Von den Zufallszahlen und ihrem Gebrauch - Institut für Mathematik ...

Von den Zufallszahlen und ihrem Gebrauch
Johann Baumeister ∗ und Tania Garfias Macedo †
(Kursleiter)
unter Mitwirkung von
Paul Dietze, Pauline Eberts, Lara Felten, Miriam Gerharz
Tim Hahn, Kim Hellriegel, Alexander Hoffmann, Anton Kohrt
Philipp Kretz, Rozan Rosandi, Jan Rühl, Julia Schneider
Clara Schüttler, Julia Weber, Saskia Wirfs, David Zimnol
(Teilnehmer der Juniorakademie in Meisenheim 2011)
Im August 2011
Zusammenfassung
Dies sind Aufzeichnungen, die im Rahmen eines Kurses einer Juniorakademie
zum Thema ” Von den Zufallszahlen und ihrem Gebrauch“ in Meisenheim 2011 entstanden
sind. Eine Juniorakademie ist eine Fördermaßnahme auf Bundesländerebene
für begabte Schülerinnen und Schüler der 7. und 8. Klassen.
Im Kurs wurden Erzeugungsmethoden für Zufallszahlen untersucht und Beispiele
für die Verwendung kennengelernt. Die behandelten Themen waren: Zufallsexperimente,
unfaire Würfel, Monte Carlo–Simulation, Benford-Zahlen, modulares
Rechnen, euklidischer Algorithmus, Kongruenzgeneratoren, geometrische Tests,
Sierpinski-Figuren, Simulation von Aktienkursen.
Dieser Artikel ist eine Erweiterung der Dokumentation zum Kurs, in der insbesondere
über Tests und Überlegungen, die die Teilnehmer zu Zufallsexperimenten
angestellt haben, berichtet wird. Manches von dem, was hier angeführt wird, wurde
im Kurs nur kursorisch behandelt, manches wurde ergänzt um mathematische Begründungen,
die so bei der Kenntnislage der Kursteilnehmer nicht erbracht werden
konnten. Ein weiteres Ziel dieses Artikels ist eine möglichst komplette Darlegung der
wichtigsten Literaturstellen zur Thematik der Zufallszahlen und ihrer Einordnung.
Aus dieser Zielsetzung ergibt sich ein ziemlich buntes Bild von Themen.
∗ Prof. Dr. Baumeister, Fachbereich Informatik und Mathematik, Goethe-Universität, Robert Mayer–
Str. 6–10, 60054 Frankfurt am Main, Germany, baumeist@math.uni-frankfurt.de.
† Tania Garfias Macedo, Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen, Bunsenstr.
3-5, 37073 Göttingen
1

Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
1 Einführung 3
1.1 Aus der Bibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Zufall auf dem Jahrmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Zufall: eine vorläufige Einschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Zufallszahlen und deren Ersatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Die middle square-Methode von J. von Neumann . . . . . . . . . . . . . . 9
2 (Mathematische) Wahrscheinlichkeit 11
2.1 Zufall, Ereignismenge und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Hilfsmittel zur Realisierung von Laplace-Experimenten . . . . . . . . . . . 14
2.4 Zufallsvariable, Erwartungswert und Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Determinismus, Kausalität, Berechenbarkeit und Zufall . . . . . . . . . . . 18
3 Elementare Zufallsexperimente 20
3.1 Reißzweckexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 (Unfaire) Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Zufallszahlen der Natur entnommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Flächenberechnung mit Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Exponential- und Logarithmusfunktion 28
4.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Exponential– und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Logarithmentafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Benford–Zahlen 38
5.1 Die Beobachtung von Newcomb und Benford . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Neuere Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Das Mantissengesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Anwendung: Benford und Betrüger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 Benford bei dynamischen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Elementare Arithmetik 53
6.1 Ganze Zahlen, Teilbarkeit, Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5 Modulares Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Kongruenzgeneratoren 67
7.1 Lineare Kongruenzgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 Einige verwendete Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Geometrische Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 Statistische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5 Anwendung von Zufallszahlen: One-Time-Pad . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Monte Carlo-Methode 75
8.1 Grundidee der Monte Carlo-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Simulation der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 Simulation der Aktienkurse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4 Simulation von Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.5 Simulationen von Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Sierpinski-Mengen 88
9.1 Sierpinski-Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 Fraktale und ihre Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 Konstruktion mit Hilfe des ” Chaos-Spiel-Verfahrens“ . . . . . . . . . . . . 90
9.4 Konstruktion mit Hilfe eines iterierten Funktionssystems . . . . . . . . . . 91
9.5 Variationen des Sierpinski-Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Literatur 93
Weitere Quellen 97
Stand: 21. November 2011 1 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Vorwort
Die Beschäftigung mit dem Zufall und Zufallsexperimenten hat eine lange Geschichte. Sie
beginnt mit dem Werfen von Losen in der Antike, fndet seine Fortsetzung bei Jahrmarkttricks
beim Würfelspiel, endet in einer theoretischen Behandlung des Zufalls nicht zuletzt
in der Konsequenz der Entwicklungen in der Quantenmechanik und ist nun präsent in
fast jeder Disziplin der Mathematik. In der Finanzmathematik, wie sie sich in den letzten
beiden Jahrzehnten entwickelt hat, ist der Zufall und seine Realisierung zentral. Eine
Methode, für die die Bereitstellung von Zufallszahlen essentiell und in den Naturwissenschaften
von Bedeutung ist, ist die Monte Carlo–Methode.
Zufallszahlen sind aus vielen Anwendungsgebieten heute nicht mehr wegzudenken:
Computerspiele wären schnell langweilig, wenn nicht durch eingebauten Zufall der Ablauf
innerhalb des Spiels bzw. von Spiel zu Spiel variiert würde. Um die Sicherheit bei der
Übertragung von Daten im Internet zu gewährleisten, werden kryptografische Programme
verwendet, die sichere Zufallszahlen verwenden. Das Binomialmodell zur Ermittlung
von fairen Optionspreisen bedient sich des Zufalls in der Simulation des Auf und Ab von
Aktienkursen.
Viele Einträge im Internet zum Thema ” Zufallszahlen“ sind aufgelistet unter dem
Stichwort echte Zufallszahlen. Doch kann es echte Zufallszahlen geben? Oder anders gefragt,
wie soll man solche Zahlen in ihrer Echtheit/Verwendbarkeit bewerten, und wie
kann man brauchbare Zufallszahlen erzeugen? Bereits vom Pionier der Computertechnik,
John von Neumann, gab es ein erstes Verfahren zur Konstruktion von Zufallszahlen auf
einem Rechner. Aber er schreibt auch: Any one who considers arithmetical methods of
producing random digits is of course in a state of sin.
Die ersten aufklärenden Überlegungen sollten einer ganz einfachen Fragestellung gelten:
was ist ein Zufallsexperiment? Dies sind Experimente, die unterschiedliche Ergebnisse
haben können, deren Ausgang vor der Ausführung aber nicht vorausgesagt werden kann.
Als Beispiele für Zufallsexperimente sehr unterschiedlicher Natur können zur Veranschaulichung
etwa herangezogen: Münzwurf, Werfen von Reißzwecken, Würfeln, Ziehen einer
Kugel aus einer Urne, Zeitpunkt des Zerfalls eines radioaktiven Materials, 2. Stelle nach
dem Komma der Laufzeit eines Programms auf dem Rechner. Man kann sich unschwer
vorstellen, dass jedes dieser angeführten Experimente zu einem Zufallsgenerator umdefiniert
werden kann. Einen komplizierteren Zufallsmechanismus erhält man, wenn man ein
Zufallsexperiment mehrmals unabhängig voneinander wiederholt. Nun steht die Frage im
Raum, was ” unabhängig“ heißen soll. Alle diese Umstände und Fragen werden wir im
Folgenden vertiefen.
Zentral für das Verständnis der ” algebraischen Erzeugung“ von (Pseudo-)Zufallszahlen
ist die Arithmetik in den ganzen Zahlen. Die Tatsache, dass die Division in den ganzen
Zahlen nicht uneingeschränkt möglich ist, kann erfolgreich dabei verwendet werden. Die
Hilfsmittel für die algebraischen Überlegungen, die bereitgestellt werden müssen, sind
Teilbarkeit, Division mit Rest und euklidischer Algorithmus. Die Möglichkeiten der Erzeugung
von Zufallszahlen berühren auch das Thema ” Benfordzahlen“, das einige besonders
reizvolle Facetten bereithält.
Die Frage der Bewertung von Zufallszahlen kann auf unterschiedliche Weise erfolgen:
statistisch, geometrisch, indirekt durch Beobachtung von Experimenten. Ein Beispiel, das
dabei Verwendung finden kann, stellt das Sierpinski-Dreieck dar, dem wir einen Abschnitt
widmen. Als Grundlagen für die Zufälligkeitstest benötigen wir den Wahrscheinlichkeitsbegriff
für endliche Ereignisräume und Verteilungsstests.
Stand: 21. November 2011 2 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1 Einführung
1.1 Aus der Bibel
Gott würfelt nicht !
Albert Einstein
Und da sie ihn gekreuziget hatten, teileten sie seine Kleider, und warfen das
Los drum, welcher was überkäme.
(Markus-Evangelium 15,24; siehe Abbildung 1 1 )
Was heißt ” das Los werfen“, um eine Zufallsentscheidung herbeizuführen? In einer alttestamentarischen
Losentscheidung werden die zur Wahl stehenden verschiedenen Kleidungsstücke,
Namen, Zeitpunkte . . . auf ein Stück Holz, eine Tonscherbe oder etwas ähnliches
geschrieben. Diese ” Lose“ werden dann in einem Gefäß oder einem Kleidungsstück zusammen
durchgeschüttelt, bis eines herausfällt, das dann die Entscheidung herbeiführt.
Jesus hatte zwölf engste“ Jünger. Ei-
”
ner davon (Judas Ischariot) hatte Jesus
verraten und sich dann erhängt. Die anderen
elf Jünger wollten ein altes Wort aus
den Psalmen erfüllen und ihre Zahl wieder
auf zwölf erhöhen. Dazu machten sie
nach Christi Himmelfahrt eine Versammlung.
Zwei Anhänger wurden als Kandidaten
ausgewählt – Barsabbas und Matthias
– und das Gottes-Los über sie geworfen. So
wurde Matthias zwölfter Jünger.
Abbildung 1: Würfeln um die Kleider
Aus dem Alten Testament gibt es folgende
Aufzeichnung einer Zufallsentscheidung:
Mose hatte den Rat der ältesten aus 70 Mitgliedern zu bestimmen: Aus jedem der 12
Stämme wurden zunächst 6 Kandidaten ausgewählt. Aus der Schar dieser 72 Kandidaten
waren nun zwei zu eliminieren. Dazu wurden 72 Kugeln vorbereitet; 70 davon wurden
markiert, zwei blieben unmarkiert. Die Kugeln wurden in eine Urne gelegt und gemischt.
Jeder Kandidat hatte ein Kugel zu ziehen; jene beiden, die die unmarkierten zogen, wurden
eliminiert.
1.2 Zufall auf dem Jahrmarkt
” Glücksspiel“ ist ein Begriff, der viele Bereiche der Spielkultur beinhaltet. Darunter fallen
vor allem Würfelspiele und einige Kartenspiele, das Roulette, Lotto und Lotterien. Manche
Brett- oder Würfelbrettspiele können unter Vorbehalt ebenso dazugezählt werden. Beim
Glücksspiel ist der Einsatz von Geld oder Belohnungen anderer Art im Allgemeinen begleitend.
Zum einen wird um Geld gespielt, zum anderen müssen Lose gekauft werden, um an
den großen Gewinn, sei es Bargeld oder Sachwerte, zu gelangen. Beim Glücksspiel steht die
Zufallskomponente im Vordergrund. Der Ausgang des Spiels ist nicht vom Können oder
einer bestimmten Spielstrategie abhängig, sondern vom Fall der Würfel, dem Drehen der
1 Bild von U. Leive
Stand: 21. November 2011 3 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.3 Zufall: eine vorläufige Einschätzung
Lostrommel, dem Kauf eines Loses, dem Lauf einer Roulettekugel oder dem Mischen und
Verteilen von Karten. Über Gewinn oder Verlust entscheidet also das ” Glück“ und nicht
der ” Verstand“.
Im Mittelalter gehörten Jahrmärkte zu den wichtigsten Ereignissen in den sich politisch
verselbständigenden Städten. Das dazu notwendige Recht, einen Jahrmarkt zu halten wurde
meistens vom Kaiser, König, Grafen oder sonstigen Landesherrn an einen Ort - oft im
Rahmen des Stadtrechts - verliehen. Zu den Jahrmärkten reisten häufig auch Schausteller
des Fahrenden Volkes an: Bärenführer, Gaukler, Wahrsager, Quacksalber, Musikanten.
Amts-Blatt der Königlichen Regierung zu Potsdam und der Stadt Berlin/Den 21. November
1851, Seite 364, No. 48.
Polizei-Verordnung betreffend den Verkehr auf den Berliner Jahr- und Weihnachtsmärkten
.
§ 3. Glücks- und Würfelbuden sind verboten.
.
Selbst großen Mathematikern sind bei Jahrmarktspielen Fehler unterlaufen. Bei G.W.
Leibniz 2 handelt es sich um das Augensummenparadoxon. Er hat sich bei der Analyse
dieses Spiels einen kleinen Schnitzer erlaubt:
” Es sei ihm unbegreiflich, wie ihm erfahrene Würfelspieler versicherten, warum bei zwei Würfeln
die Augensumme 9 wahrscheinlicher sei als die Augensumme 10, aber bei drei Würfeln die Augensumme
10 wahrscheinlicher als die Augensumme 9. Denn schließlich könne die Summe 9 wie
die Summe 10 in beiden Fällen auf gleich viele Arten anfallen, also müssten die Augensummen
in beiden Fällen gleich wahrscheinlich sein.“ . Leibniz hat übersehen, dass die Reihenfolge
der Summanden hier wichtig ist. Wir analysieren das Spiel später.
Ein Jahrmarktspiel, das nach J. Bertrand Bertrandsches Schachtelparadoxon 3
genannt wird, ist folgendes:
Drei nicht unterscheidbare Schachteln enthalten zwei Goldmünzen (1. Schachtel),
zwei Silbermünzen (2. Schachtel) und eine je eine Gold- und eine Silbermünze
(3. Schachtel). Jetzt entnimmt man einer Schachtel eine Münze. Der
Veranstalter des Spiels bietet nun eine Wette an: Die zweite Münze in der
Schachtel ist aus demselben Metall!
Man ist versucht, zu vermuten, dass die Wette fair ist, da man geneigt ist, zu vermuten,
dass die Beschaffenheit der zweiten Münze gleichwahrscheinlich ist. Dies ist nicht der Fall.
Analysieren wir die Situation, dass Gold gezogen wurde. Wir vermuten richtig, dass nicht
aus der Schachtel mit den zwei Silbermünzen gezogen wurde und schließen daraus irrig,
dass mit Wahrscheinlichkeit 1 beide Münzen in der Schachtel, aus der gezogen wurde, aus
2
Gold sind. In Wahrheit sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 beide Münzen aus Gold,
3
weil in zwei von 3 Fällen die beiden Münzen in der Schachtel aus Gold sind.
1.3 Zufall: eine vorläufige Einschätzung
Hier reden wir über den Zufall eher aus einer historischen Betrachtungsweise heraus. Im
Abschnitt 2 stellen wir die Begriffe bereit, die wir im Folgenden benötigen.
2 G.W. Leibniz, 1646-1716
3 Joseph Bertrand, 1822-1900
Stand: 21. November 2011 4 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.3 Zufall: eine vorläufige Einschätzung
Zufall, Ungewißheit, Glück, Pech – sind das nicht ziemlich diffuse Begriffe? Eher
aus dem Bereich der Wahrsager als dem der Wissenschaftler? Eine wissenschaftliche Untersuchung
des Zufalls ist möglich, und sie begann mit der Analyse von Glücksspielen
durch B. Pascal, C. Huygens, Jakob Bernoulli und P. Fermat 4 . Diese Analyse hat den
Wahrscheinlichkeitskalkül hervorgebracht, der lange für einen unbedeutenden Zweig der
Mathematik gehalten wurde. Einen ersten Erfolg erzielte der Kalkül in der statistischen
Mechanik durch Untersuchungen von L. Boltzmann und J.W. Gibbs 5 : Die ” Menge von
Zufall“, die in einem Liter Luft ist, wird durch den Begriff der Entropie gemessen. Der
nächste große Erfolg ist mit der Entwicklung der Quantentheorie verknüpft. Heutzutage
ist der Zufall in wissenschaftlichen Theorien fast überall präsent: Rauschen in der
Signalübertragung, Ausbreitung von Epidemien, Entwicklung von Börsenkursen, chaotisches
Verhalten von nichtlinearen Systemen, Spieltheorie, Wetterprognosen, . . . .
Wenn man von Wahrscheinlichkeiten spricht, so tut man dies immer im Zusammenhang
mit irgendwelchen Ereignissen, deren gemeinsames Kennzeichen darin besteht, dass sie –
unter gegebenen Umständen – eintreten können, aber nicht eintreten müssen.
Zufällige Ereignisse begegnen uns als Ergebnisse von Versuchen, wobei ” Versuch“
als Realisierung einer Gesamtheit von wohldefinierten Bedingungen (Versuchsanordnungen)
verstanden werden kann. Da wir unter ” Versuch“ so unterschiedliche Objekte wie
medizinische Untersuchung, physikalischer Versuch, Intelligenztest, ” Gedankenspielerei“,
Glückspielrunde, . . . verstehen wollen, wollen wir bei dieser verbalen Beschreibung bleiben.
Statt Versuch sagen wir häufig auch Experiment und sehen darin oft eine reale
Untersuchung, einen Test, eine Probe, ein Gedankenexperiment, eine Beobachtung.
Wichtig ist nun, dass wir annehmen wollen, dass ein Versuch/Experiment – wenigstens
gedanklich – bei gleichbleibender Versuchsanordnung wiederholbar ist. Ist dann die Versuchsanordnung
so, daß sie den Ausgang eines Versuchs nicht eindeutig festlegt, so sind
bei Wiederholung des Versuchs unterschiedliche Ausgänge möglich. Da wir die den Ausgang
determinierenden Bedingungen nicht kennen oder nicht nennen können, können wir
nicht vorhersagen, welches der Ausgang bei der nächsten Durchführung des Versuchs sein
wird. Wir nennen daher solche Versuche Zufallsexperimente oder zufällige Ereignisse,
ihren Ausgang zufällig. ” Zufall“ dient also hier zur Beschreibung einer Situation, in
der wir auf Grund fehlender Information den Ausgang eines Versuchs nicht vorhersagen,
nicht wissen können. Der Begriff der ” Wahrscheinlichkeit“, der noch einzuführen ist, dient
dazu, dieses Nichtwissen bzw. Nichtwissenkönnen theoretisch in den Griff zu bekommen
und zu quantifizieren.
” Der Titel dieses Essays ist eine Frage: Ist alles vorherbestimmt? Die Antwort lautet
ja. Doch sie könnte genausogut nein lauten, weil wir niemals wissen können, was
vorherbestimmt ist.“ 6
Das ” Ja“ soll heißen, dass wir in fast allen Fragestellungen, wofür wir ein mathematisches
Modell haben, in der Lage sind, Gleichungen hinzuschreiben, in denen komplizierte
Phänomene codifiziert sind und deren Lösung uns Vorhersagen erlauben (Hirntätigkeit,
Wetter, . . . ). Das ” Nein“ bedeutet, dass wir meist nicht in der Lage sind, diese (vielen)
Gleichungen zu lösen oder in ihnen eingearbeitete Anfangsbedingungen zu bestimmen.
Was Wahrscheinlichkeit ist, glaubt jeder zu wissen, es aber zu formulieren, fällt auch
jedem schwer, erst recht schwer ist es im Allgemeinen, die Wahrscheinlichkeit für das
4 Blaise Pascal, 1623-1662, Christian Huygens, 1629-1695, Jakob Bernoulli, 1654-1705, Pierre de Fer-
mat, 1607-1665
5 Ludwig Boltzmann, 1844-1906, Josiah Willard Gibbs, 1839-1903
6 Aus: Stephen W. Hawking, Einsteins Traum, Rowohlt, 1993
Stand: 21. November 2011 5 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.4 Zufallszahlen und deren Ersatz
Eintreten eines Ereignisses anzugeben oder auszurechnen. Eine zentrale Tatsache der
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist, dass wir ein Experiment kennen, das uns diesen Zufall so
klar vor Augen führt: der Münzwurf. Bei einer großen Anzahl von Münzwürfen mit einer
fairen (symmetrischen) Münze wird die Anzahl von Kopf (der Zahl) etwa bei 50 % liegen.
Auf diese Weise ergibt eine lange Reihe von Münzwürfen ein nahezu sicheres Ergebnis,
obwohl der Ausgang eines einzelnen Wurfes vollständig ungewiss ist. Dieser Übergang von
Ungewissheit zu einer Fastgewissheit, wenn wir eine lange Reihe von Ereignissen (oder
große Systeme) beobachten, ist ein wesentliches Thema beim Studium des Zufalls.
Als Zufallsexperimente können wir betrachten:
Münzwurf Ausgänge: Kopf oder Zahl.
Würfelwurf Ausgänge: Zahlen (Augen) 1, . . . , 6.
Hier könnte eine Beschreibung der Versuchsanordnung so aussehen: Der Würfel ist
ein regelmäßiger Körper mit 6 identischen und glatten Seitenflächen, beschriftet mit
den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ein Versuch bestehe aus einem Wurf (Fallenlassen aus der
geschlossenen Hand) aus einer Höhe von 10 cm auf einen ebenen Tisch. Der Versuch
ist beendet, sobald der Würfel zur Ruhe gekommen ist. Seine obenliegende Fläche
legt mit der dort abzulesenden Zahl das Versuchsergebnis fest.
Urnenexperiment Ziehen von numerierten Kugeln (auf gut Glück) aus einer Urne. Ausgänge:
Nummern der gezogenen Kugeln.
Kartenspiele Ausgänge: Kartenverteilung oder Spielpunkte.
Kegeln Ausgänge: Anzahl der gefallenen Kegel.
Telefonstatistik Erfassung der Anzahl der Anrufe bei der Telefonvermittlung von 12.00
– 12.59 Uhr. Ausgänge: Zahlen 0, 1, 2, . . . .
Die drei Experimente Münzwurf, Würfelwurf, Urnenexperiment dienen häufig als Beispiel
für ein Zufallsexperiment. Damit können wir reale Situationen erfassen und wesentliche
Merkmale von zufälligen Ereignissen verdeutlichen.
1.4 Zufallszahlen und deren Ersatz
Das Thema dieser Ausarbeitung sind Zahlen, die als ” echte“ Zufallszahlen, als Pseudooder
Quasi-Zufallszahlen betrachtet werden können. Die zugehörigen Erzeugungsmechanismen
nenen wir (Pseudo-)Zufallszahlen-Generatoren (random number generator
(RNG)). Was ist die Motivation für das Bestreben, (Pseudo-)Zufallszahlen zu
erzeugen? Warum zu Generatoren von Pseudozufallszahlen greifen, also zu Generatoren,
die nicht den ” echten Zufall“ verwenden? Es sind die vielfältigen Anwendungsbereiche,
die nach Zufallszahlen fragen (siehe [Wei04]):
Experimente, die Gerechtigkeit produzieren, Erzeugung zufälliger Ereignisse
entsprechend statistischer Vorgaben, Verfahren, die die Echtheit von Meßdaten
überprüfen, kryptographische Anwendungen (Erzeugung von Schlüsselzahlen,.
. . ), Monte Carlo Simulation (insbesondere in Computational Finance),
Simulation von Abläufen der realen Welt (Ampelschaltungen), Globale Optimierung,
Spiele (wo taucht der Bösewicht auf?),. . . .
Der Wunsch, zufällige Ereignisse zu generieren, ist zwar keine ausschließliche Erscheinung
des Computerzeitalters, er wurde aber durch die Rechenmöglichkeiten doch stark in den
Vordergrund gerückt. Zur Geschichte:
Stand: 21. November 2011 6 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.4 Zufallszahlen und deren Ersatz
• 1938: Kendall und Babington-Smith erzeugen mit einer schnell drehenden Scheibe
100 000 zufällige Ziffern.
• Seit 1940/50 werden numerische und arithmetische Verfahren verwendet, um Zufallszahlen
zu generieren.
• 1957: Das 1. ERNIE-Projekt (Electronic Random Number Indicator Equipment)
wurde durch Sidney Broadhurst, Tommy Flowers and Harry Fensom realisiert. Es
wurden mit Hilfe von Vakuumröhren bis zu 50 Zufallsziffern pro Sekunde erzeugt.
• 1955: Die Rand-Corporation veröffentlicht ein Buch mit ca. 1 Million Zufallsziffern.
• 1983: Miyatake baut eine Vorrichtung, um durch das Zählen von Gammastahlen
zufällige Ergebnisse zu generieren.
• 1995 Marsaglia produziert eine CD-ROM, auf der ca. 4.8 Milliarden Zufallszahlen
gespeichert sind. 7
Pseudozufallszahlen sollen Zahlenfolgen sein, die ” zufällig“ sind, d.h. die Eigenschaften
besitzen, die dem echten Zufall nahe kommen. Also ist man gezwungen, den Zufall
deterministisch möglichst gut nachzustellen. In der Umsetzung tun wir es mit Verfahren,
die gewissen Forderungen unterliegen; wir wollen sie Algorithmen nennen.
Ein Algorithmus 8 für eine vorgegebene bestimmte Art von Aufgaben ist eine
endliche Abfolge von wohldefinierten, ausführbaren Vorschriften, die bei Abarbeitung,
ausgehend von einem Eingangszustand (Input) nach einer endlichen
Anzahl von Verarbeitungsschritten einen Ausgangszustand (Output) bestimmen,
der als Lösung der durch den Eingangszustand charakterisierten Aufgabe
angesehen werden kann.
Algorithmen sind unabhängig von einer konkreten Programmiersprache und einem konkreten
Computertyp, auf denen sie ausgeführt werden. Die ältesten Rechenvorschriften,
die sich Algorithmen nennen dürfen, gehen auf Theon und Euklid zurück9 ; siehe Abschnitte
4.3 und 6.4.
Das Problem jeden Vorgehens, Zufallszahlen (auf dem Computer) mittels eines Algorithmus
zu erzeugen, ist offenbar, dass Erzeugen“ und Zufall“ ein Widerspruch in
” ”
sich ist. Da der Determinismus schon per Definition eine Eigenschaft eines Algorithmus
ist, steht jeder Nachfolger einer Zufallszahl deterministisch fest. Für die oben genannten
Anwendungsgebiete genügen jedoch diese Pseudozufallszahlen“. Wir lassen das Präfix
”
” Pseudo“ meist weg.
Was soll man unter einer Folge von Zufallszahlen verstehen? Der österreichische Mathematiker
von Mises 10 versuchte es in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts mit fehlender
Vorhersehbarkeit: Eine 0-1-Sequenz sollte als zufällig gelten, wenn es keine Regel gibt, die
an irgendeiner Stelle das nächste Glied aus den vorhergehenden mit einer Wahrscheinlichkeit
größer als 50 Prozent prognostiziert. Für den Münzwurf bedeutet das: Systeme,
die dem Spieler einen Vorteil versprechen, existieren nicht. So einleuchtend die Definition
klingt, hat sie doch einen Haken. Von Mises konnte mathematisch nicht präzisieren, was
er unter einer Regel verstand. Sein Ansatz blieb Stückwerk.
7 random.org brüstet sich, seit 1998 857 Milliarden Zufallsbits, also zufällige Nullen und Einsen, erzeugt
zu haben.
8 Die Bezeichnung leitet sich aus dem Namen Al–Khwarizmi (Al–Khwarizmi,780?-850?), einem der
bedeutensten Mathematiker des anfangenden Mittelalters, ab.
9 Theon, um 350 v.Chr., Euklid, um 300 v.Chr.
10 Richard von Mises, 1883-1953
Stand: 21. November 2011 7 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.4 Zufallszahlen und deren Ersatz
Erst in den sechziger Jahren des letzten Jahrhunderts fanden Kolmogorow 11 und Chaitin
unabhängig voneinander mit einer speziellen Komplexitätstheorie einen Ausweg: Eine
Zahlenfolge ist ihrer Meinung nach zufällig, wenn sie sich nicht mit einer kürzeren Zeichensequenz
beschreiben lässt. Die Folge 11111. . . etwa kann man knapp ausdrücken mithilfe
des mit Nullen und Einsen geschriebenen Computerbefehls für Schreibe lauter Einsen,
die Folge 01010101. . . mit einem entsprechenden wiederhole 01 . Bei Zufallsfolgen darf es
keine solche Umschreibung in Kurzform geben. Wir verfolgen dies nicht weiter, sondern
geben uns zunächst mit einer ” naiven“ Vorstellung von Zufälligkeit zufrieden.
Um die umständliche Verwendung von Tabellen
(siehe Tabelle 2) zu vermeiden, werden Zufallszahlen
verwendet, die im Allgemeinen durch
Iterationen nach einer Formel ad hoc hergestellt
werden. Die so erzeugten Zufallszahlen haben
den Vorteil, dass sie konstruierbar sind, und haben
den Nachteil, dass sie vollkommen deterministischen
Charakter besitzen. Alles, was wir
hier zunächst zur Sprechweise ” Zufallszahl“ sagen
können, ist, dass jedenfalls kein Muster, keine
Struktur in der Folge erkennbar sein soll. Die
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik stellt
Hilfsmittel bereit, solche Folgen auf ihre Zufälligkeit
zu testen.
Im Lichte dieser Begriffsbildungen können
wir nun Forderungen formulieren, die an einen
Zufallszahlen-Generator zu stellen sind. Er soll
Zahlen erzeugen, die folgende Eigenschaften haben:
Abbildung 2: RAND-Tabelle
Gleichverteilung Die Zufallsfolge genügt der Gleichverteilung in [0, 1] . Diese Einschränkung
kann man überwinden, wir werden später darauf zurückkommen.
Unvorhersagbarkeit Kennt man eine Zufallszahl (Vorgänger), sollte die nächste konstruierte
Zufallszahl (Nachfolger) nicht vorhersagbar sein. Dies bedeutet, dass der
Konstruktionsmechanismus komplex genug ist, um zu vermeiden, dass das Konstruktionsprinzip
abgelesen werden kann.
Reproduzierbarkeit Um die Fehlersuche zu erleichtern und verschiedene Simulationen
einfacher miteinander vergleichen zu können, ist es wichtig, dass eine einmal erzeugte
Zufallsfolge immer wieder reproduziert werden kann.
Bei Spielen (der Bösewicht soll nicht immer zur selben Zeit auf der Bildfläche erscheinen)
und in der Kryptologie steht dem gegenüber die Forderung nach Irreproduzierbarkeit.
In der Kryptographie ist diese Forderung ” unverzichtbar“.
Effizienz Dazu kommen die Forderungen, dass der Generator schnell ist und möglichst
wenig Speicherplatz auf dem Computer belegt.
Wie soll man nun gute und weniger gute Generatoren auseinanderhalten? Klar, indem
man neben der ” Ausschöpfung“ des zur Verfügung stehenden Zahlraumes [0, 1] die
obigen Forderungen abprüft. Dies geschieht im Allgemeinen mit theoretischen und empirischen
Tests für die Güte von Generatoren. Theoretische Tests setzen am Generator
11 A.N. Kolmogorow, 1903-1987
Stand: 21. November 2011 8 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.5 Die middle square-Methode von J. von Neumann
selbst an, empirische Tests nehmen sich die erzeugten Zahlenfolgen vor. Wir gehen auf
die Kriterien Gleichverteiltheit, Unkorreliertheit später ein, die Effizienz übergehen wir
weitgehend.
Bereits 1955, als Computer noch ” neu“ waren, veröffentlichte die RAND-Corporation
ein Buch mit einer Million Zufallsziffern. Darin wird die Vorgehensweise beschrieben, wie
man zu diesen Zufallszahlen kam: Die Zufallszahlen wurden durch ” Randomisierung“ einer
Grundtabelle erzeugt, die mit einer elektronischen Roulettscheibe generiert wurde.
Eine Pulsquelle mit zufälliger Frequenz wurde etwa einmal pro Sekunde von einem Puls
konstanter Frequenz durchlaufen. Schaltkreise leiteten den Puls durch einen fünfstelligen
Binärzähler. Die Anordnung entsprach im Prinzip einer Roulettscheibe mit 32 Plätzen,
die pro Versuch durchschnittlich 3000 Umdrehungen machte und eine Zahl pro Sekunde
produzierte. Ein Binär/Dezimal-Konverter wandelte 20 der 32 Zahlen um, der Rest
wurde verworfen und behielt nur die letzte Stelle der zweistelligen Zahlen. Diese letzte
Stelle steuerte einen IBM-Lochkartenstanzer, der schließlich eine Lochkartentabelle mit
Zufallsziffern ausgab. Der Hauptteil des Buches umfasst die ” Tabelle der Zufallsziffern“.
Sie werden in Gruppen zu je fünf Ziffern aufgelistet.
Wir erwarten, dass die erste Ziffer jedes Blockes ebenfalls zufällig ist. Diese ” Zufälligkeit“
der ersten Ziffer – in Anbetracht des kleinen Ausschnitts der Zufallstabelle – ist nicht sehr
ausgeprägt ist. Wir erwähnen diese Fragestellung, da wir uns noch ausführlich damit
beschäftigen wollen.
1.5 Die middle square-Methode von J. von Neumann
Eine erste Realisierung der Pseudozufallserzeugung
bestand in der Nutzung der Dezimalziffern
transzendenter Zahlen. Die Zahl π wurde
1873 mit 703, 1960 mit 100 000 und 1986 mit
10 7 Dezimalstellen berechnet. Die Analyse ergab,
dass kein signifikanter Mangel zu erkennen
war, was die Zufälligkeit der Dezimalstellen hinsichtlich
Gleichverteilung in 0, 1, . . . , 9 betrifft.
Da die Algorithmen zur Berechnung transzendenter
Zahlen in der Regel sehr kompliziert sind,
werden in der Praxis meist andere Algorithmen
benutzt.
i zi ui := 0.zi z 2 i
0 7182 − − − 51 5811 24
1 5811 0.5811 33 7677 21
2 7677 0.7677 58 9363 29
3 9363 0.9363 87 6657 69
. . . . . . . . . . . .
12 0012 0.0012 00 0001 44
13 0001 0.0001 00 0000 01
14 0000 0.0000 00 0000 00
. . . . . . . . . . . .
Einer der ältesten Generatoren ist die Abbildung 3: Middle-Square
Middle-Square-Methode, die um 1940 von
von J. von Neumann und S.M. Ulam im Rahmen
des Los-Alamos-Projekts zur Entwicklung der Wasserstoffbombe für Computer-
Simulationen eingesetzt wurde12 ; wir kommen im Rahmen der Monte Carlo-Simulation
auf dieses Projekt zurück. Die middle square-Methode wird wie folgt durchgeführt wird:
Wähle eine 4-stellige Zahl (Startwert), quadriere sie, man erhält eine höchstens
8-stellige Zahl. Ist das Ergebnis nicht 8-stellig, füllt man sie links mit Nullen
auf 8 Stellen auf. Die mittleren 4 Ziffern wählt man nun als erste Zufallszahl
und als neuen Startwert für das Vorgehen.
12 John von Neumann, 1903-1957, S.M. Ulam, 1909-1984
Stand: 21. November 2011 9 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

1.5 Die middle square-Methode von J. von Neumann
Ist man ” unvorsichtigt“ bei der Wahl des Startwertes, bekommt man eine nicht sehr
brauchbare Folge. Etwa erhält man mit dem Startwert 8441:
8441, 2504, 2700, 2900, 4100, 8100, 6100, 2100, 4100, 8100, . . . .
Es ist sogar noch ” schlimmer“, wie das Beispiel in der Abbildung 3 andeutet: die ersten
Schritte des Middle-square-Algorithmus scheinen brauchbare Zufallszahlen zu liefern,
die Fortsetzung bei i = 12 zeigt aber, dass die Iteration bei der ” Zufallszahl“ Null endet.
In der Tat tendiert der Algorithmus in vielen Fällen dazu, bei Null zu enden. Also
scheint der Algorithmus unbrauchbar zu sein, Zufallszahlen zu erzeugen. Anderenfalls ist
das obige kurze Stück 8100, 6100, . . . , 8100 das periodische Stück einer doch recht langen
nichtperiodischen Zahlensequenz, die mit dem Startwert 6239 beginnt; man rechne dies
nach.
Bibliographische Anmerkungen
Die hier vorgestellten Überlegungen sind so allgemeiner Natur, dass Verweise nahezu
unnötig sind. Algorithmen sind das Werkzeug der Mathematik und Informatik. Eine schon
etwas in die Jahre gekommene, aber immer noch topaktuelle dreibändige Monographie
dazu ist das Werk von D.E. Knuth [49].
Zu einer populärwissenschaftlichen Diskusion der Frage des Zufalls und der Zufallsfolgen
siehe etwa [Zei00].
Von der Verwendung des middle square–Generators ist abzuraten, weil seine Periodenlänge
im Allgemeinen sehr klein ist. Interessanterweise gibt es Modifikationen hiervon,
die Knuth als muddle square–Generator bezeichnet. In Bemerkung 7.10 kommen mit dem
Twister-Generator auf eine solche Modifikation zurück.
Stand: 21. November 2011 10 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2 (Mathematische) Wahrscheinlichkeit
Eine sehr kleine Ursache, die uns entgehen mag, bewirkt
einen beachtlichen Effekt, den wir nicht ignorieren können,
und wir sagen dann, dass dieser Effekt auf Zufall beruht
Henri Poincaré, 1903
Hier skizzieren wir die Begriffe, die wir aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie
für die Diskussion unserer Ergebnisse benötigen. Beispiele für die Begriffe führen wir hier
im Allgemeinen nicht an, sie folgen in ausreichender Auswahl in den nächsten Abschnitten.
2.1 Zufall, Ereignismenge und Wahrscheinlichkeit
Wie reden wir über den Zufall? Wir wollen uns nicht lange dabei aufhalten. Mögliche
” Definitionsschnipsel“ sind:
• Wenn im Bereich der Geschehnisse, die im strengen Sinn wegen etwas eintreten und
deren Ursache außer ihnen liegt, etwas geschieht, das mit dem Ergebnis nicht in eine
Deswegen-Beziehung zu bringen ist, dann nennen wir das zufällig (Aristoteles) 13
• Zufall ist das Eintreten unvorhergesehener und unbeabsichtigter Ereignisse.
• Das, wobei unsere Rechnungen versagen, nennen wir Zufall (Albert Einstein).
• Jemandem fällt etwas (unverdientermaßen) zu.
Die Spannung bei der Verwendung des Zufalls resultiert wesentlich aus der naturwissenschaftlichen
Sicht vom Eintreten von Ereignissen: das Kausalitätsprinzip lässt ” Nicht–
Determiniertes“ nicht zu; siehe unten. Ein Ausweg ist, dass wir unterstellen, die Umstände
(Anfangsbedingungen) des Greifens von naturwissenschaftlichen Gesetzen nicht vollständig
kennen zu können. Beispiele für das ” Wirken von Zufall“ sind etwa:
• Ergebnis beim Münzwurf
• Eintreten von Augenzahlen beim Würfeln
• Radioaktiver Zerfall
• Gesund trifft auf krank in der U-Bahn
• Ein Blatt fällt von einem Baum zu Boden, landet es auf der Voderseite oder Rückseite?
• Männlicher oder weiblicher Nachwuchs
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet man so genannte Zufallsexperimente
(Lottoziehung, Würfeln, Ergebnis einer Befragung); im ersten Kapitel haben wir schon
darüber geredet. Bei all diesen Experimenten gibt es eine Menge möglicher Ereignisse,
üblicherweise mit dem griechischen Großbuchstaben Omega bezeichnet:
Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn} .
Ω ist die Ereignismenge, jedes ωi heißt ein Elementarereignis. Eine Teilmenge von Ω
heißt ein zusammengesetztes Ereignis.
13 Von Aristoteles (384-322 v. Chr.) ist auch überliefert (Quelle: [72], S. 183): ” . . . Alle Gebilde, bei deren
Entstehen sich alle gerade so ergeben habe, wie es auch ein zweckbestimmtes Werden hervorgebracht
haben würde, hätten sich nun am Leben erhalten können, da sie dank dem blinden Zufall einen lebensdienlichen
Aufbau besessen hätten. Das Übrige aber sei zugrunde gegangen und gehe stets zugrunde.“
Stand: 21. November 2011 11 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.2 Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Nun gehen wir daran, das Nichtwissenkönnen des Ausgangs eines Zufallsexperiments
zu quantifizieren. Jedem Ereignis soll eine Zahl aus [0, 1] zugeordnet werden, die uns gestattet,
die Unsicherheit über den Ausgang anzugeben: 1 sollte für absolute Sicherheit, 0
für vollständige Unsicherheit stehen.
Als Maßzahl für die Chance für das Eintreten eines Elementarereignisses ωi sehen wir
eine nichtnegative (reelle) Zahl pi an. Diese Maßzahl pi nennen wir die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten des Elementarereignisses ωi . Als Normierung betrachtet man die
Bedingung, dass sich diese Elementarwahrscheinlichkeiten zu Eins aufsummieren. Dies ist
in Übereinstimmung mit der Sichtweise, dass ein sicheres Eintreten eines Ereignisses mit
der Chance Eins bewertet wird. Damit ergibt sich die so genannte Wahrscheinlichkeitsabbildung
auf der Potenzmenge 14 POT(Ω):
P : POT(Ω) ∋ A ↦−→ P (A) := #A
#Ω
∈ [0, 1] . (1)
Wir führen ein bißchen ” Algebra“ für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten an.
Wenn das Ereignis E ⊂ Ω das zusammengesetzte Ereignis A ∪ B ist, verbinden wir
damit folgende Sprechweise: E ist das Ereigneis, dass A oder B eintritt. Was ist die
Wahrscheinlichkeit von E? Ist die Vereinigung A ∪ B disjunkt, d.h. ist A ∩ B = ∅, dann
gilt P (A ∪ B) = P (A) + P (B) . Ist die Vereinigung nicht disjunkt, dann gilt
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) .
Dies zeigt man leicht durch Abzählen der Elementarereignisse, der Term −P (A ∩ B)
berücksichtigt die Tatsache, dass die Elementarereignisse in A ∩ B durch P (A) + P (B)
doppelt gezählt werden.
Manchmal sind alle n Elementarereignisse gleichwahrscheinlich, d.h. als Ausgang des
Experiments kann jedes Elementarereignis mit der gleichen Chance eintreten. Dann ist
die Wahrscheinlichkeit pi für jedes Elementarereignis natürlich der n-te Teil der Gesamtwahrscheinlichkeit
Eins, also
pi = 1
n
für alle i = 1, . . . , n .
Man spricht dann von einem Laplace-Experiment. 15
Bemerkung 2.1 Hier haben wir nur die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit endlicher Ereignismenge
angerissen. Von sehr viel größerer Komplexität ist die Theorie bei unendlicher
Ereignismenge. Hier tritt schon die Frage auf, welche zusammengesetzte Ereignisse eine
Wahrscheinlichkeit haben sollen. Beleuchtet wird diese Frage durch die Tatsache, dass in
diesem Kontext Elementarereignisse im Allgemeinen die Wahrscheinlichkeit Null besitzen;
eine Additivität von Wahrscheinlichkeiten ist daher problematisch. Wir kommen im
Kapitel 8 darauf zurück. �
2.2 Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme
Etwas komplexer wird eine Experimentsituation, wenn man sich mehrstufige Zufallsexperimente
anschaut, wie etwa die N-malige Wiederholung eines Experiments. Die Wahrscheinlichkeiten
für das mehrstufige Experiment soll ermittelt werden aus den Wahrscheinlichkeiten,
die auf jeder Stufe bekannt seien. Eine Möglichkeit, eine solche Situation zu
14 Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M . Mit dem Symbol #M
schreiben wir die Anzahl der Elemente der Menge M auf. #M = ∞ bedeutet, dass M eine Menge mit
unendlich vielen Elementen ist.
15 P.-S. Laplace, 1749-1827
Stand: 21. November 2011 12 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.2 Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme
veranschaulichen, besteht darin, ein Baumdiagramm zu zeichnen. Ein Baumdiagramm
ist ein verzweigtes Diagramm, bei dem jeder Stufe des Zufallsexperimentes eine ” Ebene“
entspricht. Man zeichnet Blasen, die mit den jeweiligen Stufen–Ereignissen gekennzeichnet
sind und schreibt die Wahrscheinlichkeiten für ihr Eintreten an die Verbindungslinien
(siehe Abbildung 4 in Verbindung mit Beispiel 2.2). Dieses Diagramm wird von links nach
rechts gelesen.
Zwei Regeln werden zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit
des mehrstufigen Experiments herangezogen.
1. Pfadregel: Multiplikationsregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem
mehrstufigen Zufallsexperiment, die sich aus einem
Pfad des Diagramms ergibt, ist gleich dem
Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades,
der zu diesem Ergebnis führt! Begründung:
Diese Regel ist einsichtig, etwa wenn man an die
Häufigkeitsinterpretation (siehe unten) denkt.
2. Pfadregel: Additionsregel
Setzt sich ein mehrstufiges Ereignis aus verschiedenen
Pfaden eines Baumdiagramms zusammen, so
erhält man seine Wahrscheinlichkeit durch Addition
der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
4/6
2/6
6
2
1. Stufe
4/6
4/6
2/6
2/6
6
2
6
2. Stufe
2
(1. Wurf) (2. Wurf)
p= 16/36
p=8/36
p=8/36
p=4/36
Abbildung 4: Würfelexperiment
Beispiel 2.2 Wir würfeln mit einem Würfel, der
auf 4 Seiten die Zahl 2 und auf den übrigen 2 Seiten die Zahl 6 zeigt. Er wird 2-mal
geworfen. Wir machen dazu ein Pfaddiagramm; siehe Abbildung 4. An den Pfadenden
können wir Wahrscheinlichkeiten ablesen. Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine
Sechs gewürfelt wird, ergibt sich nach der ersten Pfadregel zu 4/36, die Wahrscheinlichkeit,
dass nach zwei Würfen die Augensumme 8 vorliegt, ergibt sich nach der zweiten
Pfadregel zu 8/36 + 8/36 = 16/36. �
Jetzt haben wir schon viel von Wahrscheinlichkeit gesprochen, aber was soll man sich
darunter vorstellen? Eine Möglichkeit bietet die Häufigkeitsinterpretation. Sie fasst
Wahrscheinlichkeit etwa so:
Wenn man ein Zufallsexperiment N-mal wiederholt, möge das Elementarereignis
ωi etwa mi-mal eintreten. Ist nun pi die (theoretische) Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten von ωi, so sollte die Häufigkeit mi etwa gleich N · pi sein; je
größer die Zahl der Wiederholungen N ist, desto genauer sollte das Ergebnis
mi an die erwartete Anzahl N · pi herankommen (Gesetz der großen Zahl;
siehe 8.1).
Es gibt also für das Eintreffen eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment nicht nur die
theoretische Wahrscheinlichkeit, sondern auch eine empirische Wahrscheinlichkeit. Das
Empirische Gesetz der Großen Zahlen besagt, dass je öfter man ein ” echtes“ Zufallsexperiment
durchführt, desto mehr stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses
um einen festen Wert, den der theoretischen Wahrscheinlichkeit. Für eine Zufallsvariable
bedeutet dies, dass sich der Erwartungswert der Zufallsvariablen einstellt.
Die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Reißzwecke so fällt, dass die Spitze nach oben
zeigt, oder ein Butterbrot beim Herunterfallen so fällt, dass die Butterseite unten ist,
kann nur empirisch festgestellt werden. Man möchte dabei die theoretische Wahrscheinlichkeit
p mittels einer Versuchsserie so abschätzen, dass sich die relative Häufigkeit und
p angleichen.
Stand: 21. November 2011 13 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.3 Hilfsmittel zur Realisierung von Laplace-Experimenten
2.3 Hilfsmittel zur Realisierung von Laplace-Experimenten
Ein Mechanismus, der eine Zufallswahl bewerkstelligt, die zwei Ergebnisse mit der Wahrscheinlichkeit
1 als Ausgang hat, ist der Münzwurf. Wir unterstellen also, dass wir es mit
2
einer fairen“ Münze zu tun haben, bei der jede der beiden Seiten – wir bezeichnen sie mit
”
Kopf und Zahl – die gleiche Chance hat, oben zu liegen. Wenn wir Kopf die Zahl Eins (1)
und Zahl die Zahl Null (0) zuordnen, erzeugen wir also bei mehrmaliger Wiederholung
des Münzwurfes eine Folge von Nullen und Einsen. Man nennt eine solche Folge auch
ein Wort über dem (einfachen) Alphabet {0, 1} . Für eine solches Wort haben wir die
Interpretation als Dualzahlen.
Betrachten wir etwa den Ausgang 00101011. Dieses Wort entspricht dann der Dualzahl,
die die Zahl 43 im Dezimalsystem darstellt:
0 · 2 7 + 0 · 2 6 + 1 · 2 5 + 0 · 2 4 + 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 43
Jede dieser achtstelligen Dualzahlen hat als Wahrscheinlichkeit, geworfen zu werden, den
Wert ( 1
2 )8 = 1/256, wie man sich über ein Baumdiagramm mit 8 Stufen mittels der 1.
Pfadregel überzeugt. 16
Unter ” Würfeln“ verstehen wir die zufällige Auswahl einer Zahl aus 1,2,. . . ,6. Natürlich
stellt diese Darstellung die historische Wahrheit auf den Kopf: ein Würfel mit seinen
gleichen sechs Seiten stellt die einfache Realisierung der zufälligen Auswahl von Zahlen
dar, die Gleichverteilung der Auswahl der Zahlen ist eine Konsequenz der unterstellten
geometrischen Gestalt des Würfels. 17 Heutzutage besitzt fast jedes Handy die Möglichkeit,
den Würfel zu simulieren und damit Zufallszahlen im Bereich 1, 2, . . . , 6 nachzustellen.
Beim Würfelexperiment (mit einem fairen Würfel), betrachtet als Laplace–Experiment,
haben wir als Ereignismenge
Ω = {1, . . . , 6}
und jedes Elementarereignis ωi hat die Wahrscheinlichkeit
pi = 1
6
, i = 1, 2, . . . , 6
Für das zusammengesetzte“ Ereignis, eine Eins, Zwei oder Drei zu würfeln, errechnen wir
”
eine Wahrscheinlichkeit 1 mit der zweiten Pfadregel; anschaulich ist das Ergebnis natürlich
2
klar, denn die erste Hälfte“ der Augen ist gleichwahrscheinlich mit der zweiten Hälfte“
” ”
der Augen.
Beim Würfeln mit zwei (fairen) Würfeln, betrachtet als Laplace–Experiment, haben
wir:
Ω = {(i, j) ∈ N × N|1 ≤ i, j ≤ 6} ; pij = 1
, 1 ≤ i, j ≤ 6 .
36
Kommen wir zum Augensummenparadoxon zurück, das wir im ersten Kapitel betrachtet
haben. Wir betrachten das Würfeln mit zwei Würfeln als Laplace–Experiment. Wir
unterstellen damit, dass die Würfel unterscheidbar sind und es daher einen ersten und
einen zweiten Würfel gibt. Wir haben
Ω = {(i, j) ∈ N × N|1 ≤ i, j ≤ 6},
16 Diese kleine Zahl entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass der Kracke Paul für acht Spiele der Welt-
meisterschaft den Ausgang richtig voraussagt, wenn man eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 1
2 unterstellt.
17 Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Spielwürfel
Stand: 21. November 2011 14 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.3 Hilfsmittel zur Realisierung von Laplace-Experimenten
und interessieren uns also für die Laplace–Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A9 := {(i, j) ∈ Ω|i + j = 9} , A10 := {(i, j) ∈ Ω|i + j = 10} .
Wir haben dazu A9, A10 abzuzählen. Es gilt
A9 = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)} , A10 = {(4, 6), (6, 4), (5, 5)} .
und daher
P (A9) = 4 1
=
36 9 , P (A10) = 3 1
=
36 12
Bei drei Würfeln zeigt eine einfache Aufzählung (bei entsprechender Bezeichnung)
P (A9) = 19
216 , P (A10) = 24
216 .
Modelliert man das Experiment mit zwei ununterscheidbaren Würfeln, dann hat man statt
36 Möglichkeiten nur noch 21 mögliche Ausgänge, aber kein Laplace–Experiment mehr,
da etwa die Ausgänge 1–1 und 1–2 verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben. Damit ist
der Leibnizsche Fehler nun offensichtlich.
Bei der Beschriftung eines Würfels mit den ” Augenzahlen“ 1,2,3,4,5,6 gibt es viele
Möglichkeiten. Unter diesen Möglichkeiten werden aber in der Praxis nur die so genannten
7er-Beschriftungen realisiert. Sie sind dadurch ausgezeichnet, dass die Beschriftung
zweier gegenüberliegender Seiten so gewählt wird, dass die Augensumme 7 ergibt. Darunter
haben sich genau 2 Möglichkeiten durchgesetzt. Sie sind dargestellt durch folgende
” Würfelnetze“: ⎛
3
⎝6
5
4
1 2
⎞
⎠
⎛
4
⎝6
5
3
1 2
Wie kann man mit Hilfe eines Münzwurfes einen Würfel simulieren? Hier kommen uns
die Dualzahlen zu Hilfe, denn mit einem dreifachen Münzwurf können wir die Dualzahlen
000, 001, 010, 100, 011, 110, 101, 111 (0 entspricht Kopf, 1 entspricht Zahl) ” auswürfeln“.
Aus diesen 8 Möglichkeiten müssen wir nun 6 machen, also 2 ” streichen“; wir sollten 000
(entspricht 0) und 111 (entspricht 7) streichen Dies kann so geschehen:
S1 Werfe dreimal die Münze.
S2 Ist das Ergebnis 000 oder 111, gehe zu S1, sonst
S3 notiere das Ergebnis als Würfelwurfergebnis.
Ein beliebtes Bild von einem Zufalls–Mechanismus ist das Urnenmodell. Eine Urne
ist ein Gefäß, in dem Gegenstände ” versteckt“ werden, die man dann wieder – nach ausreichendem
Mischen – herausholen kann.
Beispiel 2.3 In einer Urne liegen drei schwarze Kugeln und eine weiße Kugel. Auf gut
Glück werden zwei Kugeln der Urne entnommen. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer,
zwei schwarze Kugeln oder eine weiße und eine schwarze Kugel herauszunehmen? Man
ist auf Grund der Tatsache, dass dreimal soviele schwarze wie weiße Kugeln in der Urne
liegen zu vermuten, dass die erste Möglichkeit wahrscheinlicher ist. Dem ist aber nicht
so, denn es gibt drei Möglichkeiten, zwei schwarze Kugeln herauszunehmen und drei
Möglichkeiten eine schwarze und eine weiße Kugel herauszunehmen. Es lässt sich dies
auch rechnerisch begründen:
Wahrscheinlichkeit für das Ziehen zweier schwarzer Kugeln
3
4
· 2 3 = 1 2
Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen und einer schwarzer Kugel 1
4
· 1 + 3 4 · 1 3 .
Man fertige dazu ein Baumdiagramm! �
Stand: 21. November 2011 15 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
⎞
⎠

2.4 Zufallsvariable, Erwartungswert und Verteilung
2.4 Zufallsvariable, Erwartungswert und Verteilung
Eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments numerische Werte zuordnet,
nennt man eine Zufallsvariable. Die Bedeutung der Zufallsvariable liegt darin, dass
durch sie die Verbindung zwischen dem Resultat eines Zufallsexperiments und seiner mathematischen
Darstellung/Realisation hergestellt wird. Bei einer diskreten Zufallsvariablen
– und nur solche betrachten wir hier in erster Linie – sind nur endlich viele Realisierungen
möglich.
Zum Beispiel kann das Zufallsexperiment des Münzwurfs als Zufallsvariable X modelliert
werden: X bildet die Menge der Wurfergebnisse Kopf, Zahl auf die Menge der
Realisationen {0, 1} ab:
X(ω) =
�
0, wenn ω = Kopf,
1, wenn ω = Zahl.
Das Zufallsexperiment ” Wurf mit drei (fairen) Würfeln“ und die Frage nach der Augensumme
kann mit Hilfe einer Zufallsvariablen Z so modelliert werden:
Z((ω1, ω2, ω3)) := ω1 + ω2 + ω3 , ωi ∈ {1, 2, . . . , 6} .
Sei X eine Zufallsvariable mit reellen Werten 18 . Die Wahrscheinlichkeiten
Ws(X = x) , x Realisierung
gibt die Wahrscheinlichkeit der unterschiedlichen Realisierungen x an; man nennt diese
Gesamtheit Verteilung von X . Die Verteilungsfunktion von X ist definiert durch
F (x) := Ws(X ≤ x) .
Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X – wir schreiben für dies Maßzahl E(X) –
ist jener Wert, der sich (in der Regel) bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden
Experiments als Mittelwert der Ergebnisse einstellt. In der Situation
erhalten wir
Ω = {ω1, . . . , ωn} , pi = P ({ωi}), i = 1, . . . , n,
E(X) =
n�
piX(ωi) .
i=1
Ein Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis des zugrunde liegenden Zufallsexperiments
sein. Beispielsweise ist der Erwartungswert der Augen beim Würfelwurf gegeben
durch
1 · 1 1 1 7
+ 2 · + · · · + 6 · =
6 6 6 2 .
Eine weitere wichtige Maßzahl der Zufallsvariablen X ist die Varianz. Wir schreiben
dafür V(X) . Sie ist definiert durch
V(X) := E((X − E(X)) 2 )
Die ” physikalische“ Einheit der Varianz ist das Quadrat der Einheit der Zufallsvariablen
X . Dies ist birgt gewisse Nachteile. Daher wird die abgeleitete Größe Standardabweichung
19 eingeführt. Sie ist für eine Zufallsvariable X definiert als die positive Quadratwurzel
aus deren Varianz und wird als σ(X) := � V(X) notiert. Sie beschreibt also, wie
18Wir verwenden hier die reellen Zahlen ohne auf die inneren Eigenschaften einzugehen. Im Kapitel 4
schauen wir etwas genauer hin.
19Die Standardabweichung wurde um 1860 von Sir Francis Galton, 1822-1911, Cousin von C.R. Darwin,
eingeführt
Stand: 21. November 2011 16 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.4 Zufallsvariable, Erwartungswert und Verteilung
im Mittel die abgeleitete Zufallsvariable X−E(X) um den Erwartungswert E(X) streut“.
”
Beispielsweise ist die Standardabweichung der Augen beim Würfelwurf gegeben durch
�
70 7
σ(X) = , da (1 −
4 2 )2 + (2 − 7
2 )2 + · + (6 − 7
2 )2 = 70
4 .
Das Galtonbrett besteht aus einer regelmäßigen
Anordnung von Hindernissen, an denen eine von
oben eingeworfene Kugel jeweils nach links oder
rechts abprallen kann; vergleiche mit einem Flipperspiel.
Nach dem Passieren der Hindernisse werden
die Kugeln in Fächern aufgefangen, um dort
gezählt zu werden; siehe Abbildung 5. Jedes Aufprallen
einer Kugel auf eines der Hindernisse ist
ein Bernoulli-Versuch. Die beiden möglichen
Ausgänge sind: Kugel fällt nach rechts, Kugel fällt
nach links.
Bei symmetrischem Aufbau ist die Wahrschein-
lichkeit, nach rechts zu fallen, p = 1
2
und die Wahr-
scheinlichkeit, nach links zu fallen, q = 1 − p =
Abbildung 5: Das Galtonbrett
1
2 .
Durch unsymmetrischen Aufbau oder durch Schiefstellen
des Brettes kann man auch einen anderen
Wert für p erreichen, wobei aber natürlich weiterhin
q = 1−p ist, denn die Kugeln, die nicht nach rechts
fallen, fallen nach links. Indem die Kugel nach Passieren
des ersten Hindernisses auf ein neues trifft,
bei dem die gleichen Voraussetzungen gelten, wird
hier ein weiterer Bernoulli-Versuch durchgeführt; das Durchlaufen des ganzen Gerätes ist
also eine mehrstufige Bernoulli-Kette, wobei die Zahl der waagrechten Reihen von Hindernissen
die Anzahl der Ebenen, die Länge dieser Kette ist. In der Abbildung 5 handelt
es sich demnach um ein Galtonbrett mit 6 Ebenen und um eine 6-malige Wiederholung
eines Bernoulli-Versuchs, d.h. eine Bernoulli-Kette der Länge 6.
Sei n die Anzahl der Ebenen eines Galtonbretts. Die Anzahl der Fächer, in die die
Kugeln fallen können, ist dann n + 1 . Jeden Durchlauf einer Kugel kann man mit einem
Wort der Länge n über dem Alphabet {L, R} in Verbindung bringen, wobei wir festlegen,
dass L (links) bzw. R (rechts) mit der Draufsicht gemeint ist. Beispielsweise ist der in der
Abbildung 5 eingezeichnete Durchlauf beschrieben durch das Wort RLLRRR .
Sei nun ein Wort der Länge n betrachtet, in dem l-mal der Buchstabe L vorkommt.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Wort ( 1
2 )l ( 1
2 )n−l = ( 1
2 )n . Wenn wir die Fächer
von links nach rechts durchnummerieren mit den Nummern 0, 1, . . . , n, dann haben wir
nach der Pfadregel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in das Fach mit der Nummer
m fällt, die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum Fach m führen, aufzusummieren.
Das Fach mit der Nummer m kann erreicht werden durch einen Durchlauf, der durch
die Worte beschrieben wird, die m-mal den Buchstaben R enthalten. Um diese Worte
abzuzählen, hat man die Möglichkeiten zu zählen, die bei der Verteilung von m Buchstaben
R auf n Plätze bestehen. Dies sind
� �
n
m
:=
n!
(n − m)!m!
Stand: 21. November 2011 17 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.5 Determinismus, Kausalität, Berechenbarkeit und Zufall
viele. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit b(m, n), dass eine Kugel in das Fach
m fällt als
� � � �n n 1
b(m, n) =
m 2
(2)
An der Abbildung 5 erkennen wir, dass die Füllung der Fächer für großes n sehr schön die
Gaußsche Glockenkurve (siehe den ehemaligen 10 DM-Schein) annähert. Diese Approximationsgüte
lässt sich mit Hilfe der Normalverteilung analytisch erklären; siehe Abschnitt
8.1.
2.5 Determinismus, Kausalität, Berechenbarkeit und Zufall
Determinismus 20 ist die Auffassung, dass zukünftige Ereignisse durch Vorbedingungen
eindeutig festgelegt sind. Als Determiniertheit bezeichnet man etwa in den Naturwissenschaften
die a-priori-Festlegung der Reaktion eines Systems, in der Theoretischen
Informatik eine Eigenschaft eines Algorithmus; siehe Abschnitt 1.4.
Kausalität 21 bezeichnet die Beziehung zwischen Ursache und Wirkung, betrifft also
die Abfolge aufeinander bezogener Ereignisse und Zustände. Die Kausalität hat eine feste
zeitliche Richtung, die immer von der Ursache ausgeht, auf die die Wirkung folgt.
Laplace formuliert:
Eine Intelligenz, welche für einen gegebenen Augenblick alle in der Natur wirkenden
Kräfte sowie die gegenseitige Lage der sie zusammensetzenden Elemente
kennt und überdies umfassend genug wäre, um diese gegebenen Größen der
Analysis zu unterwerfen, würde in derselben Formel die Bewegung der größten
Weltkörper wie des leichtesten Atoms umschließen; nichts würde ihr ungewiss
sein, und Zukunft wie Vergangenheit würden ihr offen vor Augen liegen.
Also nach Laplace: Gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen. Ein Experiment, das immer
mit denselben Anfangsbedingungen gestartet wird, muss nach menschlichem Selbstverständnis
auch immer dasselbe Ergebnis zeigen. Mehr noch, Laplace unterstellt (ausgehend
von den Erfolgen Isaac Newtons) die grenzenlose Berechenbarkeit der Natur und
damit an das Existieren einer Weltformel, die alle Zusammenhänge beschreibt. Diese
Berechenbarkeit in den Naturwissenschaften wurde nicht zuletzt durch die Quantenmechanik
auf eine harte Probe gestellt.
Determinismus und Kausalität treffen sich etwa in folgenden Fragen:
• Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas hervorrufen?
• Was bewirkt die Tatsache, dass in China ein Sack Reis umfällt?
Das schwache Kausalitätsprinzip besagt, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen
nach sich ziehen. Bei realen Experimenten ist diese Begriffsbildung nicht hilfreich,
da niemals die absolut gleichen Bedingungen vorliegen. Das starke Kausalitätsprinzip
besagt, dass ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen erzeugen. Wie wir nun aber nach
ca. 3 Jahrzehnten ” Chaosforschung“ wissen, ist auch dieses Prinzip für viele physikalische
Vorgänge im Zweifel, wenn man ” ähnlich“ angemessen verwendet. Der Grund dafür
ist, dass viele physikalische Vorgänge und ihre (mathematischen) Modelle eine sensitive
Abhängigkeit von den Bedingungen des Experiments besitzen. Man sieht dies besonders
20 determinare (lat.): abgrenzen, bestimmen
21 causa (lat.): Ursache
Stand: 21. November 2011 18 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

2.5 Determinismus, Kausalität, Berechenbarkeit und Zufall
gut bei dynamischen Vorgängen, wie etwa in der Wetterentwicklung, bei der Entstehung
von Turbulenzen in Strömungen, im Allgemeinen bei nichtlinear rückgekoppelteten Systemen.
Modellbeispiele sind das logistische Modell und das Doppelpendel. Beim Würfeln
und Werfen von Reißzwecken etwa ist die Situation besonders undurchschaubar: welche
Handhaltung beim Werfen hat welche Konsequenz?
Wir werden bei der Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks das sogenannte ” Chaos-Spiel“
kennenlernen. Dort kommen wir auf einige Details von Sensitivität zurück.
Bibliographische Anmerkungen
Für die elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung verweisen wir auf [17,
21, 38, 82]. Dort findet man auch Anmerkungen zum Determinismus und zur Kausalität.
Nichtlinear rückgekoppelte Systeme findet man meist modelliert durch Differentialgleichungen.
Etwas Populärwissenschaftliches, geschrieben von einem renomierten Experten
der mathematischen Chaostheorie, findet man in [71]. Zu Beispielen von nichtlinearen
Systemen siehe [56, 77]. Wir kommen bei der Betrachtung von dynamischen Systemen
auf den diskreten Fall zurück; siehe Abschnitt 5.5.
Stand: 21. November 2011 19 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3 Elementare Zufallsexperimente
Zufall ist nur der Ausdruck unserer Unfähigkeit, den
Dingen auf den Grund zu kommen
A. Einstein (Ein großer Skeptiker in Sachen Zufall)
In diesem Abschnitt dokumentieren wir einfache Zufallsexperimente. Grundlegende
Fragen zur Erzeugung von Zufallszahlen und ihrem Gebrauch werden damit schon deutlich.
3.1 Reißzweckexperiment
Der Wurf eines Reißnagels kommt dem Münzwurf zwar als Experiment mit zwei Ausgängen
sehr nahe, er ist aber ein Beispiel eines Zufallsexperiments mit ungleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung:
die Ausgänge sind: Lage auf der Kappe, Spitze nach oben (Kopf);
Lage auf der Spitze und der Kante der Kappe (Seite). Nicht beide Lagen stellen sich mit
gleicher Wahrscheinlichkeit ein; siehe unten.
In Schulbüchern kann man das Werfen von Reißzwecken als Beispiel für ein Zufallsexperiment
aufgeführt sehen, das keine Gleichverteilung der Ergebnisse bringt. Es wird –
ohne eine Versuchsanleitung zu geben – berichtet von einer Verteilung ” 60% Kopf, 40%
Seite. Versucht man diese Verteilung zu überprüfen, dann ist man schon vor dem ersten
Wurf in der Situation, erst die Versuchsbedingungen zu klären und festzulegen; in jedem
Falle: Art der Reißzwecke, Fallhöhe, Untergrund, anfangs Spitze nach oben oder nach
unten. Zunächst zur Art der Reißzwecke:
1. Wahl Handelsübliche Reißzwecke: Durchmesser 0.8 cm, Spitzenlänge 0.9 cm,
2. Wahl Pin-Reißzwecke: Durchmesser 2.4 cm, Spitzenlänge 2.5 cm
Als Versuchsumfang wurde die die Reißzwecke mit der Spitze nach oben 100-mal aus
bestimmten Höhen fallen gelassen. Die Ergebnisse waren stark höhenabhängig. Während
sich bei Fallhöhen um etwa 50 cm das Verhältnis 60% Kopf, 40% Seite ” reproduzieren“
ließ, zeigten sich bei Fallhöhen um etwa einen Meter andere Ergebnisse, nämlich gerade
entgegengesetzte Verhältnisse. Die Vermutung ist, dass man die Höhe für eine 50:50–
Verteilung herausfinden könnte, wenn man die Fallhöhe nur geeignet wählen würde. Hierzu
sind viele Experimentiermöglichkeiten offen.
Man kann mit einer handelsüblichen Reißzwecke eine (quasi) 50-zu-50-Entscheidung
herbeiführen, d.h. einen fairen Münzwurf nachstellen, ohne das Verhältnis Kopf/Seite zu
kennen. Nehmen wir an, dass bei einer bestimmten Versuchsanordnung die Wahrscheinlichkeit
für Kopf p und die Wahrscheinlichkeit für Seite q := 1 − p sei. Wir werfen nun die
Reißzwecke bei dieser Versuchsanordnung mehrmals und zählen, wie oft Kopf gefallen ist.
Die 50-zu-50 Entscheidung stellt sich (nahezu) ein mit dem Ergebnis Kopf ist gerade-mal
gefallen, Kopf ist ungerade-mal gefallen. Analysieren wir zunächst den zweimaligen Wurf:
• Häufigkeit von Kopf ist gerade (2-mal Kopf, 0-mal Kopf (2-mal Seite))
Als Wahrscheinlichkeit dafür ergibt sich nach der Pfadregel:
0.6 · 0.6 + 0.4 · 0.4 = 0.36 + 0.16 = 0.52
• Häufigkeit von Kopf ist ungerade (Kopf/Seite oder Seite/Kopf, also genau einmal
Kopf)
Als Wahrscheinlichkeit dafür ergibt sich nach der Pfadregel:
2 · 0.6 · 0.4 = 2 ∗ 0.24 = 0.48
Stand: 21. November 2011 20 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3.2 (Unfaire) Würfel
Dies kann man auch mit 3 Würfen, mit 4 Würfen usw. durchführen. Die Situation ist
dann bei drei Würfen:
• Häufigkeit von Kopf ist gerade: als Wahrscheinlichkeit dafür ergibt sich nach der
Pfadregel 0.504
• Häufigkeit von Kopf ist ungerade: als Wahrscheinlichkeit dafür ergibt sich nach der
Pfadregel 0.496
Bei 4 Würfen ist das Wahrscheinlichkeitsverhältnis 0.5008 zu 0.4992 . Die Verhältnisszahlen
rücken mit wachsender Wurfanzahl schließlich immer mehr an ein Verhältnis 50-zu-50 heran.
Dieses Vorgehen kann man auf den Münzwurf anwenden, wenn man Zweifel hat, ob
die Münze fair ist. Der Grund für eine ungleiche Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl
bei einer Münze kann eine Krümmung oder eine veränderte Gewichtsverteilung sein.
Abschließend zu diesen Überlegungen sei festgehalten, dass bei allen diesen Experimenten
ohne eine exakte Beschreibung des Versuchsaufbaus und seiner Dokumentation
die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse nicht gegeben ist. Ein Mathearbeitsheft für Schüler
darf also eigentlich nicht einfach nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung aufschreiben, sondern
müsste auch Versuchsaufbau und Versuchsdokumentation detailiert darlegen.
3.2 (Unfaire) Würfel
Das Würfeln mit einem fairen Würfel ist vielerorts
wohlbeschrieben. Wir benötigen diesen
Würfel um aus sechs Zahlen eine zu wählen,
ohne die anderen zu benachteiligen“.
”
Unfaire Würfel sind Würfel, die unregelmäßige
Formen aufweisen. Sie werden
umgangssprachlich als gezinkt“ und/oder als
”
gefälscht bezeichnet. Sie haben unterschiedlich
lange Kanten, eine zusätzliche Gewichteinlagerung,
oder Ähnliches. Es gibt sehr viele
Möglichkeiten einen Würfel zu manipulieren.
Meistens jedoch werden Würfel manipuliert,
um in sogenannten Würfel- bzw.
Glücksspielen sicher“ zu gewinnen. Bei die-
”
sen Würfeln sind die Wahrscheinlichkeiten,
dass die verschiedenen Seiten gewürfelt werden,
nicht identisch.
Um eine Statistik über unfaire Würfel entwerfen
zu können, wirft man den Würfel
Abbildung 6: Unfairer Würfel
mehrmals (100-mal, 1000-mal,. . . ) und notiert sich die Würfelaugen. Dabei ist darauf zu
achten, dass die Würfel-Bedingungen“ (Untergrund, Würfelhand, Würfelhöhe, ...) stets
”
gleich sind. Für die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse ist eine genaue Dokumentation der
Würfel-Bedingungen wesentlich.
Der unfaire Würfel“ aus Abbildung 6 hat die Ausmaße 1x1x2 in der Maßeinheit
”
Zentimeter und eine Siebenerbeschriftung (übliche Beschriftung bei normalen“ Würfeln).
”
Wir haben auf verschiedenen Untergründen (Wiese, Fliesen) jeweils 100-mal gewürfelt,
Stand: 21. November 2011 21 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3.3 Zufallszahlen der Natur entnommen
wobei wir darauf geachtet haben, dass die Versuchsdurchführung immer dieselbe war:
mit der rechten Hand aus 42 cm Höhe. In der Abbildung 7 finden wir die Resultate. Die
Ergebnisse sind einigermaßen verwirrend und bedürfen einer weiteren Untersuchung.
(a) (b)
Abbildung 7: Würfeln mit einem unfairen Würfel
3.3 Zufallszahlen der Natur entnommen
Zufallszahlen, die mit Vorgängen der Natur gewonnen werden, verwenden im Allgemeinen
nicht-deterministische physikalische Prozesse als Zufallszahlenquelle. Beispiele für solche
physikalische Generatoren sind:
• Die Beobachtung der Zeit zwischen der Emission von Partikeln beim radioaktiven
Zerfall
• Die Messung thermischen Rauschen
• Die Messung der Ladungsdifferenz zweier eng benachbarter Halbleiter
• Die Beobachtung von Frequenzschwankungen aufgrund der Instabilität eines frei
laufenden Oszillators
• Die Messung des Betrags, um den ein Halbleiter während einer festen Zeitspanne
geladen werden kann
• Die Aufzeichnung von Klang mit einem Mikrofon oder von Bildern mit einer Videokamera.
• Laufzähler mit Stoppereignissen. Dabei kommt ein ” modulo n-Zähler“ zum Einsatz,
der laufend von 0 bis (n−1) zählt. Beim Auftreten eines zufälligen zählerunabhängigen
Stoppereignisses wird der Zählerstand ausgelesen.
Man nennt solche physikalische Effekte nutzende Generatoren Hardware-Generatoren 22 .
Hier steht natürlich die Frage im Raume, ob das physikalische Phänomen wirklich den
Zufall simuliert, wie es etwa beispielsweise die Quantenmechanik voraussagt. Die Vorteile
solcher Hardware-Generatoren sind:
• Keine Periodizität (siehe Kongruenzgeneratoren)
• Generation basiert nicht auf einem Algorithmus
• Keine Reproduzierbarkeit der Zahlen
22 http://www.westphal-electronic.com/ZrandomUSB−Manual.pdf
Stand: 21. November 2011 22 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3.3 Zufallszahlen der Natur entnommen
• Im Allgemeinen sehr gute statistische Eigenschaften der Zufallszahlen.
Wir wollen auf die Zufälligkeit des radioaktiven Zerfalls näher eingehen. Es wird auf
Grund von physikalischen Gesetzmäßigkeiten angenommen, dass die Anzahl der durch ein
homogenes Isotop ausgestrahlten Teilchen einen zufälligen Prozess darstellt. Um der Gesetzmäßigkeit
dieses Prozesses auf die Spur zu kommen, beobachtet man die Zerfallsrate
(mit einem Geigerzähler). Man stellt fest, dass die Anzahl der Teilchen, die in einem Zeitintervall
der Länge ∆t zerfallen, in ziemlich einfacher Weise materialabhängig beschrieben
werden kann, und zwar als Poisson-Verteilung 23 der Zufallsvariablen X, die den Zerfall
im Intervall ∆t angibt:
Ws(X = k) = λk
k! e−λ mit λ = c∆t , k = 0, 1, 2, . . . . (3)
Dabei stellt die positive Konstante c die Intensität der Strahlungsquelle dar. Für kleine
Werte von λ ist p0 := Ws(X = 0) nahe dem maximalen Wert eins.
Rutherford und Geiger haben 1910 den
Zerfall einer Polonium-Quelle in 2608
8-Minuten Intervallen beobachtet; siehe
Tabelle 8. Die dritte Spalte geht vom
Parameter λ = 3.87 in der Poissonverteilung
aus. Die Übereinstimmung von
beobachteten Werten und Werten aus
dem Modell ist ziemlich gut.
Die Poissonverteilung ist eine auch
in anderem Zusammenhang anzutreffende
Verteilung, etwa: Personen, die in einem
Zeittakt an der Bushaltestelle eintreffen,
Personen, die in einem Zeittakt
ein Kaufhaus betreten, Telefongespräche,
die in einem Zeittakt bei der
Vermittlung auflaufen. Will man solche
Gegebenheiten simulieren, braucht man
Poisson-verteilte Zufallszahlen. Der obige
Zerfallsprozess stellt einen passenden
Generator bereit.
Anzahl Gemessene Erwartete
gemessener Häufigkeit Häufigkeit
Zerfallsteilchen
0 57 54
1 203 211
2 383 407
3 525 526
4 532 508
5 408 394
6 273 254
7 139 140
8 45 68
9 27 29
10 10 11
≥ 11 6 6
Abbildung 8: Poisson-Zerfall
Wir sind aber an der Frage interessiert, ob es möglich ist, aus den Poisson-verteilten
Zufallszahlen gleichverteilte Zufallszahlen (auf [0, 1)) zu extrahieren. Dies ist in der Tat
möglich. Dies geschieht in zwei Schritten. Zunächst verschaffen wir uns aus X eine Zufallsvariable,
die nahezu einen Münzwurf nachstellt. Dazu betrachten wir die Zufallsvariable
Z, die folgende Tatsache zählt“: ist in einem Intervall [0, t] die Anzahl der zerfallenden
”
Teilchen gerade, setzen wir Z auf den Wert 0, anderenfalls auf 1. Dann erhalten wir als
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisse
∞�
∞�
Ws(Z = 0) =
Ws(Z = 1) =
j=0
Ws(X = 2j) = e −λ
j=0
∞�
Ws(X = 2j + 1) = e −λ
j=0
23 S.D. Poisson, 1781-1840
λ 2j
(2j)! = e−λ eλ + e −λ
2
∞�
j=0
= 1 + e−2λ
λ 2j+1
(2j + 1)! = e−λ eλ − e −λ
2
2
= 1 − e−2λ
2
Stand: 21. November 2011 23 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3.4 Flächenberechnung mit Zufallszahlen
Hier sind wir mit der Tatsache konfrontiert, dass wir erstmals unendlich viele Ereignisse
haben, die ” unendliche Summation“ entspricht diesem Sachverhalt. Für das Nachvollziehen
der folgenden Rechnungen sollte man zunächst Kapitel 4 durchlesen. Mit ε(t) :=
e −2λ = e −ct erhalten wir die Darstellung
Ws(Z = 0) =
1 + ε(t)
2
Im Grenzwert für t gegen unendlich ergibt sich
, Ws(Z = 1) =
1 − ε(t)
2
1
lim Ws(Z = 0) = lim Ws(Z = 1) =
t→∞ t→∞ 2
Dies bedeutet, dass man auf diese Weise (durch die Intensität der Strahlungsquelle bzw.
die Länge des gewählten Zeitintervalls) einen Münzwurf nachstellen kann durch Nachzählen
der Zerfallsereignisse.
Es ist nun klar, dass wir mit Hilfe eines Poisson-Generators ein Zufallsbit erzeugen
können, wobei 1 bzw. 0 mit Wahrscheinlichkeit (nahezu) 1 eintritt. Durch Wiederholung
2
erzeugen wir ein Zufallwort a1a2 . . . aN etwa der Länge N, wobei die Buchstaben ai die
erzeugten Zufallsbits sind. Damit können wir nun eine Dezimalzahl z in [0, 1) erzeugen
durch
N�
z = ai2 −i
i=1
Offensichtlich hat jede dieser möglichen Zufallszahlen die Wahrscheinlichkeit ( 1
2 )−N und
die Zahlen sind in [0, 1) gleichverteilt.
3.4 Flächenberechnung mit Zufallszahlen
Man kann Zufallszahlen nutzen, um den Inhalt
von Körpern und Flächen mit unregelmäßiger
Begrenzung und/oder in großen
Raumdimensionen zu berechnen. Hier ist
diese Vorgehen das Verfahren der Wahl.
Dazu wird eine Begrenzungsfläche um den
Körper gelegt, von der man leicht den
Flächeninhalt ausrechnen kann (z.B. Quadrat,
Würfel). Nun wird ein Punkt mit
zufälligen Koordinaten ermittelt und in
den Raum, den die Begrenzungsfläche einschließt,
gesetzt. Danach wird anhand einer
Formel ermittelt, ob dieser Punkt im
Körper oder nur im Raum innerhalb der
Begrenzungsfläche liegt. Diesen Vorgang
wiederholt man sehr oft, so dass am Ende
viele Punkte vorhanden sind. Dank Abbildung 9: Berechnung von π
eines Spielcasinos in der gleichnamigen
Stadt trägt das obige Vorgehen den Namen
Monte-Carlo Simulation. In Kapitel 8 betrachten wir die Methode in allgemeinerem
Kontext.
Wir beschreiben hier die Anwendung auf die Berechnung von Flächen, insbesondere
von krummlinig berandeten Flächen. Man benötigt dazu ein Einheitsquadrat mit der
Stand: 21. November 2011 24 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen
Fläche 1, das die Figur umgibt. Mit geeigneter Skalierung kann man dies immer erreichen.
Danach startet man den ” Zufallsregen“, indem man etwa 1 000 000 Zufallszahlen
auswürfelt, notgedrungen mit einem Zufallgenerator. Man bezeichnet dieses Geschehen
als ” Zufallsregen“, da alle Punkte zeitnah auf die Figur im Einheitsquadrat treffen.
Damit das Vorhaben gelingt, müssen die Punkte im Einheitsquadrat liegen und dort
gleichmäßig verteilt sein. Nach dem Abschluss des Zufallsregens ermittelt man die Anzahl
T der Treffer, d.h. der Zufallspunkte, die in der Figur liegen. Besteht der Zufallsregen aus
N Punkten, dann ist in
F := T
N
nun eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt gegeben.
Demonstrieren wir das Vorgehen für den Kreis mit Radius r = 1 . Wir umschließen
den Viertelkreis - die Fläche des Vollkreises lässt sich leicht daraus ableiten - mit dem
Einheitswürfel. Dann ist es einfach (mit dem Satz von Pythagoras) zu entscheiden, ob ein
Zufallspunkt (x, y) im Kreis oder außerhalb liegt:
x 2 + y 2 ≤ 1 : innerhalb x 2 + y 2 > 1 : außerhalb
Hier brauchen wir dann eine Folge von Zufallspunkten, die im Einheitswürfel liegen; wir
bezeichnen sie mit (xn, yn), n = 1, 2, . . . , N . Wir zählen nun die Anzahl der Punkte, die
innerhalb des Kreises liegen; wir nehmen an, es seien mN Stück. Dann approximieren wir
die Fläche des Viertelkreises durch den Bruch
b(N) := m N /N .
Für größer werdendes N nähert b(N) die Kreiszahl π/4 immer besser an. In der Abbildung
9 sehen wir den ” Zufallsregen“. Ein typisches Ergebnis ist etwa b(1000) = 3.1442 .
3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen
Definition 3.1 Sei (Ω, POT(Ω), P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse
A, B ⊂ Ω heißen unabhängig, wenn P (A ∩ B) = P (A)P (B) gilt, anderenfalls
abhängig. �
Zahlreiche Fehlvorstellungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung beruhen auf der Nichtberücksichtigung
der Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Ereignissen. Machen wir uns
die Fehlerquellen z.B. beim Skatspiel“ klar. Ein Skatspieler berechnet die Wahrschein-
”
lichkeit, in seinem Blatt von 10 Karten 4 Asse zu haben als
�28 6 �32 10
�
� =
10 · 9 · 8 · 7
32 · 31 · 30 · 29
≈ 0.00584 .
Die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Buben zu bekommen, ist ebenso groß. Daraus schließt er,
dass die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Asse und alle 4 Buben zu bekommen etwa
0.00584 2 ≈ 0.000034
beträgt. Die Überlegung ist natürlich falsch, da sie die Abhängigkeit der Ereignisse
A : 4 Asse , B : 4 Buben
Stand: 21. November 2011 25 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen
nicht berücksichtigt. Die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Buben zu bekommen, wenn man schon
4 Asse hat, ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit, ohne die Bedingung alle 4 Buben zu
bekommen:
�
P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A) =
�24 2 �32 10
� = 0.0000042 .
Unabhängigkeit ist ein in A, B symmetrischer Begriff. Sind A, B ⊂ Ω unabhängig,
dann sind es auch A, Ω\B und Ω\A, B und Ω\A, Ω\B. 24 Die Verallgemeinerung der
Unabhängigkeit auf mehr als zwei Ereignisse liegt auf der Hand; wir führen sie zur
Erläuterung an.
Definition 3.2 Sei (Ω, POT(Ω), P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und seien
A1, . . . , Ak Ereignisse. Diese Ereignisse heißen unabhängig, wenn für jede Wahl
1 ≤ i1 < · · · < il ≤ k gilt:
P (Ai1 ∩ · · · ∩ Ail ) = P (Ail ) · · · P (Ail ).
Beispiel 3.3 Betrachte im Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P OT (Ω), P ) mit
die Ereignisse
Wir haben
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}, P ({ωi}) = 1
, i = 1, . . . , 4,
4
A = {ω1, ω2}, B = {ω2, ω3}, C = {ω1, ω3}.
P (A ∩ B) = P (A)P (B) , P (A ∩ C) = P (A)P (C) , P (B ∩ C) = P (B)P (C),
aber
P (A ∩ B ∩ C) = 0, P (A) · P (B) · P (C) = 1
8 .
Dieses Beispiel beleuchtet die Definition 3.2. �
Häufig steht, bevor der Ausgang eines Zufalls–Experiments bekannt ist, schon die Information
zur Verfügung, dass der Ausgang zu einer bestimmten (möglicherweise eingeforderten)
Teilmenge des Ereignisraumes gehört. Was lässt sich dann über Wahrscheinlichkeiten
sagen? Diese Fragestellung wollen wir nun skizzieren. Zur Motivation des Folgenden greifen
wir auf den Begriff der relativen Häufigkeiten zurück. Sei V ein Zufallsexperiment mit
zugehörigem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P OT (Ω), P ). Seien A, B Ereignisse in (Ω, P ).
Der Versuch V werde nun n–mal (unabhängig) wiederholt. Die relativen Häufigkeiten von
A unter der Bedingung B sind dann definiert durch
hn(A|B) :=
#{ Es tritt A ∩ B ein }
#{ Es tritt B ein }
n#{ Es tritt A ∩ B ein }
=
n#{ Es tritt B ein } = hn(A ∩ B)
, n ∈ N .
hn(B)
Dabei haben wir hn(B) > 0, n ∈ N, unterstellt.
Analog zu dieser Formel kommen wir nun zu einer entsprechenden Begriffsbildung im
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) .
24 Mit A\B bezeichnen wir das Komplement der Menge B in A.
Stand: 21. November 2011 26 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
�

3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen
Definition 3.4 Sei (Ω, P OT (Ω), P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Seien A, B ⊂
Ω mit P (B) > 0. Dann heißt
P (A|B) :=
P (A ∩ B)
P (B)
die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B. �
Wichtige Resultate im Zusammenhang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind der Satz
von der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes.
Kommen wir nun zur Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Sie wird mit dem Begriff
der Unabhängigkeit von Ereignissen eingeführt.
Definition 3.5 Zwei Zufallsvariablen X1, X2 heißen unabhängig, wenn die Ereignisse
{X1 ≤ x1} und {X2 ≤ x2} für beliebige x1, x2 ∈ R unabhängig sind.
Die Fortschreibung der Definition 3.5 auf n Zufallsvariablen X1, . . . , Xn ist offensichtlich:
Definition 3.6 Die Zufallsvariablen X1, . . . , Xn heißen unabhängig genau dann, wenn
mit der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeit P gilt:
P (X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) = P (X1 ≤ x1) · · · · · P (Xn ≤ xn) für alle x1, . . . , xn ∈ R .
Bibliographische Anmerkungen
Laplaceexperimente mit Würfeln und Urnen werden in allen Büchern über Wahrscheinlichkeitsrechnung
angeführt.; siehe etwa [21, 38, 51, 82]. Dort findet man auch eine Diskussion
der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen.
Zu Würfelexperimenten verweisen wir auf den Aufsatz [RiS10] von Riemer und Stoyan,
in dem der Versuch einer Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Augen mittels einer
speziellen Verteilung gemacht wird. In [44] betrachtet Ineichen den Spezialfall prismatischer
Würfel und diskutiert eine physikalische Modellierung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
der Augen.
Die Literatur zur Berechnung der Kreiszahl π ist umfangreich; nahezu jedes Buch zur
Statistik erwähnt Berechnungsmöglichkeiten; siehe etwa [2, 21].
Stand: 21. November 2011 27 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
�

4 Exponential- und Logarithmusfunktion
Da nichts, meine hochverehrten Studenten der
Mathematik, in der praktischen Mathematik so
beschwerlich ist und den Rechner mehr aufhält und hemmt
als Multiplikationen und Divisionen großer Zahlen sowie
Quadrat- und Kubikwurzelziehen aus ihnen, gegen die man
wegen ihrer Umständlichkeit eine starke Abneigung hat
und bei denen sich sehr leicht Rechenfehler einschleichen,
so begann ich zu überlegen, durch welchen zuverlässigen
Kunstgriff man diese Hindernisse umgehen könne.
Nachdem ich hierüber verschiedentlich hin- und hergedacht,
habe ich endlich einige besonders einfache Abkürzungen
gefunden, über die ich (vielleicht) später berichten werde.
J. Napier im Vorwort seiner Logarithmentafel Descriptio
(1614)
Hier skizzieren wir die Exponentialrechnung und ihre Umkehrung. Bei der Begründung
müssen wir etwas oberflächlich agieren, denn das Fundament der ” reellen Zahlen“ steht
uns nicht ausreichend zur Verfügung, die wesentlichen Begriffe stellen wir aber bereit.
Im nachfolgenden Kapitel benötigen wir die Logarithmen, um die Benford-Verteilung zu
erläutern.
4.1 Zahlen
Im Abschnitt 2 haben wir die natürlichen Zahlen zum Abzählen von Möglichkeiten verwendet.
Hier benötigen wir auch die reellen Zahlen. Wir verwenden darüberhinaus folgende
Bezeichnungen:
Natürliche Zahlen–die Erste: Mit N bezeichnen wir die natürliche Zahlen
1, 2, . . . , n, . . . .
Natürliche Zahlen–die Zweite: Mit N0 bezeichnen wir die natürliche Zahlen
0, 1, 2, . . . , n, . . . .
Ganze Zahlen: Mit Z bezeichnen wir die ganzen Zahlen
0, ±1, ±2, . . . , ±n, . . . .
Rationale Zahlen: Mit Q bezeichnen wir die rationalen Zahlen
q = m
n
mit m ∈ Z, n ∈ N .
Reele Zahlen: Mit R bezeichnen wir die reellen Zahlen x ; wir denken dabei an die
Dezimalzahlen. Damit ist der Zahlenstrahl ” R := −∞ < x < ∞ “vollständig und
hat keine ” Lücken“ mehr.
Stand: 21. November 2011 28 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Wir verwenden in R mitunter die Intervall-Schreibweise:
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}
[a, b) := {x ∈ R|a ≤ x < b}
(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b}
[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
Als weitere Kurzschreibweisen halten wir fest:
⎧
⎪⎨ +1 falls x > 0
sign(x) := 0
⎪⎩
−1
falls x = 0
falls x < 0
, |x| :=
�
x falls x > 0
−x falls x < 0 .
4.1 Zahlen
Die rationalen Zahlen reichen für die Betrachtungen von Funktionen nicht aus, da sie
” Lücken“ aufweisen. Deutlich wird die Lücke, wenn wir die Quadratwurzel aus 2 berechnen
wollen, d.h. eine Zahl x := √ 2 bestimmen wollen, die der Gleichung
x 2 = 2 (4)
genügt. Die Zahl √ 2 steht – dank des Satzes von Pythagoras 25 – für die Länge der Diagonale
in einem Quadrat mit der Seitenlänge eins. Man kann beweisen, dass eine rationale
Zahl x, die der Gleichung (4) genügt nicht existiert. Ein Beweisschnipsel, angefertigt von
einer Teilnehmerin der Akademie, zeigt Abbildung 10. Wir schreiben einen anderen Beweis
auf, der der euklidischen Idee der Kommensurabilität folgt.
Der Beweis geht so: Sei x eine rationa-
le Zahl mit x 2 = 2, d.h. x = b
a mit
b 2 = 2a 2 .
Annahme: b und a sind kommensurabel.
Dann gibt es ganze Zahlen p, q und ein
gemeinsames Maß e mit d = pe, a = qe .
Es kann vorausgesetzt werden, dass p
und q nicht beide gerade Zahlen sind,
da wir sonst das gemeinsame Maß verdoppeln
könnten. Aus b 2 = 2a 2 folgt
p 2 = 2q 2 . Daraus folgt nach der Lehre
von geraden und ungeraden Zahlen,
dass p nicht ungerade sein kann; es ist
also p gerade und daher p = 2p ′ .
Dann ist aber q 2 = 2p ′2 , also auch q
eine gerade Zahl. Damit ist ein Widerspruch
zur Eingangsvoraussetzung, dass
von den Zahlen p, q nicht beide Zahlen
p, q gerade sind, hergeleitet und die Annahme
ist nicht haltbar.
Abbildung 10: √ 2 ist irrational
Wie die Lücken in den rationalen Zahlen beseitigen? Der Ausweg sind unendliche
Dezimalbrüche, denn wir wissen ja, dass rationale Zahlen entweder durch endliche Dezimalbrüche
oder periodische Dezimalbrüche beschrieben werden. Aber der Ausweg ist auch
25 E.W. Dijkstra fand einen ziemlich überraschende Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras:
wenn in einem Dreieck die Winkel α, β, γ gegenüber den Seiten a, b, c liegen, dann
gilt sign(α + β − γ) = sign(a 2 + b 2 − c 2 ) . Ein sehr einsichtiger Beweis findet sich in
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Dijkstra.shtml
Stand: 21. November 2011 29 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.1 Zahlen
mit Problemen geflastert, denn wir haben mit dem Problem der Summation unendlich
vieler Summanden fertig zu werden, etwa
0.101001000100001 · · · = 10 −1 + 10 −3 + 10 −6 + 10 −10 + 10 −15 + · · · = ??? (5)
Abhilfe schafft ein exakter Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen in Verbindung mit einem
Axiom, das die rellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen ” erschafft“. Dazu
die folgende
Definition 4.1 Eine Folge (xn)n∈N rationaler Zahlen heißt eine Cauchyfolge, falls gilt:
Für alle ε > 0 gibt es ein N ∈ N so dass für alle m, n > N gilt: |xn − xm| < ε . (6)
Das Axiom, das nun die reellen Zahlen ins Leben ruft, ist die Forderung, dass jede Cauchyfolge
in den rationalen Zahlen eine eindeutige reelle Zahl definiert, nämlich den Grenzwert
– wir schreiben die Definition gleich für die rellen Zahlen auf – in folgendem Sinne:
Definition 4.2 Eine Folge (xn)n∈N reeller Zahlen heißt konvergent gegen x, falls gilt;
wir schreiben die Definition sofort für reelle Zahlen auf.
Für alle ε > 0 gibt es ein N ∈ N so dass für alle n > N gilt: |xn − x| < ε . (7)
x heißt dann Grenzwert der Folge. Wir schreiben: x = limn xn .
Die entscheidende Annahme über die reellen Zahlen, die die Lücken von Q schließt, ist
das
Vollständigkeitsaxiom:
Jede Cauchyfolge rationaler Zahlen besitzt in den reellen Zahlen einen (eindeutig
bestimmten) Grenzwert.
Folgende Aussagen im Zusammenhang mit den Definitionen 4.1, 4.2 sind nun besonders
von Interesse:
1. Die Menge der reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen, da jede
konstante Folge rationaler Zahlen eine Cauchyfolge ist.
2. Jede reelle Zahl kann als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen angesehen werden.
3. Positive, negative reelle Zahlen sind nun wohldefiniert, ebenso der Betrag einer reellen
Zahl.
4. Cauchyfolgen reeller Zahlen sind nun definiert analog Definition 4.1.
5. Jede Cauchyfolge reeller Zahlen ist konvergent.
Kehren wir zur Zahl x := √ 2 zurück. Aus der Babylonischen Kultur (∼ 1000 v. Chr.)
gibt es eine Kleietafel, die belegt, dass derjenige, der sie beschriftet hat, wusste, dass das
Verhältnis von Diagonale und Seite im Quadrat ” gleich“
1 + 24 51
+
60 60 · 60 +
10
60 · 60 · 60
Stand: 21. November 2011 30 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.1 Zahlen
ist; eine erstaunlich gute Näherung für √ 2. 26 Die übliche Näherung zu dieser Zeit war
1 + 25
60
= 17
12
, eine Näherung, die wir nun entlang von Überlegungen der Babylonier
ableiten. Sie geben für z := √ a2 + b2 die Näherung ˜z gemäß
˜z = a + b2
2a
an. Man kann diese Formel so finden: Wenn b relativ zu a klein ist, betrachte man a als
guten Näherungswert für z und verbessere ihn mit dem Korrekturterm d gemäß
a 2 + b 2 = z 2 ! = (a + d) 2 = a 2 + 2ad + d 2 .
Bei Vernachlässigung von d 2 ergibt sich d = b2
2a
˜z = a + d = a + b2
2a
und daher
(8)
1 z2
= (a + ) (9)
2 a
als neue Näherung. Etwa ergibt dies für z := x mit x 2 = 2 mit der Ausgangsnäherung
a = 1 sukzessive
˜z = 1 + 1
2
3 17 577
= , ˜z = , ˜z =
2 12 408
= 1.4142156 . . . .
(Man vergleiche mit dem Wert 1.4142136 . . . für √ 2 , die ein Taschenrechner liefert.)
Auf Theon 27 geht ein Verfahren zur Bestimmung eines Näherungswertes für die gesuchte
Zahl x zurück; es wird auch von Euklid beschrieben. Wir wählen eine schon ziemlich
moderne Darstellung der Vorgehensweise von Theon, nämlich die Form eines Algorithmus.
Sie erklärt sich zumindest von der Form her von selbst.
Algorithm 1 Iteration von Theon
EIN ” Einheitsstrecke“ a := 1 .
Schritt 0 s0 := a, x0 := a; n := 0.
Schritt 1 an := xn
sn , bn := a 2 n − 2.
Schritt 2 sn+1 := sn + xn, xn+1 := 2sn + xn.
AUS Für jedes n = 0, 1, . . . Zahlen an , bn mit folgender Eigenschaft:
Jedes an ist eine Näherung für x und jedes bn gibt den Fehler von xn in der Gleichung
x 2 = 2 an.
In unserer etwas vagen Betrachtung der reellen Zahlen macht es wenig Sinn, nach dem
Fehler der Approximation an für √ 2 zu fragen, da √ 2 ja als Zahl gar nicht so recht vorliegt.
Theon konnte den Wert, dem das Verhältnis der Zahlen xn, sn ” zustrebt“, nicht beschreiben/ausrechnen,
aber er konnte schließen, dass das Verhältnis von xn und sn schließlich
immer genauer dem Verhältnis der Diagonale zur Seite des Quadrats wird. Man erhält
die folgenden Näherungen für x :
1 = 1 3 7 17 41 99
; ; ; ; ;
1 2 5 12 29 70
26 Beachte, dass hier das 60-Zahlsystem Verwendung findet.
27 Theon, um 350 v.Chr.
= 1.414285 . . . .
Stand: 21. November 2011 31 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.2 Exponenten
Abschließend halten wir fest, dass wir in den reellen Zahlen die algebraischen Rechenarten
+, −, ·, / wie in den rationalen Zahlen zur Verfügung haben. Daneben haben wir
nun auch die Rechenart Radizieren zur Verfügung. Darüberhinaus können wir nun auch
Funktionen mit Definitionsbereich in den reellen Zahlen betrachten.
Drei herausgehobene Zahlen kann man unter den reellen Zahlen ausmachen, die nicht
dargestellt werden können:
als Bruch m
n
Quadratwurzel x = 2√ 2 = √ 2 = 1.414 213 . . .
Kreiszahl π = 3.141 592 . . .
Eulersche Zahl e = 2.718 281 . . .
Von diesen drei Zahlen haben wir die Zahl e noch nicht eigentlich kennengelernt. Sie kann
auf mehrfache Weise eingeführt werden:
e = lim n (1 + 1
n )n , e =
Jedenfalls ist immer ein infinitesimaler Prozess beteiligt. Als Nähereung haben wir
4.2 Exponenten
∞�
k=0
e ≈ 2.718 281 828 459...
Exponentialterme haben in den Naturwissenschaften, z.B. bei der mathematischen Beschreibung
von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung. Wir führen ein
erläuterndes Beispiel an, das Wachstum mit Exponenten verbindet.
Sissa ibn Dahir lebte angeblich im dritten oder vierten Jahrhundert n. Chr. in Indien
und gilt Legenden zufolge als der Erfinder des Schachspiels. Sein Name ist ferner mit
der Weizenkornlegende verbunden. Diese Anekdote findet häufig im Zusammenhang mit
exponentiellen Funktionen Erwähnung und lautet folgendermaßen: Der indische Herrscher
gewährte dem Brahmanen, der das Schachspiel erfunden hat, einen freien Wunsch. Dieser
wünschte sich Weizenkörner: auf das erste Feld eines Schachbretts wollte er ein Korn, auf
das zweite Feld die doppelte Menge, also zwei, auf das dritte wiederum doppelt so viele,
also vier und so weiter. Der König lachte und war gleichzeitig erbost ob der vermeintlichen
Bescheidenheit des Brahmanen. Als die Rechenweister aber nachrechneten, stellten sie
fest, dass das Reich die Menge der Weizenkörner nicht aufbringen konnte. Es sind nämlich
1
k! .
2 0 + 2 1 + 2 2 + · · · + 2 63 = 2 64 − 1 = 18446744073709551615
Weizenkörner von Nöten. 10 000 Weizenkörner wiegen etwa 3 kg, also wären ca. 600
Milliarden Tonnen Weizen nötig.
Man nennt ein Wachstum der Form an := q n , n ∈ N, (mit q > 1) ein geometrisches
(im Gegensatz zu einem arithmetischen wie an := na + b, n ∈ N; a, b gegeben).
Die Definition der Exponentialterme a x kann man in drei Stufen erarbeiten. Ist x eine
natürliche Zahl m ∈ N0, so ist a x mittels der Multiplikation so erklärt:
a x = a m := a · · · · · a
� �� �
m-mal
Stand: 21. November 2011 32 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.3 Logarithmen
Im Sonderfall m = 0 ist a m als 1 definiert. Ist m = −k ∈ Z mit k ∈ N, so setzen wir
a m := 1
.
ak Dabei unterstellen wir, dass der ” Kehrwert“ der reellen Zahl a k als bekannt vorausgesetzt
werden kann. Für eine rationale Zahl a stellt dies kein Problem dar, weil dann ja a k selbst
wieder eine rationale Zahl ist.
Ist x ein Stammbruch, d.h. ist x = 1 mit k ∈ N, so stehen wir vor dem Problem, dass
k
wir die k-te Wurzel aus a zu erklären haben, d.h. eine Zahl z mit zk = a . Eine solche
Zahl existiert und sie ist auch eindeutig bestimmt; wir schreiben z = k√ a . Also setzen wir
a 1
k := k√ a für k ∈ N .
Damit haben wir nun eine Definition für ax parat für alle x = m,
m ∈ Z, n ∈ N:
n
a m
n := n√ a m , m ∈ Z, n ∈ N .
Aber was soll eine Potenz a x bedeuten für eine Dezimalzahl, die nicht als Bruch dargestellt
werden kann? Man geht approximativ vor: man nähert x an durch eine Folge von
rationalen Zahlen q1, q2, . . . , ql, . . . , die die Zahl x ” als Grenzwert“ besitzen, und definiert
a x als Grenzwert der Zahlenfolge a q1 , a q2 , . . . , a ql, . . . . Diese Grenzwertbetrachtung ist im
Zentrum der Analysis, also der Beschäftigung mit reellen Zahlen und, darauf aufgebaut,
mit den reellen Funktionen. Beachte a 0 = 1 für alle a > 0 .
Damit können wir sagen, dass z.B. 2 π gleich dem Grenzwert der Folge 2 3 , 2 3,1 , 2 3,14 , . . .
ist.
Was ist der Vorteil einer Exponentialdarstellung? Folgende Beobachtung ist hier richtungsweisend:
überstreicht die Variable x das Intervall [0, 1] bzw. [100, 101], so überstreicht
die Potenzfunktion x ↦−→ a x das Intervall [1, a] bzw. [a 100 , a 101 ] . Man sieht, Intervalle
der Länge 1 werden unterschiedlich gestreckt, im ersten Fall ist der Streckungsfaktor 1, im
zweiten Fall a 100 (a−1) . Diese Tatsache kann man nutzen, um etwa physikalische Größen,
die über einen weiten Bereich der Zahlskala streuen, geeignet zu skalieren.
4.3 Logarithmen
Logarithmen, wie wir sie nun besprechen wollen, sind geeignet, die obige Beobachtung
der Streckung rückgängig zu machen und Skalen zu stauchen.
Die Verwendung des Logarithmus lässt sich bis in die Frühzeit der indischen Kultur
zurückverfolgen, Bezüge finden sich auch bei Archimedes. Mit dem Fortschritt der Astronomie
im 15., 16. Jahrhundert 28 und dem aufstrebenden Bankwesen im Europa des 17.
Jahrhunderts erlangte der Logarithmus dann immer mehr an Bedeutung. Seine Funktionswerte
wurden in Tabellenwerken, den Logarithmentafeln, erfasst, um sie nachschlagen
zu können und nicht immer neu berechnen zu müssen. Diese Tabellen wurden schließlich
durch Rechenschieber und später durch Taschenrechner verdrängt.
Eine Funktion der Form x ↦→ a x mit der Basis a > 0 heißt Exponentialfunktion.
In der ” gebräuchlichsten“ Form sind dabei für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen.
Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen (Polynome ersten, zweiten,. . . Grades), bei
denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) ist, ist bei Exponentialfunktionen die
Variable der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks. Darauf bezieht sich auch die
28 J. Napier, 1550-1617, fertigte eine erste Logarithmentafel.
Stand: 21. November 2011 33 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.3 Logarithmen
Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z.B. bei der
mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung;
siehe unten.
Zentrale Aspekte des Lebens lassen sich mit Hilfe von Logarithmen erklären. So nimmt
zum Beispiel die Stärke eines Sinneseindrucks in Abhängigkeit von einer physikalischen
Größe wie Helligkeit oder Lautstärke entsprechend dem Verlauf einer Logarithmusfunktion
zu. Gleiches gilt für die wahrgenommene Tonhöhe in Abhängigkeit von der Frequenz eines
Tones.
Formal sind Logarithmen Lösungen x der Gleichung
a = b x
zu vorgegebenen Größen a und b. Das Logarithmieren ist also eine Umkehroperation
des Potenzierens. Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche Größen diese
Gleichung betrachtet wird, hat sie keine, mehrere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung
eindeutig, dann wird sie als der Logarithmus von a zur Basis b bezeichnet und man
schreibt
x = log b(a) .
Beispielsweise ist 3 der Logarithmus von 8 zur Basis 2, geschrieben log 2(8) = 3, denn es
ist 2 3 = 8.
Beachte: log b 1 := 0 für alle b .
Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung in erster Linie durch den Zusammenhang
log b(xy) = log b(x) + log b(y) (10)
der es erlaubt, eine Multiplikation und damit auch eine Potenzierung durch eine Addition
auszudrücken. Sie ergibt sich aus dem Gegenstück für die Exponentialfunktion, das
unmittelbar einsichtig ist:
a x+y = a x · a y für alle x, y (11)
Die Funktionalgleichung (10) ist die Grundlage für die Verwendung und den Nutzen
der Logarithmentafeln (Aufstellung von Logarithmen); siehe Abschnitt 4.5.
Drei Basen für die Logarithmen spielen eine Sonderrolle, alle drei zugehörigen Logarithmen
finden sich im Allgemeinen in Logarithmentafeln.
Zehner-Logarithmus/dekadischer Logarithmus Hier ist die Basis b = 10 . Sie ist die
angemessene Basis für das Rechnen im Zehner-System. Beispielsweise gilt: log 10(2) ≈
0.30103 . Dies korrespondiert mit 2 10 ≈ 10 3 . Im Allgemeinen schreibt man für log 10
kurz log .
Dualer Logarithmus Die Basis ist 2 und sie ist die angemessene Basis, wenn wir über
Dualzahlen reden wollen. Zum Beispiel können wir mit log 2(a) die Länge der Dualdarstellung
von a ermitteln.
Natürlicher Algorithmus Die Basis ist die eulersche Zahl b := e . Im Allgemeinen
schreibt man für log e kurz ln; ln heißt logarithmus naturalis.
Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung
a x x·ln a
= e
jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis e zurückführen.
Zusammenhänge mit angewandten Fragestellungen sind:
Stand: 21. November 2011 34 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.4 Exponential– und Logarithmusfunktion
Rechenschieber Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber
mit ihren logarithmischen Skaleneinteilungen und Logarithmentafeln
weit verbreitete Hilfsmittel. Durch die bewegliche Zunge und unterschiedliche Skalen
auf dem festen Teil und der Zunge konnte die Funktionalgleichung (10) genutzt
werden.
Evolution Zum Zusammenhang von Evolution und Logarithmus siehe
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,556493,00.html
Halbwertszeit Wie lange dauert es, bis radioaktive Atome zerfallen? Für ein einzelnes,
ausgewähltes Atom kann man nicht sagen, ob es in der nächsten Millisekunde zerfallen
wird oder noch eine Woche oder gar ein Jahrhundert ” lebt“. Für eine große
Anzahl von Atomen kann man dagegen mit Hilfe des Zerfallsgesetzes, das ein exponentielles
ist, sehr wohl statistische Aussagen machen; siehe Abschnitt 3.3. Mit
Hilfe des Logarithmus kann man die Zeitdauer ermitteln, in der die Hälfte der Atome
zerfällt.
4.4 Exponential– und Logarithmusfunktion
Eine Funktion der Form x ↦→ a x mit der Basis a > 0 heißt Exponentialfunktion.
Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen (Polynome ersten, zweiten,. . . Grades), bei denen
die Basis die unabhängige Größe (Variable) ist, ist bei Exponentialfunktionen die Variable
der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks. Darauf bezieht sich auch die
Namensgebung.
Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne (präziser eigentlich: natürliche Exponentialfunktion)
bezeichnet man die Exponentialfunktion x ↦→ e x mit der eulerschen Zahl
e . als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise x ↦→ exp(x). Hier ist die Basis
schon eine Zahl, die nicht als endlicher oder periodischer Deziamalbruch dargestellt
werden kann, die Berechnung von exp(x) gelingt wiederum nur über einen Approximationsprozess.
Auf (Taschen-)Rechnern ist die Exponentialfunktion abrufbar.
Die allgemeine Exponentialfunktion ist definiert als f(x) = a x , x ∈ Q, mit der Basis
a > 0, a �= 1. Einige Eigenschaften davon sind
1. Die Funktion ist für a > 1 streng monoton steigend und für a < 1 streng monoton
fallend.
2. Die Wertemenge beinhaltet alle positiven reellen Zahlen.
3. Die x-Achse ist die Asymptote des Graphen, denn f(x) strebt gegen 0, falls x gegen
−∞ strebt für a > 1 und f(x) strebt gegen 0, falls x gegen ∞ strebt für a > 1 .
4. Alle Graphen haben in der Ebene den Punkt P (0; 1) gemeinsam.
5. Die Graphen der Exponentialfunktionen mit f(x) = ax := expa(x) und f(x) =
1 (x) gehen durch Spiegelung an der y-Achse hervor.
a x := exp 1
a
Die eulersche Zahl hat (neben vielen anderen Eigenschaften) die vorzügliche Eigenschaft,
dass sie als Potenzfunktion ein Wachstum als einzige Funktion so beschreibt, dass die
Wachstumsrate (Ableitung) durch dieselbe Potenzfunktion beschrieben wird.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung zur Exponentialfunktion:
falls a x = b, dann gilt log a(b) = x für alle a > 0. (12)
Stand: 21. November 2011 35 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

4.5 Logarithmentafel
In anderen Worten, der Logarithmus von b zur Basis a ist die Zahl, mit der die Basis a
potenziert werden muss, um b zu erhalten. Diese Funktion besitzt folgende Eigenschaften
1. Die Funktion ist für a > 1 streng monoton steigend und für a < 1 streng monoton
fallend.
2. Die Wertemenge beinhaltet alle reelle Zahlen.
3. Die y-Achse ist die Asymptote des Graphen, denn f(x) strebt gegen 0, falls x gegen
0 strebt.
4. Alle Graphen haben in der Ebene den Punkt P (0; 1) gemeinsam.
5. Die Graphen der Logarithmusfunktion f(x) := loga x und f(x) := log 1 x gehen
a
durch Spiegelung an der x-Achse hervor.
4.5 Logarithmentafel
Logarithmentafel nennt man eine tabellarische
Darstellung der Mantissen
der Logarithmen (meist zur Basis 10, e)
der Zahlen, in der Regel von 1.00
bis 9.99. Logarithmentafeln waren über
Jahrhunderte ein wichtiges Rechenhilfsmittel,
besonders im natur- und ingenieurwissenschaftlichen
Bereich. Als Erfinder
der Logarithmentafeln gilt John
Napier, der sie in seinem Werk Mirifici
Logarithmorum Canonis Descriptio
1614 veröffentlichte. Unabhängig von
Napier entwickelte auch der Schweizer
Jost Bürgi in Kassel eine Logarithmentafel.
Als Mitarbeiter von Johannes
Kepler verwendete er die selbst erstellten
Logarithmentafeln für astronomische
Berechnungen. Henry Briggs entwickelte
die Logarithmentafeln dahingehend
weiter, dass er sie zur Basis 10 erstellte.
Hier waren die Logarithmen der
Zahlen von 1 bis 20.000 und von 90.000
bis 100.000 auf 14 Stellen genau aufgeführt.
Abbildung 11: Ausschnitt aus einer Logarithmentafel
Viele Berechnungen in der Schulmathematik, z. B. das Ziehen von schwierigen Wurzeln,
konnten nur mit ihrer Hilfe durchgeführt werden. Die Erfindung und weite Verbreitung von
Taschenrechnern und Computern hat die Verwendung von Logarithmentafeln, ähnlich wie
die von Rechenschiebern, innerhalb weniger Jahre praktisch völlig überflüssig gemacht.
Logarithmentafeln erlauben es also, die Multiplikation und Division von Zahlen auf die
einfachere Addition und Subtraktion zurückzuführen. Die Basis dafür ist die Funktionalgleichung
(10). Dies geht so:
Aufgabe: Berechne xy
Vorgehen:
Stand: 21. November 2011 36 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

• Berechne q := log b(xy) gemäß (10) als q := log b(x) + log b(y)
• Berechne xy aus der Gleichung log b(xy) = q (Delogarithmieren)
4.5 Logarithmentafel
In einer Logarithmentafel kann man die Logarithmen log b(x), log b(y) nachschlagen, damit
kennt man q mittels einer Addition, nun kann man xy in der Logarithmentafel nachschlagen,
indem man die Tafel in entgegengesetzter Richtung liest.
Wie kamen aber die Zahlenaufstellungen in der Tafel ohne Rechenmaschinen zustande?
Wir erläutern dies für den Zehnerlogarithmus von 2, und zwar in einer bescheidenen
Genauigkeit, nämlich 3 Stellen Genauigkeit. Dazu hätten wir die Gleichung
10 x = 2
zu lösen, ein ziemlich schwieriges Unterfangen. Wir gehen anders vor:
Aufgabe: Gegeben y, berechne log(y) .
Vorgehen:
• Bestimme n ∈ N mit 1.01 n < y , 1.01 n+1 > y
• Bestimme einen ” interpolierenden Wert“ u zwischen n, n+1 so, dass 1.01 u ≈
y ist.
• Klar: log(y) ≈ u log(1.01) .
Das eben skizzierte Vorgehen hat noch eine entscheidende Schwäche: wir kennen ja
log(1.01) nicht. Diese Zahl verschaffen wir uns zunächst nach dem obigen Vorgehen für y =
10, wovon wir den Logarithmus ja kennen: log(10) = 1 . Bei diesem Vorgehen wird auch
die Bedeutung der Wahl der Zahl 1.01 deutlich. Hiermit ist nämlich das obige Vorgehen,
d.h. die Bestimmung von n ziemlich einfach: das Potenzieren hiermit ist einfach eine
Verschiebung um zwei Stellen nach hinten und Runden, um die Stellen nicht anwachsen
zu lassen.
Führen wir dies nun vor für die Berechnung des Logarithmus von 2. Zunächst haben
wir n zu bestimmen mit 1.01 n < 10, 1.01 n+1 > 10 . Ein solches n ist 231. Wir erhalten
dies durch sukzessive Rechnung:
1.01 2 = 1.01 + 0.0101 = 1.0201, 1.01 3 = 1.01 2 = 1.0201 + 0.0102 = 1.0303, . . . ,
1.01 231 = 9.959, 1.01 232 = 10.059
Also ist die interpolierende Wahl v = 231.4 für 1.01 v ≈ 10 vernünftig. Dies bedeutet
log(1.01) ≈ v = 231.4 . In derselben Weise erhalten wir u = 69.7 mit 1.01 u ≈ 2, d.h.
log(2) ≈ u log(1.01) . Daraus ergibt sich
log(2) ≈ u
= 0.3012 ,
v
ein Wert, der auf 3 Stellen genau ist.
Natürlich verbergen sich dahinter auch Genauigkeitsfragen, aber sie sind abschlie-
”
ßend“ geklärt. Um höhere Genauigkeiten zu erzielen, ersetzt man 1.01 durch 1.000001 ;
die Rechenschritte sind analog.
Bibliographische Anmerkungen
Die Geschichte der Entstehung der rigorosen Handhabung der rationalen und reellen
Zahlen ist natürlich eng mit der Entwicklung des Konvergenzbegriffs bei Zahlenfolgen
verknüpft; siehe etwa [5, 33, 52, 59, 65, 81]. Als Anmerkung: in [65] findet man eine
” Bestenliste“ der Mathematiker.
Die Behandlung der Exponential– und Logarithmenrechnung findet schon in der Schule
statt. Sie ist nahezu unerlässlich für ein fundiertes Sachrechnen“; siehe etwa [20, 76]. Eine
”
” klassische“ Logarithmentafel ist die von P. Schulz, mit der viele Schüler ihre Erfahrungen
gesammelt haben; siehe [75]. Zur Geschichte des Logarithmus siehe etwa [67].
Stand: 21. November 2011 37 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

5 Benford–Zahlen
Benford‘s Law gives auditors the expected frequencies of
the digits in tabulated data. The premise is that we would
expect authentic and unmanipulated data to exhibit these
patterns. If a data set does not follow these patterns,
however, a few possible reasons exist to explain this
phenomenon: 1. The data set did not meet the three tests,
and/or, 2. The data set includes invented numbers, biased
numbers, or errors.
Mark Nigrini
Hier berichten wir über eine interessante Beobachtung im ” Zoo der Zahlen“, nämlich
über die Tatsache, dass in gewissen Datensätzen die Eins als erste Ziffer häufiger vorkommt
als andere Ziffern. Diese Beobachtung wurde erstmals gemacht von S. Newcomb 1861, aber
dann wieder vergessen. Neu entdeckt wurde sie von F. Benford 1938, von dem nun diese
Beobachtung ihren Namen hat. Zahlenfolgen aus Datenmaterial der Börsenseite etwa
entnommen eignet sich daher nicht notwendigerweise als Generator für (gleichverteilte)
Zufallszahlen.
5.1 Die Beobachtung von Newcomb und Benford
Die Geschichte zur Untersuchung der obigen ” unregelmäßigen Häufigkeitsverteilung“ begann
beim Betrachten von Logarithmentafeln, und zwar berichtete der amerikanische
Mathematiker und Astronom S. Newcomb 1881 ([61]), dass die vorderen Seiten deutlich
stärker abgegriffen waren, als die hinteren. Dies wäre bei anderen Büchern als Logarithmentafeln
in Bibliotheken durchaus erklärlich, denn viele Leute beginnen ein Buch zu
lesen, hören aber vorzeitig damit wieder auf, weil sie keine Zeit mehr haben, weil es ihnen
zu langweilig wird, weil es ihnen zu kompliziert wird u.ä.. Wenn viele die Lektüre unfertig
unterbrechen – Kein Mensch liest ein langweiliges Buch bis zum Schluss“– ist es klar,
dass der Anfang von Büchern abgenützter sein kann als der Schluss. Aber warum soll
dies bei Logarithmentafeln der Fall sein? Diese werden ja nach anderen Gesichtspunkten
benützt. Die einzige Erklärung, die es dafür gibt, ist, dass der Logarithmus von Zahlen
mit niedrigen Anfangsziffern (1,2, ... ) häufiger gesucht wurde als von Zahlen mit hohen
Anfangsziffern (9,8, ... ). Aber warum? Newcomb gibt eine heuristische Begründung,
klärt aber den Zusammenhang mit den Zahlenmengen, deren Logarithmen in der Tafel
aufgesucht wurden, nicht wirklich.
1938 stieß der amerikanische Physiker
F. Benford ([7]) auf dieselbe überraschende
Beobachtung, allerdings auf einem etwas
anderem Weg. Benford analysierte Datenmaterial,
das u.a. ” Stadt, Land, Fluss“ und
physikalische Konstanten beinhaltete; siehe
die Tabelle in Abbildung 12.
Das Benford-Gesetz handelt von den
ersten Ziffern einer Zahl. Dabei sind auch
Dezimalzahlen zugelassen. Wir bezeichnen
mit D1 die erste signifikante Ziffer einer
Zahl, also
Abbildung 12: Aus der Benford-Tabelle
D1(314) = 3, D1(0.0314) = 3, D1( √ 2) = D1(1.414 . . . ) = 1, D1(π) = 3 .
Stand: 21. November 2011 38 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

5.1 Die Beobachtung von Newcomb und Benford
Analog sind D2, D3, . . . erklärt. Allerdings ist nun als signifikante Ziffer auch die Null
erlaubt. Dazu später.
Das Benfordsche Gesetz sagt also einem Zahlenmaterial die Eigenschaft zu, dass die
Wahrscheinlichkeit pi, darunter eine Zahl x mit D1(x) = di (di = 1, i = 1, 2, . . . , 9) zu
finden, folgenden Wert besitzt:
pi = log(1 + 1
) .
Natürlich ist dies nur eine vage Definition, denn es sind dabei Besonderheiten des Zahlenmaterials
zu bedenken: endlich, unendlich, . . . .
Kommen Zahlen mit niedrigen Anfangsziffern ” in der Welt“ häufiger vor? Warum sollte
die Natur eine Präferenz für die 1 als Anfangsziffer haben? Es gibt solches Datenmaterial
und das Gesetz, das die Häufigkeit der Ziffern numerisch fasst, heißt Benfordsches
Gesetz. Anders gefasst wird dieser Sachverhalt auch als Newcombsches Mantissengesetz
bezeichnet. Ein wichtiges Kriterium fur die Anwendbarkeit des Benfordschen Gesetzes
ist die Skaleninvarianz einer Datenverteilung. Dies bedeutet, dass sich die Verteilung
der Anfangsziffern in einem Datensatz durch Multiplikation mit einer Konstanten nicht
verändert. Diese Eigenschaft erklärt unmittelbar, warum in Steuererklärungen, Bilanzen,
etc., oder allgemein bei Datensätzen, deren Zahlen Geldbeträge darstellen, das Benfordsche
Gesetz gilt. Wenn es überhaupt eine universell gültige Verteilung der Anfangsziffern
in solchen Datensätzen gibt, dann muss diese Verteilung unabhängig davon sein, in welcher
Währung die Daten angegeben werden, und die universelle Verteilung darf sich auch durch
Inflation nicht verändern. Beides bedeutet, dass die Verteilung skaleninvariant sein muss.
1961 gelang dem Mathematiker Roger Pinkham der Beweis, dass die einzige zulässige
Verteilung für einen skaleninvarianten Datensatz die Benford-Verteilung ist.
Machen wir den Versuch einer heuristischen
Erklärung des Benfordschen Gesetzes.
Die Eins ist von Null auf der
Zahlenskala nicht weiter entfernt als die
Fünf von der Sechs. Für die wirklichen
Dinge allerdings, die gezählt, gemessen
oder gewogen werden, kann der Weg der
Ergebnisse von der Eins zur Zwei sehr
lang sein: um ihn zurückzulegen, müssen
sie auf das Doppelte wachsen. Einer
Fünf fehlt dagegen nur ein Fünftel, um
zur Sechs zu werden.
Abbildung 13: Erste Ziffer bei NASDAQ-Kursen
Anhand des DAX ist dies leicht
verständlich. Stände der DAX gerade
bei 1000 Punkte, dann müssten sich die
Aktienkurse im Schnitt verdoppeln, ehe der DAX die 2000 erreicht. Solange bliebe die
Eins als führende Ziffer auf allen Listen. Stünde der DAX aber bei 5000 Punkten, so
müsste der Wert nur noch um 20 Prozent steigen, ehe mit 6000 die Fünf als erste Ziffer
abgelöst wird. Noch kleiner ist im Verhältnis der Schritt von 9000 auf 10000. Dann aber
erscheint wieder die Eins an erster Stelle, und sie bleibt so lange, bis der Index sich auf
20 000 abermals verdoppelt. Was wächst oder schrumpft, verharrt deshalb relativ lang im
Bereich der führenden Ziffer, besonders ausgeprägt ist dies bei der Eins.
Das Benford-Gesetz gilt auch für viele Größen, die sich nicht wesentlich ändern im
Lauf der Zeit, zum Beispiel für die Fläche von Gewässern. Ob man sie in Quadratmetern
mißt, in Quadratmeilen oder in Hektar, immer tritt die Eins vorneweg gehäuft auf. Die
Stand: 21. November 2011 39 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
di

5.2 Neuere Beobachtungen
Wachstumsbegründung sticht hier nicht, vielmehr hat es wohl mit der Häufigkeit der
Gewässer kleiner, mittlerer und großer Größe zu tun.
5.2 Neuere Beobachtungen
Kurse der NASDAQ
Man kann die berechtigte Vermutung haben,
dass auf einer Zeitungsseite, auf der
Zahlen zu unterschiedlichen Themen aufgelistet
sind, die Ziffern 0, 1, 2, . . . , 9 in nahezu
gleicher Häufigkeit zu finden sind.
Abbildung 14: 100 Fibonacci-Zahlen
29
Warum daraus nicht eine Tabelle von Zufallszahlen
fertigen, indem wir etwa eine
Tabelle der Ziffernfolge in Fünfer-Blöcken
erstellen; siehe die RAND-Tabelle in Abschnitt
2.5. Dabei spielt offenbar die Ziffer
Null eine Sonderrolle, da sie als führende
Ziffer im Allgemeinen nicht vorkommt. Wie
wir zur Kenntnis nehmen müssen, sind
die Ziffern auf solchen Zeitungsseiten keine
guten Zufallszahlen, da sie z.B. auch
Börsendaten enthalten mögen. Hier sind
die Ziffern im Allgemeinen Benford-verteilt. Dazu kommen wir nun.
Die NASDAQ ist die größte Börse der
USA. Sie umfasst ca. 900 Arbeitsplätze
und wurde 1971 gegründet. Heute wird sie
von Robert Greifeld geleitet und macht
jährlich rund 1600 Mio. USD Umsatz. 30
Sie sitzt in New York und ist weltweit bekannt.
Das Diagramm 13 zeigt im Vergleich
mit der Benford-Verteilung die Kurse der
NASDAQ am 16. Juli 2011. Die Auswertung
zeigt ganz deutlich, dass die Kurse
der NASDAQ (im Diagramm mit Blau gekennzeichnet)
fast die die gleiche Verteilung
haben wie die Benford-Verteilung vorgibt;
kleine Ausreisser sind allerdings zu sehen.
Auffallend ist die signifikante Abweichungen
bei der Ziffer 5 gibt. Wenn man
Ziffer Häufigkeit in % Benford
1 0.301 0.30103
2 0.176 0.17609
3 0.126 0.12493
4 0.096 0.09691
5 0.079 0.07918
6 0.067 0.06694
7 0.057 0.05799
8 0.053 0.05115
9 0.045 0.04575
Abbildung 15: 1000 Fibonacci-Zahlen
noch mehr Kurse-Zahlenmaterial zur Verfügung hätte, würde – nach dem Gesetz der
großen Zahl (siehe vorheriges Kapitel) – das Ergebniss wohl noch genauer die Benfordschen
Verteilung widerspiegeln.
Fibonaccizahlen und Benford-Verteilung
Im Abschnitt 6.2 werden wir die Fibonacci-Zahlen als interessante Folge von ganzen Zahlen
etwas genauer kennengelernen. Hier bringen wir sie in Verbindung mit der Benford-
29 Klar, eine Tabelle von Jahreszahlen allein kann offenbar nicht in Betracht kommen.
30 Stand Juli 2011
Stand: 21. November 2011 40 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Verteilung. Die Fibonacci-Zahlen werden rekursiv definiert durch
f0 := f1 := 1 , fn+1 := fn + fn−1 , n ∈ N .
Damit ergibt sich eine (schnell) wachsende Folge (fn)n∈N0 :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 . . . .
5.3 Das Mantissengesetz
Die führenden Ziffern dieser Zahlen zeigen natürlich noch keine Auffälligkeit, der betrachtete
Abschnitt ist viel zu kurz. Betrachten wir jedoch die ersten 100 bzw. 1000
Fibonacci-Zahlen, so ergeben sich die in den Abbildungen 14 bzw. 15 notierten Häufigkeiten.
Sie deuten an, dass die Zahlen Benford-verteilt sein könnten. Sie sind es in der Tat! Dies
hängt mit der Tatsache zusammen, dass sie einem potentiellen Wachstumsgesetz gehorchen.
Aufschluss über das Wachstum erhält man, wenn man die Formel von Binet
heranzieht, die wir im Abschnitt 6.2 etwas genauer vorstellen werden. Sie lautet:
fn = 1
√ 5
�
g n + 1
g n
�
, n ∈ N . (13)
Hierbei ist g := 1
2 (1 + √ 5) die goldene Schnittzahl. Man stellt nämlich wegen g > 1 fest,
dass
fn ≈ 1
√ 5 g n , n ∈ N , (14)
gilt. Die Fibonaccizahlen sind also näherungsweise skalierte Wachstumszahlen. Damit
bleibt wegen der behaupteten Skaleninvarianz der Benford-Verteilung nun nur noch die
Frage, ob die Zahlenfolge
an := g n , n ∈ N,
nach Benford verteilt ist. Ist möglicherweise jede geometrische Folge Benford-verteilt?
Nein, denn offenbar ist die Folge (10 n )n∈N nicht Benford-verteilt. Den Nachweis, dass die
Fibonacci-Folge Benford-verteilt ist, erbringen wir später.
5.3 Das Mantissengesetz
Zur Formulierung und Analyse des nun folgenden Benford-Gesetzes und Mantissengesetzes
benötigen wir etwas Vertrautheit mit den Logarithmen.
Newcomb schreibt einer Menge von
natürlichen Zahlen – wir beziehen uns
nur auf die in der Dezimaldarstellung –
die Eigenschaft zu, dass sie dem Mantissengesetz
gehorcht, wenn folgende
Aussage zutrifft:
Die Häufigkeit von Zahlen
der Menge ist so, dass die
Mantissen ihrer Logarithmen
gleichverteilt sind.
Newcomb gibt zwar eine heuristische
Begründung, spezifiziert jedoch nicht
wirklich, für welche Zahlmengen dieses
Mantissengesetz gelten sollte. Newcomb
Ziffer i Häufigkeit/% Ws(z ∈ Ei)
1 30.1 log(2)
2 17.6 log( 3
2 )
3 1.5 log( 4
3 )
4 9.7 log( 5
4 )
5 7.9 log( 6
5 )
6 6.7 log( 7
6 )
7 5.8 log( 8
7 )
8 5.1 log( 9
8 )
9 4.6 log( 10
9 )
Abbildung 16: Benford-Häufigkeiten
Stand: 21. November 2011 41 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

5.3 Das Mantissengesetz
betrachtet also nur natürliche Zahlen und betrachtet die Häufigkeit, mit der die erste
Ziffer eine Eins, eine Zwei, . . . , eine Neun ist.
Verabredungsgemäß ist die Mantisse 31 eines (dekadischen) Logarithmus nur die Zahl
der Nachkommastellen. Da Newcomb nur die Mantissen der Logarithmen betrachtet, liegt
folgende Darstellung beliebiger positiver Zahlen x zugrunde:
x = a · 10 e mit 1 ≤ a < 10, e ∈ Z .
Die Mantisse des dekadischen Logarithmus ist dann wegen
log(a) da log(x) = log(a) + e .
Definition 5.1 Die (dezimale) Signifikanz-Funktion S : (0, ∞) −→ [1, 10) ist definiert
wie folgt:
S(x) = t falls x = t · 10 e mit einem t ∈ [1, 10) für ein e ∈ Z .
Beachte für x ∈ (0, ∞) : S(S(x)) = x , S(10 k x) = S(x) für alle k ∈ Z .
Definition 5.2 Ist x eine reelle Zahl, so ist
〈x〉 := x − ⌊x⌋
der Bruchteil von x . �
Dabei ist ⌊x⌋ die größte ganze Zahl, die kleiner gleich x ist. Beispielsweise:
〈33.04〉 = 0.04 , 〈−33.04〉 = 0.96 , 〈 √ 2〉 = 0.4142 . . . , 〈π〉 = .1415 . . . .
Der Zusammenhang dieser Begriffe (erste Ziffer, Signifikanz-Funktion, Bruchteil) ergibt
sich aus folgendem Sachverhalt.
S(x) = �
m∈N 101−m Dm(x) ;
Dm(x) = ⌊10 m−1 S(x)⌋ − 10⌊10 m−2 S(x)⌋ für alle m ∈ N ;
S(x) = 10 log(x) − ⌊log(x)⌋ .
Beachte auch folgende Eigenschaft
〈log(x)〉 = 〈log(10 s x)〉 für alle x ∈ (0, ∞), s ∈ N , (15)
die sich aus der Funktionalgleichung (10) ableitet.
Nun können wir das Benfordsche Gesetz und das Mantissengesetz neu formulieren; wir
tun dies (nur) für Zahlenfolgen.
Definition 5.3 Ist (an)n∈N eine Folge positiver Zahlen, so sagen wir, dass diese Folge
dem Mantissengesetz genügt, wenn gilt:
1
b − a = lim
N→∞ N #{n ∈ N|a ≤ 〈log10(an)〉 ≤ b} , 0 ≤ a < b ≤ 1 . (16)
31 mantissa (lat.) = Zugabe, Anhängsel
Stand: 21. November 2011 42 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
�
�

5.3 Das Mantissengesetz
Definition 5.4 Ist (an)n∈N eine Folge positiver Zahlen, so sagen wir, dass diese Folge
dem starken Benford-Gesetz folgt oder stark Benford-verteilt ist, wenn gilt:
1
log10(x) = lim
N→∞ N #{n ∈ N|0 ≤ 〈an〉 ≤ x} , x ∈ (0, 1] . (17)
Es sollte nun keine Überraschung sein, dass folgender Sachverhalt richig ist:
Satz 5.5 Eine Folge (an)n∈N positiver Zahlen genügt dem Mantissengesetz genau dann,
wenn sie stark Benford-verteilt ist. �
Nun bleibt immer noch das Problem, bei konkreten Folgen zu erkennen, ob sie Benfordverteilt
ist. Dazu hat Hermann Weyl 1916 einen wichtigen Beitrag – beachte, zeitlich vor
Benford und unabhängig von der Entdeckung von Newcomb – geleistet. Er hat nämlich
Folgen charakterisiert, die gleichverteilt sind modulo 1.
Definition 5.6 Ist (an)n∈N eine Folge positiver Zahlen, so sagen wir, dass diese Folge
gleichverteilt modulo 1 ist, wenn gilt:
1
b − a = lim
N→∞ N #{n ∈ N|a ≤ 〈an〉 ≤ b} , 0 ≤ a < b ≤ 1 . (18)
Satz 5.7 (Gleichverteilungssatz) Sei a eine positive reelle Zahl. Dann ist die arithemtische
Folge (na)n∈N gleichverteilt modulo 1, falls a nicht rational ist.
Den Beweis dieses Satzes haben H. Weyl, W. Sierpinski, P. Bohl um 1910 unabhängig
voneinander bewiesen; siehe [54] und [85].
Der Satz 5.7 hilft uns nun zusammen mit Satz 5.5 weiter bei der Frage, wann eine
Folge Benford-verteilt ist. Wir können nun auflisten:
• (a n )n∈N ist Benford-verteilt, falls log 10(a) nicht rational ist.
• (10 n )n∈N ist nicht Benford-verteilt. Klar, denn sie genügt nicht dem Weylschen Kriterium,
aber es ist ja auch die ” ärmliche“ Folge 10, 100, 1000, . . . und modulo 1
0, 0, 0, . . . .
• (fn)n∈N ist Benford-verteilt. Dies folgt aus der Betrachtung, die die Formel von Binet
erläutert; siehe (27).
Grundlegend für die Gültigkeit des Mantissengesetzes in einem Datensatz ist die Tatsache,
dass der Datensatz skaleninvariant ist. Die Voraussetzung von Skaleninvarianz erscheint
schon deshalb plausibel, weil das Mantissengesetz unabhängig von den gewählten
Einheiten gelten sollte. Wenn beispielsweise die Anfangsziffern von Aktienkursen ausgedrückt
in Euro Benford-verteilt sind, dann sollten sie das auch sein, wenn man die Kurse
in mexikanische Pesos umrechnet. Diese Skaleninvarianz folgt aus folgender Betrachtung.
Ist die Folge (an)n∈N positiver Zahlen Benford-verteilt, dann ist es auch die Folge
(can)n∈N, wenn c eine positive Zahl ist, denn es gilt ja
#{n ∈ N|a ≤ 〈log 10(can)〉 ≤ b} ⇐⇒ #{n ∈ N|a ≤ 〈log 10(c) + log 10(an)〉 ≤ b}
⇐⇒ #{n ∈ N|〉a ≤ 〈log 10(an)〉 ≤ b〉}
Stand: 21. November 2011 43 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
�
�

woraus
folgt.
1
b − a = lim
N→∞ N #{n ∈ N|a ≤ 〈log10(can)〉 ≤ b} , 0 ≤ a < b ≤ 1 ,
5.3 Das Mantissengesetz
Wie konnte nun Newcomb mit Hilfe seines Mantissengesetzes das Phänomen der abgenutzten
Seiten seiner Logarithmentafel erklären? Dazu nehmen wir an, eine Menge von
zufälligen Zahlen sei so verteilt, dass sie dem Mantissengesetz gehorcht. Dann definieren
wir für die Ziffern i ∈ {1, 2, . . . , 9} die Mengen
Ei := {x ∈ R|x ≥ 0, führende Ziffer von x ist i} = �
k∈Z
[i10 k , (i + 1)10 k ) (19)
Ei steht für die Zahlen, die mit der Ziffer i beginnen. Offenbar ist nun [0, ∞) = �
i=1,...,9 Ei .
Sei nun z eine Zahl in [0, ∞), betrachtet als Zufallszahl. Was ist die Wahrscheinlichkeit,
dass z zu einer der Mengen Ei gehört?
z ∈ Ei ⇐⇒ es gibt ein k ∈ Z mit z ∈ [i10 k , (i + 1)10 k )
⇐⇒ es gibt ein k ∈ Z mit log(z) ∈ [log(i10 k ), log((i + 1)10 k ))
⇐⇒ es gibt ein k ∈ Z mit 〈log(z)〉 ∈ [〈log(i10 k )〉, 〈log((i + 1)10 k ))〉
⇐⇒ es gibt ein k ∈ Z mit 〈log(z)〉 ∈ [log(i10 k ), log((i + 1)10 k ))
Mit Hilfe der Gleichverteilung der Mantissen der Logarithmen (siehe Mantissengesetz)
erhalten wir:
Ws(z ∈ Ei) = Ws(log(z) ∈ [log(i), log(i + 1)))
� �
1 + i
= log(i + 1) − log(i) = log
i
�
= log 1 + 1
�
i
Bei dieser Formel steht “Ws(z ∈ Ei)“ für die Wahrscheinlichkeit, mit welcher das Ereignis
“z ∈ Ei“ eintritt. Damit lässt sich die Verteilung nach Benford errechnen. Mit Hilfe der
Funktionalgleichung des Logarithmus (10) erhalten wir
9�
log
i=1
�
1 + 1
�
i
und es ist klar, dass die Zahlen
�
2 3 4 5 6 7 8 9
= log
1 2 3 4 5 6 7 8
pi := log
10
9
�
= log
�
1 + 1
�
, i = 1, . . . , 9,
i
� �
10
= 1
1
als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden können, denn offenbar sind alle Zahlen pi auch
positiv.
Die Formel
�
Ws(z ∈ Ei) = log 1 + 1
�
i
heißt Benfordsches Gesetz über die erste Ziffer. In der Abbildung 16 sind die Häufigkeiten
und die Wahrscheinlichkeiten für die Ziffern aufgelistet.
Um zu verifizieren, dass eine bestimmte Folge nicht Benford-verteilt ist, ist folgender
Satz nützlich. 32
32 Mit dem Symbol lim supn bezeichnen wir den größten Häufungspunkt einer Zahlenfolge. Dazu schaut
man sich alle konvergenten Teilfolgen der betreffenden Zahlenfolge an und wählt die konvergente Teilfolge
mit dem größten Grenzwert aus; dieser Grenzwert ist dann lim sup n.
Stand: 21. November 2011 44 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
(20)

Satz 5.8 Ist die Zahlenfolge (an)n∈N Benford-verteilt, so gilt
� � ��
an+1
lim sup n log = ∞
n
Den Beweis findet man in [26].
an
5.4 Anwendung: Benford und Betrüger
Mit Satz 5.8 lässt sich ableiten, dass folgende Folgen nicht Benford-verteilt sind:
• n b für beliebiges reelles b
• Arithmetische Folgen beliebiger Ordnung
• log b n für beliebiges reelles b > 1
• Primzahlfolge (pn)n∈N
• (log b pn)n∈N für beliebiges reelles b > 1
Beispielsweise lässt sich dies für die Folge an := n leicht überprüfen:
� � ��
an+1
lim sup n log
n
an
=
� � ��
n + 1
lim sup n log
n
n
= lim sup (n(log(n + 1) − log(n)))
n
= lim sup (n log(n + 1) − n log(n))
n
Da n log(n + 1) und n log(n) für genügend großes n ” fast den selben Wert“ annehmen,
wird der Grenzwert Null; siehe nun Satz 5.8.
Für die Folge (n 2 )n∈N lässt sich ähnlich schnell zeigen, dass
lim sup
n
�
n log
� �� 2 (n + 1)
= 0
gilt, womit auch diese Folge nicht Benford-verteilt ist.
Als weiteres Beispiel betrachten wir die Folge an := log(n) := log10(n) . Sie ist nicht
Benford-verteilt wegen
lim sup
n
�
n log
� an+1
an
��
5.4 Anwendung: Benford und Betrüger
n 2
� � ��
log(n + 1)
= lim sup n log
n
log(n)
= lim sup (n(log(log(n + 1)) − log(log(n))))
n
�= ∞
Hier wollen wir einige Anwendungen der Benford-Verteilung anführen. Der Ansatz bei den
Anwendungen ist, in Zahlenmaterial, dem unterstellt wird, dass es der Benford-Verteilung
folgt, Abweichungen von der Benford-Verteilung zu erkennen und diese als (bewusste)
Fälschung des Zahlenmaterials auszuweisen. Man hüte sich aber vor Schnellschüssen! Starke
Abweichungen fallen schnell auf, geringere können auch auf den Zufall zurückzuführen
sein; man spricht von Fehlern erster (echte Daten wirken manipuliert) und zweiter Art
(manipulierte Daten wirken echt).
Stand: 21. November 2011 45 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Gefälschte Steuererklärungen
5.4 Anwendung: Benford und Betrüger
Es gibt Hinweise, dass Teile des Zahlenmaterials in einer Steuererklärung nach Benford
verteilt sein sollte; siehe [WeG10]. Die Spiegel-Schlagzeile
Ein kurioses Gesetz der Wahrscheinlichkeitstheorie kann Finanzbeamten helfen,
Steuersünder aufzuspüren
aus dem Jahre 1998 33 befasst sich mit dem Benford-Gesetz hinsichtlich der Möglichkeit,
Fälschern von Steuererklärungen auf die Schliche zu kommen.
M.J. Nigrini in [63] setzte diesen Ansatz in die Tat um. Er schrieb ein (einfaches)
Computer-Programm, mit dem man große Zahlenmengen auf die Gültigkeit des Benfordschen
Gesetzes analysieren kann. Seine Idee war: wenn Zahlen in der Buchhaltung eines
Betriebs oder in einer Steuererklärung von der Benford-Verteilung (statistisch) signifikant
abweichen, könnten dahinter eventuell betrügerische Absichten stecken. Erste Untersuchungen
seinerseits bestätigten die Vermutung: korrekte Steuererklärungen genügen der
Benford-Verteilung während betrügerische deutlich davon abweichen. Das von Nigrini entwickelte
Verfahren wird mittlerweile von mehreren Steuerbehörden erfolgreich eingesetzt.
Gefälschte wissenschaftliche Publikationen
Benford’s Beobachtung kann man sich auch im Kleinen nutzbar machen, nämlich bei einer
Methode in der Medizin/Mikrobiologie, die mit der Darstellung von Forschungsergebnisse
mit Hilfe von graphischen ” Klecksen“, so genannten Protein-Klecksen arbeitet. Diese
Methode wird ” Blotting“(Southern-, Western-, Northern-) genannt.
Ein Fälschungsskandal in der Medizingeschichte ist verbunden mit dem Krebsforscher
Friedhelm Herrmann. Eine unabhängige Untersuchungskomission untersuchte 347 Publikationen,
in denen er Co-Autor war und stellte fest, dass 94 davon manipulierte Daten
enthielten. In Laborversuchen ermittelte Protein-Klecksen sind in ihrer Größe Benfordverteilt.
Stellt man also in Publikationen fest, dass die veröffentlichten Protein-Kleckse
nicht nach Benford verteilt sind, geht man von gefälschten Daten aus. Diese Untersuchung
wurde angestellt und nach der Untersuchung der Verteilungen aus der Herrmannund
einer Kontrollgruppe konnte man behaupten, dass der Verdacht groß ist, dass die
Flächen von Northern Blots Benford-verteilt sind. Die Verteilung der Hermann-Gruppe
hat eine etwas geringere Übereinstimmung mit der Benfordverteilung. Der Unterschied
ist jedoch nicht so bedeutend, dass man nur anhand dieser Unstimmigkeit den Verdacht
von Manipulation erheben könnte. Es ist auch zu bemerken, dass man keine Rückschlüsse
auf einzelne Publikationen machen kann, da man für das Aufstellen einer Verteilung eine
größere Datenmenge braucht; siehe [28] und [79]. Im übrigen ist man dabei frei, welche
Ziffernhäufigkeit man verwenden will. Es gibt Indizien, dass die Analyse der Verteilung
der zweiten Ziffer erfolgversprechender ist, als die der ersten Ziffer; siehe [28].
Gefälschte Wahlergebnisse
Es sind seit den Präsidentschaftswahlen im Iran 2009 Analysen angestellt worden, ob
es Hinweise gibt, dass die Ergebnisse gefälscht sind. Als Ansatz für die Untersuchungen
wurde auch das Benfordsche Gesetz herangezogen.
Zur Wahl standen vier Kandidaten: Ahmadinedschad, Moussawi, Karroubi, Rezai. Insgesamt
beteiligten sich knapp 40 Mio. Wähler, die sich auf 366 verschiedene Wahlbezirke
aufteilten. Die Anzahl der abgegebenen Stimmen in den einzelnen Wahlbezirken schwankt
zwischen den Größenordnungen 10 3 und 10 6 . Auch die Stimmzahlen für die einzelnen
33 16. 11. 1998, siehe http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-8032391.html
Stand: 21. November 2011 46 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

5.5 Benford bei dynamischen Systemen
Kandidaten sind ungefähr über drei Größenordnungen verteilt. Es kann daher davon ausgegangen
werden, dass alle Daten, die untersucht werden sollen, über einen genügend
großen Bereich streuen, so dass eine aussagekräftige Benford-Analyse durchgeführt werden
kann. In [70] und [WeG10] kommt die Benford-Analyse der Daten zum Schluss, dass
eine Manipulation der Wahlergebnisse sehr naheliegend ist.
In [22] werden Überlegungen angestellt, inwieweit die Wahlen zum Deutschen Bundestag
unter der Annahme, dass Wahlergebnisse, genauer die Voten für die Parteien bzw.
Kandidaten, dem Benford-Gesetz folgen sollten, Auffälligkeiten zeigen.
Gefälschte Statistiken
Über eine weitere Wahrnehmung der Benford-Verteilung wird in der Frankfurter Allgemeinen
Sonntagszeitung am 18. 9. 2011 unter dem Titel ” Zahlen mit Frisur“ berichtet. Hier
steht die Untersuchung der Piigs–Staaten (Portugal, Italien, Irland, Griechenland, Spanien)
hinsichtlich der Haushaltsdaten, die 1999 bis 2009 an die EU übermittelt wurden, mit
Hilfe der Benford-Analyse im Vordergrund. Die neue Veröffentlichung dieser Daten der 27
EU-Staaten hat nach einer Analyse, inwieweit die Zahlen dem Benford-Gesetz genügen,
zu einem Ranking geführt, mit teilweise überraschenden Ergebnissen. In das Bild der
aktuellen Diskussion passt, dass Griechenland hier den letzten Platz einnimmt bei allen
unterschiedlichen Aufbereitungen der Daten. Man sollte aber vorsichtig sein: das Ranking
kann nur der Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen sein.
5.5 Benford bei dynamischen Systemen
Da das Konzept ” Dynamische Systeme“ viele Fragen in diesem Aufsatz berührt, wollen
wir die Benford-Analyse bei dynamischen Systemen skizzieren. Da wir mit dynamischen
Systemen u.a. das Wachsen/Schrumpfen von Population beschreiben können, ist es nicht
verwunderlich, dass es hier auch positive Befunde für das Vorliegen der Benford-Verteilung
gibt.
Unter einem (deterministischen) dynamischen System versteht man das mathematische
Modell eines zeitabhängigen Prozesses. 34 Sie finden vielfältige Anwendungen auf
Prozesse im Alltag und erlauben Einblicke in viele Bereiche nicht nur der Mathematik,
sondern auch der Physik oder der theoretischen Biologie. Man unterscheidet zwischen
diskreter und kontinuierlicher Zeitentwicklung. Bei einem diskreten dynamischen System
ändern sich die Zustände in äquidistanten Zeitsprüngen, d.h. in auf einander folgenden,
stets gleich großen zeitlichen Abständen, während die Zustandsänderungen eines kontinuierlichen
dynamischen Systems in infinitesimal kleinen Zeitschritten stattfinden. Wichtigste
Beispiele für kontinuierliche dynamische Systeme ergeben sich im Zusammenhang
mit gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Starten wir mit einer konkreten Situation. Die Entwicklung einer Spareinlage von Jahr
zu Jahr bei Verzinsung jeweils am Jahresende zu einem festen Zinssatz r > 0 lässt sich
einfach verfolgen: Ist x das Kapital am Beginn des Jahres n, so ist y := x+x·r das Kapital
am Beginn des Jahres n + 1. Also haben wir für die Kapitalentwicklung vom Jahre n = 0
an folgende Iterationsvorschrift
xn+1 = (1 + r)xn , n ∈ N0 , d.h. xn = (1 + r) n x0 , n ∈ N.
34 Der Begriff des dynamischen Systems geht in seiner heutigen Form auf den Mathematiker George
David Birkhoff, 1884-1944, zurück.
Stand: 21. November 2011 47 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Eine Verdopplung des Kapitals beobachtet man nach etwa
n := ln(2)
ln(1 + r)
5.5 Benford bei dynamischen Systemen
Jahren. Nun könnte man auf die ” sozialistische“ Idee kommen, den Zinssatz abhängig von
der Kapitalhöhe zu gestalten, um das unbegrenzte Wachstum zu unterbinden. Ein Ansatz
für einen kapitalabhängigen Zinssatz ist
r = r(x) := (1 − x
K )r0.
Hier ist r0 der Zinssatz, mit dem kleine Guthaben verzinst werden und K das Guthaben,
bei dem der Zinssatz auf Null gesunken ist; für Guthaben oberhalb von K würden negative
Zinsen erhoben. Mit diesem Ansatz erhalten wir folgende Iterationsvorschrift
xn+1 = xn + (1 − xn
K )r0xn , d.h. xn+1 = (1 + r0)xn − r0
K x2 n , n ∈ N0. (21)
Der Zinssatz r0 für Kleinguthaben ist nun noch (frei) zu wählen.
Die Iterationsvorschrift (21) finden wir auch in der Populationskinetik. Dort steht
xn für die Populationsgröße einer Spezies in Biomasse (Hase, Fisch, . . . ) zu Beginn eines
Zeitabschnitts n (Jahr, Monat, . . . ); wir normieren eine solchen Zeitabschnitt auf 1. Dann
läßt sich die Vorschrift (21) so interpretieren: Die relative Zuwachsrate
xn+1 − xn
xn
= r0 − r0
K xn
ist abhängig von der Populationsgröße: sie ist nahezu konstant für kleine Populationsgrößen,
sie nimmt ab für wachsende Populationsgrößen. Diese Abnahme der Zuwachsrate
wird motiviert durch ” sozialen Druck“, dem eine Überpopulation ausgesetzt ist.
Die Iteration (21) verrät schon (fast) alles, was bei allgemeinen Iterationen passieren
kann. Wir betrachten die Iterationsvorschrift
xn+1 := ga(xn) , n ∈ N0, wobei ga(x) := ax(1 − x) , x ∈ [0, 1],
die sogenannte logistische Funktion ist. Die Umrechnung der obigen konkreten Situation
in unsere nun schlankere Form ist so möglich, dass ein Rückschluss auf unser Verzinsungsproblem
möglich ist. Nun haben wir zwei Größen in unserer Iteration, die noch
offen sind: der Parameter a ≥ 0 und der Startwert x0 ∈ [0, 1] . Das Intervall [0, 1] ist in
Korrespondenz zum Guthabenintervall [0, K] . Da ga nur dann [0, 1] nach [0, 1] abbildet,
wenn a ≤ 4 ist, betrachten wir also nur das Parameterintervall [0, 4].
Für die Betrachtung allgemeiner Iterationen benötigen wir einen Betrachtungsrahmen,
Begriffe und Resultate. Dies gelingt durch die Einbeziehung des metrischen Raums.
Rahmen: Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum 35 und sei f : X −→
X die Abbildung, deren Iterierte wir betrachten wollen.
Bezeichnung: Wir verwenden die Schreibweise 36
Vereinbarung: f ist stetig.
f ◦0 := id , f ◦1 := f ; f ◦(n+1) := f ◦ f ◦n , n ∈ N .
35 Ein metrischer Raum ist eine Menge von Punkten, in der der Abstand der Punkte untereinander mit
einer so genannten Metrik gemessen werden kann. Damit sind dann Cauchyfolgen, Konvergenz, Grenzwert
in einer zu den reellen Zahlen analogen Weise erklärt. Vollständigkeit stellt sicher, dass Cauchyfolgen
konvergieren.
36 Mit f ◦ g bezeichnen wir die Abbildung, die die Hintereinanderausführung von f, g beschreibt: zuerst
g dann f.
Stand: 21. November 2011 48 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

5.5 Benford bei dynamischen Systemen
Definition 5.9 Eine Folge (f ◦n (x 0 ))n∈N0 heisst Orbit mit Startpunkt x0 ∈ X . �
Um die ” Konvergenzeigenschaften“ eines Orbits geht es nun. Interessante Punkte x ∗
sind:
• Fixpunkte: der Orbit (f ◦n (x ∗ ))n∈N0 ist konstant, d.h. x ∗ bleibt fix.
• Periodische Punkte; siehe unten.
• Anziehende Punkte. Dies sind Punkte xâ o , die alle Punkte x 0 aus einer Umgebung
von x ∗ anziehen: lim n f ◦n (x 0 ) = x ∗ . Ist f hinreichend gutartig (stetig!), dann ist
jeder anziehende Punkt ein Fixpunkt.
Definition 5.10
a) x ∗ ∈ X heisst periodischer Punkt genau dann, wenn es N ∈ N gibt mit
N heisst Periode von x ∗ .
f ◦n (x ∗ ) �= x ∗ , 1 ≤ n ≤ N − 1 , f ◦N (x ∗ ) = x ∗ .
b) Ein Orbit (f ◦n (x0))n∈N0 heisst periodisch mit Periode N, wenn es k ∈ N gibt, so
dass x ∗ := f ◦k (x0) ein periodischer Punkt mit Periode N ist.
Wir betrachten als erstes die Iteration
der Modulo–Abbildung
xn+1 := M(xn) , n ∈ N0 ,
M : [0, 1] −→ [0, 1] , M(x) :=
� 2x, x ∈ [0, 1/2),
2x − 1, x ∈ [1/2, 1],
�
; (22)
siehe Abbildung 17. Diese Abbildung ist nicht injektiv und bei x = 0.5 ” unstetig“. Ferner
sind folgende Eigenschaften unmittelbar klar:
(a) M hat genau zwei Fixpunkte, nämlich x ∗ = 0 und x ∗ = 1.
(b) M ◦N hat genau 2 N Fixpunkte. Davon bilden einige echte Orbits der Period N, die
anderen gehören zu niedrigeren Perioden.
(c) Da M die Ableitung 2 für alle x ∈ [0, 1]\{ 1}
hat, ist kein Fixpunkt anziehend.
2
Die Wirkung der Abbildung lässt sich besser verstehen, wenn wir ein x ∈ [0, 1] in Dualdarstellung
schreiben:
∞�
x = 0, a1a2a3 . . . oder x = ai2 −i , ai ∈ {0, 1}.
Die Iteration bewirkt dann ein Streichen der ersten Ziffer und anschließende Linksverschiebung
um eine Stelle; die Modulo–Abbildung wird daher auch Bernoulli–Verschiebung
(Bernoulli–shift) genannt. Wir können sofort erkennen: Zahlen x, deren Dualdarstellung
periodisch ist mit der Periode N gehören zu Orbits der Periode N . Startpunkte,
deren Dualdarstellung ab einer gewissen Stelle periodisch ist, werden von periodischen
Orbits ” angezogen“. Damit ist uns erst das Schicksal der rationalen Punkte bekannt. So
gibt es genau einen Orbit der Periode 2, der aus den Punkten
i=1
x1 = 0, 0101 · · · = 1
3 , x2 = 0, 1010 · · · = 2
3
Stand: 21. November 2011 49 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

esteht und z.B. von x = 0, 011101010 . . .
nach drei Iterationen erreicht wird. Was geschieht
aber mit der überwiegenden Mehrheit
aller Punkte, nämlich den irrationalen Zahlen,
die durch nichtperiodische Dualbrüche
dargestellt werden? Es lässt sich zeigen, dass
fast alle – ” fast“ wollen wir hier nicht
näher erläutern – irrationalen Zahlen in ihrer
Dualdarstellung jede endliche Folge von
Ziffern unendlich oft enthalten. Jede ” typische“
Trajektorie irrt also fortwährend durch
das gesamte Intervall [0, 1] mit einer relativen
Häufigkeit, die asymptotisch zur Gleichverteilung
wird. Dies bedeutet, dass
lim k
1
k
k�
χ[a,b](M ◦i (x0)) = b − a
i=1
5.5 Benford bei dynamischen Systemen
1
Abbildung 17: Die Modulo–Abbildung
ist für jedes Intervall [a, b] ⊂ [0, 1] und es besagt, dass ein Orbit sich im Intervall [a, b] im
Mittel so oft aufhält, wie die Länge b − a uns nahelegt.
Die obige Iteration wird von einer Funktion ” gesteuert“, die nicht stetig ist. Das seltsame
Verhalten der Iteration hängt aber nicht von dieser Tatsache ab, wie die Iteration
xn+1 := Z(xn) , n ∈ N0 ,
mit der sogenannten Zeltdach–Abbildung
�
2x , falls x ∈ [0, 1/2),
Z : [0, 1] −→ [0, 1] , Z(x) :=
2 − 2x , falls x ∈ [1/2, 1],
zeigen kann; siehe Abbildung 18. Hier folgt aus der Dualdarstellung x = 0, a0a1a3 . . . von
x offenbar
�
0, a2a3a4 . . .
Z(x) =
0, a2a3a4 . . .
für
für
a1 = 0,
a1 = 1,
, (23)
so dass Z eine Bernoulli–Verschiebung und für a1 = 1 eine anschließende Komplementierung
aller Ziffern bewirkt. Die Komplementierung sieht so aus: 0 := 1, 1 := 0 .
Die für die Modulo–Abbildung getroffenen Aussagen bleiben fast wörtlich bestehen: Es
gibt zwei Fixpunkte (hier: x∗ = 0 und x∗ = 2 3
) und endlich viele Orbits der Periode N .
Alle rationalen Zahlen gehören zu Orbits der Periode N = 1, 2, . . . oder werden von diesen
angezogen. Jeder typische Orbit, d.h. ein Orbit mit irrationalem Anfangswert, besucht in
unregelmäßiger Folge das gesamte Intervall [0, 1] gleichmäßig.
Eine wichtige Begriffsbildung bei dynamischen Systemen ist die der Sensitivität. Poncaré
formuliert:
Eine sehr kleine Ursache, die wir nicht bemerken, bewirkt einen beachtlichen
Effekt, den wir nicht übersehen können, und dann sagen wir, der Effekt sei
zufällig. Wenn die Naturgesetze und der Zustand des Universums zum Anfangszeitpunkt
exakt bekannt wären, könnten wir den Zustand dieses Universums
zu einem späteren Moment exakt bestimmen. Aber selbst wenn es kein
Geheimnis in den Naturgesetzen mehr gäbe, so könnten wir die Anfangsbedingungen
doch nur annähernd bestimmen. Wenn uns dies ermöglichen würde,
Stand: 21. November 2011 50 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
1

5.5 Benford bei dynamischen Systemen
die spätere Situation in der gleichen Näherung vorherzusagen, so würden wir
sagen, dass das Phänomen vorhergesagt worden ist, und dass es Gesetzmäßigkeiten
folgt. Aber es ist nicht immer so; es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen
in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den
Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen
Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein
zufälliges Ereignis.
In dieser Aussage geht es um die Sensitivität eines Systems und damit um die Unmöglichkeit
einer Vorhersage. Unter Sensitivität versteht man kurzum inwiefern kleine Änderungen
bei den Anfangsbedingungen das Endergebnis beeinflussen: je stärker dies der Fall ist, desto
höher ist die Sensitivität. Das Prinzip der starken Kausalität ist nicht mehr anwendbar.
Schon bei einfachen Systemen, z.B. dem Werfen eines Würfels kann dies beobachtet
werden: die gewürfelte Augenzahl ist trotz der theoretisch möglichen Vorhersagbarkeit
chaotisch, d.h. zufällig. Siehe hierzu auch Abschnitt 2.5.
Kommen wir nun zur Benford-Aanalysis.
Aus der doch beträchtlichen Anzahl von Ergebnissen
stellen wir ein Ergebnis aus [14] vor.
Es handelt von einem Spezialfall eines dynamischen
Systems, nämlich von der Iteration
x n+1 := αx n (1 − f(x n )) , n ∈ N, (24)
mit einem Startwert x 0 . Hierbei ist α > 0
ein reeller Parameter und f eine Abbildung
der reellen Zahlen in sich mit f(0) = 0 . Die
Grö¨se des Parameters α spielt offenbar eine
Rolle für das Verhalten des entstehenden Orbits
(x n )n∈N . Welche Punkte x ∗ kommen als
(anziehende) Fixpunkte in Frage? Sicherlich
folgende drei Punkte:
x ∗ = 0 , x ∗ mit 1 = f(x ∗ ) , x ∗ = ∞ .
1
Abbildung 18: Die Zeltdach–Abbildung
Wir betrachten den Fall, dass x ∗ = 0 ein anziehender Fixpunkt des Orbits ist.
Satz 5.11 Sei die Abbildung f in (24) hinreichend gutartig. 37 Ist dann 0 ein anziehender
Fixpunkt, so ist der durch (24) beschriebene Orbit Benford-verteilt für alle Startwerte x 0 ,
die nahe dem Fixpunkt 0 sind, genau dann wenn log(α) irrational ist.
Bibliographische Anmerkungen
Die Zahlenkuriosität wurde erstmals entdeckt von S. Newcomb [61]. Neu entdeckt wurde
sie von F. Benford [7], von dem nun diese Beobachtung ihren Namen hat. Nahe am Thema
ist ein Artikel von Poincaré; siehe [69].
Eine sehr schöne Darstellung stellt die Ausarbeitung [43] von H. Hungerbühler zum
Thema der Benford-Zahlen dar. Eine Erläuterung zur Erklärung des Zahlenphänomens
findet man in [13, 31]. Der Artikel [12] arbeitet das Thema mathematisch systematisch auf.
Eine vollständige Bibliographie findet man unter [Ber11]. Hervorzuheben sind [42, 45, 68]
37 Dies bedeutet, etwas vage ausgedrückt, dass f eine Abbildung ist, die hinreichend gut durch einfache
Polynome approximiert werden kann.
Stand: 21. November 2011 51 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
1

5.5 Benford bei dynamischen Systemen
und [Ric10,Sch03]. Kernpunkt einer Analyse ist es, einen geeigneten wahscheinlichkeitstheoretischen
Rahmen aufzubauen. Der Zusammenhang mit der Gleichverteilung mod 1
wird in [26] diskutiert; siehe auch [50, 54, 85].
Fellers klassische Monographie An Introduction to Probability Theory and its Applications
(siehe [30]) enthält auch eine ” Ableitung“ des Benford-Gesetzes. Darin wird eine
hinreichende Bedingung dafür gegeben, dass eine Zufallsvariable X approximativ verteilt
nach Benford ist. In [11] findet sich eine ausführliche Diskussion über die zweifelhafte
Argumentation und eine Richtigstellung.
Die Benford-Verteilung ist die einzige Verteilung der Mantissen, die Basis-unabhängig
ist; siehe [40]. Dies bedeutet, dass ein Datensatz, der dem Benfordschen Gesetz genügt,
wenn er dargestellt ist mit einer Basis b1, auch dem Benfordschen Gesetz genügt, wenn
er zur Basis b2 dargestellt wird.
Dynamische Systeme werden untersucht etwa in [56, 83]. Eine Analyse der Orbits von
dynamischen Systemen hinsichtlich der Benford-Verteilung findet sich in [14, 9, 8, 84].
Das Newtonverfahren wird auf die Gültigkeit des Benford-Gesetzes untersucht in [10].
Die Benford-Verteilung bei Markov-Ketten wird in [46] diskutiert.
Zu Anwendungen des Benford-Gesetzes siehe [FAZ11],[22, 27, 57, 63, 70, 73, 78].
Stand: 21. November 2011 52 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6 Elementare Arithmetik
A lady of 80 named Gertie
Had a boyfriend of 60 named Bertie
She told him emphatically
That viewed mathematically
By modulus 50 she’s 30
Limerik of J.W. McClellan
Arithmetik ist das Teilgebiet der Mathematik, welches auch als Synonym zum Begriff
Zahlentheorie verstanden werden kann. Elementare Arithmetik bezeichnet allgemein das
Rechnen mit natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen und die Untersuchung der Konsequenzen,
die sich daraus ergeben, dass die Division in den ganzen Zahlen nur eingeschränkt
möglich ist. Weiterhin wird eine Einführung zu Primzahlen, Teilbarkeit und modularem
Rechnen gegeben, Hilfsmittel, die für die linearen Kongruenzgeneratoren benötigt werden.
Diese Kapitel ist mathematisch am weitesten ausgeführt.
6.1 Ganze Zahlen, Teilbarkeit, Primzahlen
Hier deuten wir die Begriffe an, in denen Arithmetik betrieben wird. Die ganzen Zahlen
(Z) und natürlichen Zahlen (N bzw. N0 := N\{0}) rufen wir ins ” Leben“ durch
Es gibt Mengen N, Z , ein Element 0 ∈ Z, Abbildungen
Z × Z ∋ (a, b) ↦−→ a + b ∈ Z, (Addition)
Z × Z ∋ (a, b) ↦−→ a · b ∈ Z, (Multiplikation)
und eine Vergleichsoperation ≤ mit folgenden Eigenschaften:
1. (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ Z . (Assoziativgesetz)
2. a + 0 = 0 + a für alle a ∈ Z . (0 ist neutrales Element)
3. Zu a ∈ Z gibt es genau ein (−a) ∈ Z mit
(a + (−a)) = 0 = ((−a) + a) . ((−a) ist Negatives von a)
4. a + b = b + a für alle a, b ∈ Z . (Kommutativgesetz)
5. (a · b) · c = a · (b · c) für alle a, b, c ∈ Z . (Assoziativgesetz)
6. a · b = b · a für alle a, b ∈ Z . (Kommutativgesetz)
7. a · (b + c) = a · b + a · c für alle a, b, c ∈ Z . (Distributivgesetz)
8. N ⊂ Z , 1 �= 0 , Z = N ∪ {0} ∪ −N .
9. 1 · a = a , 0 · a = 0 für alle a ∈ Z . (1 ist neutrales Element)
10. a ≤ b ⇐⇒ b + (−a) ∈ N ∪ {0} .
Zur Abkürzung führen wir noch die Subtraktion durch
ein, schreiben meist kurz
und vereinbaren die Schreibweise
Z × Z ∋ (a, b) ↦−→ a − b := a + (−b) ∈ Z
ab für a · b
a < b für a ≤ b, a �= b .
Damit können wir nun in Z und N genauso rechnen, wie wir es gewohnt sind.
Stand: 21. November 2011 53 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.1 Ganze Zahlen, Teilbarkeit, Primzahlen
Wo bleibt die Division in den ganzen Zahlen? Offenbar sind ±1 die einzigen Zahlen
a in Z, für die 1/a, was wir meist als a −1 schreiben, in Z existiert. Wenn man für die
anderen Fälle nicht den Weg zu den rationalen Zahlen weitergehen will, muss man eine
Division mit Rest einführen, was eine Beschreibung der Tatsache gleichkommt, dass
die Division ganzer Zahlen nicht ” aufgeht“. Zunächst zur Teilbarkeit.
Definition 6.1 Seien a, b ∈ Z. Wir sagen, dass a die Zahl b teilt, wenn es k ∈ Z gibt
mit b = ka. Wir schreiben dafür a|b . Ist b nicht durch a teilbar, so schreiben wir a� | b. �
Srechweisen:
Für a|b: a teilt b, b ist Teiler von a, a ist durch b teilbar.
Für a� | b: a teilt b nicht, b ist kein Teiler von a, a ist nicht durch b teilbar.
Bei Teilbarkeitsfragen in Z können wir uns in der Regel immer auf positive Teiler, d.h.
auf Teiler in N, zurückziehen, da von den zwei Zahlen a, −a stets eine in N liegt, falls
a �= 0 ist; der Fall a = 0 ist uninteressant. Ohne Beweis führen wir an:
Folgerung 6.2 Seien a, b, c, d ∈ Z. Dann gilt:
(1) a|a; a|b und b|a =⇒ a = ±b; a|b und b|c =⇒ a|c.
(2) d|a und d|b =⇒ d|(ax + by) für alle x, y ∈ Z.
(3) a|b und a|(b + c) =⇒ a|c.
Fragt man nach gemeinsamen Teilern zweier ganzer Zahlen a, b, so interessiert insbesondere
der größte dieser gemeinsamen Teiler. Dabei können wir uns dann auf positive
Teiler beschränken, denn 1 ist stets ein gemeinsamer Teiler von a und b.
Definition 6.3 Seien a, b ∈ Z, die nicht beide 0 sind. Eine Zahl d ∈ N heißt größter
gemeinsamer Teiler von a, b genau dann, wenn
(1) d|a und d|b
(2) Ist d ′ ∈ N ein Teiler von a und b, so teilt d ′ auch d
gilt. Wir schreiben d = ggT(a, b) . �
Der größte gemeinsame Teiler d gemäß Definition 6.3 ist eindeutig bestimmt dank der
Tatsache, dass wir d ∈ N gefordert haben.
Es sollte klar sein, wie nun der größte gemeinsame Teiler von endlich vielen ganzen
Zahlen erklärt ist. Beispiel:
ggT(6, 10) = 2, ggT(ggT(6, 10), 30) = 2, ggT(6, 10, 15) = 1 .
Definition 6.4 Eine Zahl p ∈ N, p �= 1, heißt Primzahl, wenn 1 und p die einzigen
Teiler von p sind. �
Spätestens seit Euklid kennt man die Primzahlen, die Tatsache, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt und auch die Aussage, dass eine natürliche Zahl, bis auf die Reihenfolge,
eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden kann. Diese Zerlegung nennt man
Primfaktorzerlegung und das Aufsuchen dieser Zerlegung eine Faktorisierung; siehe
unten. Die obige Definition des größten gemeinsamen Teilers hätten wir – wie dies in der
Schule meist geschieht – auch auf die Primfaktorzerlegung stützen können.
Stand: 21. November 2011 54 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.2 Fibonacci-Zahlen
Satz 6.5 (Primfaktorzerlegung) Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Den Beweis lassen wir weg, die Vorbereitungen dafür, insbesondere für den Nachweis der
Eindeutigkeit, liegen hier nicht vor. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist ein
Resultat, das wesentlich auf einer ” Kürzungsregel“ basiert. Man sollte sich hüten, die
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als Selbstverständlichkeit hinzunehmen, die keines
Beweises bedarf.
Mitunter ist nun eine kanonische Produktschreibweise für die Primfaktorzerlegung
nützlich. Wir denken uns die Primzahlen durchnumeriert, also p1 = 1, p2 = 3, p3 = 5, . . .
und schreiben jede Zahl n ∈ N so hin:
n = �
i∈N
dabei ist αi die Vielfachheit, mit der der Primfaktor pi in der Primfaktorzerlegung vorkommt,
also αi = 0, falls die Primzahl pi kein Primfaktor von n ist.
Die Herstellung der Primfaktorzerlegung einer (großen) Zahl ist kein leichtes Unterfangen.
Die Schwierigkeit wird u.a. dadurch beleuchtet, dass nahezu gleiche Zahlen eine
sehr verschiedene Primfaktorzerlegung besitzen können:
p αi
i ;
370273 = 43 · 79 · 109 , 370277 = 17 · 23 · 947 , 370279 = 7 · 13 · 13 · 313 .
Die Aufzählung p1, p2, . . . suggeriert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Hier ist
der Beweis für die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. 38
Satz 6.6 (Unendlichkeit der Primzahlen/Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis:
Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen.
Seien p1, . . . , pr diese Primzahlen. Setze N := 1 + p1 · · · pr . Dann ist N ∈ N und N ≥ 2.
Da N > pi für jedes i = 1, . . . , r ist, ist N keine Primzahl. Also ist N zerlegbar: N =
kp, p, k ∈ N mit 1 < p < N . O.E. kann man nun annehmen, dass eine der Zahlen k, p
eine Primzahl ist; sonst zerlege erneut. Sei also etwa p die Primzahl. Also kommt p unter
p1, . . . , pr vor; o.E. p = p1 . Dann folgt:
1 + p1p2 . . . pr = p1k .
Daraus liest man nun p = p1 = 1 ab, was ein Widerspruch ist. �
Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen a, b ∈ N ist die kleinste Zahl m ∈ N,
für die a|m , b|m gilt. Kennt man die Primfaktorzerlegung von a und b, so kann man es
sehr einfach ablesen.
6.2 Fibonacci-Zahlen
Wir kommen nun zu einer speziellen Menge von Zahlen, den so genannten Fibonacci-
Zahlen. Sie werden noch eine zweifache Rolle spielen.
38 In [2] – ein Buch, dass in jedem Falle zur Lektüre eines (angehenden) Mathematikers gehören sollte
– werden 6 Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen gegeben.
Stand: 21. November 2011 55 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.2 Fibonacci-Zahlen
Im Buch ” liber abacci“ von Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci) 39 wird die Vermehrung
eines Kaninchenpaares in folgender Weise in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben:
Ein zur Zeit t = 0 geborenes Kaninchenpaar wirft vom 2. Monat an in jedem
Monat ein weiteres Paar. Die Nachkommen folgen dem Vorbild der Eltern.
Alle Kaninchen überleben. Damit ergibt sich rekursiv folgende Vorschrift
f0 := f1 := 1 , fn+1 := fn + fn−1 , n ∈ N .
Die Zahlen fn, n ∈ N, nennt man Fibonacci–Zahlen.
Sieht man ein Stück der Fibonacci-Folge an, so stellt man fest, dass sie schnell wächst:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,. . . . Es ist offensichtlich, dass die Folge monoton wachsend ist, und
man überzeugt sich leicht, dass sie exponentiell wächst, denn durch die Monotonie ergibt
sich:
fn = fn−1 + fn−2 ≤ 2fn−1 und folglich fn ≤ 2 n .
fn = fn−1 + fn−2 ≥ 2fn−2 und folglich f2n ≥ 2 n−1 , fn ≥ ( √ 2) n−1 .
Also wird das Wachstum beschrieben mit einer Zahl zwischen √ 2 und 2 . Man kann dieses
noch viel genauer analysieren.
Die Fibonacci-Zahlen haben viele schöne, interessante Eigenschaften. Darunter fügen
wir die folgende an, da sie im Zusammenhang mit dem euklidischen Algorithmus von
Interesse ist:
ggT(fn+1, fn) = 1 für alle n ∈ N0
(25)
Wir beweisen diese Aussage induktiv.
Für n = 1 ist die Aussage klar. Ist die Aussage richtig für die Zahl n, dann ist sie auch
richtig für n + 1, denn wir haben
ggT(fn+2, fn+1) = ggT(fn+1 + fn, fn+1) = ggT(fn+1, fn) = 1 .
Die Fibonacci-Zahlen sind eng mit dem goldenen Schnitt verknüpft. Aus der Darstellung
fn+1
fn
folgt, die Existenz von g := limn
= fn + fn−1
fn
fn+1
Klar, die Lösungen dieser Gleichungen sind
fn
= 1 + fn−1
fn
= 1 + 1
fn
fn−1
vorausgesetzt, die Identität
g = 1 + 1
. (26)
g
g± = 1
2 (1 ± √ 5) .
Die positive Lösung g = 1
2 (1 + √ 5) heißt goldene Schnittzahl. Sie beschreibt eine
harmonische Teilung einer Strecke durch den goldenen Schnitt. Der Goldene Schnitt findet
sich in der Natur, z.B. auch in der Anatomie des Menschen. Wir betrachten das Verhältnis,
39 Fibonacci, Leonardo, 1180? – 1250?
Stand: 21. November 2011 56 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.3 Division mit Rest
das im Arm entsteht durch die Teilung durch das Ellenbogengelenk. Ist die Länge des
Unterarmes die Längeneinheit Eins und ist x die Länge des Oberarmes, so gilt:
1
1 + x
= x
1
d.h. x = 1
1 + x .
Damit ist x die Lösung der quadratischen Gleichung
Die positive Lösung davon ist
x 2 + x − 1 = 0 .
x = 1
2 (√ 5 − 1) ≈ 0.618 .
Für x + 1 ergibt sich die Schnittzahl g von oben.
Ein weiteres Beispiel in der Anatomie wird von Leonardo da Vinci im Verhältnis,
das der Nabel erzeugt, illustriert. Der Goldene Schnitt findet sich auch vielfach in Gegenständen
unseres Lebens (Buchformat, Verhältnisse an Bauwerken, . . . ).
Eine nicht rekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen ist gegeben durch die Formel
von Binet:
fn = 1
�
√ g
5
n + 1
gn �
, n ∈ N . (27)
Hierbei ist g := 1
2 (1 + √ 5) die goldene Schnittzahl. Den Beweis der Formel von Binet
erbringt man mit vollständiger Induktion. Wie man auf die Formel von Binet kommt?
Dies kann man auf dem Umweg über die Darstellung der Paare (fn+1, fn) mit Hilfe einer
Matrix-Multiplikation sehen:
� � � � � � � �
fn+1 1 · fn + 1 · fn−1 1 1 fn
=
=
, n ∈ N ,
fn 1 · fn + 0 · fn−1 1 0 fn−1
� �� �
A
Daraus ergibt sich mit dem n-fachen Produkt An der Matrix A
� �
fn+1
= A n
� �
1
, n ∈ N , (28)
0
fn
und wir haben eine Formel für die Fibonacci-Zahlen gefunden, wenn wir das n-fache
Produkt A n geschickt/geeignet/schnell ausrechnen können. Dies gelingt sogar formelmäßig
über die ” Diagonalisierung“ von A . Wir müssen hier auf den Beweis verzichten; siehe [32].
Jedenfalls lesen wir dann die Formel von Binet ab.
6.3 Division mit Rest
Der Division mit Rest, die wir nun vorstellen wollen, tritt uns im Alltag entgegen bei der
Umrechnung von Tageszeiten in unterschiedliche Zeitskalen (Minuten, Sekunden,. . . ), bei
der Berechnung von Wochentagen im Kalender, bei . . . .
Satz 6.7 (Division mit Rest) Für alle a ∈ Z, b ∈ N gibt es eindeutig bestimmte Zahlen
q, r ∈ Z mit
a = bq + r und 0 ≤ r < b.
Stand: 21. November 2011 57 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.3 Division mit Rest
Beweis:
Wir beweisen zunächst die Existenz von q, r für a ≥ 0 durch vollständige Induktion:
a = 0 : Setze q := r := 0 .
a + 1 : Ist a + 1 < b, so gilt a + 1 = 0 · b + (a + 1) und wir sind fertig. Ist a + 1 ≥ b,
so folgt aus der Induktionsvoraussetzung a + 1 − b = qb + r mit q ∈ Z, 0 ≤ r < b. Also
a + 1 = (q + 1)b + r.
Die Existenz folgt für a < 0 aus der Anwendung der eben bewiesenen Aussage auf −a
gemäß
−a = q ′ b + r ′ , 0 ≤ r ′ < b
durch
a =
� (−q ′ − 1)b + (b − r ′ ) , falls r ′ �= 0
(−q ′ )b , falls r ′ = 0
Um die Eindeutigkeit zu beweisen, nehmen wir ein zweites Zahlenpaar q ′ , r ′ mit
a = q ′ b + r ′ , 0 ≤ r ′ < b ,
wobei o. E. r ≥ r ′ sei. Dann ist offenbar 0 ≤ r − r ′ < b und r − r ′ = −(q − q ′ )b . Aus
r − r ′ < b folgt −(q − q ′ ) ≤ 0, aus r − r ′ ≥ 0, folgt −(q − q ′ ) ≥ 0 . Zusammengefasst: q = q ′
und daher auch r = r ′ . �
Die Umrechnung von Zahlen in unterschiedlichen Stellensystemen kann mit Division
mit Rest erfolgen. Sei etwa die Zahl 1234 als Zahl im Zehnersystem vorgelegt, also
(1234)10 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 · 10 0 .
Wir rechnen sie in das Dualsystem um gemäß
1234 = 1 · 2 10 + 210
= 1 · 2 10 + 0 · 2 9 + 0 · 2 8 + 1 · 2 7 + 82
= 1 · 2 10 + 0 · 2 9 + 0 · 2 8 + 1 · 2 7 + 1 · 2 6 + 18
= 1 · 2 10 + 0 · 2 9 + 0 · 2 8 + 1 · 2 7 + 1 · 2 6 + 0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0
Dies bedeutet
(1234)2 = 10011010010 .
Van-der-Corput Folgen, werden mit der Dualentwicklung natürlicher Zahlen erzeugt,
und zwar durch Bit-Umkehr. Sei also
i = (dj . . . d0)2 =
die Dualdarstellung von i ∈ N . Dann heißt
j�
dk2 k
k=0
Φ2(i) := xi := (.d0 . . . dj)2 =
die i-te van der Corput-Zahl. Beispielsweise sind
1
2
, 1
4
, 3
4
, 1
8
5 3
, ,
8 8
j�
dk2 −k−1
Stand: 21. November 2011 58 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
k=0

6.4 Euklidischer Algorithmus
die ersten 6 van der Corput-Zahlen. Klar, die Basis b = 2 lässt sich gegen jede beliebige
Basiszahl b ∈ N, b ≥ 2, austauschen. 40 Alle diese van der Corput-Zahlen lassen sich algorithmisch
einfach durch Division mit Rest bestimmen. Sie entsprechen also einer Liste von
Zahlen, die total den Anspruch der Zufälligkeit verloren haben. Was sie aber auszeichnet,
ist die Tatsache, dass sie gute Verteilungseigenschaften haben; siehe [62].
Die Konstruktion der van der Corput-Zahlen kann man nun nutzen, um Folgen in
[0, 1] d zu erzeugen. Dazu wähle man für jede Dimension j eine Basis bj, erzeuge damit die
van der Corput-Folge (xi,j)i∈N . Damit bilde man dann die Vektoren
x i := (xi,1, . . . , xi,d) ∈ [0, 1] d .
Im Allgemeinen nimmt man als Basen die ersten d Primzahlen. Diese so konstruierte Folge
von Punkten nennt man eine Folge von Halton-Punkten. Die guten Verteilungseigenschaften
der van der Corput-Zahlen übertragen sich auf die Halton-Punkte.
Van der Corput-Zahlen, die als Ersatz für Zufallszahlen dienen können, werden eingeordnet
unter Quasizufallszahlen.
6.4 Euklidischer Algorithmus
Der nun zu besprechende ” euklidische Algorithmus“ hat seine historische Wurzel in dem
Bestreben in der Antike, die Verhältnisrechnung mit geometrischen Größen zu begründen
(Kommensurabilitätsbetrachtungen; siehe [72], S. 41-44). Bei Euklid sollen zwei Strecken
mit einem Maßstab ausgemessen werden; dies gelingt gerade mit einem Maßstab, der die
Länge des größten gemeinsamen Teilers besitzt; siehe Abbildung 19.
Der euklidische Algorithmus gestattet es, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen
(siehe unten) effizient zu berechnen. Er basiert auf folgender Beobachtung:
Lemma 6.8 Sei a ∈ Z und b ∈ N. Dann folgt aus der Darstellung a = qb + r , q, r ∈ Z,
die Aussage ggT(a, b) = ggT(b, r) .
Beweis:
Ist d ein Teiler von a, b, dann ist d ein Teiler von b und r und umgekehrt (siehe Folgerung
6.2). �
Die Interpretation von Lemma 6.8 ist, dass durch fortschreitende Division mit Rest
aus dem Ausgangspaar (a, b) Paare (a ′ , b ′ ) gebildet werden können, die denselben größten
gemeinsamen Teiler besitzen. Der euklidische Algorithmus realisiert dies:
Algorithm 2 Der euklidische Algorithmus
EIN a, b ∈ Z ; o.E. a ≥ b > 0 .
Schritt 0 a ′ := a, b ′ := b .
Schritt 1 (a ′ , b ′ ) := (b ′ , r), wobei a ′ = qb ′ + r mit 0 ≤ r < b ′ ist.
Schritt 2 Ist r = 0, gehe zu AUS. Ist r �= 0, setze a ′ := b ′ , b ′ := r, gehe zu Schritt 1.
AUS d := b ′ = ggT(a, b) .
40 Van der Corput (1935) hat sie für die Basis 2 als erster betrachtet.
Stand: 21. November 2011 59 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.4 Euklidischer Algorithmus
Die Aussage, dass d der größte gemeinsame Teiler von a, b ist, falls die Situation r = 0
erreicht wird, folgt aus dem Lemma 6.8 unter der Beobachtung, dass ggT(b ′ , 0) = b ′ ist.
Bleibt noch zu klären, dass die Situation r = 0 in endlich vielen Schritten wirklich erreicht
wird. Dies folgt aber aus der Tatsache, dass für zwei aufeinanderfolgende Durchläufe von
Schritt 1 mit (a ′ , b ′ ) , (a ′′ , b ′′ ) sicherlich 0 ≤ b ′′ < b ′ , b ′ , b ′′ ∈ N0 gilt. Also muss schließlich
das Verfahren bei r = 0 abbrechen.
Wir geben dem euklidischen Algorithmus, wohlwissend, dass der Schritt 1 nur endlich
oft durchlaufen wird, eine explizite Fassung:
Euklidischer Algorithmus Kettenbruchentwicklung
r0 := a , r1 := b, a b = r0
r1
r0 = q1r1 + r2 , 0 < r2 < r1,
r1 = q2r2 + r3 , 0 < r3 < r2,
.
.
rk−1 = qkrk + rk+1 , 0 < rk+1 < rk,
rk = qk+1rk+1,
r0
r1 = q1 + r2
r1
r1
r2 = q2 + r3
r2
.
rk−2
rk−1 = qk + rk
rk−1
rk
rk+1
.
= qk+1
In dieser Darstellung ist rk+1 = ggT(rk−1, rk) = · · · = ggT(r0, r1) = ggT(a, b) nach
Lemma 6.8.
Beispiel 6.9 Sei a = 48 , b = 18 . Wir erhalten
48 = 2 · 18 + 12
18 = 1 · 12 + 6
12 = 2 · 6
Also gilt: ggT(48, 18) = 6 . Die geometrische Interpretation als ” wechselseitige Wegnahme“,
wie sie schon bei Euklid bei Kommensurabilitätsbetrachtungen zu finden ist, findet
sich in Abbildung 19: kleinere Strecken werden mehrfach auf einer größeren Strecke abgetragen.
Da das Vorgehen im obigen Beispiel abbricht, sagt man, dass a = 48 und b = 18
ein gemeinsames Maß haben, nämlich 6. (Bricht ein solches Verfahren nicht ab, dann
heißen a, b inkommensurabel, wie dies etwa bei der Diagonalen im Einheitsquadrat der
Fall ist, da ja √ 2 irrational ist.) �
Aus der obigen Darstellung des euklidischen Algorithmus lesen wir ab:
a
b
= r0
r1
= q1 + r2
r1
= q1 + 1 r1
r2
= q1 +
1
q2 + r3
r2
= q1 +
q2 +
1
1
q3 + r4
r3
= . . . (29)
Wir wissen dabei, dass stets 0 < rk+1 < 1 gilt und dass das Schema nach k Schritten
rk
abbricht, denn in formaler Interpretation haben wir rk+2 = 0 . Die berechneten Größen
q1, . . . , qk+1 schreiben wir als
[q1, . . . , qk+1] oder a
b = [q1, . . . , qk+1]
Stand: 21. November 2011 60 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.4 Euklidischer Algorithmus
auf und bezeichnen dies als Kettenbruch. Der Kettenbruch kann mitunter auch ” sehr
lang“ sein. In vielen Fällen ist man schon mit einer Näherung [q1, . . . , ql] , 1 ≤ l < k + 1 ,
zufrieden, d.h. mit der Näherung, die entsteht, wenn man rl
rl+1 ersetzt.
Wir wissen, genügt die goldene Schnittzahl g der Gleichung
g = 1
1 + g .
Daraus lesen wir durch sukzessives Einsetzen den unendlichen Kettenbruch – g ist ja
irrational – für die goldene Schnittzahl g ab:
g = [1; 1, 1, 1, 1, . . . ] .
Betrachtet man davon nur endliche Abschnitte
als Näherung für g, dann erhält man
” schlechte“ Approximationen von g ; man
nennt g deshalb die irrationalste Zahl“
” 41 .
Der Grund dafür ist, dass jeder Eintrag im
Kettenbruch die kleinste Einheit ist, die ein
Abbrechen gerade noch verhindert, nämlich
1. Es deckt sich mit der Tatsache, dass der
euklidische Algorithmus für die Brüche der
Fibonacci-Zahlen besonders langsam ist. Dies
steht im Gegensatz zu einer anderen irrationalen
Zahl, der Kreiszahl π . Ihre Kettenbruchentwicklung
ist
π = [3; 7, 15, 1, . . . ] .
48
18 18 12
12 6
6 6
6
Abbildung 19: Wechselwegnahme
Schon der endliche Kettenbruch [3; 7] = 22
7
ist eine sehr gute Approximation von π. 42 Der Grund ist, dass der nächste Eintrag im
Kettenbruch von π die Zahl 15 ist.
Satz 6.10 (Lemma von Bachet/Lemma von Bezout) Seien a, b ∈ Z . Dann gibt es
Zahlen s, t ∈ Z mit ggT(a, b) = sa + tb .
Beweis:
O.E. a ≥ b > 0 .
Die Aussage folgt dadurch, dass wir den euklidischen Algorithmus in der expliziten Fassung
rückwärts lesen. Wir strukturieren dies, indem wir nachrechnen, dass für 0 ≤ i ≤ k+1
gilt
ri = sia + tib , mit si, ti ∈ Z. (30)
Dies ergibt sich so: Für i = 0 setze s0 := 1, t0 := 0 und für i = 1 setzte s1 := 0, t1 := 1 .
Nun setzen wir
si+1 := si−1 − qisi , ti+1 := ti−1 − qiti , 1 ≤ i ≤ k. (31)
Dann gilt offenbar die obige Aussage. �
41Diese Tatsache spielt sogar eine Rolle in der so genannten Chaostheorie.
42 22
In den DMV-Mitteilungen vom Herbst 2011 lesen wir, dass 7 der Lieblingsbruch von G.M. Ziegler
(ein Star der Vermittlung von Mathematik in der Öffentlichkeit, siehe [2]) ist.
Stand: 21. November 2011 61 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.4 Euklidischer Algorithmus
Beispiel 6.11 Wir können nachrechnen, dass 37 der größte gemeinsame Teiler von 36667
und 12247 ist. Mit der Analyse gemäß Satz 6.10 erhalten wir
37 = ggT(36667, 12247) = 165 · 36667 − 494 · 12247 .
Folgerung 6.12 Seien a, m ∈ Z, die nicht beide Null sind, mit ggT(a, m) = 1 . Dann
gibt es b ∈ Z mit m|(ab − 1) .
Beweis:
Wir wissen aus dem Lemma von Bezout 1 = ax + my mit x, y ∈ Z . Setze b := x . Dann
ist ab − 1 = −my = m(−y) . �
Die obige Folgerung können wir so lesen, dass bei Teilerfremdheit von a und m zu a
eine Zahl b existiert, die die Gleichung
löst; wir kommen darauf zurück.
a · b ≡ 1 mod m
C. Huygens entwickelte Kettenbruchentwicklungen, als er ein Zahnradmodell (siehe die
illustrierende Abbildung 20) des Sonnensystems bauen wollte. Gesucht wurden möglichst
” einfache Brüche“ für die gelten sollte:
Zahnzahl von Zahnrad 1 Umlaufzeit von Planet 1
=
Zahnzahl von Zahnrad 2 Umlaufzeit von Planet 2 .
Werden die Umlaufzeiten der Planeten sehr genau gemessen, dann kann rechts ein Bruch
mit sehr großem Zähler und Nenner entstehen.
Der euklidische Algorithmus gilt als ” Musterbeispiel“
eines effizienten Algorithmus mit
vielfältigen Anwendungen. Eigentlich müssten
wir nun eine Analyse der Komplexität des euklidischen
Algorithmus durchführen, wenn wir die
Behauptung, dass dieser Algorithmus sehr effizient
ist, belegen wollten. Wir verzichten darauf,
ohne zu vergessen, auf ein Beispiel hinzuweisen,
das den worst case des Algorithmus beschreibt:
die Berechnung des größten gemeinsamen Teiler
zweier aufeinanderfolgender Fibbonacci-Zahlen,
die wir nun einführen wollen.
Abbildung 20: Zahnräder
Hier sind sie von Interesse bei der Untersuchung
der Schnelligkeit des euklidischen Algorithmus. Im euklidischen Algorithmus werden
die Reste rk+1 umso schneller klein, je größer die Quotienten qk sind.
Betrachten wir den euklidischen Algorithmus für das Paar zweier aufeinanderfolgenden
Fibonacci–Zahlen, also a = fn+1, b = fn für ein n ∈ N . Aus der Rekursionsgleichung der
Fibonacci–Zahlen folgt unmittelbar
fn+1 = 1 · fn + fn−1
fn = 1 · fn−1 + fn−2
.
f3 = 1 · f2 + f1
f2 = 1 · f1
Stand: 21. November 2011 62 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
�

6.5 Modulares Rechnen
Da f1 = 1 gilt, folgt: je zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind teilerfremd und
jeder Quotient qk ist gleich 1. Dies ist der ungünstigste Fall, was die Anzahl der Schritte in
Abhängigkeit von der Größe der Ausgangszahlen betrifft. Beim euklidischen Algorithmus
für fn+1, fn sind, wie gesehen, n Schritte nötig. Da fn in Abhängigkeit von n exponentiell
wächst, folgt, dass die Anzahl der Schritte beim euklidischen Algorithmus zur Berechnung
eines größten gemeinsamen Teilers ggT(a, b) höchstens logarithmisch in der Stellenanzahl
der Eingabedaten a, b, d.h. linear mit der Stellenzahl von a, b wächst: der Aufwand ist also
vergleichbar mit dem Aufwand, der bei der Multiplikation von a und b anfällt. Der euklidische
Algorithmus ist damit eine sehr effiziente Methode zur Berechnung des größten
gemeinsamen Teilers großer Zahlen. Er benötigt insbesondere nicht die Primfaktorzerlegung
der Zahlen a, b .
6.5 Modulares Rechnen
Die modulare Arithmetik geht auf Gauß zurück. Sie beschreibt das Rechnen mit Resten:
man gibt sich eine natürliche Zahl m vor – diese Zahl nennen wir Modul – und ” ersetzt“
jede ganze Zahl a durch ihren Rest r, der bei Division von a durch m entsteht; siehe Satz
6.7. Die Zahlen a, die bei Division mit Rest den gleichen Rest ergeben, fasst man zu einer
Klasse, den Restklassen zusammen.
Die Restklassen sind nun so definiert:
Zm := {[0], [1], . . . , [m − 1]} wobei [i] := {z ∈ Z|z = qm + i für ein q ∈ Z} ,
Dass die Menge Zm m Elemente hat, ergibt sich aus der Tatsache, dass m Reste gemäß
Satz 6.7 auftreten können. Beachte, dass etwa die Restklasse [1] auch als die Restklasse
[m + 1] beschrieben werden kann: wir haben in der Definition von Zm ein naheliegendes
” Representantensystem“ gewählt. Für m = 11 haben wir etwa
[3] = [25] = [−8] = [91] .
Beispiel 6.13 Für m = 2 erhalten wir gerade die Einteilung der natürlichen Zahlen in
die Klassen gerade Zahlen (Restklasse [0]) und ungerade Zahlen (Restklasse [1]). Für diese
Klassen hat man in natürlicher Weise eine Addition und eine Multiplikation:
gerade + gerade = gerade , ungerade + gerade = ungerade
gerade · gerade = gerade , ungerade · gerade = gerade
Die Beobachtung aus Beispiel 6.13 bezüglich Addition, Multiplikation schreiben wir
nun fort auf Zm:
Addition: [i] + [j] := [i + j] , i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1} ;
Multiplikation: [i] · [j] := [i · j] , i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1} .
Beachte, dass die Verknüpfungssymbole +, · in zweifacher Bedeutung auftreten: als Addition,
Multiplikation in Zm und in Z .
Damit dies wohldefiniert ist, muss noch gezeigt werden: aus [i] = [i ′ ], [j] = [j ′ ] folgt
[i + j] = [i ′ + j ′ ] und [ij] = [i ′ j ′ ] (Unabhängigkeit von den Repräsentanten). Wir beweisen
dies am Beispiel der Multiplikation. [i] = [i ′ ], [j] = [j ′ ] bedeutet i ′ = pm + i, j ′ = qm + j
für p, q ∈ Z . Daraus folgt
i ′ j ′ = (pm + i)(qm + j) = (iqm + jpm + pqm)m + ij also [ij] = [i ′ j ′ ] .
Stand: 21. November 2011 63 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
�

6.5 Modulares Rechnen
Assoziativgesetz Klammern fürfen bei der Addition beliebig gesetzt werden:
([i] + [j]) + [k] = [i] + ([j] + [k]) , i, j, k ∈ {0, 1, . . . , m − 1} .
Neutrales Element [0] ist das neutrale Element für die Addition:
[i] + [0] := [i] , i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1} .
Inverses [m − i] ist das Inverse von [i] bezüglich der Addition:
[m − i] + [i] = [m − i + i] = [m] = [0] .
Kommutativgesetz Die Summanden dürfen bei der Addition vertauscht werden:
[i] + [j] = [j] + [i] , i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1} .
Die angeführten Eigenschaft fasst man zusammmen in der Aussage: (Zm, +) ist eine kommutative
Gruppe. Beachte, dass diese Eigenschaften auch für die ganzen Zahlen gelten,
also dass auch (Z, +) eine kommutative Gruppe ist.
Für die Multiplikation ist die Situation nicht ganz so komfortabel. Zwar gelten die
Aussagen
Assoziativgesetz Klammern fürfen bei der Multiplikation beliebig gesetzt werden:
([i] · [j]) · [k] = [i] · ([j] · [k]) , i, j, k ∈ {0, 1, . . . , m − 1}
Neutrales Element [1] ist das neutrale Element für die Multiplikation:
[i] · [1] := [i] , i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1}
Kommutativgesetz Die Faktoren dürfen bei der Multiplikation vertauscht werden:
[i] · [j] = [j] · [i] , i, j ∈ {0, 1, . . . , m − 1}
aber die Eigenschaft über das Inverse gilt nicht allgemein. Ein Gegenbeispiel folgt aus
[2] · [2] = [2 · 2] = [0] in Zm für m = 4 ,
denn hier kann [2] kein Inverses bezüglich der Multiplikation haben, da stets [i] · [0] =
[i · 0] = [0] ist. Aber man kann die Vermutung haben, dass diese Schwierigkeit im Fall,
dass m eine Primzahl ist, nicht auftritt. Dies trifft zu und wir halten fest: (Zm, ·) ist eine
kommutative Gruppe bezüglich der Multiplikation, falls m eine Primzahl ist, wobei wir
den Beweis noch nicht eigentlich erbracht haben, aber die Vorarbeit ist in Lemma 6.12
geleistet: jedes Element [a] hat ein Inverses bezüglich der Multiplikation.
Hier sind die Gruppentafeln – so nennt man die vollständige Auflistung der Verknüpfungen
der Gruppenelemente innerhalb einer Gruppe – für m = 5 . Man beachte, dass
sowohl in der Gruppentafel zur Addition als auch in der Gruppentafel zur Multiplikation
in jeder Zeile und Spalte jede Klasse genau einmal vertreten ist. Beachte ferner, dass die
Potenzen des Elements [2] alle Elemente von Z ∗ 5 := Z5\{[0]} durchlaufen:
[2] 0 = [1] , [2] 1 = [2] , [2] 2 = [4] , [2] 3 = [3] , [2] 4 = [1] .
Man nennt eine Gruppe, die ein solches zyklisches Element besitzt, eine zyklische
Gruppe.
Wir führen noch eine andere Schreibweise ein. Mit u, v ∈ Z schreiben wir:
u ≡ v mod m : ⇐⇒ [u] = [v] ⇐⇒ m|(u − v) .
Stand: 21. November 2011 64 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
(a)
Abbildung 21: Gruppentafeln zu Z5
· [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4]
[2] [2] [4] [1] [3]
[3] [3] [1] [4] [2]
[4] [4] [3] [2] [1]
(b)
6.5 Modulares Rechnen
Beispiel 6.14 Wie sehen die beiden letzten Dezimalstellen von 24 2008 aus? Dies ist die
Frage nach dem Rest von 24 2008 modulo 100 . Wir rechnen induktiv nach:
Induktionsbegin k = 1: Klar
Induktionsschluss k → k + 1:
24 k ≡ (−1) k+1 · 24 mod 100 , k = 1, 2, . . . .
24 k+1 ≡ (24 k ·24) ≡ (−1) k+1 ·24·24 ≡ (−1) k+1 (600−24) mod 100 ≡ (−1) k+2 ·24 mod 100
Daraus folgt also
24 2008 ≡ −24 mod 100 ≡ 76 mod 100 ,
was bedeutet, dass die Zahl 2 2008 mit 76 endet. �
Beispiel 6.15 Jede Zahl 10 k hat wegen
10 k = 9 · 10k − 1
10 − 1 + 1 = 9 · (10k−1 + · · · + 10 0 ) + 1
den Rest 1 modulo 9. Dies hat die Konsequenz, dass jede Dezimalzahl
z = anan−1 · · · a0 = an10 n + an−110 n−1 + · · · + a010 0
modulo 9 den Rest an + · · · + a0 hat. Dies ist die so genannte Quersummenprobe auf
Teilbarkeit durch Neun: eine Zahl z hat bei Teilung durch Neun genau dann den Rest
r, wenn ihre Quersumme bei Teilung durch Neun den Rest r hat.
Daraus resultiert die Neunerprobe, eine Methode, die es gestattet, den Nachweis
einer fehlerhaften Addition, Subtraktion oder Multiplikation ohne lange Rechenoperationen
zu erbringen: man berechnet die Neunerreste der beiden Operanden und des Ergebnisses,
was man durch sukzessives Bilden von Quersummen tun kann. Hier ist ein Beispiel für
die Anwendung. Ist die Behauptung
40752 · 32111 = 1308587572
richtig? Nein, denn die Neunerreste erfüllen die Gleichung nicht:
Neunerrest von 40752 ist 0, denn: 4 + 0 + 7 + 5 + 2 = 18, 1 + 8 = 9
Neunerrest von 32111 ist 8, denn: 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8
Neunerrest von 1308587572 ist 1, denn: 1 + 3 + 0 + 8 + 5 + 8 + 7 + 5 + 7 + 2 = 46, 4 + 6 =
10, 1+0 = 1 Beachte, eine umgekehrte Anwendung ist nicht erlaubt: wenn die Neunerprobe
keinen Widerspruch aufweist, muss das Ergebnis nicht korrekt sein.
Kombiniert man die Neunerprobe etwa mit der Elferprobe – wir gehen hier nicht darauf
ein – dann erhält man aus der Korrektheit der Proben schon eine ziemliche Sicherheit für
die Korrektheit der Rechnung. �
Stand: 21. November 2011 65 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

6.5 Modulares Rechnen
Modulares Rechnen wird für Berechnungen mit dem Computer wichtig, wenn mit sehr
großen ganzen Zahlen exakt gerechnet werden soll.
Sei a ∈ N . Man wählt verschiedene Moduln m1, . . . , ml und berechnet die Reste
r1, . . . , rl von a bezüglich dieser Moduln. Der Rest r von a bezüglich des Moduls m :=
m1 · · · ml ist dann gleich r1 · · · rl und er legt a eindeutig fest, wenn a zwischen 0 und m−1
liegt. Ist a ≥ m, dann liegt a immerhin noch in der Restklasse [r] bezüglich des Moduls
m .
Beispiel 6.16 Betrachte die Multiplikation der Zahlen 102, 99: 102 · 99 =????? .
Wir wählen (geschickt) die Moduln m1 = 9, m2 = 10, m3 = 11 und erhalten folgende Reste
für das Produkt:
102 · 99 ≡ (99 + 3) · (99 + 0) ≡ 3 · 0 ≡ 0 mod 9 ;
102 · 99 ≡ (100 + 2) · (100 − 1) ≡ 2 · (−1) ≡ −2 mod 10 ;
102 · 99 ≡ (99 + 3) · (99 + 0) ≡ 3 · 0 ≡ 0 mod 11 .
Eine Lösung der Gleichungen ist x = 198 . Alle weiteren Lösungen sind x = 198 +
km1m2m3, k ∈ Z . Aus einer Größenordnungsbetrachtung folgt: 102 · 99 = 198 + 10 · 990
ist die Lösung der Multiplikation. �
Das Ergebnis, das die Rechnung in Beispiel 6.16 rigoros macht, ist der Chinesische
Restesatz; siehe [32] und [34].
Bibliographische Anmerkungen
Die Idee des euklidischen Algorithmus ist nicht nur auf Zahlbereiche begrenzt; siehe [1].
In der Informatik ist er ein bedeutendes Hilfsmittel.
Kettenbrüche sind ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium der irrationalen Zahlen und
ihrer Approximation durch rationale Zahlen; siehe [52].
Gruppentheorie ist in der Mathematik ein zentrales Thema mit Ausstrahlung in nahezu
jede Teildisziplin. Einführendes kann nach gelesen werden etwa bei [1, 32, 86]. Zum
modularen Rechnen siehe etwa [Sei07].
Zu Quasizufallszahlen siehe [36].
Stand: 21. November 2011 66 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

7 Kongruenzgeneratoren
Random numbers should not be generated with a method
chosen at random
Donald E. Knuth
Die Klasse der Kongruenzgeneratoren, die wir nun besprechen wollen, nutzen die modulare
Rechnung. Sie lassen sich in ihrer Qualität bzw. in ihrer Schwäche gut beurteilen
und sie sind für Anwendungen sehr interessant, da sie sich einfach realisieren lassen.
7.1 Lineare Kongruenzgeneratoren
Um die umständliche Verwendung von Tabellen zu vermeiden, werden im Allgemeinen
Folgen von Zufallszahlen verwendet, die durch Iterationen, also rekursives Rechnen, hergestellt
werden. Diese Zufallszahlen – wir nennen sie meist Pseudozufallszahlen – haben
den Vorteil, dass sie reproduzierbar sind, und haben den Nachteil, dass sie deterministischen
Charakter besitzen. Zunächst einige allgemeine Bemerkungen; sie schließen an an
die Betrachtungen zu dynamischen Systemen.
Sei M eine endliche Menge und f eine Abbildung von M nach M, also f : M −→ M .
Die Iteration dieser Abbildung sieht so aus:
x n+1 := f(x n ) , n ∈ N0 , (32)
Die Folge ist durch die Wahl von x 0 vollständig bestimmt. Es entsteht ein Orbit x 1 , x 2 ,
x 3 , . . . ; wir schreiben ihn als Folge (x n )n∈N . Da die Menge M endlich ist, können nicht alle
Folgenglieder x n verschieden sein. Es gibt also Indizes k, l mit x k = x l ; o. E. k > l . Seien
k, l die ersten Indizes, für die dies eintritt, und sei damit r := k − l . Da x k = x l gilt, folgt
x n+r = x n für alle n ≥ l . Also wird der Orbit (x n )n∈N periodisch mit Periode r ; wir
sagen, dass wir einen Zyklus der Länge r haben. Verlangt man, dass jedes Element der
Menge M die Chance hat im Orbit aufzutauchen, muss der Zyklus ganz M umfassen. Aus
dieser Forderung folgt, dass die Abbildung f surjektiv sein muss, d.h. dass jedes Element
y in M als Bild unter f geschrieben werden kann, also y = f(x) mit einem x ∈ M . Da M
endlich ist, hat dies zur Konsequenz, dass dann dieses x eindeutig bestimmt sein muss,
d.h. dass f auch injektiv sein muss. Also hat die Forderung, dass für den Zyklus r = #M
gilt, zur Folge, dass f surjektiv und injektiv, also bijektiv ist.
Die Iteration der Form (32) umfasst die Situation der diskreten dynamischen Systeme
und damit auch der chaotischen diskreten dynamischen Systeme, allerdings
dann unter Verzicht auf die Endlichkeit der Menge M . Wir werden in Kapitel 9 ein
Beispiel dieser Art kennenlernen.
Kommen wir nun zur Realisierung von (32) für die Zwecke der Erzeugung von Pseudo-
Zufallszahlen. Wir wählen dazu
M := Zm ; f : Zm ∋ [x] ↦−→ [ax + b] ∈ Zm , (33)
mit einem Modul m . Hier sind a, b ∈ Z . Damit lautet die Rechenvorschrift (32)
x n+1 := ax n + b mod m , n ∈ N . (34)
Wir bezeichnen (34) auch als affinen Kongruenz–Generator.
Stand: 21. November 2011 67 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

