Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen

Die isoperimetrische Ungleichung auf 

Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

DIPLOMARBEIT 

vorgelegt von 

Ramona Maier 

betreut von 

Prof. Dr. Frank Loose 

Eberhard-Karls-Universität Tübingen 

Fakultät für Mathematik und Physik 

Februar 2004

Inhaltsverzeichnis 

1 Einleitung 2 

2 Die isoperimetrische Ungleichung im euklidischen Raum 5 

2.1 Die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.2 Die isoperimetrische Ungleichung im Ê Ò . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

3 Die isoperimetrische Ungleichung auf Modellräumen 17 

3.1 Die Sphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.2 Der hyperbolische Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

4 Das isoperimetrische Vergleichstheorem 28 

4.1 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

4.1.1 Erste Variation von Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . 28 

4.1.2 Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen . . . . . . . 33 

4.1.3 Weitere Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.2 Das isoperimetrischeVergleichstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

A Eigenschaften von Sobolevräumen 53 

B Flächen- und Koflächenformel 55 

C Variationsformeln und Evolutionsgleichungen 57 

Literaturverzeichnis 59

Kapitel 1 

Einleitung 

Schon in der Antike musste sich die Königin Dido bei der Gründung Karthagos der Aufgabe 

stellen, die Fläche mit größtmöglichem Inhalt zu finden, die von einer aus Kuhhaut 

hergestellten Schnur, eingeschlossen wird. Dieses Problem nannten die Griechen das isoperimetrische 

Problem, waswörtlich übersetzt ��Ó =gleich und ��Ó�=Umfang bedeutet. 

Schnell war ihnen klar, dass die Lösung eine Scheibe sein muss. Es dauerte jedoch eine 

lange Zeit, bis ein zufriedenstellender Beweis dieses Problems gefunden werden konnte. Erst 

1870 gab Karl Weierstraß einen vollständigen Beweis für die Existenz einer Lösung des isoperimetrischen 

Problems. Dieser trat als Korollar in der von ihm entwickelten Theorie zur 

Maximierung oder Minimierung bestimmter Integrale, der sogenannten Variationsrechnung, 

auf. In der Zwischenzeit kennt man einfachere Beweise, die ohne Variationsrechnung auskommen. 

Das isoperimetrische Problem beschreibt die Eigenschaft des Kreises, unter allen einfach geschlossenen 

Kurven der Länge Ä, dengrößten Flächeninhalt einzuschließen. Mathematisch 

lässt sich dieser Sachverhalt durch die isoperimetrische Ungleichung Ä � �� ausdrücken. 

Dabei bezeichnet � den durch die Kurve der Länge Ä eingeschlossenen Flächeninhalt. Zu 

Beginn des ersten Kapitels wird diese Ungleichung mit Hilfe der Ungleichung von Wirtinger 

für reguläre Kurven in der Ebene bewiesen. In höheren Dimensionen scheint eine Herleitung 

der isoperimetrischen Ungleichung aus der verallgemeinerten Wirtinger-Ungleichung, die 

auch als Poincaré-Ungleichung bezeichnet wird, nicht möglich zu sein. Trotzdem bestehen 

interessante Beziehungen zwischen diesen beiden Ungleichungen, die von Chavel [Cha78] 

und Reilly [Rei77] unabhängig voneinander entdeckt wurden. Eine andere wichtige analytische 

Ungleichung ist die Sobolev-Ungleichung. Diese ist mit der isoperimetrischen Ungleichung 

ebenfalls eng verbunden. Die Erkenntnis, dass diese sogar äquivalent sind, führt in 

Kapitel 1.2 zum Beweis der isoperimetrischen Ungleichung im euklidischen Raum beliebiger 

Dimension. 

Nachdem das isoperimetrische Problem im euklidischen Raum unter den verschiedensten 

Voraussetzungen gelöst war, stellte sich die Frage nach einer Lösung dieses Problems auf anderen 

Räumen.Manbegannsichfür vollständige, einfach zusammenhängende Ò-dimensionale 

Riemannsche Mannigfaltigkeiten Å� mit konstanter Schnittkrümmung � Ê zu interessieren. 

Diese Räume, die man auch als Raumformen oder Modellräume bezeichnet, sind 

Gegenstand der Untersuchungen im zweiten Kapitel. Ist die Krümmung positiv, so handelt es

Kapitel 1. Einleitung 3 

sich hierbei um die Sphäre, wohingegen bei negativer Krümmung der hyperbolischer Raum 

vorliegt. Im Falle einer nichtgekrümmten Mannigfaltigkeit erhält man als Spezialfall wieder 

den euklidischen Raum. Auf diesen Modellräumen ist die isoperimetrische Ungleichung 

äquivalent zu der Forderung, dass der Minkowski-Inhalt des Randes einer kompakten Teilmenge 

� � Å� mindestens so groß wie das Ò -dimensionale Volumen des Randes eines 

metrischen Balles vom gleichen Volumen ist. Um dies beweisen zu können, benutzt man die 

Methode der Symmetrisierung, die auf Steiner [Ste82] und Schwartz [Scw80] zurückgeht. 

Bei der Symmetrisierung wird der kompakten Teilmenge � eine andere Menge � � zugeordnet, 

die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweist. Im Falle der Sphäre ist es die 

sphärische Symmetrisierung, die sich der extrinsischen Geometrie des umgebenden Raumes 

Ê Ò bedient. Für den hyperbolischen Raum wird die sphärische Steiner Symmetrisierung 

bemüht. Diese ist nicht nur für den hyperbolischen Raum, sondern auch für alle anderen 

Modellräume durchführbar und liefert damit einen alternativen Beweis für den euklidischen 

Raum und die Sphäre. Die in den vorangegangenen Paragraphen präsentierten Beweismethoden 

haben trotzdem ihre Berechtigung, da sie nicht auf die jeweils anderen Modellräume 

übertragbar sind. 

Gibt man eine der Forderungen nach Vollständigkeit oder einfachem Zusammenhang der 

Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf, so erschweren eine Vielzahl von topologischen und 

algebraischen Schwierigkeiten die Untersuchung des isoperimetrischen Problems. Aus diesem 

Grund sind auf diesen Räumen keine Resultate bekannt. Es ist daher naheliegend, die 

isoperimetrische Ungleichung auf vollständige, einfach zusammenhängende Riemannsche 

Mannigfaltigkeiten mit zumindest beliebiger Schnittkrümmung zu verallgemeinern. Bis heute 

sind jedoch vergleichbare Ergebnisse nur für Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver 

Schnittkrümmung bekannt. So wurde beispielsweise 1980 gezeigt [BuZa88], dass 

für ein kompaktes Gebiet ª � Å mit glattem Rand ª aus einer vollständigen, einfach 

zusammenhängenden Ò-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit Å, deren Schnittkrümmung 

�Å � �� erfüllt, 

ÎÓÐÒ ª � Ò Ô � ÎÓÐ ª (1.1) 

gilt. Dabei bezeichnet ÎÓÐÒ ª das Ò -dimensionale Volumen des Randes und ÎÓÐ ª 

das Volumen von ª. Ist� � Ê Ò die Ò-dimensionale Einheitskugel, so impliziert (1.1) für 

genügend großes Volumen ÎÓÐ ª die euklidische isoperimetrische Ungleichung 

Ò �Ò 

ÎÓÐÒ ª � ÒÎÓÐ ª (1.2) 

mit der positiven Konstanten Ò � ÎÓÐÒ � 

ÎÓÐ � Ò �Ò . Bereits sechs Jahre früher haben D. Hoffman 

und J. Spruck [HoSp74] ein der isoperimetrischen Ungleichung (1.2) ähnliches Resultat 

bewiesen, das unabhängig davon von C. Croke [Cro80] bestätigt wurde. Sie zeigten, dass für 

alle vollständigen, einfach zusammenhängenden, Ò-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

Å mit nichtpositiver Schnittkrümmung und alle kompakten ª � Å mit glattem 

Rand eine Konstante �Ò mit � �Ò � Ò existiert, so dass 

ÎÓÐÒ ª � �ÒÎÓÐ ª 

Ò �Ò 

erfüllt ist. Diese Ergebnisse lassen vermuten, dass die euklidische isoperimetrische Ungleichung 

(1.2) für alle kompakten Gebiete mit glattem Rand in einer vollständigen, einfach

Kapitel 1. Einleitung 4 

zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit Å nichtpositiver Schnittkrümmung 

richtig ist. Im zwei- und vierdimensionalen Fall wurde dies von A. Weil [Wei26] und C. 

Croke [Cro84] bewiesen. Auch der dreidimensionale Fall ist seit 1992 bekannt. Damals gelang 

Bruce Kleiner [Kle92] sogar der Vergleich von kompakten, glatt berandeten Gebieten 

ª � Å aus einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung 

� Å � � � mit geodätischen Bällen � vom gleichen Volumen aus dem Modellraum mit 

konstanter Schnittkrümmung �. Er zeigte nämlich die Ungleichung 

ÎÓÐ ª � ÎÓÐ � � (1.3) 

die für � � die isoperimetrische Ungleichung (1.2) liefert. Tritt Gleichheit in (1.3) auf, so 

ist ª isometrisch zu �. Das Ziel des dritten und letzen Kapitels ist es, dieses isoperimetrische 

Volumenvergleichstheorem von B. Kleiner zu beweisen. Um dieses anspruchsvolle Theorem 

zeigenzukönnen, werden zunächst in Abschnitt 3.1 die nötigen Hilfsmittel bereitgestellt. 

Die isoperimetrische Ungleichung auf Mannigfaltigkeiten ist noch lange nicht erschöpfend 

diskutiert worden. So ist die euklidische isoperimetrische Ungleichung (1.2) auf vollständigen, 

einfach zusammenhängenden, nichtpositiv gekrümmten Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

mit größerer Dimension Ò � � noch offen. Selbst das Volumenvergleichstheorem von 

B. Kleiner im dreidimensionalen sagt lediglich aus, dass ein Gebiet ª mit ÎÓÐ ª � ÎÓÐ � , 

das die Gleichheit in (1.3) erfüllt, isometrisch zu � ist. Im allgemeinen wird aber die Gleichheit 

in (1.3) kaum angenommen und es ist keinesfalls klar, von welchen Kompakta ª mit 

festem Volumen das Minimum angenommen wird. Die Vermutung liegt nahe, dass es sich 

dabei um geodätische Bälle handelt. Verzichtet man auf eine der drei Voraussetzungen, so 

treten, wie bei den Modellräumen, zahlreiche Komplikationen auf, die bis heute noch niemand 

überwinden konnte. 

An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei Prof. Dr. Frank Loose für die Betreuung 

und die mir eingeräumten Freiheiten bei der Erstellung dieser Arbeit bedanken. Mein 

weiterer Dank gilt Dr. Felix Schulze und den Mitgliedern des Arbeitsbereichs Analysis für 

die hilfreichen mathematischen Diskussionen. Außerdem danke ich Gerd Sautter für seine 

Anmerkungen beim Korrekturlesen des Manuskripts.

Kapitel 2 

Die isoperimetrische Ungleichung im 

euklidischen Raum 

In diesem Kapitel wird die isoperimetrische Ungleichung im euklidischen Raum Ê Ò der Dimension 

Ò � bewiesen. Dabei beschränkt man sich auf Gebiete, die einen mindestens 

stetig differenzierbaren Rand haben. Während das isoperimetrische Problem im zweidimensionalen 

Fall relativ einfach zugänglich ist, ist die Verallgemeinerung auf größere Dimensionen 

mit deutlich mehr Aufwand verbunden. 

2.1 Die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene 

Die zwei wesentlichen Bestandteile des Beweises der isoperimetrischen Ungleichung im Ê 

sind der Divergenzsatz von Gauß und die Ungleichung von Wirtinger. Letztere wird mit der 

Hilfe einer Fourierreihenentwicklung der gegebenen stetig differenzierbaren Ä-periodischen 

Funktion und deren Ableitung bewiesen. 

Im Folgenden sei �¡� ¡� � Ê Ò ¢ Ê Ò � Ê das Standardskalarprodukt auf dem Ê Ò . 

Lemma 2.1.1 (Ungleichung von Wirtinger). Ist � � Ê � � eine stetig differenzierbare, 

Ä-periodische Funktion mit 

so gilt 

�Ä � Ø �Ø � � 

�Ä �� 

�� Ø �Ø � 

Ä 

�Ä �� Ø �Ø� (2.1) 

Dabei tritt Gleichheit genau dann ein, wenn es Konstanten � und � in � derart gibt, dass 

gilt. 

� Ø �� Ø�Ä 

� � ��Ø�Ä

Kapitel 2.1 Die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene 6 

Beweis. Man verwendet die Fourierreihenentwicklungen der Funktionen � Ø , 

und � Ø , 

� Ø � 

� Ø � 

� 

�� 

� 

�� 

�� Ø�Ä � �� Ä 

�� Ø�Ä � �� Ä 

�Ä ��Ø�Ä 

� Ø � �Ø 

�Ä ��Ø�Ä 

� Ø � �Ø� 

Nach Voraussetzung ist � � und wegen der Stetigkeit von � ist auch � � . Nach 

partieller Integration von �� erhält man 

Die Parsevalsche Gleichung impliziert dann 

�Ä � 

�� Ø � Ä 

�� 

Ä �� 

�� 

� Ä �� 

Ä 

�� Ä �� 

Ä 

� 

�� 

�� 

Ä 

� 

� �� 

�� 

�Ä �� Ø� 

was Ungleichung (2.1) beweist. Offensichtlich tritt Gleichheit genau dann ein, wenn �� 

für alle �� ist. 

Theorem 2.1.2 (Isoperimetrische Ungleichung im Ê ). Sei ª � Ê ein beschränktes 

Gebiet mit stetig differenzierbarem Rand ª. Ferner sei Ä die Länge von ª und � der 

Flächeninhalt von ª. Dann gilt 

Ä � �� (2.2) 

und Gleichheit genau dann, wenn ª ein Kreis ist. 

Beweis. Auf jedes stetig differenzierbare Vektorfeld � �ª� Ê ist der Divergenzsatz von 

Gauß anwendbar und es ist 

� 

ª 

��Ú ��Ü � 

� 

ª 

�� ×� 

wobei � � ª � Ê das auswärts gerichtete Einheits-Normalenvektorfeld bezeichnet. Für 

das Vektorfeld � � Ü �� Ü ist ��Ú � � auf ganz ª und somit 

� � 

� 

ª 

�� ×�

Kapitel 2.2 Die isoperimetrische Ungleichung im Ê Ò 7 

woraus mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung 

� � 

� 

ª 

� Ä � 

�� × � 

�� 

ª 

�� × 

�� 

ª 

� � 

�� × 

� � �� 

ª 

� � 

�× 

resultiert. Nach Parametrisierung von ª nach Bogenlänge gilt für alle Ü � Ü �Ü ª 

�Ü� � Ü Ü ÙÒ� �Ü × � � Ü × ¡ Ü × ¡ � � 

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass man nach eventueller Verschiebung von ª 

ª 

� 

ª 

Ü × �× � � 

� 

ª 

Ü × �× 

erreichen kann, ist es gestattet die Wirtinger Ungleichung auf die Koordinatenfunktionen 

Ü × und Ü × anzuwenden und man erhält mit 

� � Ä � 

�� 

�Ü × � �× � Ä � 

� Ä 

�� 

� � � 

�Ü × � �× 

� Ä 

� � 

die gewünschte Ungleichung (2.2). Gilt Gleichheit in (2.2), dann muss auch Gleichheit in 

der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gelten und folglich ist � � Ö ¡ �� Ö Ê £ .Also 

ist �Ü� � Ö für alle Ü ª und ª ist ein Kreis mit Radius �Ö�. Die letzte Ungleichung 

impliziert Ä � ��Ö� und � � �Ö , was zu erwarten war. Geht man andererseits davon aus, 

dass ª ein Kreis ist, dann ist die Gleichheit in (2.2) offensichtlich erfüllt. 

2.2 Die isoperimetrische Ungleichung im Ê Ò 

In diesem Kapitel wird die klassische isoperimetrische Ungleichung im Ê Ò für beschränkte, 

� -berandete Gebiete bewiesen. Die Idee besteht darin, eine Verbindung zwischen der isoperimetrischen 

Ungleichung und der Sobolev-Ungleichung mit der optimalen Konstanten herzustellen, 

in dem man zeigt, dass die Konstanten in beiden Ungleichungen übereinstimmen. 

Aufgrund dieser Tatsache ist es dann ein Leichtes, die Äquivalenz dieser Ungleichungen zu 

folgern. Der Beweis der Sobolev-Ungleichung mit der optimalen Konstanten steht daraufhin 

im Vordergrund. 

Zuvor benötigt man jedoch einige Grundkenntnisse über Sobolevräume, die nun eingeführt 

werden. Im Folgenden bezeichnet �Î Ü oder auch nur �Î das Ò-dimensionale Lebesgue- 

Maß und �� das Ò -dimensionale Hausdorff-Maß auf dem Ê Ò . Entspechend ist Î ª 

das Volumen einer Lebesgue-messbaren Menge ª � Ê Ò und � das Ò -dimensionale 

Volumen einer Hausdorff-messbaren Menge � Ê Ò . 

Für jede offene Menge ª � Ê Ò und � Ô � definiert man die Funktionenräume 

Ä Ô ª � ¨ Ù �ª� Ê� Ù ist Lebesgue-messbar� �Ù�Ô � © 

ª


und 

Ä Ô ª � Ä Ô ª �Æ 

für den Untervektorraum Æ � �Ù Ä Ô ª � Ù � fast überall�. Zusammen mit den Normen 

��Ù℄�Ô �� Ù�Ô � � 

bzw. der wesentlichen Supremumsnorm 

ª 

�Ù� Ô �Î 

� �Ô 

� � Ô� � 

��Ù℄� �� Ù� � �×× ×ÙÔ �Ù� ��Ò�� ª 

� Î �Ü ª� Ù Ü � � � � 

bilden die Quotientenräume Ä Ô ª einen Banachraum. Ferner bezeichnet 

Ä Ô 

ÐÓ ª � ¨ Ù �ª� Ê� Ù Ä Ô Î für alle Î �� ª © � 

Damit kann man den Begriff der schwachen Ableitung und des Sobolevraums einführen. 

Definition 2.2.1. Sei � Æ und Ô � . 

(i) Jede Funktion Ù Ä Ô ª besitzt eine schwache Ableitung bis zur Ordnung �, wenn 

es für jeden Multi-Index « Æ Ò mit �«� � � ein Ú « Ä Ô ª gibt, so dass für alle 

� � ª 

�«� 

� 

ª 

Ù� « ��Î � 

� 

ª 

Ú « ��Î� 

gilt. Dann heißt � « Ù �� Ú « die schwache Ableitung von Ù der Ordnung «. Diese ist in 

Ä Ô ª eindeutig bestimmt. 

(ii) Der Raum 

Ï ��Ô ª � ¨ Ù Ä Ô ª � � « Ù existiert für alle �«� �� « Æ Ò© 

heißt Sobolevraum der Ordnung (�� Ô). 

Eine Norm auf Ï ��Ô ª ist durch 

�Ù� Ï ��Ô � 

� 

�� 

�� 

� È Ê 

�� 

�«�� ª 

« Ù�Ô � �Ô 

� � Ô� 

È 

�×× ×ÙÔ ª �� 

�«�� 

« Ù�� Ô � 

gegeben. Ï ��Ô ª ist bezüglich dieser Norm für alle � Æ und Ô � vollständig. Für Ô � 

erhält man für jedes � Æ ein Skalarprodukt, das Ï �� ª zu einem Hilbertraum macht. 

Mit Ù Ï � ª ist auch der Betrag �Ù� Ï � ª . 

Diese Begriffe gestatten einem eine Charakterisierung Lipschitz-stetiger Funktionen. Ist ª � 

Ê Ò offen und beschränkt mit � -Rand, dann ist eine Funktion Ù � ª � Ê genau dann 

Lipschitz-stetig, wenn Ù Ï � ª ist. In diesem Zusammenhang ist auch das Theorem 

von Rademacher von Bedeutung.


Theorem 2.2.2 (Rademacher). Sei ª � Ê Ò offen und Ù lokal Lipschitz-stetig auf ª. Dann 

ist Ù fast überall differenzierbar auf ª und die klassische Ableitung stimmt mit der schwachen 

Ableitung fast überall überein. 

Vollständige Beweise der hier gemachten Aussagen findet man beispielsweise in [Eva98] 

oder [GiTr98]. 

Als nächstes definiert man die isoperimetrische Konstante, eine geometrische Größe, und die 

Sobolev-Konstante, eine analytische Größe. 

Definition 2.2.3. Durchläuft ª alle beschränkten Gebiete mit � -Rand im Ê Ò ,soheißt 

Á � �Ò� 

ª 

� ª 

Î ª �Ò 

die isoperimetrische Konstante. Bezeichnet � Ê Ò die Menge aller glatten reellwertigen 

Funktionen mit kompakten Träger auf Ê Ò , so nennt man 

Ë � �Ò� 

� � Ê Ò 

�� 

�� 

��Ò� Ò 

die Sobolev-Konstante. 

Wie wir bereits angedeutet haben, und nun beweisen wollen, stimmen die beiden Konstanten 

Á und Ë überein. Diese Erkenntnis ist ein wesentlicher Bestandteil für den Beweis der 

isoperimetrischen Ungleichung im Ê Ò ,wofür man das folgende Lemma benötigt. 

