz


Weber-Fechner

Weber-Fechnersches Gesetz:

I p

L = 10 lg = 20 lg

Die Empfindungsstärke ist proportional p dem I0

p0

Logarithmus der Reizstärke

2

Intensität

I ∝ p

Amplitude

Schallintensität (Anzahl von Taschenuhren)

I

I

I 0

I

I

0

I

I0

I

I

0

I

I

= 10 → ΔL

= 10

2 20

= = → ΔL


1 10

4 40

= =

1 10

→ ΔL

≈ 6

5 50

= =

1 10

→ ΔL

≈ 7

0

100

= → ΔL

=

1

20

3


Ultraschall-Anwendung

Folgende Welleneigenschaften werden ausgenutzt:

•stoffspezifisches Absorptionsvermögen

Intensitätsänderung

• stoffspezifische Ausbreitungsgeschwindigkeit

stoffspezifische Laufzeit der Impulse

f=20 kHz – 1 GHz

• Änderung des Wellenwiderstands

Reflexion

Laufzeit des reflektierten Signals entspricht der Tiefe der

Grenzschicht

• Dopplereffekt

Bestimmung von Strömungsgeschwindigkeiten


Echolot

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine