¨Ubung 1 (Analysis II) - Technische Universität Braunschweig

Technische Universität Braunschweig 21.-25. April 2008
Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät
Prof. Dr. K.-J. Wirths, Dr. W. Marten, C. Weinhold
” Analysis II“ und ” Differentialgleichungen“
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Sommersemester 2008
Übung 1 (Analysis II)
Aufgabe 1: Gegeben seien a 1 , a 2 , a 3 ∈ R 3 mit
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 1 = ⎝ 1
−1
0
⎠, a 2 = ⎝ 0 1
−1
⎠, a 3 = ⎝ 1 1
1
⎠.
Orthonormalisieren Sie a 1 , a 2 , a 3 mit dem Verfahren von Gram-Schmidt.
Hausaufgabe: Gegeben seien a 1 , a 2 , a 3 ∈ R 4 mit
⎛ ⎞ ⎛
1
a 1 = ⎜ −1
⎟
⎝ 0 ⎠ , a 2 = ⎜
⎝
0
2
0
1
0
⎞
⎟
⎠ , a 3 =
Orthonormalisieren Sie a 1 , a 2 , a 3 mit dem Verfahren von Gram-Schmidt.
⎛
⎜
⎝
6
2
7
0
⎞
⎟
⎠ .
Aufgabe 2: Gegeben sei die quadratische Funktion f : R 2 → R mit
f(x 1 , x 2 ) = 9x 2 1 − 4x 1 x 2 + 6x 2 2 + √ 5(6x 1 − 8x 2 ) + 10 .
a) Stellen Sie f in der folgenden Form dar:
f(x) = x t Ax + b t x + c mit x ∈ R 2 , A ∈ R 2×2 , b ∈ R 2 , c ∈ R.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A.
c) Berechnen Sie die Normalform der Nullstellenmenge von f und bestimmen Sie den Typ.
Hausaufgabe: Gegeben sei die quadratische Funktion f : R 2 → R mit
f(x 1 , x 2 ) = 3x 2 1 − 4x 1 x 2 − 2x 1 + 4x 2 − 5 .
a) Stellen Sie f in der folgenden Form dar:
f(x) = x t Ax + b t x + c mit x ∈ R 2 , A ∈ R 2×2 , b ∈ R 2 , c ∈ R.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A.
c) Berechnen Sie die Normalform der Nullstellenmenge von f und bestimmen Sie den Typ.

Hausaufgabe: Gegeben sei die quadratische Funktion f : R 3 → R mit
f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 4x 2 1 + 2x 2 2 + 3x 2 3 + 4x 1 x 3 − 4x 2 x 3 + 8x 1 − 4x 2 + 8x 3 .
a) Stellen Sie f in der folgenden Form dar:
f(x) = x t Ax + b t x + c mit x ∈ R 3 , A ∈ R 3×3 , b ∈ R 3 , c ∈ R.
b) Die reelle Matrix A ist symmetrisch und besitzt die Eigenwerte λ 1 = 3, λ 2 = 6, λ 3 = 0.
Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren von A.
c) Berechnen Sie die Normalform der Nullstellenmenge von f und bestimmen Sie den Typ.
Aufgabe 3: Rechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale nach.
a)
∫ 2
1
x ln x dx = 2 ln 2 − 3 4
b)
∫ e
1
ln x
x dx = 1 2
Hausaufgabe: Rechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale nach.
a)
∫ 2π
π
2
x cos x dx = 1 − π 2
b)
∫ π
0
e x sin x dx = 1 2 eπ − 1 2
∫ π
2
c) sin x cos 3 x dx = 1
0
4
∫ 2
2x 2 dx
d) √ = 8
0 1 + x
3 3
Aufgabe 4: Lösen Sie das Anfangswertproblem y ′ (x) − 2y(x) = x 2 , y(0) = 3 mit der Laplace-
Transformation.