Lemma 2.2.4. Ist � � Ê Ò , so gilt 

�� (2.3) 

fast überall auf Ê Ò . Dabei bezeichnet �� die schwache Ableitung von ��. 

Beweis. Die Behauptung (2.3) ist für die offenen Mengen �� Ü Ê Ò� � Ü � � 

bzw. �� , wo�� bzw. �� gilt, sicherlich richtig. Die Menge �� 

�� ist eine Ò -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Ê Ò und demzufolge 

eine Nullmenge bezüglich dem Ò-dimensionalen Lebesgue-Maß. Also muss nur noch die 

Richtigkeit der Aussage für �� gezeigt werden. Dazu setzt man für �� 

�� 

Ô � � 

und erhält �� punktweise für � � .Ist� � , dann ist auch 

�� 

�� 

Ô � � � � � � � � �� Ò 

und somit �� für alle Elemente der Menge �� . Andererseits 

gilt �� Ï � Ê Ò ,weil� einen kompakten Träger hat, und somit auch 

� 

Ê Ò 

�� Î � 

� 

Ê Ò 

�� Î � 

� 

Ê Ò 

�� Î � 

� 

Ê Ò 

�� Î 

für alle � � Ê Ò . Also konvergiert �� in Ä Ê Ò für � � . Folglich existiert 

eine punktweise, fast überall konvergente Teilfolge von ��, deren Grenzwert fast 

überall mit �� übereinstimmt. Aber �� für � � , woraus sich fast überall die 

Gleichheit �� ergibt.


Die Gleichheit der beiden Konstanten Á und Ë geht auf Federer und Fleming zurück und trägt 

deshalb ihren Namen. 

Theorem 2.2.5 (Federer-Fleming Theorem). Die isoperimetrische Konstante Á und die 

Sobolev-Konstante sind gleich, d.h. 

Á � Ë� 

Beweis. Sei ª � Ê Ò ein beschränktes Gebiet mit � -Rand. Für jedes (genügend kleine) 

Æ � betrachte man für ÍÆ � �Ü ª� � Ü� ª � Æ� mit � Ü� ª � �Ò�Þ ª �Ü Þ� die 

Lipschitz-stetige Funktion �Æ �ª� Ê, definiert durch 

�Æ Ü � 

� 

� 

� 

Æ 

� Ü ªÒÍÆ� 

� Ü� ª � 

� 

Ü 

Ü 

ÍÆ� 

ª� 

Die Lipschitz-Stetigkeit und die Tatsache, dass �Æ einen kompakten Träger hat implizieren 

�Æ Ï �Ô Ê Ò für alle Ô � und man kann �Æ mit Funktionen � � Æ � ÊÒ approximieren 

(siehe Anhang A), so dass 

�� Æ �Æ�Ò� Ò � ÙÒ� �� Æ ��Æ� � 

für � � gilt. Es resultiert die Abschätzung 

Ë � ��Æ� 

��Æ�Ò� Ò 

Für Æ � konvergiert �Æ Ü � für alle Ü ª, weshalbmanfür Æ � mit dem Theorem 

über die dominierte Konvergenz 

erhält. Mit 

Ð�Ñ 

Æ � 

� 

ª 

��Æ� � 

��Æ� Ò�Ò �Î � Î ª 

� Æ � Ü ÍÆ� 

� Ü ªÒÍÆ� 

und der Koflächenformel für Lipschitz-stetige Funktionen (siehe Anhang B) für � ÍÆ � � �Æ , 

Ü �� Ü� ª folgt 

Also gilt 

Ð�Ñ 

Æ � 

� 

Ê Ò 

��Æ� �Î � Ð�Ñ 

Æ � 

Ë � Ð�Ñ 

Æ � 

� Æ 

� � ª � 

��Æ� 

��Æ�Ò� Ò 

Æ � 

für alle ª � Ê Ò mit � -Rand, und damit auch Ë � Á. 

Für die Umkehrrichtung setzt man für � � Ê Ò 

� 

� 

Ø �Ø � � 

� ª 

Î ª �Ò 

ªØ � �Ü Ê Ò � �� Ü �Ø�� Î Ø �Î ªØ �


Mit der Koflächenformel und Lemma (2.2.4) erhält man wegen �� Ø � ªØ 

� 

�� Î � 

� � � � � 

�� Ø � � �� Ø ¡ �Ø 

Ê Ò 

Weiterhin gilt mit Fubini 

� 

Ê Ò 

Ò� Ò 

�� 

�Î � 

� 

� 

Ê ��Ø� 

� � 

� ªØ 

� ªØ �Ø � 

Î Ø 

Î Ø �Ò 

� 

� Á Î Ø 

� Î �� Ò� Ò �Ø� �Ø � 

Ò 

Ò 

Als nächstes definiert man die Hilfsfunktionen 

�× � × � Î Ø 

�Ò 

�Ø und 

Ò Ò 

� × � 

Ò 

�Ò �Ø 

�Ò �Ø� (2.4) 

� Î �� ×� 

Ò 

Ò 

� Ø � Ò Î Ø �Ø� (2.5) 

× � Ò 

�× Ó �Ò 

� Ò 

Ø Î Ø �Ø 

mit � � �� .WeilÎ Ø eine monoton fallende Funktion ist, hat man 

� × � 

� 

� Ò 

Ò 

� Ò 

Ò 

� �Ò� Ò 

� �Ò� × � 

� Ò 

Ø 

� Î × �Ò � � × 

und mit (2.4) und (2.5) ergibt sich 

�� 

Á 

Ê Ò 

Ò� Ò 

�� 

�Î 

� �Ò 

�� × � � �Ò 

� Ò 

Ø Î Ø �Ø 

� �Ò 

�Ø × � Ò Î × �Ò 

� 

� Á Î Ø 

�Ò �Ø � 

für alle � � Ê Ò . Die Gleichheit Á � Ë folgt unmittelbar. 

� 

Ê Ò 

× � Ò Î × 

�� Î� 

Bevor die isoperimetrische Ungleichung auf dem Ê Ò formuliert wird, erläutern wir kurz 

den Zusammenhang zwischen dem Volumen �Ò der Einheitskugel � Ò und dem Ò - 

dimensionalen Volumen Ò der Einheitssphäre Ë Ò 

. Wendet man die Koflächenformel 

�×


auf Ü ��Ü� an, so erhält man die Beziehung 

�Ò � 

� � 

�Î � � Ö �Ö � 

� Ò 

� Ò Ò � 

� � Ë Ò 

Ö �Ö � 

� 

Ò Ö Ò �Ö 

Damit lässt sich die isoperimetrische Ungleichung folgendermaßen formulieren. 

Theorem 2.2.6 (Isoperimetrische Ungleichung). Sei ª ein beschränktes, � -berandetes 

Gebiet und � Ò die Ò-dimensionale offene Einheitskugel im Ê Ò . Dann gilt 

� ª 

Î ª 

Ò 

� 

�Ò 

� Ò 

�Ò 

� Ò� �Ò 

Ò 

mit Gleichheit genau dann, wenn ª eine Ò-dimensionale Kugel ist. 

Beweis. Wegen Á � Ë genügt es die Ungleichung 

�� Ò� �Ò 

Ò ��Ò� Ò (2.6) 

für alle � � Ê Ò zu zeigen, aus der dann die isoperimetrische Ungleichung sofort folgt. 

Dazu betrachtet man für eine nichtnegative Funktion � � Ê Ò � � �� , die Abbildungen 

Ù� � �� , 

Ù � Ü � 

� 

Ê 

� 

ÊÒ � 

� Ü ��Ü � 

�� 

und die Funktionen Ú � � �� , 

Ú � Ü � Ù � Ü 

Ü� � 

� 

ÊÒ � 

� Ü � �� Ü � 

�� 

� �� Ò �� 

� �� Ò �� 

�� Ò �� Ò 

�� Ò �� Ò 

mit Ú � Ú ��Ú Ò �� Ò . Dabei bezeichnet � Ò den offenen Ò-dimensionalen 

Einheitsquader. Weil man Ù � nur auf �� betrachtet, wird verhindert, dass Ù � 

verschwindet, was die Wohldefiniertheit von Ú � für alle � � � �� Ò sicherstellt. Weil Ù � nicht 

von Ü � abhängt und mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung rechnet man 

leicht nach, dass für Ú � � Ú � Ü � �� Ü� 

Ú� Ù� 

� 

Ü� Ù� � � � � �� Ò 

gilt, wobei man Ù Ò Ü � � Ü setzt. Da die partielle Ableitung Ú� 

Ü � � für � � � verschwindet, 

resultiert für die Determinante der Jacobi-Matrix �Ú 

��Ø �Ú Ü � 

Ò� 

�� 

Ú� Ü � 

Ü� Ò� 

�� 

Ù � 

Ü �ÙÒ 

Ù� Ù 

Ü � 

�� 

Ê Ò 

� 

� Ü �Ü 

� Ü ��


Im Spezialfall ª � � Ò betrachtet man für � die charakteristische Funktion �� Ò von �Ò . 

Obwohl �� Ò � � ÊÒ ist, bleibt Ú auf � Ò immer noch differenzierbar. Man bezeichnet das 

zu � � �� Ò korrespondierende Ú mit �.Für alle Ü �Ò erhält man für die Determiante von 

�� 

��Ø �� 

�� 

Ê Ò 

��Ò �Ü 

� 

� � Ò � 

Es ist leicht einzusehen, dass � injektiv ist und surjektiv in � Ò abbildet. Somit ist � � 

� Ò � � Ò ein Diffeomorphismus. Im allgemeinen Fall definiert man für � � Ê Ò die 

Abbildung 

� � � Æ Ú � �� Ò � 

Hier ist 

��Ø �� Ü � ��Ø �� 

Ú Ü ¡ ��Ø �Ú Ü ��Ò 

�� 

Ê Ò 

� 

� Ü �Ü 

� Ü � 

Weil die Jacobi-Matrix �� eine Dreiecksmatrix ist, findet man mit der Ungleichung zwischen 

arithmetischen und geometrischem Mittel die Abschätzung 

�Ò 

�� 

Ê Ò 

� Ü �Ü 

� 

� Ü � ��Ø �� Ü � 

� ��Ú � Ü 

Ò 

Betrachtet man jetzt für eine nichtnegative Funktion � � Ê Ò 

so folgt mit (2.7) 

Ò� Ò 

� Ü �� 

� Ü � � Ü � �Ò Ü 

� Ò � �Ò 

Ò 

� 

� Ò 

Ò� Ò 

Ò� �Ò 

Ò 

�� 

Ü �� Ü � 

�� 

Ê Ò 

� Ò 

Ü �� Ü � �Ò Ü � 

� �Ò 

� Ü �Ü � Ü ��Ú � Ü 

� ��Ú � Ü � Ü ¡ ª �� Ü �� Ü «� � 

� Ò 

� (2.7) 

Durch Integration der letzten Ungleichung erhält man unter Berücksichtigung der Tatsache, 

dass ��Ú � Ü � Ü wegen des Gaußschen Intergralsatzes dabei verschwindet 

Ò� Ò 

��Ò� Ò 

Cauchy-Schwarz impliziert dann 

��Ò� Ò 

� Ò� �Ò 

Ò 

� Ò 

��Ò� Ò 

� 

Ò� �Ò 

Ò 

� 

Ê Ò 

� 

� 

Ê Ò 

ª « � 

�� Ü � 

ª �� « �Ü � Ò� �Ò 

Ò 

� 

Ê Ò 

�� Ü (2.8)


für � � .Essei�� £�� die Glättung von �� für beliebiges � � Ê Ò . Dann gilt 

nach (2.8) 

�� Ò� Ò 

� Ò� �Ò 

Ò 

� 

Ê Ò 

�� Ü� 

Da �� Lipschitz-stetig und damit auch �� Ï � Ê Ò ist, gilt für �� nach Anhang A 

� �� Ï 

Mit der Hölder-Ungleichung erhält man dann 

� � für � � � 

� �� Î Í ¡� �� 

� Î Í ¡� �� Ï � � (2.9) 

für � � . Dabei ist Í ein beschränktes Gebiet, das ×ÙÔÔ �� enthält. Mit (2.9), 

Lemma 2.2.4 und weil � ÄÒ� Ò Ê Ò folgert man für � � , 

��Ò� Ò 

� Ò� �Ò 

Ò 

� 

Ê Ò 

�� Î � 

Ò� �Ò 

Ò 

� 

Ê Ò 

�� Î� 

Es bleibt noch der Fall der Gleichheit zu zeigen. Dazu betrachtet man die charakteristische 

Funktion � � � ª von ª. An dieser Stelle muss man voraussetzen, dass ª konvex ist, denn 

sonst könnten die Funktionen Ù � Unstetigkeitsstellen aufweisen. Mit (2.7) erhält man 

� 

Î ª �Ò 

Ò� �Ò 

Ò 

��Ú � Ü (2.10) 

für alle Ü ª. Seiª� � �Ü ª� � Ü� ª � ��. Integration von (2.10) über ª� und der 

Divergenzsatz von Gauß liefern 

Î ª� 

�Î � � 

ª �Ò ª « 

� 

�� 

Ò Ò �Ò 

Weil � �ª� � Ò � � � � Æ Ú stetig differenzierbar auf den Rand ª fortsetzbar ist, ergibt 

sich als Grenzwert für � � , 

�Î ª 

Î ª � 

Ò Ò �Ò 

� �Ò � 

ª 

ª� 

ª �� « �� 

� Î ª 

Ò Ò �Ò 

� �Ò 

� ª � (2.11) 

die ursprüngliche Form der isoperimetrischen Ungleichung. 

Von jetzt an wird angenommen, dass es ein � � Ê Ò gibt, so dass Gleichheit in (2.6) 

gilt. Dann hat man ebenfalls Gleichheit in (2.7) und (2.10) und demzufolge gilt 

�� Ü� � �Ò 

� 

Î ª 

� �Ò 

� � � ��Ò� (2.12) 

Gleichheit in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung in (2.11) impliziert 

�� ª � � (2.13)


für alle Ü ª. OBdAistÎ ª � �Ò (nach eventueller Skalierung ª �� ª mit geeignetem 

� Ê) und aus (2.12) resultiert 

� � � Ü � 

� � Ü � �� Ü � 

� � � ��Ò� 

wobei � konstant ist. Aus �� auf ª folgt, dass alle tangentialen Ableitungen von �� 

verschwinden. Für alle zum Rand ª in Ü ª tangentialen Vektoren Ý ÌÜ ª bedeutet 

dies ª �Ö�� Ü �Ý « � � �� Ü ¡ Ý � � 

Damit ist der Gradient �Ö�� Ü ÌÜ ª � � Ê� Ü , was die Existenz eines � Ü 

Ê mit �Ö�� Ü � � Ü � Ü impliziert. Für die partiellen Ableitungen von �� rechnet 

man 

�� 

� 

Ü� nach, so dass die Gleichheit 

Ò� 

�� 

� � 

� � 

Ü � �� 

�� 

Ò� 

� � � 

�� 

Ò� 

� � 

Ü � �� 

�� 

Ü� für alle � � � �� Ò erfüllt ist. Für � � Ò folgt � Ü � , woraus man für alle Ü ª 

�� 

Ò� 

� � 

Ü � �� Ò (2.14) 

schließt. Hält man Ü ��Ü Ò fest, dann sind � � �� Ò konstant und demzufolge erhält 

man mit (2.14) für alle Ü ª mit � Ò Ü �� 

� Ò 

Ü Ò 

Ü � � 

was impliziert, dass neben � Ò auch � Ò konstant ist. Daraus lässt sich wegen �� für 

festes Ü � �� Ü Ò folgern, dass der Schnitt einer Ebene mit ª ein Kreis vom Radius � 

ist, der die Gleichung 

Ü Ò 

� Ò 

Ü Ò 

� Ò � � �� Ò 

erfüllt. Das bedeutet, dass der Schnitt einer Ebene mit ª eine Scheibe vom Radius � ist. 

Wegen der Surjektivität von �, existiert mindestens eine solche Ebene, so dass der Schnitt 

dieser Ebene mit ª eine Scheibe vom Radius ist. Wählt man zwei Antipodenpunkte Ô �Ô 

aus diesem Kreis, dann ist der Schnitt jeder Ebene, die Ô und Ô enthält, mit ª eine Scheibe 

vom Radius . Aber dann muss ª selber eine Kugel vom Radius sein, deren Mittelpunkt 

gerade der Mittelpunkt der Geraden ist, die Ô mit Ô verbindet. 

Für den hier vorgestellten Beweis der isoperimetrischen Ungleichung hätte sogar die Ungleichung 

Á � Ë im Federer-Fleming Theorem 2.2.5 ausgereicht. In diesen Fall erhält man 

nämlich mit der Sobolev-Ungleichung (2.6) 

� ª 

Î ª 

�Ò � Á � Ë � Ò� �Ò 

Ò � 

�


Darüberhinaus liefern die Ungleichungen Ò� �Ò 

Ò 

Ò� �Ò 

Ò 

� Á und (2.6) wegen 

� Á � Ë � Ò� �Ò 

Ò 

einen alternativen Beweis für Á � Ë. Setzt man hingegen das Federer-Flemming Theorem 

mit Á � Ë voraus, so ergibt sich bereits die Äquivalenz der isoperimetrischen Ungleichung 

zu der Sobolev-Ungleichung (2.6) mit der optimalen Konstanten Ò� �Ò 

Ò .

Kapitel 3 

Die isoperimetrische Ungleichung auf 

Modellräumen 

Zu Beginn dieses Kapitels werden die benötigten Begriffe aus der Differentialgeometrie vorgestellt 

und einige Vorbereitungen getroffen, um anschließend die isoperimetrische Ungleichung 

auf einfach zusammenhängenden, vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

mit konstanter Schnittkrümmung, auch Modellräume genannt, beweisen zu können. Dabei 

benutzt man die Technik der sogenannten Symmetrisierung. Bei diesem Verfahren wird einer 

Menge � eine andere Menge � � zugeordnet, die bestimmte Symmetrieeigenschafen aufweist. 

Insbesondere wird beim Symmetrisieren das Volumen der Menge � nicht verändert, 

was im Beweis eine wichtige Rolle einnimmt. 

Grundkenntnisse über Riemannsche Mannigfaltigkeiten, wie man sie beispielsweise in 

[Sak96] findet, werden vorausgesetzt. Einige davon werden im Folgenden kurz in Erinnerung 

gerufen. 

Sei Å eine Ò-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik �. Das Tangentialbündel 

von Å wird mit ÌÅ, der Tangentialraum von Å in Ü Å wird mit ÌÜÅ bezeichnet. 

� Å bezeichnet die Menge aller glatten Vektorfelder auf Å. SeiÖ � � Å ¢ 

� Å � � Å der Levi-Civita-Zusammenhang auf Å. DannistderRiemannsche Krümmungstensor 

Ê für die Vektorfelder Í� Î� Ï � Å gegeben durch 

Ê Í� Î Ï � ÖÍÖÎ Ï ÖÎ ÖÍÏ Ö �Í�Î ℄Ï� (3.1) 

Für Ü Å und einer Ebene �Ü � ÌÜÅ definiert man die Riemannsche Schnittkrümmung 

von Å in �Ü als 

�Ü �Ü � � ÊÜ Ù �Ù Ù �Ù 

�Ù � �Ù � � Ù �Ù 

wobei �Ù �Ù � ÌÜÅ eine Basis von �Ü ist und �Ù�� Ù��Ù� � � � � gilt. 

Mit der Riemannschen Metrik � auf Å ist eine Integrationstheorie auf Å assoziiert. Für 

einen Atlas �Ü« � Í« � Ê Ò �« Á von Å und eine untergeordnete Zerlegung der Eins � «�« Á 

ist nämlich das Volumen, beziehungsweise das Maß einer Borelmenge � � Å durch 

� � Õ 

ÎÓÐ � � 

��Ø �� «�Ü «��Ü Ò «� (3.2) 

gegeben. Dabei ist �� « � � Ü� � � 

« Ü« der Karte Ü«. 

« 

Ü« Í« 

« 

� 

¡ die Koordinatendarstellung der Metrik � bezüglich

Kapitel 3. Die isoperimetrische Ungleichung auf Modellräumen 18 

Ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension � � Ò und � � � Å eine Immersion, das 

heißt, eine differenzierbare Abbildung, deren Differential ��Ý für alle Ý injektiv ist, so 

induziert die Metrik � eine Riemannsche Metrik � auf , indemman 

�Ý Ù� Ú �� Ý ��Ý Ù ��Ý Ú 

für alle Ù� Ú ÌÝ setzt. Das �-dimensionale Volumen auf wird dann analog zu (3.2) mit 

Hilfe der induzierten Metrik definiert. 

Im folgenden sei Å� der Ò-dimensionale Ò � Modellraum kostanter Schnittkrümmung 

� Ê. Das ist der euklidische Raum � Ò � � ,dieSphäre Ë Ò �� oder der hyperbolische 

Raum À Ò �� . Dabei müssen die sphärische Metrik auf Ë Ò bzw. die hyperbolische 

Metrik auf À Ò entsprechend skaliert werden, damit ihre Schnittkrümmung konstant gleich � 

wird. Man benötigt folgende Notationen. 

Für jede kompakte Teilmenge � von Å� bezeichne � den abgeschlossenen metrischen Ball 

� Ü �Ö � �Ü Å�� Ü �Ü � Ö� mit ÎÓÐ � � ÎÓÐ � . Weiterhin sei für � � � �� 

die abgeschlossene Menge �Ü Å�� Ü� � � ��. Für eine beschränkte Menge � � Å� 

nennt man 

Ö � � �Ò�� Ü� � für ein Ü Å�� 

den Umkugelradius von � . Die Metrik auf Å� induziert die Hausdorff-Metrik Æ auf dem 

Raum Ã der kompakten, nichtleeren Untermengen von Å�, indemman 

setzt. 

Æ �� Ò�� 

Lemma 3.0.1. Mit den eingeführten Bezeichnungen gilt 

(i) Die Funktion � �� Ö � ist stetig auf Ã. 

(ii) Die Funktion � �� Î � ist oberhalbstetig auf Ã, das heißt 

Ð�Ñ ×ÙÔ ÎÓÐ � 

� � 

� � ÎÓÐ � 

für jede Folge � � �� aus Ã mit Æ � � �� für � � . 

Beweis. Zum Beweis von (i) sei �� und �� , sogewählt, dass Æ �� .Dann 

muss für alle Ü Å� und Ê� mit � � � Ü� Ê auch � � � Ü� Ê � gelten. Folglich 

hat man 

Ö � � Ö � �� 

Vertauscht man die Rollen von � und � ,soerhält man mit 

�Ö � Ö � �� 

die Stetigkeit von � �� Ö � . Bleibt (ii) zu zeigen. 

Gilt Æ � � �� für � � , dann existiert für jedes �� ein � � ,sodass� � � �� 

für alle � � � ist. Für alle � � � impliziert dies ÎÓÐ � � � ÎÓÐ �� . Daraus schließt man 

Ð�Ñ ×ÙÔ ÎÓÐ � 

� � 

� � ÎÓÐ �� 

für alle �� , woraus sich die Behauptung ergibt.

Kapitel 3. Die isoperimetrische Ungleichung auf Modellräumen 19 

Die folgenden zwei Lemmata, so wie Lemma 3.0.1(i),sindfür allgemeine metrische Räume 

Å, wo man noch keine Definition eines bestimmten Maßes hat, richtig. 

Einen metrischen Raum Å�� nennt man total beschränkt, wennfür alle � � eine endliche 

Menge � � Å existiert, die � Ü� � � � für alle Ü Å erfüllt. Die Menge � nennt 

man endliches �-Netz für Å. Mit Hilfe dieser Definition lässt sich ein Kompaktheitskriterium 

formulieren, das zum Beweis der folgenden Lemmata benötigt wird. Ein Metrischer 

Raum Å�� ist genau dann kompakt, wenn Å vollständig und total beschränkt ist [Rin61]. 

Lemma 3.0.2. Sei Å�� ein metrischer Raum. Falls Å vollständig ist, ist auch 

Ã � �� Å� � kompakt, nichtleer� vollständig. 

Beweis. Sei � � �� eine Cauchy Folge in Ã.Mit� bezeichnet man die Menge aller Punkte 

Ü Å mit der Eigenschaft, dass für alle Umgebungen Í von Ü, ein� existiert, so dass 

Í � � � �� für alle � � � . Man zeigt nun dass � � � � in Ã, bezüglich der Hausdorff- 

Metrik. Dazu sei � � fest und � so gewählt, dass Æ � � �� Ð � �� für alle �� Ð � � .In 

dem man zum einen � Ü� � � � �Ò�� Ü� Ý � Ý � � � � � für ein beliebiges Ü � und 

zum anderen � Ý� � ��für ein beliebiges Ý � � zeigt, erhält man Æ � � �� für alle 

� � � . 

(1) Nach Definition von � existiert ein � � � ,sodass� Ü� �� Ð �� für alle Ð � � . 

Das heißt, es existiert ein Ý � Ð ,sodass� Ü� Ý �� .WegenÆ � � �� Ð �� ist 

� Ý� � � �� und damit auch 

für alle � � � . 

Æ Ü� � � � � Ü� Ý � Ý� � � �� 

(2) Für alle Ñ� wählt man ein �Ñ � � ,sodassÆ � Ô �� Õ �� Ñ für alle Ô� Õ � �Ñ 

gilt. Man darf dann �Ñ � �Ñ annehmen, woraus sich Æ � �Ñ �� Ñ � �� Ñ für 

alle Ñ ergibt. Jetzt definiert man für Ý � � � � � die Folge ÝÑ Ñ� mit Ý � Ý 

und ÝÑ � �Ñ ,sodass� ÝÑ�ÝÑ � �� Ñ gilt. Weil È Ñ� � ÝÑ�ÝÑ � � 

ist, ist ÝÑ eine Cauchy Folge, die in Å konvergiert, weil Å vollständig ist. Sei 

Ü � Ð�ÑÑ � ÝÑ Å. Nach Konstruktion dieser Folge ist Ü � und es gilt 

was � Ý� � ��impliziert. 

� Ý� Ü � Ð�Ñ 

Ñ � � Ý� ÝÑ � � 

Ñ� 

� ÝÑ�ÝÑ 

Die Menge � ist offensichtlich vollständig. Sie ist auch total beschränkt, denn für jedes 

�� gibt es ein � Æ, sodassÆ �� gilt und weil � � kompakt ist, existiert für 

� � ein endliches �� -Netz � � Å, dasfür � ein �-Netz bildet. Damit ist � kompakt. 

Satz 3.0.3 (Blaschke). Falls Å kompakt ist, ist auch Ã � �� Å� � kompakt, nichtleer� 

kompakt. 

Beweis. Nach Lemma 3.0.2 ist Ã vollständig und man muss nur noch zeigen, dass Å total 

beschränkt ist. Sei � � Å ein endliches �-Netz für Å, d.h.� Ü� � � � für alle Ü Å. 

Man zeigt nun, dass die Menge aller Teilmengen von � , die man mit � bezeichnet, ein 

��

Kapitel 3.1 Die Sphäre 20 

�-Netz für Ã ist. Sei dazu Ã Ã und �Ã 

� mit �Ã � �Ý � � � Ý� Ã � ��. Wegen 

der Definition von � , existiert für jedes Ü Ã ein Ý � ,sodass�Ü� Ý � �. Weilfür den 

Abstand � Ý� Ã � � Ý� Ü � � gilt, gehört Ý zu �Ã. Damit ist auch � Ü� �Ã � � für alle 

Ü Ã. Andererseits gilt � Ý� Ã � � für alle Ý �Ã.Somiterhält man Æ Ã� �Ã � �.Weil 

Ã beliebig gewählt war, ergibt sich unmittelbar die totale Beschränktheit von Ã. 

Als nächstes wird die Brunn-Minkowski Ungleichung auf Å� formuliert, deren Beweis sowohl 

auf der Sphäre � � , im hyperbolischen Raum � � , als auch im euklidischen 

Raum � � in den folgenden beiden Abschnitten geführt wird. 

Theorem 3.0.4 (Brunn-Minkowski Ungleichung). Sei � eine kompakte Teilmenge von 

Å� und � eine abgeschlossene geodätische Kugel mit ÎÓÐ � �ÎÓÐ � . Dann existiert ein 

� � , so dass für jedes � �� ℄ 

gilt. 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� (3.3) 

Dieses Theorem, die Gleichheit inklusive, wurde erstmals von Schmidt in [Scm48] und 

[Scm49] bewiesen. 

Aus der Brunn-Minkowskischen Ungleichung resultiert unmittelbar die isoperimetrische 

Ungleichung in allen Modellrämen. Für alle � bzw. für �� Å� im Falle � � ,erhält 

man nämlich die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel 

� � � ÎÓÐÒ � � (3.4) 

wobei ÎÓÐÒ � das Ò -dimensionale Volumen der kompakten glatten Hyperfläche 

� ist. Dabei bezeichnet � � den Minkowski-Inhalt des Randes � von �, der durch 

� � � Ð�Ñ �Ò� 

� � 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ � 

� 

definiert ist. Er stimmt im � -Fall mit dem Ò -dimensionalen Volumen überein. Schließlich 

liefert der Übergang zum Grenzwert in der Ungleichung 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ � 

� 

� ÎÓÐ �� ÎÓÐ � 

� 

die isoperimetrische Ungleichung (3.4). Gleichheit in (3.4) ist genau dann möglich, wenn die 

kompakte Menge � gleich einer Menge ist, die sich aus der Kugel � und einer Menge vom 

Maß Null zusammensetzt, so dass � nicht vergrößert wird. Eine ausführliche Diskussion 

dieser Aussagen findet man in [BuZa88, Kapitel 10.2 und 14.4]. 

3.1 Die Sphäre 

Im Fall der Sphäre Ë �� Ë Ò geht man wie in [FLM77] vor und benutzt die sphärische 

Symmetrisierung. Dabei symmetrisiert man die kompakte Menge � � Ë bezüglich einer 

Halbgeodäten , die zwei Antipodenpunkte Ü und Ü miteinander verbindet. Für jedes


Ý sei � Ý die Hyperebene in Ê Ò ,dieÝ enthält und orthogonal zu der Geraden ist, die 

Ü und Ü verbindet. Dann ist Å Ý � � Ý � Ë wieder eine Ò -dimensionale Sphäre. Für 

Ý sei � Ý � ��Å Ý .Mit� Ý bezeichnet man die Ò -dimensionale geodätische Kugel 

in Å Ý mit Mittelpunkt Ý und dem Volumen ÎÓÐÒ � Ý �ÎÓÐÒ � Ý .IstÎÓÐÒ � Ý � , 

so setzt man entweder � Ý � �Ý� oder � Ý � �, falls � Ý schon leer war. Im Fall Ý � ¦Ü , 

wenn Å Ý also nur aus einem einzigen Punkt besteht, geht man genau so vor. Die Menge 

� � � 

nennt man die Symmetrisierung von � bezüglich . Mit Fubini erhält man ÎÓÐ � � � 

ÎÓÐ � . Demnach ist die Symmetrisierung einer Kugel wieder eine Kugel vom gleichen Volumen. 

Geht durch den Mittelpunkt der Kugel, dann lässt � die Kugel invariant. 

Man beweist Theorem 3.0.4 durch Induktion nach der Dimension Ò. Der Beweis setzt sich 

zusammen aus drei Lemmata, wobei die Induktionsvoraussetzung nur in einem Lemma 

benötigt wird. Für Ò � ist die Aussage offensichtlich. Falls � zusammenhängend ist, 

so gilt ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� für jeden abgeschlossenen geodätischen Ball � mit ÎÓÐ � � 

ÎÓÐ � . Sonst ist ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� . 

Sei � � Ë abgeschlossen und damit auch kompakt. Mit Å � bezeichnet man die Menge 

aller abgeschlossenen Mengen � � Ë mit ÎÓÐ � �ÎÓÐ � ,für die ein � � existiert, so 

dass ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� für alle � �� ℄ gilt. 

Lemma 3.1.1. Sei � � Ë abgeschlossen. Dann existiert ein Element �� Å � mit 

minimalem Umkugelradius, das heißt Ö �� Ñ�Ò�Ö � �� Å � �. 

Beweis. Man wählt � � so groß, dass die Eigenschaft ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� für alle 

�� erhalten bleibt. Realisiert � selber den minimalen Umkugelradius, dann 

ist man fertig. Wenn nicht, dann reicht es diejenigen Elemente � Å � mit Ö � � Ö � 

zu betrachten. Benutzt man die Isometriegruppe von Ë, so kann man sich auf diejenigen � 

Å � beschränken, die in der geodätischen Kugel � Ü �Ö � �Ü Å� enthalten sind 

und damit auch Ö � � Ö � erfüllen. Mit dem Auswahlsatz von Blaschke 3.0.3 schließt 

man, dass die Menge Æ � aller kompakten Unterräume von � Ü �Ö � kompakt ist. 

Dann existiert eine Folge � � aus Å � �Æ � �Å � mit Ö � � � �Ò�� Å � Ö � 

für � � .WeilÅ � � Æ � gilt, existiert eine konvergente Teilfolge � � � � � mit 

�� Æ � . Wegen der Stetigkeit von � �� Ö � gilt Ö �� Ò�� Å � Ö � . Bleibt noch 

zu zeigen, dass � � Å � ist. 

Für jedes � � gibt es ein � � ,sodass�� für alle � � � . Dann gilt für alle 

� �� ℄, 

�� 

was wegen � � Å � für alle � 

� 

Ý 

� Ý 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ � � ¡ 

� � � ÎÓÐ �� 

impliziert. Lässt man � � laufen, so erhält man 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ ��


Für � � hat man ÎÓÐ �� ÎÓÐ � . Andererseits gilt wegen der Oberhalbstetigkeit von 

� �� ÎÓÐ � 

ÎÓÐ �� Ð�Ñ ×ÙÔ ÎÓÐ � 

� � 

� �ÎÓÐ � � 

woraus sich die Gleichheit ÎÓÐ �� ÎÓÐ � ergibt. Damit ist �� Å � . 

Lemma 3.1.2. Sei � Ã�� keine Kugel. Dann existiert eine endliche Anzahl von Halbkreisen 

��Ñ, so dass 

Ö �Ñ �Ñ �� Ö � � 

Beweis. Für gegebenes � Ã�� keine Kugel, sei Ö � Ö � und � Ü �Ö für ein Ü Ë 

die geodätische Kugel um �. Im folgenden werden nur Symmetrisierungen bezüglich Halbkreisen 

betrachtet, die durch Ü gehen. All diese Symmetrisierungen lassen � � � Ü �Ö 

invariant. Ist � � �, dann gilt � � � � und � � � � �� , weil man Î � � � 

Î � �Î � hat. Die Idee des Beweises besteht nun darin, solange bezüglich Halbkreisen 

� zu symmetrisieren, bis der Schnitt der Symmetrisierungen mit � leer ist. 

Ist � eine abgeschlossene Teilmenge von � und Ü �Ò�, dann existiert eine relativ offene 

Umgebung ÍÜ � � von Ü mit ÍÜ � � � � und Ü � � � für alle . Gilt � � � �� 

für alle Ü �, dann gibt es eine relativ offene Menge Í � �Ò �, die nach einer Symmetrisierung 

zum Rand ”verlagert” wird und man befindet sich wieder in der vorigen Situation. 

Weil ÍÜ relativ offen ist, enthält ÍÜ eine offene Kugel �Ü. Der Winkel mit der Spitze in Ü , 

der �Ü einschließt, wird mit «� bezeichnet. 

Ist «��,dannenthält �Ü antipodale Punkte und die Symmetrisierung bezüglich der Halbgeodäten 

�, die diese Punkte verbindet, liefert �� . 

Wenn « � � ist, dann gibt es immer eine Halbgeodäte ,die�Ü trifft, so dass nach der 

Symmetrisierung � � die relativ offene Menge Í � �Ò� � ,dieÍÜ enthält, echt 

vergrößert wird. Somit wird eine größere Kugel � � Í durch einen Winkel « ¡ mit 

� umschlossen. Auf diese Art erreicht man durch wiederholtes Symmetriesieren, dass 

nach endlich vielen Schritten «��ist. Mit der letzten Symmetrisierung �� Ñ � 

gilt schließlich 

�Ñ �Ñ �� 

Es folgt nun die letzte Aussage, die man für den Beweis des Theorems 3.0.4 für � � 

benötigt. 

Lemma 3.1.3. Für eine beschränkte Menge � in Ë und einen Halbkreis gilt 

� � Å � � 

Beweis. Es sei Ý der Mittelpunkt der Geodäten , dieÜ und Ü verbindet. Ist Ý � 

Ý �� ¦Ü und Ü Å Ý , dann bezeichnet man mit Ü den Halbkreis, der Ü und Ü verbindet 

und durch Ü geht. Die Abbildung �Ý � Å Ý � Å Ý , die jedem Punkt Ü Å Ý ,denjenigen 

Punkt aus Å Ý zuordnet, der auf Ü liegt, ist eine konforme Abbildung, genauer 

gesagt eine Dehnung gefolgt von einer Verschiebung. Sie ist somit von der Art �Ý Ý � 

� ¡ Ý � für eine positive reelle Zahl � � . Dabei ist � Ê Ò der Mittelpunkt der


Ò -dimensionalen Sphäre Å Ý . Betrachtet man Ý �Ý Å Ý und Þ �Þ Å Þ mit 

� �Ý Ý ��Þ Þ � � �Ý Ý ��Þ Þ , dann gilt mit Ý � � Ý Æ �Þ Þ und Ý � � Ý Æ �Þ Þ 

� Ý �Þ �� Ý �Þ �� Ý� Þ � 

und deswegen auch 

� Ý �Þ �� Ý �Þ � (3.5) 

Es existiert also eine Funktion �, die nur von den Abständen � Ý� Þ und � �Ý Ý ��Þ Þ 

abhängt, so dass 

� Ý �Þ �� Ý Ý ��Þ Þ 

¡ 

� � � �Ý Ý ��Þ Þ 

¡ 

� Ý� Þ � (3.6) 

gilt, wobei � � Ý� Þ konstant ist. � ist wegen (3.5) wohldefiniert und auf � �� Ô �℄ 

monoton steigend. Weil die Abbildung � eine Verkettung von trigonometrischen Funktionen 

ist, ist � stetig, umkerbarbar und die Umkehrfunktion � �� Ô �℄ � � �� Ô �℄ ist auch 

stetig. 

Für �� Ô � und Ý� Þ 

dass für � � Å 

mit � � Ý� Þ � � gibt es wegen (3.6) ein � � � � ,so 

Ý 

�� Þ � �� Å Þ � � Þ Æ �Ý �� 

gilt. Ist nämlich Þ �� Þ , so existiert ein Ý � � Å Ý mit � Þ �Ý � � und das 

impliziert 

� Þ �Ý � � � � �Þ Þ ��Ý Ý � � 

� �Þ Þ ��Ý Ý � � 

� Þ �� Þ Æ �Ý Ý ¡ � �� 

� 

� �� 

was aber Þ � Þ Æ �Ý �� bedeutet. Ist � Ý� Þ � �, dann gilt �� Þ � �. Deswegen 

erhält man für ein Ý �� ¦Ü aus 

�� Ý � 

� 

Þ �� Ý�Þ �� 

und somit auch für Ï � � � 

Ï� Ý � 

� � Å Þ � � Å Ý � 

� 

Þ �� Ý�Þ �� 

Das Volumen von �� Ý erfüllt dann die Bedingung 

ÎÓÐÒ �� Ý � ÎÓÐÒ 

� � 

� 

Þ �� Ý�Þ �� 

� Ý Æ �Þ Ï Þ � �� 

Þ �� Ý�Þ �� 

� ×ÙÔ 

Þ �� Ý�Þ �� 

ÎÓÐÒ 

� Ý Æ �Þ � Þ � �� 

� Ý Æ �Þ � Þ � Ý�Þ�� 

(3.7) 

� Ý Æ �Þ � Þ � 

¡ 

�� (3.8) 

Weil jedes � Ý Æ �Þ Ï Þ � �� Ý Æ �Þ �Þ � �� eine Ò -dimensionale Kugel in Å Ý 

mit Mittelpunkt Ý ist, gilt 

� Ý Æ �Þ Ï Þ ¡ 

� �� (3.9) 

ÎÓÐÒ Ï� Ý � ×ÙÔ 

Þ �� Ý�Þ �� 

ÎÓÐÒ 

�

Kapitel 3.2 Der hyperbolische Raum 24 

Nach Konstruktion von Ï � � � gilt � Ï Þ � � � Þ für alle Þ . An dieser Stelle 

wird die Induktionsvoraussetzung benutzt. Man nimmt an, dass das Theorem (3.0.4) für die 

Dimension Ò richtig ist, so bedeutet dies 

ÎÓÐÒ Ï Þ � �� ÎÓÐÒ � Þ � �� 

für alle Þ . Mit (3.7) und (3.9) erhält man für alle Ý �� ¦Ü 

ÎÓÐÒ Ï� Ý � ×ÙÔ ÎÓÐÒ 

Þ �� Ý�Þ �� 

Mit Fubini folgt dann für alle � �� ℄ 

und damit auch Ï � � � Å � . 

� ×ÙÔ 

Þ �� Ý�Þ �� 

ÎÓÐÒ 

� ÎÓÐÒ �� Ý � 

ÎÓÐ Ï� � ÎÓÐ �� 

� Ý Æ �Þ Ï Þ � �� 

� Ý Æ �Þ � Þ � �� 

Beweis von Theorem (3.0.4). Ist � Å � und � Å � , so folgt � Å � ,direkt 

aus der Definition von Å � . Lemma (3.1.2) und Lemma (3.1.3) implizieren dann, dass für 

� Å � � � keine Kugel, immer ein � Å � mit Ö � � Ö � existiert. Also muss 

ein Element mit minimalem Umkugelradius in Å � eine Kugel sein. Mit Lemma (3.1.1) 

weiß man, dass ein solches Element existiert, was zur Folge hat, dass Å � eine Kugel 

enthalten muss und somit für alle � �� ℄ 

gilt. 

Î �� Î �� 

Der Versuch von Chavel in [Cha93], diesen Beweis der Brunn-Minkowskischen Ungleichung 

auf der Sphäre, auf den hyperbolischen Raum zu übertragen, ist am Beweis von Lemma 

3.1.3 gescheitert. Ein vergleichbarer Beweis für den hyperbolischen Raum, der die sphärische 

Symmetrisierung benutzt, ist bis heute nicht bekannt. 

3.2 Der hyperbolische Raum 

Zum Beweis von Theorem 3.0.4 und damit der isoperimetrischen Ungleichung im hyperbolischen 

Raum wird die sogenannte sphärische Steiner Symmetrisierung verwendet. Diese 

ist für alle Modellräume Å� mit � Ê ein Spezialfall der Symmetrisierung bezüglich ei- 

ner Ò � -dimensionalen Halbebene � 

Ò � 

mit � � � Ò . Falls � � Ò ist, 

heißt sie sphärische Symmetrisierung. Diese wurde im letzten Abschnitt zum Beweis der 

Brunn-Minkowskischen Ungleichung herangezogen. Ist � � ,sonenntmandiesesVerfahren 

sphärische Steiner Symmetrisierung. Bevor man die Methode der Symmetrisierung 

vorstellen kann, muss man kurz auf die Definition der Ebene im hyperbolichen Raum und 

auf der Sphäre eingehen. Während im � Ò die Definition einer Ebene beziehungsweise Halbebene 

gut bekannt ist, bedarf es weiterer Definitionen, bevor diese Begriffe auch im hyperbolischen 

Raum einen Sinn haben. 

¡ 

¡


Der Lorenz-Raum Ê Ò� ist definiert als Ê Ò mit der symmetrischen Bilinearform 

�¡� ¡�Ä � Ê Ò ¢ Ê Ò � Ê, 

�Ü� Ý�Ä � Ü Ý Ü Ý ¡¡¡ Ü Ò Ý Ò 

Man nennt Ü Ê Ò� zeitartig,wenn�Ü� Ü�Ä � erfüllt ist und bezeichnet entsprechend ein 

Untervektorraum Î � Ê Ò� genau dann zeitartig,wennÎ einen zeitatartigen Vektor enthält. 

Bekanntlich ist der Ò-dimensionale hyperbolische Raum 

À Ò � �Ü Ê Ò 

��Ü� Ü�Ä � � Ü � � 

gerade eine Hyperfläche im Ò -dimensionalen Lorenz-Raum Ê Ò� .DadieEinschränkung 

�¡� ¡�Ä�ÌÜÀ Ò der Bilinearform �¡� ¡�Ä auf den Tangentialraum ÌÜÀ Ò � �Ý Ê Ò ��Ü� Ý�Ä � 

� in jedem Punkt Ü À Ò positiv definit ist, wird der hyperbolische Raum zu einer Riemannschen 

Mannigfaltigkeit. Eine �-dimensionalen Ebene � � im hyperbolischen Raum À Ò 

ist nun gegeben als der Schnitt von À Ò mit einem � -dimensionalen zeitartigen Vektorraum 

aus Ê Ò� . Die Exponentialabbildung �ÜÔ Ü � ÌÜÀ Ò � À Ò ist im Falle des hyperbolischen 

Raumes ein Diffeomorphismus auf ganz ÌÜÀ Ò . Aus diesem Grund kann man für ein 

Ü À Ò die Ò � -dimensionale Ebene �� Ò � , die orthogonal zu � � ist, als 

�� Ò � � �ÜÔ Ü 

� 

�ÜÔ Ü � �¡ 

definieren. Dabei bezeichnet Î � � ÌÜÀ Ò den zu Î orthogonalen Unterraum in ÌÜÀ Ò . 

Im Fall der Sphäre Ë Ò wird eine �-dimensionale Ebene � � als der Schnitt der Sphäre mit einer 

� -dimensionalen Ebene aus dem euklidischen Raum � Ò , die durch den Mittelpunkt 

von Ë Ò geht, definiert. Die dazu orthogonale Ò � -dimensionale Ebene ist entsprechend 

der Schnitt von Ë Ò mit der zu �� orthogonalen Ebene im � Ò . In allen drei Fällen spaltet 

�Ò � � �Ò � die Ebene �Ò � Ò � 

in zwei Halbebenen � und � Ò � , die abgeschlossen 

sind und im Inneren keine gemeinsamen Punkte besitzen. 

Ò � Ò � 

Für die Symmetrisierung bezüglich einer Halbebene � sei � fest gewählt. Mit �� 

Å� bezeichnet man die � -dimensionale Ebene, die orthogonal auf 

Ò � 

� steht. Man 

betrachtet nun die �-dimensionalen metrischen Sphären Ë� � � �� , deren Mittelpunkte auf 

Ò � 

� liegen und � schneiden. Man wählt jetzt den metrischen Ball � � Å�, der den Mittelpunkt 

Ë� Ò � 

� � � hat und für den ÎÓÐ� � � Ë� � �ÎÓÐ� � � Ë� � gilt. Die Menge � � Ë� � 

Ò � 

ist symmetrisch zu � . Die Vereinigung aller dieser Schnittmengen bezeichnet man mit 

� � . Mit Fubini gilt dann ÎÓÐ � � � ÎÓÐ � . 

Wie schon oben erwähnt, benutzt man hier die sphärische Steiner Symmetrisierung. In diesem 

Fall ist Ë � � � Ë � und man benutzt den Begriff des Symmetriekreises für Ë �. 

Die im Folgenden verwendete Beweismethode, die man auch in [BuZa88] findet, ist nicht 

nur im hyperbolischen Raum richtig, sondern liefert insbesondere einen alternativen Beweis 

für die isoperimetrische Ungleichung im euklidischen Raum und auf der Sphäre. 

Lemma 3.2.1. Sei � eine nichtleere kompakte Menge aus Å� und � die sphärische Steiner 

Symmetrisierung. Dann existiert ein � � , so dass für alle � �� ℄ 

gilt. 

� � � � � �� 

�


Beweis. Man wählt � � so groß, dass die Eigenschaft ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� für alle 

� � � � � � erhalten bleibt. Sei � ein beliebiger Symmetriekreis, der � schneidet. 

Unmittelbar aus der Definition von � � folgt für alle � �� ℄ 

� 

� �� ¡ � � � � ¡ � 

� 

und 

� 

� � � � 

� 

� 

� 

� � �� 

� � � � 

� 

� 

� 

� � � � ¡ � � 

� � � � � 

Daher genügt es, für eine nichtleere kompakte Menge Ü � � � �, die Inklusion 

� Ü � � � Ü� (3.10) 

zu zeigen. 

Ist Ü zusammenhängend, dann ist � Ü � � � Ü� .Für eine nicht zusammenhängende Menge 

Ü,besteht�ÒÜ aus mehreren offenen Bögen ��. Wegen der Kompaktheit von � und � gibt 

es höchstens abzählbar viele solcher Bögen ��. Sei� das eindimensionale Maß beziehungsweise 

Länge auf �. Wähle zwei benachbarte Bögen � und � , wobei oBdA � � � � � 

gelten soll. Den Bogenabschnitt von � zwischen � und � nenne man � . Durch Rotation von 

� entlang �, kann man erreichen, dass � � größer wird, während � � auf Null abfällt. Dabei 

bleibt � Ü unverändert und somit auch � Ü . Man bezeichne diese Transformation mit 

� Ü . 

Als nächstes überprüft man, dass für einen anderen Symmetriekreis � die Länge � Ü� � � 

unter � nicht zunimmt. Weil die Symmetriekreise äquidistant sind, gibt es nur drei Möglichkeiten 

für Ü� � �. EsistÔ� � � � �, Ô� � � � �, oder Ô� � � ist für alle Punkte Ô � ein 

Bogenstück auf �. In den ersten zwei Fällen bleibt � Ü� � � unter � unverändert. Im dritten 

Fall findet eine Veränderung statt, die aber keine ungewünschten Folgen hat, wie man jetzt 

zeigen kann. 

Seien Ô �Ô die Endpunkte von � und Ô �Ô � die Endpunkte von � . Weiterhin sei « der Winkel 

der Drehung �. Wenn« zunimmt, wird � � größer und � � kleiner, die Ungleichung 

� � � � � bleibt also erhalten. 

(i) Überlappen sich die Mengen Ô � � � und Ô � � � über � ,dannfindet auch eine 

Überlappung von Ô � � � und Ô � � � � über � statt. Mit steigendem « ändert sich in 

diesem Fall das Maß � Ü� � � so lange nicht, bis die erste Überlappung noch besteht. 

(ii) Findet nur die Überlappung von Ô � � � und Ô � � � � über � statt, so wird � Ü� � � 

mit steigendem « kleiner, weil die Überlappung sich vergrößert. 

(iii) Ist keine Überlappung vorhanden, so bleibt � Ü� � � so lange unverändert, bis die 

zweite Überlappung beginnt, dann siehe (ii). 

Insgesamt kann also � Ü� � � unter � nicht zunehmen. Durch wiederholtes Anwenden von 

� ergibt sich als Grenzwert 

� Ü� � � � � �Ü� � � �


wobei �Ü die durch sukzessive Anwendung von � auf Ü entstandene zusammenhängende Menge 

ist. Damit erhält man 

� Ü � � � �Ü � � � �Ü� � � Ü� � 

die Inklusion (3.10). Das Lemma ist hiermit bewiesen. 

Die Menge Ë � bezeichnet die Menge aller, durch eine endliche Anzahl von sphärischen 

Steiner Symmetrisierungen und Isometrien, aus � entstandenen Mengen. War � kompakt, 

so sind alle Mengen aus Ë � ebenfalls kompakt und haben das selbe Volumen. 

Lemma 3.2.2. Sei � Å� kompakt, nichtleer und � � � Ë � eine in der Hausdorff- 

Metrik gegen � konvergente Folge. Dann ist 

und für alle �� gilt 

ÎÓÐ � �ÎÓÐ � 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� (3.11) 

Beweis. Wähle � so, dass ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� für alle � � � � � � gilt. Lemma 

3.0.2 liefert die Kompaktheit von � .Weil� �� ÎÓÐ � oberhalbstetig ist, erhält man 

ÎÓÐ � � Ð�Ñ ×ÙÔ ÎÓÐ � 

� � 

� � ÎÓÐ � � (3.12) 

Jedes � � ist durch eine endliche Anzahl Ñ von Symmetrisierungen und Isometrien aus � 

entstanden. Nach einer weiteren Symmetrisierung bzw. Isometrie ��Ñ 

ma 3.2.1 

ergibt sich mit Lem- 

ÎÓÐ � � � �ÎÓÐ ��Ñ � � � � ÎÓÐ ��Ñ � � 

�� 

so dass für alle � 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ � � � (3.13) 

gilt. Wegen Æ � � �� für � � , existiert für alle � � � � ein � � ,sodass 

�� gilt. Damit ist ÎÓÐ �� ÎÓÐ � � � und mit (3.13) erhält man 

ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� ÎÓÐ � � 

was für � � � die gewünschte Ungleichung (3.11) impliziert. Durch den Grenzübergang 

� � folgt mit (3.12) schließlich die Gleichheit ÎÓÐ � �ÎÓÐ � . 

Die Brunn-Minkowkische Ungleichung auf den Modellräumen kann nun bewiesen werden. 

Beweis von Theorem 3.0.4. Sei � eine kompakte nichtleere Menge in Å�. Dann existiert 

eine konvergente Folge � � � Ë � , so dass ihr Grenzwert � einen abgeschlossenen Ball 

� mit ÎÓÐ � �ÎÓÐ � enthält [BuZa88]. Somit gilt ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� . Mit Lemma 3.2.2 

erhält man 

ÎÓÐ � �ÎÓÐ � und ÎÓÐ �� ÎÓÐ �� 

womit die Aussage des Theorems 3.0.4 bewiesen ist.

Kapitel 4 

Das isoperimetrische Vergleichstheorem 

Nachdem in den vorangegangenen beiden Kapitel die isoperimetrische Ungleichung auf Modellräumen 

bewiesen wurde, beschäftigt man sich in diesem Kapitel mit dem isoperimetrischen 

Problem auf vollständigen, einfach zusammenhängenden, dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. 

Genauer gesagt, ist das isoperimetrische Volumenvergleichstheorem, das Bruce 

Kleiner in seiner Arbeit [Kle92] bewiesen hat, der Schwerpunkt dieses Paragraphen. Vorab 

werden im ersten Abschnitt einige Vorbereitungen getroffen, die für den Beweis des isoperimetrischen 

Vergleichstheorems relevant sind. 

4.1 Vorbereitungen 

Neben der ersten Variation des Volumens und der Oberfläche benötigt man Regularitätsaussagen 

über die schwache Lösung partieller, elliptischer Differentialgleichungen. Außerdem 

sind Kenntnisse über symmetrische Räume, die Differentiation von Maßen auf dem Ê Ò ,das 

Verkleben von topologischen Räumen und ein Resultat aus der geometrischen Maßtheorie 

erforderlich, das eine Aussage über die Existenz und Regularität von sogenannten minimierenden 

Gebieten macht. 

4.1.1 Erste Variation von Volumen und Oberfläche 

Damit die ersten Variationsformeln für Volumen und Oberfläche bewiesen werden können, 

müssen zunächst eine Vielzahl von differentialgeometrischen Grundlagen und Sprechweisen 

in Erinnerung gerufen werden, die zum Verständnis unentbehrlich sind. 

Um die Formeln übersichtlicher zu gestalten, wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. 

Hierbei wird auf das Summensymbol verzichtet und man summiert über alle Indizes, 

die einmal oben und einmal unten auftauchen, von bis zur Raumdimension. 

Oft betrachtet man eine -kodimensionale Untermannigfaltigkeit in einer Ò-dimensionalen 

Riemannschen Mannigfaltigkeit Å. In diesem Zusammenhang werden für die Summation 

von bis Ò griechische Indizes verwendet und die geometrischen Größen auf Å werden mit 

einem Querstrisch versehen ��«¬� � Ê,...etc. Für die Ò -dimensionale Untermannigfaltigkeit 

verwendet man lateinische Indizes. Außerdem werden die zu der Untermannigfaltigkeit 

gehörenden geometrischen Größen ohne Querstrisch geschrieben �� ,...etc. 

Im Folgenden sei Å eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik ��. Inlokalen 

Koordinaten Ý « auf Å ist die Metrik gegeben durch ��«¬ � �� «� ¬ wobei man

Kapitel 4.1 Vorbereitungen 29 

« � Ý « setzt. 

Der Levi-Civita Zusammenhang �Ö � � Å ¢ � Å � � Å auf Å hat für � � Å mit 

� � � ¬ ¬ die Koordinatendarstellung 

�Ö «� � � 

Ý « 

�¬ � ¡ 

«¬ � 

wobei � 

«¬ die Christoffel-Symbole von �Ö sind. 

Ist « � � � ℄ � Å eine glatte Kurve und � « die Menge aller glatten Vektorfelder entlang 

«, dann bezeichnet � ÖØ � � « � � « die covariante Ableitung längs «. 

Ein glattes Vektorfeld � � � � ℄ � Å längs einer Geodäten « � � � ℄ � Å heißt Jacobi- 

Feld,wennfür alle Ø � � ℄ die Jacobische Differentialgleichung 

�ÖØ � ÖØ� � Ê �� Ì Ì � (4.1) 

erfüllt ist, wobei �Ê der Riemannsche Krümmungstensor und Ì � �« das Tangentialvektorfeld 

von « ist. Außerdem ist � genau dann ein Jacobi-Feld, wenn eine geodätische Variation «× 

von « � « derart existiert, dass � das Variationsvektorfeld längs « ist, also 

� Ø � × 

¬ 

¬ ×� 

«× Ø 

gilt. Für ein Vektorfeld � auf Å kann man �Ö als � Å -lineare Abbildung 

�Ö� � � �� Ö� � 

auffassen. Die Spur ��Ú � � ØÖ �Ö� dieser Abbildung heißt Divergenz von �. Für lokale 

Orthonormal-Basisvektorfelder � � �� Ò ist 

während für eine Koordinatenbasis 

¬ 

��Ú � �� Ö�� 

��Ú � � 

Ò� 

¬� 

� � ¬ 

Ý ¬ 

� « ¬«� ¬ 

� 

gilt. Ist ¨ � Å ¢ �� Å eine 1-Parameter-Familie von Diffeomorphismen mit 

¨ ¡� � ��Å und ¨¬ 

� � � Å ,dannistdieLie-Ableitung einer �-Form �, in 

Ø Ø� 

¬ 

Richtung � definiert als 

Ä�� ¬ ¨ ¡�Ø 

�Ø Ø� 

£ �� 

wobei ¨ ¡�Ø £ � der Pullback der Form � ist, der für die Vektorfelder � �� Å im 

Punkt Ô Å durch 

¨ £ Ø �Ô � � �� ¨Ø Ô 

� ¨Ø Ô � � �� ¨Ø Ô �� 

mit ¨Ø �¨¡�Ø , gegeben ist. Die Lie-Ableitung einer �-Form ist wieder eine �-Form. 

Die Volumenform auf Å wird mit ÚÓÐÅ bezeichnet und hat die Koordinatendarstellung 

Õ 

ÚÓÐÅ � ��Ø ��«¬ �Ý � �� Ý Ò � 

¡


Außerdem gilt für die Lie-Ableitung der Volumenform Ä�ÚÓÐÅ � ��Ú �ÚÓÐÅ. 

Ist ª � Å eine kompakte Menge mit glattem Rand 

rem � � 

ª, dann gilt nach dem Divergenztheo- 

��Ú � ÚÓÐÅ � �� ÚÓÐ ª� (4.2) 

ª 

wobei � die äußere Einheits-Normale auf ª und ÚÓÐ ª die Volumenform auf ª ist. 

Ist © � Å � Æ ein Diffeomorphismus zwischen zwei Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

und � eine stetige Funktion auf Å mit kompaktem Träger, so gilt die Transformationsformel 

� 

Å 

� © £ ÚÓÐÆ � 

� 

ª 

© Å 

� Æ © ÚÓÐÆ� (4.3) 

Das Divergenztheorem (4.2) und die Transformationsformel (4.3) gelten auch für nichtorientierte 

Riemannsche Mannigfaltigkeiten. In dem man das Integral über die Volumenform 

durch das Integral über das Riemannsche Maß ersetzt, erhält man die analoge Aussage für 

beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Der Pullback der Volumenform entspricht dabei 

dem Riemannschen Maß der induzierten Metrik auf Å. 

Jetzt hat man die nötigen Informationen, um die erste Variation des Volumens auszurechnen. 

Sei ª � Å kompakt mit glattem Rand ª und ¨ eine -Parameter-Familie von Diffeomorphismen. 

Dann nennt man ¨ eine Variation von ª. Diese deformiert ª auf differenzierbare 

Weise zu Teilmengen ªØ �¨ ª�Ø von Å, die einen glatten Rand ¨ ª�Ø haben. 

¬ 

Satz 4.1.1. Ist ¨ � Å ¢ �� Å eine Variation von ª mit Variationsrichtung 

¨¬ 

� �, so gilt 

Ø Ø� 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐ ªØ � 

� 

ª 

�� ÚÓÐ ª� 

Die Variation des Volumens hängt also nur vom Normalenanteil von � entlang ª ab. 

Beweis. Mit (4.3) erhält man 


Das Divergenztheorem (4.2) impliziert 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐ ªØ 

� 

� 

� 

ªØ 

� 

ª � 

ª 

ÚÓÐÅ � 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

� 

ª 

¨ ¡�Ø £ ÚÓÐÅ� 

¨ ¡�Ø £ ÚÓÐÅ � 

��Ú � ÚÓÐÅ � 

� 

ª 

� 

ª 

Ä� ÚÓÐÅ 

�� ÚÓÐ ª� 

Desweiteren nennt man eine eingebettete Hyperfläche in Å,wenn eine Ò -dimensionale 

Mannigfaltigkeit ist und eine differenzierbare injektive Abbildung � � � Å derart


existiert, dass das Differential ��Ô für alle Ô injektiv ist. Die Riemannsche Metrik �� auf 

Å induziert eine Riemannsche Metrik � auf , indemmanfür Ü� Ý ÌÔ 

�Ô Ü� Ý �� Ô ��Ô Ü ��Ô Ý 

setzt. In lokalen Koordinaten Ü� auf und Ý « auf Å ist die Metrik durch 

� � 

�� Ô �� Ô 

Ü� Ô � 

� 

Ü� � 

Ô ��«¬ � Ô 

� « 

Ü� Ô 

�¬ 

Ü� Ô � Ô 

gegeben. Um die Notation zu vereinfachen, identifiziert man eine Umgebung Í von Ô 

mit � Í und Ü ÌÔ mit ��Ô Ü Ì� Ô Å. Ist �Ö der Levi-Civita Zusammenhang auf Å 

und sind �� lokale Vektorfelder auf , sodefiniert 

Ö�� Ö �� 

�� 

Ø�Ò� 

den Levi-Civita Zusammenhang Ö auf bezüglich der induzierten Metrik. Dabei sind �� 

lokale Fortsetzungen von �� auf Å. 

Mit � Í � bezeichnet man die Menge aller differenzierbaren Vektorfelder auf Í, die normal 

zu Í sind. Dann ist die Abbildung � � � Í ¢ � Í � � Í � , die durch � �� 

�Ö �� 

� 

� � Ö�� gegeben ist, bilinear und symmetrisch. 

Sind und Å orientierbar, so existiert ein Normalenvektorfeld � � � ÌÅ mit �Ô 

Ì� Ô Å� �� und �� 

Ü� � für � � ��Ò . 

Endlich ist man in der Lage, die zweite Fundamentalform auf zu definieren. Das symmetrische 

Bilinearformenfeld � auf , dasinÔ gegeben ist durch 

� Ô �ÌÔ ¢ ÌÔ � Ê� Ü� Ý �� Ü� Ý ��Ô � 

heißt die zweite Fundamentalform auf . Der zu � Ô assoziierte lineare, selbstadjungierte 

Endomorphismus � Ô �ÌÔ � ÌÔ erfüllt die Bedingung 

�� Ô Ü �Ý �� Ô Ü� Ý �� Ü� Ý ��Ô � 

Sind � und � lokale Fortsetzungen von Ü und Ý, die tangential zu sind, so gilt 

was die Gleichheit 

�� Ô Ü �Ý � ��Ô � �� Ô �Ö � � �� Ö�� 

� ��Ô �Ö �� Ô �� Ö �� ÖÜ�� Ý � 

� Ô Ü � �ÖÜ� 

impliziert. Man nennt � Ô die Weingartenabbildung von in Ô. Die Spur À Ô �ØÖ� Ô 

der Abbildung � Ô heißt mittlere Krümmung und die Determinante �Ã Ô � ��Ø � Ô 

wird als Gauß-Kronecker Krümmung von in Ô bezeichnet. 

Weil � Ô selbstadjungiert ist, existiert zu jedem Ô eine orthonormale Basis von Eigenvektoren 

von ÌÔ mit zugehörigen reellen Eingenwerten. Diese Eigenvektoren heißen 

Hauptkrümmungsrichtungen und die Eigenwerte Hauptkrümmungen. Die Summe der Hauptkrümmungen 

ist demnach die mittlere Krümmung À Ô und das Produkt die Gauß-


Kronecker Krümmung �Ã Ô . 

Die Schnittkrümmungen auf und Å hängen durch die Gaußgleichung 

¡ 

� Ü� Ý �� Ü� Ý �� Ü� Ü �� Ý� Ý �� Ü� Ý � 

zusammen, wobei Ü� Ý ÌÔ linear unabhängig sind und � Ü� Ý � � Ü� Ý �Ô ist. Insbesondere 

gilt für eine orthonormale Basis �� Ò � von ÌÔ , inder� Ô diagonal ist mit 

Eigenwerten � � �� Ò , 

� �� (4.4) 

Um die erste Variation der Oberfläche auszurechnen, betrachtet man wieder eine 1-Parameter- 

Familie von Diffeomorphismen ¨�Å ¢ �� Å. Sei nun ª eine kompakte Teilmenge 

von Å mit glattem Rand ª� und 

� � ¢ �� Å� � Ô� Ø �¨Ô� Ø 

die zugehörige Variation des Randes. Auf Ø � � �Ø betrachtet man die induzierte Metrik 

�Ø � � ¡�Ø £ �� Ø �� . Die erste Variation der Oberfläche lautet dann 

Satz 4.1.2. Ist � � ¢ �� Å eine Variation von mit � 

Ø � �Ø, dann gilt für � � � 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐÒ Ø � 

� 

�� À ÚÓÐ � 

Demnach hängt die Variation der Oberfläche ebenfalls nur vom Normalenanteil von � entlang 

ab, nicht jedoch von der Wahl der Normalen. 

Beweis. Sei Â� Ø � 

man 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐÒ Ø � � 

�Ø 

Ô ��Ø �Ø �� Ô ��Ø �� . Mit der Transformationsformel (4.3) erhält 

¬ 

¬ Ø� 

� 

� ¡�Ø £ ÚÓÐÅ � � 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

� 

ÚÓÐ Ø � 

� 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

Â� Ø ÚÓÐ � 

so dass nur noch die Ableitung von Â� Ø berechnet werden muss. Dazu wählt man Normalkoordinaten 

Ü � um einen festen Punkt Ô und Normalkoordinaten Ý « um � Ô� Ø .Dies 

bedeutet, dass �� Ô �Æ�� «¬ � Ô� Ø � Æ«¬ ist und die ersten Richtungsableitungen von 

�� und ��«¬ in Ô bzw. � Ô verschwinden, was wiederrum das Verschwinden der Christoffel- 

Symbole in den jeweiligen Punkten nach sich zieht. Weil �¬ 

Ü � Ô� � Æ¬� ist, gilt in Ô 

Ø 

¬ 

¬ Ø� 

¬ 

�Ø �� ¬ 

Ø Ø� 

� ��«¬ � Ô� 

� ��Ô 

� ��«¬ � Ô� Ø 

�Ö �� 

¡ 

� « 

Ü � 

��Ô 

� « 

Ü� � ¬ 

Ü� � ¬ 

Ü � 

� 

��«¬ � Ô� 

¡ �Ö �� 

� ¬ 

Ü � 

� « 

Ü �


Für die Ableitung von Â� Ø erhält man folglich 

Ø 

¬ 

¬ Ø� 

Â� Ø � Ô ��Ø �� 

��Ø �� 

�Ð ¬ �Ø �Ð 

Ø Ø� 

� � �Ð 

� ¡ ¡� 

��Ô 

�Ö �� Ð ��Ô 

�Ö �� Ð � 

� 

�Ð � 

� � �«Ð 

« 

Ü� � �Ð � 

�¬� 

¬ 

ÜÐ � � � � 

� 

Ü� �Ð ÜÐ � 

¡ 

� � Ö� �� Ö � � � Ö� � � Ø�Ò� ¡ 

� � 

� � �Ö � � � ¡ 

� � ��Ú � Ø�Ò� � � �Ö � �� ¡ ��Ú � Ø�Ò� 

�Ò 

� � � �� ¡ ��Ú � Ø�Ò� 

�� 

� À Ô � �� Ú � Ø�Ò� � 

wobei ��Ð die inverse Matrix zu ��Ð bezeichnet. Diese Ergebnisse und das Divergenztheorem 

(4.2) liefern die gewünschte Gleichung 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 


� 

À Ô �� Ú � Ø�Ò� ¡ ÚÓÐ � 

� 

¬ 

� 

� 

�� À ÚÓÐ � 

Ist ¨ � Å ¢ �� Å eine volumenerhaltende Variation von ª � Å, alsoÎÓÐ ªØ � 

ÎÓÐ ª für alle Ø �� und somit auch � ¬ ÎÓÐ ªØ � , und ist ÎÓÐÒ ª ein 

�Ø Ø� 

lokales Minimum der Variation, so folgt mit den ersten Variationsformeln für Volumen und 

Oberfläche, dass die mittlere Krümmung À von ª konstant sein muss. Sie nimmt die Rolle 

des Lagrange Parameters ein, da sich die erste Variation des Volumens und der Oberfläche 

gerade um den konstanten Faktor À unterscheiden. 

4.1.2 Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen 

Eine lineare elliptische Differentialgleichung in Divergenzform besitzt die allgemeine Form 

ÄÙ �� Ü ��Ù � � Ü Ù 

¬ 

� Ü ��Ù � Ü Ù � �� 

wobei die Koeffizienten � �� für alle �� Ò messbare Funktionen auf ein Gebiet 

Í � Ê Ò darstellen. Man bezeichnet den Operator Ä als gleichmäßig elliptisch, falls die 

folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind. 

(i) Es existiert eine positive Zahl �, sodass� �� Ü �� für alle Ü Í und alle 

� Ê Ò . 

(ii) Die Koeffizienten von Ä sind beschränkt, das heißt, es existieren Konstanten � und , 

so dass für alle Ü Í 

� �� 

�� Ü � � � und � � �� Ü � � � Ü � � �� Ü �� 

gilt.


Sind die Funktionen � �� Ù � � Ù� � ��Ù �Ù für � � � �� Ò und � lokal integriebar auf 

Í, so heißt eine schwach differenzierbare Funktion Ù eine schwache Lösung von ÄÙ � � in 

Í, wennfür alle Funktionen Ú � Í 

� 

Í 

� �� Ù � � Ù ��Ú 

ist. Es gilt das folgende Regularitätstheorem. 

� ��Ù �Ù Ú ¡ �Î � 

� 

Í 

�Ú �Î 

Theorem 4.1.3. Sei Ä gleichmäßig elliptisch auf Í � Ê Ò und Ù Ï � Í eine schwache 

Lösung der Differentialgleichung ÄÙ � � auf Í mit � Ï �� Í . Ferner seien die 

Koeffizientenbedingungen 

(i) � �� Í , 

(ii) � �� Í 

für � � auf Í erfüllt. Für jede relativ kompakte Menge Í �� Í ist dann Ù Ï � � Í 

und es gilt 

�Ù� Ï � � Í � � �Ù� Ï � Í �� Ï �� Í 

mit der Konstanten � � � Ò� �� Ã� � �� . 

Dabei bezeichnet Ã �Ñ�Ü�� Í � � � �� Í � und � � � Í � Í . 

Beweis. Siehe [GiTr98, Theorem 8.10]. 

Hier sind zwar die Koeffizienten � �� Í vorausgesetzt, aber für die Regularität reicht 

es � �� Ï �� Í vorauszusetzen, wie man dem Beweis entnehmen kann. 

4.1.3 Weitere Resultate 

Eine Isometrie × Ô auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Å, die den Punkt Ô Å festhält 

und �× Ô Ô � ��ÌÔÅ erfüllt, heißt geodätische Symmetrie in Ô. Existiert für alle Ô Å 

eine geodätische Symmetrie in Ô, so bezeichnet man Å als symmetrischen Raum. Für jede 

Geodäte , die in Ô startet, ist auch × Ô Æ eine in Ô startende Geodäte mit × Ô Ø � Ø . 

Ist Å ein symmetrischer Raum, so ist der Riemannsche Krümmungstensor Ê parallel, also 

ÖÊ � . Umgekehrt heißt Å lokal symmetrisch, wennÖÊ � ist. Unter dem Rang 

eines symmetrischen Raumes Å versteht man die Dimension der größtmöglichen, flachen, 

total geodätischen Untermannigfaltigkeit von Å. So sind die Modellräume � Ò � Ë Ò und À Ò 

symmetrische Räume und Ë Ò sowie À Ò haben Rang eins. 

Auf symmetrischen Räumen gilt das folgende Starrheitsresultat von Schroeder und Ziller 

[ScZi90, Theorem 7]. 

Theorem 4.1.4. Sei Å eine Ò-dimensionale, Ò � , vollständige Mannigfaltigkeit der 

Schnittkrümmung � � . Ferner sei ª eine kompakte, einfach zusammenhängende, konvexe 

Menge in Å und Í eine Umgebung von ª. Ist die Metrik auf ÍÒª lokal symmetrisch 

vom Rang eins und ist das Maximum der Schnittkrümmung auf Í gleich , so ist die Metrik 

auf ª lokal symmetrisch vom Rang eins.


Als nächstes wird das Konzept der Differentiation eines Maßes � bezüglich eines anderen 

Maßes �, das auf der selben �-Algebra definiert ist, eingeführt. Wir beschränken uns auf die 

Betrachtung von Maßen auf dem Ê Ò , genauer gesagt, differenzieren wir ein reguläres Borel- 

Maß bezüglich dem Lebesgue-Maß. Beide Maße sind auf der Borel-�-Agebra �ÊÒ des ÊÒ 

definiert. Zum Verständnis der nachfolgenden Ergebnisse werden einige Definitionen und 

Notationen benötigt, die zusammen mit weiteren Ausführungen etwa in [Fol84] nachgelesen 

werden können. 

Seien � und � zwei Maße auf �ÊÒ. Man nennt � singulär bezüglich �, falls eine Borelmenge 

� � Ê Ò existiert, so dass � Ê ÒÒ� �� gilt. Diese Beziehung drückt man mit dem 

Symbol �� aus. Ferner heißt ein Maß � absolut stetig bezüglich �, wenn�� für 

alle � � Ê Ò mit � � � ist. Um die Notation zu vereinfachen schreibt man für jede 

Borelmenge � � Ê Ò mit � � � Ê ��abkürzend �� . Ein Borel-Maß � auf dem 

� 

Ê Ò , das die Bedingungen 

(i) � Ã � für alle Kompakta Ã � Ê Ò , 

(ii) � � ��Ò�� Í � Í offen �� Í� für jede Borelmenge � � Ê Ò 

erfüllt, bezeichnet man als reguläres Borel-Maß. Obwohl die zweite Eigenschaft aus der 

ersten folgt, wird sie trotzdem explizit erwähnt, weil dieser Zusammenhang nicht sofort erkennbar 

ist. Ist � ein reguläres Bolrel-Maß und � das Lebesgue-Maß auf dem Ê Ò , so existiert 

ein eindeutiges reguläres Borel-Maß � mit �� und eine bis auf �-Nullmengen eindeutige 

�-integrierbare Funktion � mit 

�� 

Diese Darstellung ist als Lebesgue-Radon-Nikodym Zerlegung bekannt. Eine Folge 

��Ö�Ö� von Borelmengen im Ê Ò nennt man gegen Ü Ê Ò absteigend, falls �Ö � � Ü� Ö 

für alle Ö � gilt und ein « � existiert, so dass � �Ö � «� � Ü� Ö für alle Ö � 

erfüllt ist. Damit kann man für jede solche Folge ��Ö�Ö� die punktweise Ableitung von � 

bezüglich � in Ü Ê Ò als den Grenzwert 

� Ü � Ð�Ñ 

Ö � 

� �Ö 

� �Ö 

definieren. Dieser existiert, ist �-fast überall endlich und es gilt sogar � Ü � � Ü �-fast 

überall. 

Für eine stetige, monoton wachsende Funktion � � Ê � Ê ist durch 

�� ℄ � � � � � 

ein reguläres Borel-Maß auf Ê gegeben. Derartige Funktionen sind �-fast überall differenzierbar. 

Ist �� die Lebesgue-Radon-Nikodym Zerlegung von �� , so gilt für 

die Ableitung von � 

� Ü �� Ü � Ð�Ñ 

Ö � 

�� Ö 

� �Ö 

für jede gegen Ü Ê absteigende Folge ��Ö�Ö� von Borelmengen in Ê. Dabei bezeichnet 

� das Lebesgue-Maß auf Ê. Betrachtet man die Folge ��Ü �� Ü℄�� , so erkennt man, dass

Kapitel 4.2 Das isoperimetrische Vergleichstheorem 36 

der linksseitige Grenzwert � � Ü � Ð�Ñ �Ò�� Ü � � Ü �-fast überall mit 

� Ü übereinstimmt und man erhält für ein Ü� 

� Ü � � 

� Ü 

� � Ü �� Ü℄ � (4.5) 

Aus der geometrischen Maßtheorie ist das nächste Resultat bekannt. 

Theorem 4.1.5. Sei Å eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit glattem Rand. Ist 

Î � ÎÓÐ Å ℄, dann existiert ein Gebiet ª � Å mit � -Rand ª , so dass ÎÓÐ ª � 

Î und ÎÓÐ ª �Á Å Î � �Ò��ÎÓÐ ª � ª � Å � ÎÓÐ ª � Î �. 

Beweis. Siehe [Sim83, Kapitel 7]. 

Auch das Verkleben zweier topologischer Räume ist eine wichtige Technik, die im Folgenden 

benötigt wird. Sind Å und Å topologische Räume, Í� � Å�� zwei Teilräume und 

� Í � Í ein Homöomorphismus, so definiert 

Ô � Õ Ô � Õ oder Ô � Õ 

eine Äquivalenzrelation auf Å Å .MitÅ � Å bezeichnet man dann die Menge 

Å Å �� aller Äquivalenzkassen, versehen mit der Quotiententopologie. 

4.2 Das isoperimetrische Vergleichstheorem 

Im Gegensatz zu den bisher gezeigten isoperimetrischen Ungleichungen, wo kompakte Mengen 

mit glattem Rand mit geodätischen Bällen vom gleichen Volumen aus dem jeweiligen 

Raum verglichen wurden, werden in diesem Kapitel kompakte Mengen mit glattem Rand 

aus einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, geodätischen Bällen vom gleichen Volumen aus 

einem geeigneten Modellraum gegenübergestellt. 

Im Folgenden sei Å stets eine vollständige, einfach zusammenhängende, dreidimensionale 

Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung �Å � � � . Weiter sei Å � die vollständige, 

einfach zusammenhängende, orientierte, dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit konstanter 

Schnittkrümmung � � . Das angestrebte Ziel dieses Kapitels ist es, das folgende Theorem 

von Bruce Kleiner [Kle92] zu beweisen. 

Theorem 4.2.1 (Kleiner). Sei ª eine kompakte Menge in Å mit glattem Rand ª. Ist 

� � Å � ein geodätischer Ball mit ÎÓÐ � �ÎÓÐ ª , dann gilt 

Ist ÎÓÐ ª � ÎÓÐ � ,soistª isometrisch zu �. 

ÎÓÐ ª � ÎÓÐ � � (4.6) 

Um kurz die Beweisidee des Theorems 4.2.1 skizzieren zu können, benötigt man die Definition 

des isoperimetrischen Profils einer Riemmanschen Mannigfaltigkeit, die eine äquivalente 

Formulierung von (4.6) ermöglicht.


Definition 4.2.2. Das isoperimetrische Profil einerÒ-dimensionalen Riemmanschen Mannigfaltigkeit 

Å ist die Funktion ÁÅ �� ÎÓÐ Å � Ê, definiert durch 

ÁÅ Î � �Ò��ÎÓÐÒ ª � ª � Å kompakt mit glattem Rand ª� ÎÓÐ ª � Î �� 

Diese Funktion ist für kompakte Mannigfaltigkeiten nach [Gal88] stetig. Offensichtlich ist 

mit dieser Definition die Behauptung (4.6) äquivalent zu der Forderung, dass 

ÁÅ Î � Á Å� Î für alle Î � � ÎÓÐ Å (4.7) 

gilt. Ist ª � Å kompakt mit glattem Rand ª und ÎÓÐ ª � Î und nimmt man ferner 

an, dass ÎÓÐÒ ª � ÁÅ Î ist, so folgt mit der ersten Variation des Volumens und der 

Oberfläche, dass die mittlere Krümmung À von ª konstant ist. Darüberhinaus gilt 

Lemma 4.2.3. Für den linksseitigen Grenzwert gilt 

Beweis. Siehe [Gal88]. 

� ÁÅ Î �� Ð�Ñ �Ò� 

Æ � 

ÁÅ Î Æ ÁÅ Î 

Æ 

� À� 

Die wesentliche Idee für den Beweis von (4.7) besteht nun darin, die mittlere Krümmung 

von minimierenden Mengen nach unten abzuschätzen und damit auch eine Abschätzung an 

die linkseitige Ableitung �Á Å Î zu bekommen. Dazu wird für jedes Î � die Existenz 

einer solchen minimierenden Menge ª � Å mit ÎÓÐ ª �Î und ÎÓÐ ª �Á Å Î 

gefordert, was aber für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten ein Problem darstellt, weil derartige 

Mengen hier nicht immer existieren. Dieses Problem kann man umgehen, indem man 

die Mannigfaltigkeit Å durch einen geodätischen Ball � Å � Å ersetzt, der groß genug 

ist, um ª zu enthalten. Kompaktheits- und Regularitätssätze aus der geometrischen Maßtheorie 

sichern dann für alle Î � ÎÓÐ � Å die Existenz einer Menge ª � � Å mit 

ÎÓÐ ª �Î und ÎÓÐ ª �Á� Å Î .DerRand ª ist jetzt nur noch � �« (siehe dazu 

[Whi91]) in den Punkten, wo er � Å berührt. Um diese grobe Beweisskizze verwirklichen 

zu können, benötigt man weitere Resultate, die im Folgenden bereitgestellt werden und ein 

genaues Verständnis der Beweiskette zu einem späteren Zeitpunkt ermöglichen. 

Insbesondere benötigt man den Begriff einer � ��« -Hyperfläche. 

Definition 4.2.4. Eine Hyperfläche Æ in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Å heißt 

� ��« -Hyperfläche, wenn für alle Ô Æ eine Umgebung Í � Å von Ô und eine � ��« - 

Funktion � � Í � Ê existiert, so dass Æ � Í � �Õ Í� � Õ � � und das Differential 

��Ô surjektiv ist. 

� ��« -Funktionen mit � « � sind �-mal stetig differenzierbare Funktionen, deren �-te 

partielle Ableitung Hölder stetig mit Exponenten « ist. 

Das ist die übliche Definition einer Hyperfäche beziehungsweise einer Ò -dimensionalen 

Untermannigfaltigkeit mit dem Unterschied, dass � � Í � Ê keine glatte sondern eine � ��« - 

Funktion ist. 

Ist Æ � Å eine � � -Fläche, die homöomorph zu der zweidimensionale Sphäre Ë ist, 

dann ist Æ mit Rademachers Theorem 2.2.2 fast überall zwei mal differenzierbar und weil 

die erste Ableitung Lipschitz-stetig ist, ist die zweite Ableitung, dort wo sie existiert, beschränkt. 

Die Gauß-Kronecker Krümmung �Ã Æ ist somit ein wohldefiniertes Element in 

Ä Æ und man kann folgendes Lemma formulieren.


Lemma 4.2.5. Sei Æ � Å eine � � -Fläche, die homöomorph zu der zweidimensionalen 

Sphäre Ë ist. Erfüllt die Schnittkrümmung � Å von Å die Bedingung � Å � � � , dann 

gilt � 

Æ 

�Ã Æ � ÚÓÐ Æ � �� 

wobei ÚÓÐ Æ die Volumenform von Æ ist. Die Gleichheit gilt genau dann, wenn die Schnittkrümmung 

für alle Ebenen �, die tangential zu Æ sind, � Å � �� erfüllt. 

Beweis. Für glatte, kompakte und orientierte zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten 

Å ohne Rand gilt nach dem Satz von Gauß-Bonnet 

� 

Å 

�Å ÚÓÐÅ � �� Å � (4.8) 

Dabei bezeichnen �Å die Schnittkrümmung und � Å die Euler-Charakteristik von Å . 

Die Ê Euler-Charakteristik � Å ist eine topologische Invariante, weshalb das Integral 

� Å Å ÚÓÐÅ unabhängig von der Metrik auf Å ist. Einzelheiten dazu können in [Cha93] 

nachgelesen werden. 

Nach Voraussetzung ist Æ glatt und homöomorph zu der zweidimensionalen Sphäre Ë 

man erhält mit dem Satz von Gauß-Bonnet (4.8) 

und 

�� 

� 

Æ 

�Æ ÚÓÐÆ � 

Wegen der Homöomorphie von Æ 

impliziert dann 

� 

zu Ë ist nämlich � Æ � . Die Gaußgleichung (4.4) 

Æ 

� Æ ÚÓÐ Æ � 

� 

Æ 

� Å �Ã Æ ÚÓÐ Æ � 

� 

Æ 

�Ã Æ 

� ÚÓÐ Æ � 

womit die Behauptung für den glatten Fall bewiesen ist. 

Jetzt wenden wir uns dem � � -Fallzu.MitdemSatzüber implizite Funktionen für � � - 

Funktionen folgert man, dass die Fläche Æ eine lokale Darstellung als Graph einer � � - 

Funktion besitzt. Für alle Ô Æ existiert also eine Umgebung Î � Ê , eine relativ offene 

Menge Í � ÌÔÆ � � Ê und eine � � Í -Funktion Ù � Í � Ê, sodass 

Æ � Î � � Ü� Ý Ê ¢ Ê� Ý � Ù Ü � 

gilt. Hier wird Å � �� mit Ê � �� identifizert und �� auf Ê ist die von �� induzierte Metrik. 

Weil Ù � � Í � Ï � Í � Ï � Í ist, existiert eine Folge ÙÑ � Í � Ï � Í 

von glatten Funktionen, so dass 

�ÙÑ Ù�Ï � Í � für Ñ � 

gilt (siehe Anhang A). Aufgrud der Tatsache, dass Ù stetig differenzierbar ist und damit der 

Gradient �Ù beschränkt bleibt, kann man die Wahl zweier Tangentialräume ÌÔÆ und ÌÕÆ


so treffen, dass Æ , dort, wo sich die jeweiligen Approximationen Ù Ñ�Ù Ñ überlappen, eine 

Graphendarstellung über einen anderen Tangentialraum ÌÔ Æ besitzt. Dann lassen sich Ù Ñ 

und Ù Ñ ebenfalls als Graphen über ÌÔ Æ schreiben und mit Hilfe einer Zerlegung der Eins 

� erhält man eine glatte Funkion Ù Ñ Ù Ñ , die in der Ï � -Norm gegen 

Ù konvergiert. Diesen Vorgang führt man sukzessive für jeweils zwei Tangentialräume aus 

und setzt so die Graphen von ÙÑ zusammen. Da Æ kompakt ist, ist dies mit endlich vielen 

Schritten möglich. Auf diese Weise wird eine Folge von glatten Flächen Æ Ò konstruiert, die 

in der Ï � -Norm gegen Æ konvergieren. Für diese Flächen gilt nach dem Satz von Gauß- 

Bonnet � 

Æ Ñ 

�Ã ÆÑ � ÚÓÐ ÆÑ � �� 

Die Gauß-Kronecker Krümmung ist für den Fall, dass eine Fläche als Graph einer Funktion 

gegeben ist, eine von den ersten und zweiten Ableitungen des Graphen Ù abhängige 

Funktion. Die Ï � -Konvergenz liefert dann 

� 

Æ Ñ 

�Ã ÆÑ 

für Ñ � , was die Behauptung 

� 

impliziert. 

Æ 

� ÚÓÐ ÆÑ � 

� 

Æ 

�Ã Æ 

�Ã Æ � ÚÓÐ Æ � �� 

� ÚÓÐ Æ 

In den folgenden Untersuchungen werden einige Konvexitätsbegriffe benutzt, die einer kurzen 

Definition bedürfen. Eine Teilmenge � � Å in einer vollständigen, einfach zusammenhängenden 

Riemannschen Mannigfaltigkeit heißt konvex, falls die Geodäte, die zwei 

Punkte aus � verbindet, ganz in � liegt. Weiterhin heißt eine Funktion � � Å � Ê konvex, 

falls � Æ �� ℄ � Å konvex ist für jede Geodäte �� ℄ � Å. Einhäufig verwendetes 

Hilfsmittel stellt das nächste Lemma dar. 

Lemma 4.2.6. Sei Å eine vollständige, einfach zusammenhängende, Ò-dimensionale Mannigfaltigkeit 

der Schnittkrümmung �Å � � � und � eine abgeschlossene, konvexe Teilmenge 

von Å. Dann gilt 

(i) Für jeden Punkt Ô Å existiert ein eindeutiger Punkt È Ô �, so dass � Ô� È Ô � 

� Ô� � ��Ò�� Ô� Õ �Õ ��. Diesen bezeichnet man als Fußpunkt von Ô in �. 

(ii) Die Funktion È � Å � � vergrößert nicht die Abstände, das heißt 

� È Ô �È Ô � � Ô �Ô für alle Ô �Ô Å. 

Beweis. (i) Weil Å vollständig und � abgeschlossen ist, existiert ein Punkt È Ô �, der 

den Abstand � Ô� � � �Ò�� Ô� Õ � Õ �� realisiert. Um die Eindeutigkeit zu zeigen, 

nimmt man an, dass zwei Punkte Õ �� Õ � mit � Ô� Õ �� Ô� Õ �� Ô� � existieren. 

Sei �� ℄ � Å die minimale Geodäte von Ô nach Õ�� und die minimale Geodäte


von Õ nach Õ , die wegen der Konvexität in � enthalten ist. Für kleine ×� betrachtet man 

nun die Variation von Geodäten � × , wobei � × ¡ die Geodäte von Ô nach × ist. Nimmt man 

an, dass �� ist, wobei �� die Metrik von Å ist, dann folgt mit der ersten 

Variationsformel (siehe Anhang C) 

� ¬ Ä � 

�× ×� 

× ¡ 

�� 

¡ 

was der Minimalität von � widerspricht. Dies widerum impliziert �� ¡ � � � .Analog 

erhält man �� , woraus man schließen kann, dass die Winkel zwischen 

�� und größer oder gleich �� sind, was bedeutet, dass die Winkelsumme des 

Dreiecks Ô� Õ �Õ größer oder gleich � ist. Damit hat man ein Widerspruch zur Tatschache, 

dass die Winkelsumme eines geodätischen Dreiecks in einer vollständigen, einfach zusammenhängende 

Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung � � immer kleiner � ist. Also existiert 

ein eindeutiger Punkt È Ô �, der den Abstand � Ô� � realisiert. 

(ii) Seien Ô �Ô Å und �� ℄ � Å die minimalen Geodäten von È Ô� nach Ô�� 

� � � . Weiter setzt man � Ø � � � Ø �� Ø .Für die Geodäte , dieÈ Ô mit È Ô 

verbindet, betrachtet man für kleine Ø � die Variation von Geodäten Ø � � � ℄ � Å, die 

� Ø mit � Ø verbinden. Die Berechnung der ersten Variationsformel ergibt dann 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

� Ø �� 

¡ 

�� 

¡ � � 

Weil die Schnnittkrümmung von Å nichtpositiv ist und � und � Geodäten sind, folgt mit 

der zweiten Variationsformel (siehe Anhang C) 

� 

�Ø 

¬ Ø�Ø 

� Ø � 

� �ÖØ �� Ø ¬ ¬ � � Ø �Ì Ø �� Ø � �Ì Ø � �� Ø �Ì Ø 

¡¡ �Ø � � 

wobei � das Variationsvektorfeld der Variation Ø von Ø in einer Umgebung von Ø und 

�� Ì Ì der zu Ø senkrechte Anteil von � ist. Damit ist � � � , was zu 

� È Ô �È Ô � � Ô �Ô gleichbedeutend ist. 

Korollar 4.2.7. Hat � einen � -Rand � und ist �Ô die Einheitsnormale an Ô �, dann 

ist È �ÜÔ Ô Ø�Ô � Ô. 

Beweis. Ist È �ÜÔÔ Ø�Ô �� Ô, dann gibt es eine Geodäte � � � � ℄ � Å Ò von �ÜÔÔ Ø�Ô 

¡ 

nach È �ÜÔÔ Ø�Ô mit � �� , wobei die Geodäte von È �ÜÔÔ Ø�Ô nach Ô 

ist, die wegen der Konvexität von � ganz in � enthalten ist. Weil �� Ø℄ � Å� �� Ø � 

�ÜÔÔ Ø�Ô senkrecht von Å Ò startet, ist der Winkel zwischen �� und groesser oder gleich 

�� . Damit erhält man, wie im Beweis vom obigen Lemma, einen Widerspruch dazu, dass 

die Winkelsumme eines geodätischen Dreiecks kleiner � ist. 

Weil der Rand ª der minimierenden Menge ª , wie oben schon erwähnt, nicht einmal 

� � ist, ist eine schwache Definition der mittleren Krümmung notwendig. 

Definition 4.2.8. Sei Å eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit ohne Rand 

und ª � Å eine echte, kompakte und nichtleere Teilmenge von Å. IstÔ ª und Ë � Å


eine glatte, orientierte Hyperfläche mit Ë � ª��Ô� und liegt ª auf der selben Seite von Ë, 

wie das Normalenvektorfeld von Ë in einer Umgebung von Ô, dann nennt man Ë � Å eine 

Trägerhyperfläche von ª in Ô. Die Menge aller Trägerhyperflächen von ª in Ô bezeichnet 

man mit Ë ª�Ô . Diese ist nicht leer für mindestens ein Ô ª. Bezeichnet ÀË Ô die mittlere 

Krümmung der Trägerhyperfläche Ë Ë ª�Ô in Ô, sodefiniert 

die mittlere Krümmung der Menge ª. 

À ª � ×ÙÔ�ÀË Ô � Ô ª�Ë Ë ª�Ô �� 

Ist ª � Å kompakt mit � -Rand ª, dannistÀ ª gerade das Maximum der mittleren 

Krümmung von ª, weilÀ ª Ô � ÀË Ô für alle Ô ª und alle Ë Ë ª�Ô . 

Der folgende Satz ist der wichtigste geometrische Bestandteil für den Beweis des angestrebten 

Theorems 4.2.1. Zur Definition des Hausdorff-Maßes auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

siehe Anhang B. 

Satz 4.2.9. Sei ª � Å eine kompakte, nichtleere Menge. Die Funktion À� � � � � 

ordne jedem � � die mittlere Krümmung der geodätischen Sphäre aus Å � zu, die 

das zweidimensionale Volumen � hat. Es gilt dann 

À ª � À� À ª 

wobei À das zweidimensionale Hausdorff-Maß bezeichnet und ª der topologische Rand 

von ª ist. Ist À ª � À� À ª ,soistª isometrisch zum geodätischen Ball � � Å � mit 

ÎÓÐ � �À ª . 

Beweis. Ist ª konvex mit � -Rand ª, dannist ª homöomorph zu der Sphäre Ë .Für 

ein Ô ªÒ ª ist die Funktion � � Ë � ÌÔÅ � ª� � �� ÜÔ Ô Ö� ¡ � , wobei Ö� jedem 

� eine positive reelle Zahl Ö� zuordnet, wegen der Konvexität von ª und der Eindeutigkeit 

der Geodäten zwischen zwei Punkten aus Å, nämlich ein Homöomorphismus. Mit Lemma 

4.2.5 und der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel folgt nun 

� 

� ��À � 

ª 

�� Ã ª � ÚÓÐ ª � 

� 

ª 

� 

ª 

��Àª � 

� ÚÓÐ ª 

� 

� ÎÓÐ ª � (4.9) 

Andererseits ist die mittlere Krümmung einer geodätischen Sphäre aus Å � konstant und die 

Hauptkrümmungen sind gleich, woraus sich mit (4.9) 

�� À� ÎÓÐ ª � 

ergibt, und damit auch 

� 

� ÎÓÐ ª � �� 

À� ÎÓÐ ª � À ª� 

�� Àª 

� 

� ÎÓÐ ª 

Ist ª keine konvexe Menge, dann betrachtet man den Abschluss der konvexen Hülle � von 

ª. DiekonvexeHülle der Menge ª ist die kleinste konvexe Menge, die ª enthält. � ist 

wiederum konvex und kompakt. Sei �Ö � �Ô Å � � Ô� � � Ö� und �Ö � �Ö für alle


Ö � mit � � � und � � � . Weil die Abstandsfunktion Ô �� Ô� � konvex ist, ist �Ö 

für Ö � auch konvex [BiON69]. Die Abbildung È � Å Ò �Ò � � �, die jedem Ô den 

Fußpunkt È Ô � von Ô in � zuordnet, ist mit Lemma 4.2.6 wohldefiniert und Lipschitzstetig 

mit Lipschitz-Konstante Ä � und man setzt ÈÖ � È ��Ö. 

Für Ö� sind die Abstandsflächen �Ö laut [Alm86] � � . Folglich ist die mittlere Krümmung 

von �× fast überall definiert. Im Folgenden sei Ô �Ö ein Punkt, für den die mittlere 

Krümmung À�Ö Ô 

dann 

definiert ist und ÈÖ Ô � � ª gilt. Es soll gezeigt werden, dass 

À�Ö Ô � À ª Ö� ¡ Ö (4.10) 

gilt, wobei Ö� � �Ò�� Ê� Ü� Ü � Ü ÌÅ ��Ö� �Ü� � � bezeichnet. � Ê� ist dabei der 

Ricci-Tensor, die Spur des Riemannschen Krümmungstensors (3.1), für den bekanntlich 

Ê� � �� ØÖ � � �Ê �� mit �� Å gilt. 

Zum Beweis von (4.10) betrachtet man eine Trägerfläche Ë Ë �Ö�Ô , deren zweite Fundamentalform 

��Ö Ô � �Ë Ô erfüllt. Sei nun � � �Ö℄ � Å � Ø � �ÜÔÔ Ø� Ô , wobei � 

das Einheits-Normalenvektorfeld von Ë bezeichnet, das in Ô in Richtung �Ö zeigt. Mit einer 

Kurve « × � Ë, die« � Ô und �« � Ú erfüllt, erhält man die geodätische Variation 

× Ø � �ÜÔ « × 

von � . Das Variationsvektorfeld � Ø � × 

fangsbedingungen 

und 

�ÖØ� � �ÖØ × × Ø 

� �Ö×� « × 

� � × 

¬ 

¬ 

¬ ×� 

Ø� 

¬ 

×� 

¬ 

� �Ö× 

¬ ×� 

Ø� « × ¡ 

¬ 

¬ ×� × Ø ist ein Jacobi-Feld, das die An- 

�ÜÔ « × � �« � Ú 

Ø × Ø 

¬ ×� 

Ø� 

� �ÖÚ� � �Ë Ô Ú 

� �Ö× 

¡ 

��ÜÔ« × � « × 

Ø� « × 

erfüllt, wobei �Ë die Weingartenabbildung von Ë ist. Die Exponentialabbildung ist auf 

einer kleinen Umgebung des Nullschnitts im Normalenbündel �Ë von Ë ein Diffeomorphismus 

und somit ist für genügend kleines Ö auch die Einschränkung �ÜÔ��ÖË mit �ÖË � �Ü 

�Ë��Ü� � Ö� ein Diffeomorphismus. Nach eventueller Verkleinerung von Ë � �ÜÔ��ÖË ist 

Ë eine Trägerfläche von ª in �ÜÔ Ô Ö� Ô �. Esist�ÜÔ Ô Ö� Ô � ÈÖ Ô � � ª, 

da sonst ein Õ �� Õ �� ÜÔ Ô Ö� Ô mit ÈÖ Ô � Õ und � Ô� Õ � � Ô� � � Ö � Ö 

existieren würde. Weil �ÜÔ auf �Ü �Ë��Ü� �Ö� ein Diffeomorphismus ist, gibt es aber ein 

Ô Ë� Ô �� Ô mit �ÜÔ Ô Ö � Ô � Õ, was bedeuten würde, dass Ô �Ö, und das ist ein 

Widerspruch zu Ë � �Ö � �Ô�. 

Korollar 4.2.7 impliziert, dass alle ËØ senkrecht trifft, woraus 

�ÖØ� Ø � � ÖØ × × Ø 

¬ ×� 

� � Ö× Ø × Ø 

¬ ×� 

resultiert. Für die zweite Ableitung von � gilt dann 

�ÖØ �ÖØ� Ø � �ÖØ 

�ËØ � Ø ¡ � �ËØ 

¬ ×� 

Ø� 

� � Ö� Ø � � �ËØ Ø � Ø (4.11) 

�ÖØ� Ø ¡ �ÖØ�ËØ � Ø


und mit der Jacobi-Gleichung (4.1) erhält man 

�ÖØ�ËØ � Ø � �Ê � Ø �� ËØ � Ø � 

Um die Notation zu vereinfachen, wurde der Punkt Ø , in dem man die Weingartenabbildung 

betrachtet, weggelassen. Wegen der Injektivität von ÌÔË � Ì Ø ËØ� � �� Ø 

erhält man den Endomorphismus 

�ÖØ�ËØ ¡ � �Ê ¡�� ËØ ¡ 

auf Ì Ø ËØ, der auch als Riccati Gleichung bekannt ist. Durch Spurbildung und der Cauchy- 

Schwarzen Ungleichung bezüglich dem Skalarprodukt ª �� « �ØÖ �� Ì für quatratische 

Matrizen �� , folgt 

� 

�Ø ØÖ �ËØ � � 

Ê� �� 

ØÖ �ËØ � � 

Ê� �� Ö� � 

Integriert man nun die obere Ungleichung von bis Ö und berücksichtigt man die Tatsache, 

dass Ë Ë ª�ÈÖ Ô ist, so erhält man 

À ª � ÀË ÈÖ Ô � ÀË Ô Ö� ¡ Ö� 

Lässt man ÀË Ô gegen À�Ö Ô laufen, so bekommt man schließlich die gewünsche Ungleichung 

(4.10) 

À�Ö Ô � À ª Ö� ¡ Ö� 

Aufgrund der Konvexität und der Kompaktheit von �Ö, ist�Ö � �Ö homöomorph zu Ë . 

Mit Lemma 4.2.5, der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel und 

(4.10) folgt dann 

�� 

� 

� 

Für den Fall, dass 

und 

� 

�Ö 

� 

�Ã�Ö � ÚÓÐ�Ö 

�� À�Ö 

È Ö ª 

��Àª Ö� ¡ Ö� � 

� ÚÓÐ�Ö 

� 

� ÎÓÐ È Ö 

� ÎÓÐ �ÖÒÈ Ö ª ¡ � 

�ÖÒÈ Ö 

�ÖÒÈ Ö 

ª 

� 

ª 

ª ¡ 

�Ã�Ö � ÚÓÐ�Ö 

�Ã�Ö ÚÓÐ�Ö� (4.12) 

Ð�Ñ 

Ö � ÎÓÐ È Ö ª ¡ � À ª � � (4.13) 

Ð�Ñ 

Ö � 

�ÖÒÈ Ö 

� 

ª 

�Ã�Ö 

ÚÓÐ�Ö � (4.14)


gelten würde, erhielte man für Ö � in (4.12) 

�� Àª 

�� 

� 

� À ª � � � 

�� Àª 

� 

� À ª � (4.15) 

weil � � ist. Für einen geodätischen Ball � � Å� mit ÎÓÐ � �À ª ,würde aus 

��À� �� 

� � ��À� À ª 

� ÎÓÐ � � 

� � 

� À ª � 

schließlich die Behauptung 

À� À ª � À ª 

resultieren. Es müssen also noch (4.13) und (4.14) gezeigt werden. 

Ist � die innere Normale auf �Ö und � � �Ö ¢ � �� Å � � Ô� Ø � �ÜÔ Ô Ø� Ô eine 

Variation von �Ö mit Variationsrichtung � � �, dannist� ¡�Ö � ÈÖ ¡ � für kleines 

Ö � �. Damit ist die Abbildung ÈÖ bijektiv und man erhält mit der Flächenformel (siehe 

Anhang B) für ÈÖ � �Ö � � � Å 

È Ö 

mit der Jacobischen Â� ÈÖ Ô � 

� 

Â� ÈÖ ÚÓÐ�Ö 

ª 

Õ 

��Ø ��Ö Ô 

� À ª � � � 

�Ö 

Ü� Ô � �Ö 

Ü� Ô ¡ Ô 

� ��Ø �Ö ��, die nach Ra- 

demachers Theorem 2.2.2 fast überall existiert. Dabei sind Ü � lokale Koordinaten auf �Ö und 

�Ö � � ¡�Ö .Für Ø�Öist aber (siehe Anhang C, Evolutionsgleichungen) 

� 

�Ø 

Õ ��Ø �Ø �� À�Ö Ø 

Õ ��Ø �Ø �� (4.16) 

punktweise, fast überall erfüllt. Unter Berücksichtigung von (4.10) folgt dann für Ø � �Ö℄ 

Õ ��Ø �Ø �� Ê Ø À� Ö × �× 

Õ ��Ø � �� Ê Ø À� Ö × �× � � ÀªØ Ö� ÖØ Ø � � 

Damit erhält man Ð�ÑÖ � Â� ÈÖ � . Würde Â� ÈÖ � auf einer Menge � mit 

ÎÓÐ � � gelten, so wäre À ª � � � ÎÓÐ È Ö ª . Aus Stetigkeitsgründen würde 

dann ein � �Ö℄ mit ÎÓÐ È � ª � ÎÓÐ È Ö ª existieren und mit (4.16) erhielte 

man 

ÎÓÐ È Ö ª ÎÓÐ È � ª � 

� 

�Ö 

� 

Ö 

� 

� 

� 

ÎÓÐ È Ø ª �Ø 

�Ø 

È Ø 

� 

ª 

À�Ø 

Õ ��Ø �Ø �� ÚÓÐ�Ø �Ø � � 

was zur Folge hätte, dass für die mittlere Krümmung À�Ø � punktweise, fast überall auf 

einer Menge mit nichtverschwindendem Volumen aus È Ø ª gelten würde. Dies wäre


aber ein Widerspruch zur Konvexität von �Ø. Somit ist Ð�ÑÖ � Â� ÈÖ � ,woraussich 

ÎÓÐ È Ö 

ª ¡ � 

� 

È Ö 

È Ö 

� 

� 

ª 

ª 

� À ª � � 

ÚÓÐ�Ö 


È Ö 

� 

ª 

È Ö 

� 

ª 


Â� ÈÖ ÚÓÐ�Ö � À ª � � 

für Ö � ergibt. 

Es bleibt noch die Richtigkeit von (4.14) zu überprüfen. Hierfür genügt es zu zeigen, dass 

für die Lipschitz-stetige Abbildung È Ö Ö � �Ö � �Ö mit festem Ö �Ö� , die jedem Ô den 

Fußpunkt È Ö Ö Ô �Ö von Ô in �Ö zuordnet, 

und 

� �Ã�Ö Æ È Ö Ö ¡ È Ö Ö 

Ð�Ñ 

Ö � �Ã�Ö Æ È Ö Ö ¡ È Ö Ö 

£ ÚÓÐ�Ö Ô �� Ö � �� (4.17) 

£ ÚÓÐ�Ö Ô � (4.18) 

gelten. Dabei ist Ô �Ö ÒÈ Ö ª , so dass die Gauß-Kronecker Krümmung �Ã�Ö Ô definiert 

ist, und �� ×ÙÔ�� Å � �, wobei � alle Ebenen duchläuft, die tangential zu �Ö 

sind. In diesem Zusammenhang ist die Norm �� einer -Form durch �� 

Ô ��Ø �� gegeben. Die Transformationsformel (4.3) für Lipschitz-stetige, bijektive 

Funktionen liefert dann 

� 

�ÖÒÈ Ö 

ª 

�Ã�Ö 

ÚÓÐ�Ö � 

� 

�Ö ÒÈ Ö ª 

�Ã�Ö Æ È Ö Ö 

È Ö Ö 

£ ÚÓÐ�Ö � � 

für Ö � . 

Sei nun � die innere Normale auf �Ö und sei Ô �Ö ÒÈ Ö ª derart gewählt, dass � 

in Ô differenzierbar ist. Weiterhin sei die Geodäte � � �Ö ℄ � Å gegeben durch Ø � 

¬ 

�ÜÔÔ Ø� Ô und « × � �Ö eine Kurve mit « � Ô und �« � Ú. Das Variationsvektorfeld 

� Ø � ¬ × Ø der geodätischen Variation 

× ×� 

¡ 

Ø� « × 

× Ø � �ÜÔ « × 

von � ist ein Jacobi-Feld mit den Anfangsbedingungen � � Ú und �ÖØ� � 

��Ö Ô Ú . 

Für Ö �Ö ℄ betrachtet man jetzt die Abbildungen � Ö Ö � ÌÔ�Ö � ÌÈ Ö Ö Ô �Ö, die durch 

Ú �� ÖØ� Ø �Ø�Ö Ö definiert sind. Analog zu (4.11) prüft man für Ø � �Ö 

�ÖØ� 

Ö Ø 

Ø � ��Ö Ø Ø � Ø � �Ö nach. Weil � Ø ein Jacobi-Feld ist, gilt für die zweite Ableitung 

�ÖØ �ÖØ� Ø � �Ê � Ø �� 

Ú


Ö Ø 

Durch Nachrechnen verifiziert man, dass Ø �� Ö Ú ��Â Ø � Ø � �Ö ein Jacobi-Feld 

entlang mit den Anfangsbedingungen Â � ��Ö Ô Ú und �ÖØÂ � �Ê Ú� � � ist. 

Die zweite Fundamentalform von �Ö ist in Ô �Ö ÒÈ Ö ª nach oben beschränkt, wobei 

die Schranke Ö � �� nur von Ö und �� abhängt. Man kann nämlich um ÈÖ Ô einen 

konvexen geodätischen Ball �Ö vom Radius Ö legen, der ganz in �Ö enthalten ist. Weil 

�Ö konvex ist, ist die zweite Fundamentalform von �Ö in Ô durch die zweite Fundamentalform 

von 

und 

�Ö in Ô nach oben beschränkt. Damit sind auch die Anfangsbedingungen Â 

� ÖØÂ beschränkt. Weil die Jacobische Differentialgleichung für die Komponenten 

� �� von Â bezüglich eines Basisfeldes � �� zu einer gewöhnlichen linearen 

Differentialgleichung zweiter Ordnung � Ø � � Ø � Ø mit � � � �� wird und 

die Komponenten �� Ø � �� Ê �� Ø von � Ø beschränkt sind, ist die Lösung 

� Ø für Ø � �Ö ebenfalls beschränkt. Daraus ergibt sich wiederrum die Beschränktheit 

Ö Ø 

von Â Ø ��Ö Ú für Ø � �Ö . 

Die Abbildungen � Ö Ö � ÌÔ�Ö � ÌÈ Ö Ö Ô �Ö kann man aufgrund von 

�È Ö Ö Ô Ú � � 

¬ 

×� 

�× 

¬ 

« × � � 

�× 

¬ 

¬ ×� 

�ÜÔ « × 

Ö Ö � « × ¡ � � Ö Ö 

als � Ö Ö � ��Ö Æ �È Ö Ö Ô mit der Weingartenabbildung ��Ö von �Ö in È Ö Ö Ô schreiben. 

Weiterhin gilt 

�Ò��Ö Û � � Û ÌÈ Ö Ö Ô �Ö� �Û� � �� 

für Ö � , was bedeutet, dass der kleinste quadrierte Eigenwert von ��Ö gegen Null geht, 

wenn Ö � strebt. Wegen ÈÖ Ô � ÈÖ È Ö Ö Ô �Ò ª wird verhindert, dass für �Ú� � 

der Betrag � �È Ö Ö Ô Ú �� strebt, was für Ö � 

�Ò�� Ö Ö Ú � � Ú ÌÔ�Ö � �Ú� � �� (4.19) 

impliziert. 

Der Zusammenhang zwischen der Abbildung �Ö Ö und �Ã�Ö È Ö Ö Ô ¡ È Ö Ö 

£ ÚÓÐ�Ö Ô wird 

jetzt deutlich. Die durch �Ö Ö aus der Volumenform ÚÓÐ�Ö È Ö Ö Ô induzierte -Form ist gerade 

�Ã�Ö È Ö Ö Ô ¡ È Ö £ 

ÚÓÐ�Ö Ö 

Ô. Für Ü� Ý ÌÔ�Ö gilt nämlich 

� Ö Ö 

£ ÚÓÐ�Ö È Ö Ö Ô Ü� Ý � ÚÓÐ�Ö È Ö Ö Ô 

� ��Ø ��Ö ¡ ÚÓÐ�Ö È Ö Ö Ô 

� �Ã�Ö È Ö Ö Ô ¡ È Ö Ö 

��Ö Æ �È Ö Ö Ô Ü ��Ö Æ �È Ö Ö Ô Ý ¡ 

Ö 

�ÈÖ Ô Ü � �È Ö Ö Ô Ý ¡ 

£ ÚÓÐ�Ö Ô Ü� Ý � 

Sei � � Ñ�Ò��Ö Ö Ú � � Ú ÌÔ�Ö � �Ú� � � und � so gewählt, dass �Ö Ö � � � ist. 

Ergänzt man dann � zu einer Orthonormalbasis �� auf ÌÔ�Ö ,soist� � � 

�� mit � � 

� und �� 

� Ö Ö � eine Orthonormalbasis von ÌÈ Ö Ö Ô �Ö. Sei�� die zu � � 

�� 

� � 

�� 

die zu �� duale Basis. Dann besitzt die Volumenform ÚÓÐ�Ö È Ö Ö Ô die Darstellung � � 

� . Folglich ist die Norm der Volumenform gleich . Weiterhin gilt wegen �� 

�� ¡�� 

� � Ö Ö 

£ � � � � � � � Ö Ö 

� 

£ � � � Ö Ö 

£ � �� Ô � � Ö Ö 

Ô Ô 

�� ¡�� ¡�� 

£ � �¡� � Ö Ö 

£ � �


Aus der Beschränktheit von �Ö Ö Ú für alle Ö �Ö ℄ und (4.19) resultieren schließlich 

(4.17) und (4.18). Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. Es bleibt nur noch zu zeigen, 

dass À ª � À� À ª die Isometrie eines geodätischen Balles � � Å� mit ÎÓÐ 

À ª zu ª impliziert. 

� � 

Sei dazu À ª � À� À ª � À�. Dann muss in (4.15) Gleichheit gelten, also 

À ª � � � À ª sein. Deswegen muss À ª � �Ò � � gelten. Folglich 

ist entweder ÎÓÐ ª � ÎÓÐ � oder ÎÓÐ ª � . Nach Voraussetzung ist ÎÓÐ ª �� ,was 

impliziert, dass ª � �, dennª � � ist eine abgeschlossene Menge. In diesem Fall ist 

È Ö ª � �Ö und mit Hilfe der Ungleichung (4.10) an die mittlere Krümmung À�Ö sieht 

man dort, wo sie existiert, dass die mittlere Krümmung der Flächen �Ö für Ö � gleichmäßig 

beschränkt bleibt. Damit bleibt auch die zweite Fundamentalform � gleichmäßig beschränkt. 

Sind die Flächen �Ö lokal als Graphen der � � -Funktionen ÙÖ � Í � Ê für eine oBdA konvexe, 

relativ kompakte Menge Í �� Ê gegeben, so bedeutet dies gerade, dass die zweiten 

partiellen Ableitungen ��ÙÖ für �� und Ö � gleichmäßig beschränkt bleiben. 

Mit dem Mittelwertsatz erhält man dann die Lipschitz-Stetigkeit der partiellen Ableitungen 

��ÙÖ mit der selben Lipschitz-Konstante Ä. Aufgrund der Tatsache, dass � � in � kompakt 

eingebettet ist, existiert eine in � konvergente Teilfolge ÙÖ� . Die Grenzfunktion ist 

damit differenzierbar und weil Ä für alle Ö � konstant war, sind die partiellen Ableitungen 

der Grenzfunktion ebenfalls Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante Ä. Es folgt, dass 

� � � � ª auch � � ist. Durch Anwendung von Lemma 4.2.5 auf ª erhält man 

Andererseits gilt 

�� 

� 

�� À� � 

� 

ª 

�� 

��À � 

ª 

� 

ª 

�Ã ª 

� ÚÓÐ ª� 

� �� Àª 

� ÎÓÐ � � 

� � 

� ÎÓÐ ª � 

ª 

�Ã ª 

� 

� ÎÓÐ ª 

� ÚÓÐ ª� 

woraus man schließen kann, dass die Gleichheit in Lemma 4.2.5 erfüllt ist. Folglich ist 

� Å � � � für alle Ebenen �, die tangential zu ª sind. Außerdem sind die Hauptkrümmungen 

fast überall gleich und damit gilt auch À ª � À� und �Ã ª � �Ã � fast 

überall. Um eine bessere Regularitätsaussage über ª treffenzukönnen, betrachtet man lokal 

den Graphen Ù � Í � Ê für ein Í �� Ê von ª. 

Die mittlere Krümmung beschreibt (fast überall) auf Í eine partielle elliptische Differentialgleichung 

zweiter Ordnung mit der � � -Lösung Ù. Setzt man die erste Ableitung ein, dann 

erhält man eine lineare gleichmäßig elliptische Differentialgleichung mit Lipschitz-stetigen 

Koeffizienten � �� Ï � Í . Mit Theorem 4.1.3 liegt die schwache Lösung Ù für jedes 

Í �� Í in Ï � Í und demnach sind die Koeffizienten � �� Ï � Í . Durch wiederholtes 

Anwenden von Theorem 4.1.3 erhält man schließlich, dass Ù Ï Ñ� �Í für ein 

geeignetes � Í �� Í und alle Ñ Ê Ò . Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz A.0.13 ist 

somit Ù � �Í und ª ist eine � -Fläche. 

Damit ist die zweite Fundamentalform von ª überall gleich der zweiten Fundamentalform 

von �. Die Gaußgleichung (4.4) liefert nun die Gleichheit der konstanten Schnittkrümmungen 

� ª und � � von ª und �. Bezeichnet die Homöomorphie zwischen ª und �,


so kann � aus Å � rausgeschnitten und dafür ª eingeklebt werden und man erhält auf diese 

Weise eine differenzierbare Mannigfaltigkeit Å �Ò �Ò � � ª. Die neue Metrik auf 

Å �Ò �Ò � � ª ist allerdings nur � � . Mit Theorem 4.1.4 für � � -Metriken schließt 

man, dass die Metrik auf ª lokal symmetrisch vom Rang eins ist. Dies wiederrum führt zur 

Isometrie von ª zu �. 

Ein letztes Lemma muss noch bewiesen werden, bevor man sich dem Beweis des isoperimetrischen 

Volumenvergleichsatzes, Theorem 4.2.1 zuwendet. 

Lemma 4.2.10. Sei Å eine Ò-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und ª � Å ein 

kompaktes Gebiet mit � -Rand ª. IstÔ ª und Ë Ë ª�Ô eine Trägerhyperfläche von 

ª in Ô, deren mittlere Krümmung ÀË Ô in Ô bezüglich der inneren Normalen von ª die 

Bedingung ÀË Ô � erfüllt, dann existiert ein Familie �ªØ�Ø� von Gebieten mit � -Rand, 

die folgende Eigenschaften erfüllen 

(i) ªØ � ª �ªfür Ø � , 

(ii) ÎÓÐ ªØ und ÎÓÐÒ ªØ sind glatte Funktionen in Ø, 

(iii) � ¬ ÎÓÐ ªØ � , 

�Ø Ø� 

(iv) � ¬ ÎÓÐÒ ªØ � �Ø Ø� � ¬ ÎÓÐ ªØ . 

�Ø Ø� 

Beweis. Für den Fall, dass ª glatt ist in einer Umgebung von Ô, ist die mittlere Krümmung 

À ª Ô wohldefiniert und erfüllt À ª Ô � ÀË Ô � .Sei� eine glatte positive Funktion 

auf Å mit kompaten Träger in einer genügend kleinen Umgebung Í von Ô, sodass 

¬ 

À ª Õ � für alle Õ Í gilt. Weiterhin betrachtet man die Variation ¨�Å ¢ � �� Å 

von ª mit Variationsrichtung �¨¬ 

� ��, wobei � die innere Normale an ª ist. Sei 

�Ø Ø� 

� � ª ¢ � �� Å� � Ô� Ø �¨Ô� Ø die zugehörige Variation des Randes ª. Dann folgt 

mit der ersten Variation des Volumens (Satz 4.1.1) 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 


� 

ª 

� ÚÓÐ ª � � 

wobei ªØ � ¨ ª�Ø ist. Die erste Variation der Oberfläche (Satz 4.1.2) impliziert dann 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐÒ ªØ � 

� 

ª 

�À ª ÚÓÐ ª � 

� 

ª 

� ÚÓÐ ª � 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 


mit ªØ � � ª�Ø , womit die Aussage für den glatten Fall bewiesen ist. 

Der allgemeine Fall kostet etwas mehr Aufwand. Sei dazu �ÀË Ô fest und � Ë � 

Ë eine kompakte, zusammenhängende Hyperfläche mit glattem Rand und � � ,sodass 

folgende fünf Eigenschaften erfüllt sind. 

(1) Ô � Ë. 

(2) Bezeichnet �� Ë � �� Ë�� , so ist die Exponentialabbildung �ÜÔ � �ÜÔ� �� Ë � 

�� Ë � Å in der �-Umgebung des Nullschnitts im Normalenbündel � �Ë von �Ë ein Diffeomorphismus.


(3) �ÜÔ �� Ë� � Ë � ª��. 

(4) Sei � � � Ë � � � Ë das von Ë eingeschränkte Einheitsnormalenvektorfeld und Î � 

�ÜÔ �� Ë � Å. Weiterhin sei die glatte Funktion � � Î auf Î durch 

� Æ �ÜÔ � � �� für � �� Ë definiert. Sie gibt den Abstand eines Punktes 

Õ Î von �Ë an. Man wählt � so klein, dass der Gradient �Ö�� von � entlang 

ª � Î in das Innere von ª zeigt. 

(5) Die mittlere Krümmung der Hyperfläche � Ü bezüglich des Einheitsvektorfeldes 

�Ö�� erfüllt À � Ü � für alle Ü �� . 

Jetzt betrachtet man die Variation ¨ � Å ¢ � �Æ � Å von ª � Î mit Variationsrichtung 

� � �¨ 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� � � Æ � �Ö�� .Für passend gewähltes � � �� erhält man die 

Familie �ªØ�Ø� � �¨ ª � Î�Ø �Ø� mit den gewünschten Eigenschaften (i) - (iv).Ist� � 

und ×ÙÔÔ � � �� ℄ für � � � �, dannist�ªØ�Ø� eine Familie von Gebieten mit 

� -Rand und die ersten zwei Bedingungen (i) und (ii) sind erfüllt. Damit �ªØ�Ø� auch den 

letzten zwei Bedingungen genügt, ist eine detailliertere Definition von � notwendig. 

Dazu wählt man ein Ü �� ,sodassÎÓÐÒ ª � � Ü �� Ü � � für � � 

gilt. Sei jetzt � � fest und � � �� mit � � und ×ÙÔÔ � � �� Ü � . 

Außerdem sei � gegeben durch 

� Ü � 

� � Ü � � Ü �� Ü ℄ 

� Ü � � Ü Ü �Ü �℄� 

Die Ableitung von � sei für alle Ü �� nichtpositiv, also � Ü � . Insbesondere gelte 

� Ü � Ñ�Ü � Ò � � für Ü �� Ü ℄� (4.20) 

wobei � alle Hauptkrümmungen der Hyperflächen � Ü � Ü �� durchläuft und � � 

das Maximum aller �� ist. 

Mit der ersten Variation des Volumens (Satz 4.1.1) erhält man mit � ª � Î 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 


� 

�� ª ÚÓÐ � � 

die Bedingung (iii). Bezeichnet � � ¢ � �Æ � Å� � Ô� Ø Ô�¨Ô� Ø die zugehörige Variation 

des Randes , dann gilt mit Ø � � �Ø und Â� Ø � ��Ø �Ø �� Ô ��Ø �� 

� ¬ � 

¬ 

� ¬ 

� 

¬ 

� ¬ 

�Ø 

¬ Ø� 


¬ 

�Ø 

¬ Ø� 

� ¡�Ø £ ÚÓÐÅ � 

�Ø 

¬ Ø� 

Â� Ø ÚÓÐ � 

Es muss also noch � ¬ Â� Ø berechnet werden. Sei dazu Õ � Ü � ª und � ��Ò 

Ø� 

ÌÕ � Ü 

�Ø 

eine Orthonormalbasis von Hauptkrümmungsrichtungen mit zugehörenden Hauptkrümmungen 

� ��Ò bezüglich der Normalen �Ö�� .Mansetzt�Ò��Ö�� und 

�Ò � � � Õ .


Unter der Annahme � ª Õ � È Ò 

�� Û��, rechnet man 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

Â� Ø � � � Õ 

nach. Ist Õ ª � � �� Ü ,soist 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

Â� Ø � � � Õ 

� � � Õ 

� � � Õ 

� Ò� 

�� 

� Ò� 

�� 

Û � 

Û � 

� � � Õ Ò � � 

� À� Ü Õ Û Ò 

� ÛÒ 

�Ò 

Û� �� 

� Ò� 

� Ò 

�� 

�� 

�� 

�Ò 

Û� �� 

� Ò� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

� Ò� 

�� 

¡ 

Weil � ÛÒ �� Ö�� ª � gilt, erhält man dann mit (4.20) 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

Â� Ø � � � Õ 

� ÛÒ 

�Ò 

Û� Ñ�Ü � 

�� 

� � � Õ Û Ò Û Ò Ñ�Ü � 

� � � Õ � ÛÒ ¡ � � Õ 

¡ 

� ��Õ �Ö�� ª ¡ � � Õ 

� ��Õ �� ª � 

Damit ist die erste Variation der Oberfläche gegeben durch 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 


� 

� 

� 

� 

� 

¬ 

� 

� 

�Ø 

¬ Ø� 

� 

ª�� Ü 

ª�� Ü 

� 

�Ø 

� 

�Ø 

Â� Ø ÚÓÐ 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 


�� ª ÚÓÐ 

Ò � � ÎÓÐÒ ª � � 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐ ªØ 

� 

ª�� Ü �Ü � 

Ò � � ÎÓÐÒ ª � � 

¬ 

¬ Ø� 

� 

�� 

�� 

ª�� Ü �Ü � 

Ü �Ü � 

�� ª ÚÓÐ 

Ü �Ü � 

ÎÓÐ ªØ Ò � � ÎÓÐÒ ª � � 

�� 

� 

¡ 

� 

�Ø 

�� 

¬ 

¬ Ø� 


Ü �Ü � �


Die letzte Gleichheit liegt an der Tatsache, dass �� ª � � Æ � ÛÒ � auf 

ª�� Ü �Ü � ist. Lässt man jetzt � gegen streben, so folgt wegen � ¬ ÎÓÐ ªØ � 

�Ø Ø� 

und � unmittelbar Bedingung (iv) und das Lemma ist bewiesen. 

Mit den geleisteten Vorarbeiten ist es nun endlich möglich, das isoperimetrische Volumenvergleichstheorem 

4.2.1 von Bruce Kleiner zu beweisen. 

Beweis von Theorem 4.2.1. Im Hinblick auf Theorem 4.1.5, wählt man einen geodätischen 

Ball �Å aus Å ,derª � �Å enthält. Dieser ist eine kompakte Mannigfaltigkeit mit 

glattem Rand �Å . Man zeigt nun, dass für das isoperimetrische Profil Á�Å � � ÎÓÐ �Å ℄, 

von �Å auf 

Á�Å � ÁÅ� (4.21) 

gilt, wobei ÁÅ� � � � � � � das isoperimetrische Profil des Modellraumes Å� mit 

konstanter Schnittkrümmung � � ist, das für einen geodätischen Ball � � Å� mit 

ÎÓÐ � �Î durch 

ÁÅ� Î �ÎÓÐ � 

definiert ist. Damit ist (4.6) auch bewiesen, denn für Î �ÎÓÐ ª � � ÎÓÐ � Å resultiert 

unmittelbar 

ÎÓÐ ª � Á� Å Î � �Ò��ÎÓÐ ª � ª � � Å � ÎÓÐ ª � Î � 

� Á Å� Î �ÎÓÐ � � (4.22) 

Zum Beweis von (4.21) sei Î � ÎÓÐ �Å fest und ª � �Å ein Gebiet mit � -Rand, 

das ÎÓÐ ª � Î und ÎÓÐ ª � Á� Å Î erfüllt. Die Existenz eines solchen Gebietes 

ist mit Theorem 4.1.5 gesichert. Bezeichnet À� ÎÓÐ ª die mittlere Krümmung der 

geodätischen Sphäre aus Å � , die das zweidimensionale Volumen ÎÓÐ ª hat, so impliziert 

Satz 4.2.9 die Abschätzung 

À ª � ×ÙÔ�ÀË Ô � Ô ª �Ë Ë ª �Ô � 

� À� ÎÓÐ ª � À� Á� Å Î � 

Nach Lemma 4.2.10 existiert nun für alle �À ª eine Familie �ªØ�Ø� von Gebieten mit 

� -Rand, die 

(i) ªØ � ª für Ø � , 

(ii) ÎÓÐ ªØ und ÎÓÐ ªØ sind glatte Funktionen in Ø, 

¬ 

(iii) � ¬ ÎÓÐ ªØ � , 

Ø� 

(iv) � 

�Ø 

¬ ÎÓÐ ªØ � �Ø Ø� � ¬ ÎÓÐ ªØ 

�Ø Ø� 

erfüllen. Die Kurve « � Ø �� ÎÓÐ ªØ � ÎÓÐ ªØ verläuft über dem Graphen von Á� Å und 

berührt diesen Graphen im Punkt Î� ÎÓÐ ª . Fasst man die Spur von « als Funktion � 

in ÎÓÐ ªØ auf, dann gilt für die Ableitung von � in Î 

� Î � � 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐ ªØ 

� 

�Ø 

¬ 

¬ Ø� 

ÎÓÐ ªØ � � 

¬


woraus sich 

� Á� Å Î � Ð�Ñ �Ò� 

Æ � 

Á� Å Î Æ Á� Å Î 

Æ 

� À ª � À� Á�Å Î � (4.23) 

ergibt. Da sowohl das Volumen des geodätischen Balles �, als auch das zweidimensionale 

Volumen von � differenzierbar von ihrem Radius abhängen, ist Á Å� Î differenzierbar. 

Um die Ableitung ausrechnen zu können, betrachtet man die Variation eines geodätischen 

Balles � � Å � mit ÎÓÐ � � Î in Richtung der nach innen gerichteten Normalen �. Mit 

den ersten Variationsformeln für Volumen und Oberfläche gilt dann 

Á Å� 

Î � 

� 

� 

À ÚÓÐ � 

� 

� 

ÚÓÐ � � À � � À� Á Å� Î � (4.24) 

für alle Î � .EsistÁ� � Á Å 

Å� � und beide Funktionen sind streng monoton 

wachsend, was die Betrachtung der streng monoton wachsenden Umkehrfunktionen Á �Å und Á auf � �Á Å Å� ÎÓÐ �Å ℄ erlaubt. Aus (4.23) und (4.24) schließt man 

� 

was mit (4.5) 

� Á � Å 

Á � Å 

� � � Á� Å Î � À� � � Á Å� 

� � 

� � 

� Á � Å 

�� ℄ � 

� � 

Á 

Å � 

� 

Á 

Å � 

� Á 

Å � 

�� Á 

Å � 

für alle � � �Á Å� ÎÓÐ � Å ℄ impliziert. Damit gilt Á� Å � Á Å� auf � � ÎÓÐ � Å ℄ und 

(4.21) ist bewiesen. Bleibt noch die letzte Behauptung zu zeigen. 

Sei hierfür ÎÓÐ ª � Á Å� ÎÓÐ ª . Dann tritt Gleichheit auch in (4.22) ein und man erhält 

ÎÓÐ ª � Á Å� ÎÓÐ ª � Á� Å ÎÓÐ ª � 

Weil der Graph von Á Å� den Graphen von Á� Å berührt und Á� Å Á Å� � und monoton 

steigend auf � � ÎÓÐ � Å ist, muss Á� Å � Á Å� � � �ÎÓÐ ª ℄ gelten. Insbesondere ist 

À ª � �Á� Å ÎÓÐ ª � Á Å� 

ÎÓÐ ª � À� ÎÓÐ ª 

und es gilt Gleichheit in Satz 4.2.9. Folglich ist ª isometrisch zu dem geodätischen Ball � 

mit ÎÓÐ � �ÎÓÐ ª . 

Bemerkung. Eine Verallgemeinerung des Theorems 4.2.1 auf höhere Dimensionen scheitert 

am Beweis von Lemma 4.2.5. Eine dazu analoge Aussage scheint nicht aus dem verallgemeinerten 

Satz von Gauß-Bonnet zu folgen. 

� 

� �

Anhang A 

Eigenschaften von Sobolevräumen 

Dieser Abschnitt fasst grundlegende Aussagen auf Sobolevräumen zusammen. Insbesondere 

wird die Glättung einer Funktion definiert. 

Definition A.0.11. Sei ª � Ê Ò ein Gebiet und Ù Ä ÐÓ ª . Ferner sei � � Ê Ò � Ê, 

� Ü � 

wobei � so gewählt ist, dass Ê 

Ê Ò 

� ¡ �ÜÔ �Ü� 

¡ � �Ü� � 

� �Ü� � � 

� Ü �Ü � gilt und �� Ê Ò � Ê für jedes �� durch 

�� Ü � 

�Ò � Ü¡ 

� 

definiert ist. Für ª� � �Ü 

Ù 

ª� � Ü� ª � �Ò�Þ ª �Ü Þ� ��bezeichnet man die Faltung 

� �ª�� Ê, 

als Glättung von Ù. 

Ù � Ü � 

Es gelten dann die folgenden Aussagen. 

(i) Ù � � ª� , 

� 

ª 

�� Ü Ý Ù Ý �Î Ý 

(ii) Ist Ù stetig auf ª und Í �� ª relativ-kompakt, dann gilt Ù � � Ù gleichmäßig auf Í 

für � � , 

(iii) Ist Ù Ä Ô 

ÐÓ ª � Ô � und Í �� ª, dannÙ� � Ù in Ä Ô Í für � � , 

(iv) Ist Ù Ï ��Ô ª � Ô � ,soist � « Ù � � � « Ù � auf ª� für « Æ Ò � �«� ��, 

Ï ��Ô ª bezeichnet hierbei den Sobolevraum der Ordnung �� Ô . Funktionen Ù Ï ��Ô ª , 

� Æ� Ô � , kann man lokal und global in Ï ��Ô approximieren. 

Satz A.0.12. Ist Í �� ª, dann gilt für � � 

Ù � � Ù in Ï ��Ô Í � 

53

Anhang A. Eigenschaften von Sobolevräumen 54 

Ist ª beschränkt, dann gibt es Funktionen ÙÑ Ï ��Ô ª � � ª , so dass 

für Ñ � gilt. 

ÙÑ � Ù in Ï ��Ô ª 

Hat ª einen glatten Rand, so gilt für Ï ��Ô ª der folgende Einbettungssatz von Sobolev. 

Theorem A.0.13 (Sobolevscher Einbettungssatz). Sei ª � Ê Ò beschränkt mit glattem 

Rand. Dann gelten die folgenden Aussagen. 

(i) Ist � � Ò�Ô, so ist der Sobolevraum Ï ��Ô ª stetig in Ä Ô£ ª mit Ô £ � ÒÔ� Ò �Ô 

eingebettet. Für Õ�Ô £ ist die Einbettung in Ä Õ ª kompakt. 

(ii) Ist � � Ò�Ô, soistÏ ��Ô ª stetig in � Ñ � ª mit Ñ � � �Ò�Ô℄ eingebettet. 

Beweise für diese Aussagen und weitere Ausführungen finden sich beispielsweise in [GiTr98, 

Kapitel 7].

Anhang B 

Flächen- und Koflächenformel 

Zwei für die Integrationstheorie auf dem Ê Ò oder auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

massgebliche Integrationsformeln sind die Flächen- und Koflächenformel. 

Theorem B.0.14 (Flächenformel). Sei Ò � Ñ und � � Ê Ò � Ê Ñ Lipschitz-stetig und � 

eine nichtnegative messbare Funktion auf Ê Ò . Dann gilt für jede Lebesgue-messbare Menge 

� � Ê Ò � 

und � 

� 

Â� � Ü �Î Ü � 

� 

Ê Ñ 

� Ü Â� � Ü �Î Ü � 

À � � � �Ý� �À Ò Ý 

� 

Ê Ñ 

� � 

� Ü 

� �À Ò Ý � 

wobei Â� � � 

� 

Ô 

��Ø �� £ �� 

Ü � �Ý� 

Ò für À -fast alle Ü Ò 

Ê die Jacobische von � und 

Ý �� À � � � �Ý� die Multiplizitäts-Funktion ist. ÀÒ bezeichnet das Ò-dimensionale 

Hausdorff-Mass auf Ê Ñ . 

Theorem B.0.15 (Koflächenformel). Sei Ò � Ñ, � � Ê Ò � Ê Ñ Lipschitz-stetig und � 

eine nichtnegative messbare Funktion auf Ê Ò . Dann gilt für jede Lebesque-messbare Menge 

� � Ê Ò � 

und � 

� 

� 

Â� � Ü �Î Ü � 

� 

Ê Ñ 

� Ü Â� � Ü �Î Ü � 

À Ò Ñ � � � �Ý� �Î Ý 

� 

Ê Ñ 

� � 

� �Ý� 

� 

Ò Ñ 

��À �Î Ý � 

wobei À Ò Ñ das Ò Ñ -dimensionale Hausdorff-Mass auf dem Ê Ò bezeichnet. 

Die Koflächenformel ist eine Art ’krummlinige’ Verallgemeinerung von Fubini’s Theorem. 

Die Flächen- und Koflächenformel mit ausführlichen Beweise findet man zum Beispiel in 

[EvGa92, Kapitel 3]. 

Ersetzt man Ê Ò und Ê Ñ durch zwei Riemannsche Manigfaltigkeiten der Dimension Ò und 

Ñ, so bleiben die Flächen- und Koflächenformel richtig, wenn man die Jacobische von 

� bezüglich der gegebenen Riemannschen Metrik bildet, vgl. [Fed69, Kapitel 3.2]. Das 

Hausdorff-Mass auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Å der Dimension Ò ist wie folgt 

definiert. 

55

Anhang B. Flächen- und Koflächenformel 56 

Definition B.0.16. Sei Å die Menge aller nichtleeren Teilmengen von Å und � 

�� sei �� eine Überdeckung von �, die aus höchstens abzählbar viele Mengen �� 

Å .Für 

Å 

mit ��Ñ �� besteht. Dann ist das Ñ-dimensionale Hausdorff-Mass ÀÑ für Ñ � Ò, 

durch 

À Ñ � � �Ñ 

Ñ �Ò� 

� � 

�Ò� ��Ñ �� 

� �� 

Ñ 

� 

�� 

definiert, wobei �Ñ das Volumen der Einheitskugel im Ê Ñ bezeichnet. 

Das Riemannsche Mass ÎÓÐ � stimmt mit dem Ò-dimensionalen Hausdorff-Mass À Ò � 

überein.

Anhang C 

Variationsformeln und 

Evolutionsgleichungen 

Für den Beweis von Lemma 4.2.6, in dem mit einer lokalen Variation von minimalen Geodäten 

argumentiert wird, benötigt man insbesondere die erste und zweite Variationsformel des 

Längenfunktionals. 

Sei �� ℄ � Å�Ø �� Ø eine glatte Kurve in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Å 

und « �� ℄¢ �� Å eine glatte Variation von ,sodass« Ø� � für alle Ø �� ℄ 

gilt. Bezeichnet man mit Ì das Tangentialvektorfeld und mit � das Variationsvektorfeld von 

, so gilt für das Längenfunktional Ä × � Ê � 

� 

Variationsformel 

� 

�× 

¬ 

¬ ×� 

Ä × � Ð � �� Ì � � � 

� � × Ø ��Ø der Kurven × � « ¡�× die erste 

�� 

� 

� �� ÖØÌ �Ø� 

wobei Ð � Ä und � die Metrik auf Å ist. Ist eine Geodäte ist, so ist ÖØÌ � und der 

zweite Term verschwindet. 

Leitet man das Längenfunktional ein zweites Mal ab, so erhält man mit �� Ì Ì 

die zweite Variationsformel 

� 

�× 

¬ ×� 

Ä × � 

�� 

Falls die Variation durch Geodäten läuft, gilt sogar 

� 

�× 

¬ ×� 

� 

Ä × � 

�ÖØ �� Ê �� Ì Ì�� Ø � Ö×�� Ì � � �� 

�� 

� 

�ÖØ �� Ê �� Ì Ì�� ¡ �Ø� 

Für zwei Variationsvektorfelder � und � entlang mit � �� Ì � � ��Ì � nennt man 

Á �� 

�� 

� 

� ÖØ�� ÖØ� � Ê �� Ì Ì�� ¡ �Ø 

57

Anhang C. Variationsformeln und Evolutionsgleichungen 58 

die Indexform von . In vollständigen, einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

nichtpositiver Schnittkrümmung, wo keine Paare konjugierter Punkte existieren, 

ist die Indexform Á �� einer Geodäten positiv semidefinit. 

Eine Herleitung der ersten und zweiten Variationsformel und weitere Ausführungen findet 

man zum Beispiel in [Jos98]. 

Sei � � Ò � Å Ò eine glatte Immersion einer Hyperfläche Ò � � Ò in eine glat- 

te Riemannsche Mannigfaltigkeit Å Ò mit der Metrik ��. Man betrachtet eine 1-Parameter- 

Familie � � Ò ¢ � �Ì℄ � Å Ò von Hyperflächen Ò 

Ø � � ¡�Ø Ò , die ein Anfangswertproblem 

� 

Ø 

Ô� Ø � �� Ô� Ø � Ô Ò 

� Ô� � � � Ô Ò 

�Ø � �Ì℄� 

lösen, wobei � Ô� Ø die Einheisnormale in � Ô� Ø ist und � Ô� Ø eine glatte homogene symmetrische 

Funktion ist, die von den Hauptkrümmungen der Hyperfläche in � Ô� Ø abhängt. 

Dann gelten für eine Lösung Ò 

Ø � � ¡�Ø Ò des obigen Anfangswertproblems, nach 

[HuPo99, Theorem 3.2], die Evolutionsgleichungen 

(i) Ø �� , 

(ii) �� À �� , 

Ø 

wobei � die induzierte Metrik auf Ò 

Ø ist. Dabei bezeichnet À die mittlere Krümmung, 

�� das induzierte Mass der Hyperfläche, �� ist die lokale Darstellung von � und �� 

�� Ö�� die lokale Darstellung der zweiten Fundamentalform für eine Orthonormalbasis 

�� Ò � von Ì� Ô�Ø Ò 

Ø .

Literaturverzeichnis 

[Alm86] Almgren, F.: Optimal Isoperimetric Inequalities, Indiana Univ. Math. J. 35, No. 

3 (1986), 451-547. 

[BiON69] Bishop, R.L. and O’Neill, B.: Manifolds of Negative Curvature, Trans. Amer. 

Math. Soc. 145 (1969), 1-49. 

[BuZa88] Burago, Y.D. and Zalgaller, V.A.: Geometric Inequalities, Grundlehren der mathematischen 

Wissenschaften, Band 285, Springer, Berlin, Heidelberg (1988). 

[Cha78] Chavel, I.: On A. Hurwitz’ method in isoperimetric inequalities, Proc. Amer. 

Math. Soc. 71 (1978), 275-279. 

[Cha93] Chavel, I.: Riemannian Geometry - A Modern Introduction, Cambridge University 

Press (1993). 

[Cro80] Croke, C.B.: Some Isoperimetric Inequalities and Eigenvalues Estimates, Ann. 

Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Ser. 13 (1980), 419-435. 

[Cro84] Croke, C.B.: A Sharp Four Dimensional Isoperimetric Inequality, Comment. 

Math. Helv. 59 (1984), 187-192. 

[Eva98] Evans, L.C.: Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics 

19, American Mathematical Society (1998). 

[EvGa92] Evans, L.C. and Gariepy, R.F.: Measure Theory and Fine Properties of Functions, 

Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Inc. (1992). 

[Fed69] Federer, H.: Geometric Measure Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 

Band 153, Springer, Berlin, Heidelberg, New York (1969). 

[FLM77] Figiel, T., Lindenstrauss, J. and Milman, V.D.: The Dimension of Almost Spherical 

Sections of Convex Bodies, Acta Math. 139 (1977), 53-94. 

[Fol84] Folland, G.B.: Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, Pure 

& Applied Mathematics, John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, 

Toronto, Singapore (1984). 

[Gal88] Gallot, S.: Inégalités isopérimétriques et analytiques sur les variétés Riemanniennes, 

Astérisque 163-164 (1988), 31-91. 

[GiTr98] Gilbarg, D. and Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second 

Order, Second Edition, Revised Third Printing, Grundlehren der mathematischen 

Wissenschaften, Band 224, Springer, Berlin, Heidelberg (1998). 

[HoSp74] Hoffman, D. and Spruck, J.: Sobolev and Isoperimetric Inequalities for Riemannian 

Submanifolds, Commun. Pure Appl. Math. 27 (1974), 715-727.

Literaturverzeichnis 60 

[HuPo99] Huisken, G. and Polden, A.: Geometric Evolution Equations for Hypersurfaces, 

Calculus of Variations and Geometric Evolution Problems, Springer Lect. Notes 

Math. 1713, Berlin (1999), 45-84. 

[Jos98] Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Second Edition, Springer, 

Berlin, Heidelberg (1998). 

[Kle92] Kleiner, B.: An Isoperimetric Comparison Theorem, Invent. Math. 108 (1992), 

37-47. 

[Rei77] Reilly, R.C.: On the First Eigenvalue of the Laplacian for Compact Submanifolds 

of Euclidean Space, Comment. Math. Helv. 52 (1977), 525-533. 

[Rin61] Rinow, W.: Die innere Geometrie metrischer Räume, Grundlehren der mathematischen 

Wissenschaften, Band 105, Springer, Berlin, Göttingen (1961). 

[Sak96] Sakai, T.: Riemannian Geometry, American Mathematical Society (1996). 

[Scm48] Schmidt, E.: Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild, sowie 

die isoperimetrische Ungleichung der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen 

Geometrie I, Math. Nachr. 1 (1948), 81-157. 

[Scm49] Schmidt, E.: Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild, sowie 

die isoperimetrische Ungleichung der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen 

Geometrie I, Math. Nachr. 2 (1949), 171-244. 

[Scw80] Schwartz, H.A.: Beweis des Satzes, daß die Kugel kleinere Oberfläche besitzt 

als jeder andere Körper gleichen Volumens, Ges. Math. Abh., Berlin (1980), 

327-340. 

[ScZi90] Schroeder, V. and Ziller, W.: Local Rigidity of Symmetric Spaces, Trans. Amer. 

Math. Soc. 320, No. 1 (1990), 145-160. 

[Sim83] Simon, L.: Lectures of Geometric Measure Theory, Cent. Math. Anal., Camberra 

(1983). 

[Ste82] Steiner, J.: Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, Ges. Werke 

Berlin 2 (1982), 77-91. 

[Wei26] Weil, A.: Sur les surfaces a courbure negative, C.R. Acad. Sci., Paris 182 (1926), 

1069-1071. 

[Whi91] White, B.: Existence of Smooth Embedded Surfaces of Prescribed Genus that 

Minimize Parametric Even Elliptic Functionals on 3-Manifolds, J. Differ. Geom. 

33, No. 2 (1991), 413-443.

Erklärung 

Hiermit erkläre ich, die vorliegende Arbeit selbständig und unter ausschließlicher Verwendung 

der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt zu haben. 

Tübingen, im Februar 2004

Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?