7.1 Lineare Kongruenzgeneratoren
Bemerkung 7.1 Durch die Generatoren in (34) werden Zahlen in M := {0, 1, . . . , m−1}
erzeugt. Aus einer Zahl y ∈ {0, . . . , m − 1} ergibt sich dann eine Zahl z in [0, 1] ganz
einfach so: z := y m . Damit können wir sagen, dass in (34) ein Generator für Pseudozufallszahlen
in [0, 1] beschrieben ist. �
Ein guter Generator sollte Zykluslänge r := m haben. Wie wir oben gesehen haben,
ist dann für f die Bijektivität sicherzustellen. Die Forderung der Bijektivität von f hat
Konsequenzen für die Wahl der Zahlen m, a, b . Für die Klärung der Frage, unter welchen
Bedingungen dieser Typ von Generatoren einen Zyklus maximaler Länge erzeugt, dient
folgender Satz:
Satz 7.2 Mit m, a, b ∈ Z, m ≥ 2 , betrachte die Abbildung
f : {0, . . . , m − 1} ∋ x ↦−→ ax + b mod m ∈ {0, . . . , m − 1} . (35)
Für beliebiges x 0 ∈ {0, . . . , m − 1} sei die Folge (x n )n∈N definiert durch
x n+1 := f(x n ) , n ∈ N 0 .
Genau dann ist diese Folge periodisch mit der maximalen Periodenlänge m für alle Startwerte
x 0 , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) p|(a − 1) für alle Primteiler p von m ;
b) 4|(a − 1) falls 4|m ;
c) b und m sind teilerfremd.
Den Beweis dieses Satzes findet man in [32].
Satz 7.2 nennt uns die Bedingungen für einen affinen Kongruenz–Generator, damit er
der Minimalforderung, einen Zyklus maximaler Länge zu erzeugen, genügt. Jedoch garantieren
diese Bedingungen noch lange keinen guten Zufallsgenerator, wie nachfolgendes
Beispiel zeigt; damit der erzeugte Orbit als eine Folge von Zufallszahlen angesehen werden
kann, sollten die Elemente von M darin in einer ” guten Durchmischung“ vorkommen.
Beispiel 7.3 Betrachte für einen beliebigen Modul m den Generator f(x) :≡ x + 1
mod m . Kein Zweifel, die Zykluslänge ist maximal für jeden Startwert, nämlich m, aber
die erzeugte Folge 0, 1, 2, . . . , m − 1, 0, 1 . . . kann sicherlich nicht den Anspruch einer Zufallsfolge
erheben. �
Beispiel 7.4 Betrachte die spezielle Wahl m = 10, a = b = 7 . Hier ist der erzeugte
Zyklus
7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, . . .
ziemlich kurz. Beachte, Voraussetzung a) in Satz 7.2 ist nicht erfüllt. �
In der Praxis wird häufig ein Modul der Form m = 2 k verwendet (und dazu in der
Regel der Multiplikator a im Bereich √ m < a < m − √ m). In diesem Fall bedeuten die
Bedingungen des Satzes 7.2 einfach
a ≡ 1 mod 4 und b ungerade . (36)
Stand: 21. November 2011 68 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

7.2 Einige verwendete Generatoren
Wir listen hier ein paar ” gebräuchliche“ Generatoren auf.
Beispiel 7.5 Von D. Knuth wurde der Generator
Modul = 2 16 , a = 137 , b = 187
7.2 Einige verwendete Generatoren
vorgeschlagen. Die Zykluslänge ist maximal, da die Bedingungen (36) erfüllt sind. �
Beispiel 7.6 In der Programmiersprache C++ gibt es einen Generator namens drand48:
Modul = 2 48 , a = 25214903917 , b = 11 .
Die Zykluslänge ist maximal, da die Bedingungen (36) erfült sind. �
Beispiel 7.7 Betrachte die spezielle Wahl m = 2 31 , a = 65539, b = 0 . Dies ist der Zufallsgenerator
RANDU, wie er von IBM in den Computern in den 60er Jahren verwendet
wurde. Die maximal erreichbare Zykluslänge r ist hier nicht ganz maximal, aber mit
r = 2 29 nahezu maximal. �
Beispiel 7.8 Der Lewis-Goodman-Miller-Generator wird beschrieben durch
x n = 16807 x n−1 mod 2 31 − 1 .
Hier ist also m = 2 31 − 1, a = 16807, b = 0 . Bedingung (36) ist hier verletzt. �
Beispiel 7.9 Ein weiterer Generator:
Modul = 2 16 , a = 193 , b = 73 .
Die Zykluslänge ist maximal, da die Bedingungen (36) erfüllt sind. �
Als Erläuterung sei hier noch ein Kongruenzgenerator erwähnt, der der Erzeugung der
Fibonacci-Zahlen nachgebaut ist. Hier lautet die Iteration
x n+2 := x n+1 + x n mod m , n ∈ N0 . (37)
Offensichtlich werden hier zwei Startzahlen x 0 und x 1 benötigt. Als Beispiel sei m = 13
als Modul des Fibonacci-Generators und x 0 = 1 und x 1 = 1 als Startwerte festgelegt.
Die Berechnung des Orbits zeigt, dass sich ein Zyklus von 28 Zahlen einstellt, also eine
Periodenlänge größer als der Modul m = 13 . Es gibt Sätze über die Periodenlänge von Zufallsgeneratoren.
Für m = 2 k beträgt die Periode eines Fibonacci-Generators unabhängig
von der Wahl der Startwerte x 0 und x 1 stets 3 · 2n − 1, falls mindestens ein Startwert von
Null verschieden ist. Ein Beispiel für einen guten Fibonacci-Generator ist gegeben für den
Modul m = 2 35 .
7.3 Geometrische Beobachtungen
Da die Abfolge der Pseudozufallszahlen durch den Generator festgelegt ist, besteht eine
Korrelation zwischen aufeinander folgenden Zufallszahlen. Um Aufschluss über die Korreliertheit/Unkorreliertheit
zu erhalten, sollte man daher Paare, Trippel,. . . von Zufallszahlen
betrachten und deren ” geometrische Verteilung“ untersuchen. 43 Wir ” skalieren“ dazu
die Zufallszahlen mit Modul m gemäß
u i := xi
m ∈ [0, 1] , i ∈ N0 .
43 Eine ” Anwendung“ der folgenden Pärchenbildung ist die Abtastung eines Schachbretts: will man
jedes Feld zufällig besuchen, so braucht man zufällige Koordinaten.
Stand: 21. November 2011 69 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

(a) (b)
Abbildung 22: Geometrische Einsichten
7.3 Geometrische Beobachtungen
In (a) von Abbildung 22 haben wir dies für den Generator mit a =, b =, c = getan. Die
Korrelation wird sehr deutlich, insbesondere im Vergleich mit der Graphik (b), in der ein
perfekter ” Zufallsregen“ dargestellt ist.
Betrachten wir den Generator RANDU genauer. Wir haben hier
und daher
x i+1 ≡ (65539) 2 x i−1 mod 2 31
≡ (2 16 + 3) 2 x i−1 mod 2 31
≡ (6x i − 9x i−1 ) mod 2 31
x i+1 − 6x i + 9x i−1 = k · 2 31 mit k ∈ Z .
Dies bedeutet für die ” normalisierten“ Zufallszahlen u i := x i 2 −31
u i+1 − 6u i + 9u i−1 = k mit k ∈ Z . (38)
Da 0 < u i+1 < 1 gilt – beachte, dass daher u i+1 − 6u i + 9u i−1 nur die Werte −5, −4, . . . , 9
annehmen kann – müssen die Tripel (u i+1 , u i , u i−1 ) auf Ebenen im Einheitswürfel [0, 1] 3
liegen, und zwar auf nicht mehr als 15 Stück, die jeweils einen gleichen Abstand 1/ √ 118
haben. Neben der mangelnden Maximalität der Zykluslänge ein weiterer Nachteil dieses
Generators. Von vielen wird er daher für den Müllhaufen der Informatik-Geschichte freigegeben.
Vergleichen wir die geometrische Verteilung der Paare (u i+1 , u i ) in [0, 1] × [0, 1] für die
Generatoren aus Beispiel 7.5 und Beispiel 7.9. Man kann Geraden entdecken, worauf alle
Zufallszahlen liegen, 21 im ersten Fall, 8 im zweiten Fall; die Streifen dazwischen sind
frei von den erzeugten Zufallspaaren. Der maximale Abstand von solchen Streifen ist bei
beiden Generatoren dementsprechend ziemlich verschieden: 1
√274 bei Beispiel 7.5, 1
√32 bei
Beispiel 7.9. Dies bedeutet, dass der Generator 7.5 größeres Vertrauen genießen sollte.
Bemerkung 7.10 Der Blum-Blum-Shub-Generators nutzt ebenfalls die Modulo-Rechnung,
wobei der Modul m als Produkt zweier sehr großer Primzahlen ist. Die Iteration
erfolgt nach
x n+1 = x 2 mod m .
Stand: 21. November 2011 70 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

7.4 Statistische Tests
Die Iterationszufallszahlenfolge des Blum-Blum-Shub-Generators wird weniger zu Simulationszwecken
als zu modernen Codierungsverfahren benutzt.
Der derzeit ” beste“ Generator ist wohl der Mersenne-Twister-19937-Generator, liefert
er doch Zufallszahlen, die als Tupel selbst im 623-dimensionalen Einheitswürfel noch
gleichverteilt sind, die geometrische Korreliertheit ist also sehr gering, und der eine Periodenlänge
von 2 19937 − 1(≈ 4, 3 · 10 6001 ) besitzt. Diese Periodenlänge erklärt auch den
Namen des Algorithmus: Sie ist eine Mersenne-Primzahl und einige Eigenschaften des
Algorithmus resultieren aus dieser Eigenschaft. �
In Abschnitt 7.2 haben wir einen Generator angeführt, der mit Fibonacci-Zahlen arbeitet.
Ein oberflächliche Analyse könnte vortäuschen, dass er wesentlich bessere ” geometrische“
Eigenschaften besitzt. Dem ist aber nicht so. Die geometrischen Unzulänglichkeiten
zeigen sich bei der Darstellung von Tripeln im dreidimensionalen Raum sehr deutlich;
siehe etwa [3].
7.4 Statistische Tests
Die erzeugten Zahlen können durch Tests auf ihre Gleichverteilung untersucht werden.
Ergenbisse solcher Tests sind üblichreweise Maßzahlen, die in naheliegender Weise als
Qualitätsangabe interpretiert werden können. Manchmal ist es möglich, solche Maßzahlen
mathematisch herzuleiten. Man spricht dann von theoretischen Tests (im Gegensatz
zu empirischen Tests). Tests, die in Gebrauch sind:
• Chi-Quadrat-Test
• Kolmogorov-Smirnov-Test
• Poker-Test
• Run-Test
Im Allgemeinen führen erst Kombinationen von Tests zu aussagekräftigen Ergebnissen.
Wir besprechen den Chi-Quadrat-Test etwas genauer, zu den übrigen machen wir ein
paar Anmerkungen.
Der von Karl Pearson um 1900 herum entwickelte Chi-Quadrat-Test (χ 2 -Test) ist
eines der ältesten und mächtigsten Testverfahren der Statistik. In der einfachsten Form
dient es der Prüfung der Verträglichkeit von beobachteten relativen Häufigkeiten – hier
in einer Zufallsfolge – mit hypothetischen Wahrscheinlichkeiten. Er testet nach Zuordnung
der erzeugten Zufallszahlen zu Kategorien, ob die Kategorie der einer gegebenen
Verteilung, hier die Gleichverteilung, entsprechende Anzahl enthält.
Bei dem Problem der Zufallsfolgen sind wir in der Praxis genötigt, einen endlichen
Abschnitt zu testen. Wir teilen dazu die vorliegenden Zufallszahlen x i , i = 1, . . . , n ,
in disjunkte Kategorien Kj, j = 1, . . . , l, die den Raum der möglichen Zufallszahlen
ausschöpfen, ein. Das Eintreten der Kategorie Kj unter der Annahme der Gleichverteilung
sei durch die Wahrscheinlichkeit pj gegeben; kj sei die Anzahl der Zufallszahlen, die der
Kategorie Kj angehören. Damit ist auch klar, dass
k1 + · · · + kl = n
gilt. Diese Identität begründet auch, dass man (nur) von l − 1 Freiheitsgraden in der
” Testanordnung“ spricht. Das Ziel ist ein Test der einfachen Hypothese
H0 : pj = kj
n
gegen die Alternative
für jedes j = 1, . . . , l
Stand: 21. November 2011 71 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

H1 : pj �= kj
n
für ein j ∈ {1, . . . , l} .
7.4 Statistische Tests
Die auf Pearson zurückgehende Idee besteht nun darin, eine handhabare Testgröße anzugeben,
die es gestattet, bei einer kritischen Größe die Hypothese H0 (mit Recht) abzulehnen.
Diese Testgröße ist
χ 2 l� (kj − npj)
:=
2
;
npj
j=1
man nennt sie die χ 2 -Statistik mit l − 1 Freiheitsgraden. Wie aus der Darstellung ersichtlich,
erhalten ” seltene Kategorien“ eine hohe Gewichtung und der χ 2 -Wert ist umso
größer, je stärker die Abweichung zwischen beobachteter und theoretischer Verteilung
ist. Wenn er eine bestimmte Schranke c überschreitet, so verwirft man die Hypothese
der Übereinstimmung beider Verteilungen. Wie üblich, gibt man sich ein Testniveau
α > 0 (zugelassene Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art) vor und passt dann
die kritische Größe c an. Es ist nun der Vorteil des χ 2 -Tests, dass c aus einer Tabelle in
Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade (für große n) und α abgelesen werden
kann; siehe etwa [38], Seite 259. Zum Beispiel findet man den Tabellenausschnitt
α 0.01 0.05 0.25 0.5 0.75 0.95 0.99
n = 11 3.053 4.575 7.584 10.34 13.70 19.68 24.72
Beispiel 7.11 Betrachte die Bitkette der Länge 50:
10101 00000 01111 01000 10001 01011 00110 01000 10001 00010 .
Wir finden 19 1-Bits und 31 0-Bits. Da bei einer unterstellten Gleichverteilung für das
Auftreten eines 1-Bits mit der Wahrscheinlichkeit 1 zu rechnen ist, erhalten wir für den
2
χ2-Wert: χ 2 (19 − 25)2
= +
25
(31 − 25)2
=
25
36 36
+ = 2.88 .
25 25
Die Tabelle in [38] weist als kritischen Wert c = 2.71 für α := 0.1 und c = 3.84 für
α = 0.05 aus (Freiheitsgrad =1). Damit lehnen wir die Hypothese zu H0 im Fall α := 0.1
ab und verwerfen H0 im Fall α := 0.05 nicht. �
Eine gewisse Verfeinerung des Chi-Quadrat-Tests stellt der Kolmogorov-Smirnov-
Test dar; er ist ein statistischer Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Ein weiteres Hilfsmittel der Statistik, Verteilungseigenschaften nachzuprüfen, sind so
genannte Run-Tests. Hier wird etwa untersucht, ob die Anzahl und Länge gleichbleibender/aufsteigender
Zahlenfolgen in Übereinstimmung mit der Gleichverteilung sind.
Der Poker-Test betrachtet Gruppen zu je 5 aufeinanderfolgenden Zahlen und beobachtet,
welches der folgenden 7 Muster – manchmal betrachtet man nur 5 Fälle – mit
dem Quintupel übereinstimmt. Wir machen dies deutlich mit dem Alphabet {a,b,c,d,e} .
Die Muster sind:
Poker-Kombination Wort-Kombination Erwartete Häufigkeit
Alle verschieden abcde 0.302
Ein Paar aabcd 0.504
Zwei Paare aabbc 0.108
Drei Gleiche aaabc 0.072
Full house aaabb 0.009
Vier gleiche aaaab 0.0045
Fünf gleiche aaaaa 0.0001
Stand: 21. November 2011 72 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

7.5 Anwendung von Zufallszahlen: One-Time-Pad
Auf diese Anzahlen wird ein Chi-Quadrat-Test angewendet, um herauszufinden, ob die
empirische Verteilung in Übereinstimmung mit der Gleichverteilung ist.
7.5 Anwendung von Zufallszahlen: One-Time-Pad
Auf Gilbert Sandford Vernam (1890-1960) geht ein (symmetrisches) Verschlüsselungsverfahren
zurück, das nachweislich nicht geknackt werden kann, wenn es fehlerfrei eingesetzt
wird, das One Time Pad oder Einmal-Block-Verfahren oder Einmalschlüssel-Verfahren.
Der Amerikaner Joseph O. Mauborgne (1881-1971) setzte diese Idee um und
nannte das Verfahren ” One-Time Pad“. Kurz darauf arbeiteten auch die Deutschen Werner
Kunze, Rudolf Schauffler und Erich Langlotz an dieser Methode. Sie schlugen im Jahr
1921 vor, Blöcke, die mit zufällig erstellten Ziffern bedruckt waren, zur Verschlüsselung
der damaligen diplomatischen Codes zu verwenden. Seit dieser Zeit bis zum heutigen
Tag, speziell auch während der Zeit des Kalten Krieges, wird dieses Verfahren verwendet.
Beispielsweise war der Heiße Draht (auch als das ” Rote Telefon“ bekannt), also die hochsichere
direkte Fernschreibverbindung zwischen dem amerikanischen Präsidenten und dem
sowjetischen Generalsekretär, durch ein Einmalschlüssel-Verfahren geschützt. Was hat
diese Tatsache mit dem Thema Zufallszahlen zu tun?
Das One-Time-Pad ist ein sicheres Verfahren zum Verschlüsseln von Daten mit Hilfe
eines Schlüssels, der Zufallszahlen benötigt. Ein Schlüssel besteht aus mehreren zufällig
ausgewählten Zahlen zum Verschlüsseln von kleinen Datenmengen. Bei der Realisierung
muss der Schlüssel mindestens so lang sein wie die Nachricht selbst und er muss zufällig
sein. Außerdem darf er nur ein einziges Mal verwendet werden, da er sonst geknackt
werden kann und er muss genauso lang sein wie der Klartext.
Der Ursprungstext, oder auch Klartext genannt, der meist aus Buchstaben besteht,
wird in Zahlen umgewandelt. Dazu gibt man jedem Buchstaben des Alphabets die Nummer
(aus 1, 2, . . . , 26), gezählt vom Anfang A zum Ende Z: A entspricht 1, B entspricht
2, . . . , Z entspricht 26. Um eine Botschaft der Länge n zu verschlüsseln, schreibt man zuerst
die in n Zahlen umgewandelten Buchstaben nebeneinander und addiert danach den
Schlüssel, bestehend aus n zufällig ausgewählten Zahlen. Das Ergebnis ist der Chiffretext,
der zufällige, verschlüsselte Text. Wenn das Ergebnius bei einer Addition größer als 26
ist, errechnet man den Rest mod 26. Die neu erhaltenen Zahlen sind neue Buchstaben,
die verschlüsselte Botschaft. Hier ist ein Beispiel:
H A L L O
8 1 12 12 15 Ursprungstext/Klartext
+ 6 15 10 8 18 Schlüssel
14 16 22 20 33 mod 26
14 16 22 20 7 Chiffretext
Beim Entschlüsseln benötigt man den Chiffretext und den Schlüssel. Man addiert zuerst
zu 26 den Chiffretext und subtrahiert dann den Schlüssel vom Ergebnis. Danach rechnet
man das Ergebnis mod 26. Dieses Verfahren muss man mit jedem einzelnen Buchstaben
des Klartextes machen.
(26-Chiffretext-Schlüssel) mod 26 = Klartext
In obigem Beispiel bedeutet dies:
Stand: 21. November 2011 73 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

7.5 Anwendung von Zufallszahlen: One-Time-Pad
(26 + 14 − 6) mod 26 = 8 H
(26 + 16 − 15) mod 26 = 1 A
(26 + 22 − 10) mod 26 = 12 L
(26 + 20 − 8) mod 26 = 12 L
(26 + 33 − 18) mod 26 = 15 O
Abschließend noch die Bemerkung, dass Zufallszahlen nicht nur beim Verschlüsselungsverfahren
” One time pad“ eine Rolle spielen. Sie sind präsent in nahezu jeder Realisierung
von Verschlüsselungsverfahren.
Bibliographische Anmerkungen
Die Generation von Zufallszahlen mit Hilfe von Kongruenzgeneratoren geht auf D.H.
Lehmer zurück; siehe [55]. Detailierte Darstellungen findet man u.a. in [32, 36, 49] und
[Wor11]. Die Modifikation ” Inverse Kongruenzgenerator“ wird in [29] untersucht. Die Beurteilung
von Generatoren wird beleuchtet in [35].
Das One-Time-Pad ist ein sicheres Verfahren zum Verschlüsseln von kleinen Datenmengen;
als Referenz siehe etwa [15] und [Ber06]. Weitere Literatur zu Themen der Kryptographie
sind [6, 16, 23, 47, 80].
Stand: 21. November 2011 74 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8 Monte Carlo-Methode
Monte Carlo Methoden sind extrem schlecht; sie sollten
nur dann verwendet werden, wenn sämtliche Alternativen
noch schlechter sind
Alan Sokal, 1997
In diesem Kapitel stellen wir die Monte Carlo-Methode, die wir in einer speziellen
Situation bei der Berechnung von Flächen im Abschnitt 3.4 schon vorgestellt haben,
in allgemeinerem Rahmen dar. Der Begriff ” Monte Carlo Methode“ kennzeichnet nicht
einen Algorithmus, sondern eine Gruppe von numerischen Methoden, die Zufallszahlen zur
approximativen Lösung oder zur Simulation verschiedener Prozesse einsetzen. Der Einsatz
erfordert auch, dass wir auch Erzeugungsmethoden für Zufallszahlen mit allgemeinerer
Verteilung kennenlernen. Damit ist eine Begründung dafür geliefert, das Thema der Monte
Carlo-Methoden und Fragestellungen der Finanzmathematik hier anzuführen.
8.1 Grundidee der Monte Carlo-Methode
Monte-Carlo-Simulation ist ein Verfahren aus der Stochastik/Statistik, bei dem sehr
häufig durchgeführte Zufallsexperimente die Basis darstellen. Es wird dabei versucht,
mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie analytisch nicht oder nur aufwändig lösbare Probleme
numerisch zu lösen. Als Grundlage ist vor allem das Gesetz der großen Zahlen zu
sehen.
Monte Carlo-Methoden benutzen zur Simulation von realen Vorgängen Zufallszahlen.
Die Zufallszahlen können entweder durch Würfeln real oder durch Zufallszahlengeneratoren
erzeugt werden. Im Allgemeinen ist der Aufwand, zu guten Ergebnissen zu gelangen,
groß. Wir werden sehen, dass sie sich gerade in der Berechnung von Optionspreisen die
Monte Carlo-Simulation auf Grund ihrer großen Flexibilität bewähren; siehe unten.
Hier geben wir einen allgemeinen Überblick über Monte Carlo-Verfahren. Als Entdecker
der Monte Carlo–Simulation gilt de Buffon 44 , der als erster die Kreiszahl π durch den
Wurf einer Nähnadel auf eine karierte Tischdecke berechnete. Seine Idee war, dass über
den zufälligen Winkel zwischen Nadel und parallelem Karomuster der Tischdecke die Zahl
π steckt. Mit dem 10 000-maligen Wurf der Nadel konnte er so die Zahl π auf mehrere
Stellen genau berechnen.
Die genaue Herkunft der Bezeichnung für dieses Verfahren ist umstritten. Enrico Fermi
hatte in den 1930er Jahren die ersten Ideen zu Monte-Carlo-Simulationen. Fest steht,
dass der Begriff ” Monte Carlo“ wohl das erste Mal im zweiten Weltkrieg als Deckname
für eine geheime Forschung im Bereich des amerikanischen Atomwaffenprogramms
(Manhattan-Projekt/Neutronendiffusion), an dem J. v. Neumann und S. Ulam beteiligt
waren, verwendet wurde. Vermutlich wurde der Name von einem 1862 in Monaco gegründeten
Spielcasino abgeleitet.
Die Verfahren nach der Monte Carlo-Methode weisen in der Regel folgende Charakteristik
auf:
• Sie sind häufig die einzige Simulationsmethode, die in vernünftiger Rechenzeit brauchbare
Resultate liefert.
• Unter Einsatz von mehr Rechenzeit ist Approximationsgüte für die Lösung systematisch
verbesserbar.
44 G.L.L. de Buffon, 1707-1788
Stand: 21. November 2011 75 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.1 Grundidee der Monte Carlo-Methode
Sie dienen als Näherungsmethoden u.a. bei folgenden Problemgruppen:
• Analytische Lösung von Problemen rein mathematischer Herkunft, wie z.B. die Approximation
der Kreiszahl π mit Hilfe des Buffonschen Nadelproblems oder der
zufälligen ” Beregnung“ eines Quadrats mit Zufallspunkten, um die Fläche des Einheitskreises
zu berechnen (siehe Abschnitt 3.4).
• Simulation von Modellen wie etwa zur Optionspreisberechnung; siehe unten.
• Nachbildung von komplexen Prozessen, die nicht direkt analysiert werden können,
wie etwa von Wetter/Klima und soziologischen Phänomenen.
• Aufgaben der statistischen Physik.
Als Grundlage ist vor allem das Gesetz der großen Zahlen zu sehen. Die Zufallsexperimente
können entweder etwa durch ” Würfeln“ real durchgeführt werden oder durch Erzeugung
von geeigneten Zufallszahlen. Computergenerierte Vorgänge können den Prozess in ausreichend
hoher Anzahl von Zufallsereignissen simulieren.
Als Gesetze der großen Zahlen werden bestimmte mathematische Sätze aus der Stochastik
bezeichnet. In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative
Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel der Wahrscheinlichkeit dieses Zufallsergebnisses
annähert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder durchgeführt
wird. Formal handelt es sich also um Konvergenzsätze für Zufallsvariablen, zumeist
unterteilt in unterschiedliche Qualitäten der Konvergenz (stark (fast sichere Konvergenz)
und schwach (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit)).
Diese (unterstellte) Gesetzmäßigkeit haben wir schon in vielen Variationen genutzt:
beim Münz- und Reißzweckenwurf, bei der Approximation der Kreiszahl π . Die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, betrage 1 . Je häufiger die Münze
2
geworfen wird, desto unwahrscheinlicher wird es, dass der Anteil der Würfe, bei denen
Kopf erscheint (also die relative Häufigkeit des Ereignisses Kopf“), um mehr als einen
”
beliebigen vorgegebenen Wert von der theoretischen Wahrscheinlichkeit 1
2
abweicht. Da-
gegen ist es durchaus wahrscheinlich, dass die absolute Differenz zwischen der Anzahl
der Kopf-Würfe und der halben Gesamtzahl der Würfe anwächst. Insbesondere besagen
diese Gesetze der großen Zahlen nicht, dass ein Ereignis, welches bislang nicht so häufig
eintrat wie erwartet, seinen Rückstand“ irgendwann ausgleichen und folglich in Zukunft
”
häufiger eintreten muss. Beispielsweise bedeutet bei fünf Würfen ein Verhältnis von 3:1
für Kopf und Zahl – Kopf hat gewissermaßen einen Vorsprung von 2 – sind die relativen
Häufigkeiten 3
4
bzw. 1
4
gegeben. Nach 96 weiteren Würfen stellt sich ein Verhältnis von 51
Mal Kopf zu 49 Mal Zahl ein. Der Vorsprung von Kopf ist also nach 100 Würfen genauso
groß wie nach vier Würfen, jedoch hat sich der relative Abstand von Kopf und Zahl stark
verringert, beziehungsweise – und das ist die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen –
der Unterschied der relativen Häufigkeit von Kopf zum Erwartungswert von Kopf. Der
= 0.75 .
Wert 51
100
= 0.51 liegt sehr viel näher beim Erwartungswert 0.5 als 3
4
Kommen wir zu einer Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen. Es handelt von
einer Folge von Zufallsvariablen (Zn)n∈N auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum
Ω mit Wahrscheinlichkeitsmaß P ; über die Fragen Ereignisraum Σ, Messbarkeit setzen wir
uns hinweg. Die n-te Partialsumme dieser Folge von Zufallsvariablen ist die Zufallsvariable
Sn := 1
n
Stand: 21. November 2011 76 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
n�
k=1
Zk

8.2 Simulation der Normalverteilung
und wir interessieren uns für das asymptotische Verhalten dieses arithmetischen Mittels,
also für
S := lim
n∈N Sn .
In den geforderten Voraussetzungen bezüglich der Zufallsfolge (Zn)n∈N und der Qualität
der Konvergenz unterscheiden sich die verschiedenen Varianten des Gesetzes der großen
Zahlen. Wir geben ein Resultat an
Satz 8.1 (Starkes Gestz der großen Zahlen) Die Zufallsvariablen Zn mögen alle den
Erwartungswert µ besitzen. Unter geeigneten Voraussetzungen gilt:
P (lim n Sn = µ) = 1 (39)
Die Konvergenz in (39) nennt man die fast sichere Konvergenz. Was unter ” geeignete
Voraussetzungen“ gemeint ist, lassen wir hier offen und verweisen dazu auf die Literatur.
Im Kapitel 2 haben wir das Galtonbrett kennengelernt. Aus der Art, wie sich die Fächer
füllen, stellt einen Zusammenhang her zur Gaußschen Glockenkurve. Dies lässt sich auch
analytisch bestätigen mit dem Ergebnis, dass die so genannte Binomialverteilung als
eine gute Approximation der Normalverteilung angesehen werden kann.
8.2 Simulation der Normalverteilung
Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für kontinuierliche Zufallsvariablen. Sie
wurde ursprünglich von C.F. Gauß 45 zum Umgang mit Meßfehlern entwickelt mit deqq
m der so genannten Gaußschen Fehlerkurve“. Die Normalverteilung unterstellt eine
symmetrische Verteilungsform in Form einer Glocke, bei der sich die Werte der Zufallsvariablen
in der Mitte der Verteilung konzentrieren und mit größerem Abstand zur Mitte
immer seltener auftreten.
Die Normalverteilung ist das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik und wird für
unterschiedlichste Zwecke verwendet: u.a. als deskriptives Modell zur Beschreibung empirischer
Variablen, als Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels oder als Näherungslösung
für viele andere Verteilungsmodelle. Die Normalverteilung nimmt eine Sonderstellung
unter den Verteilungen ein. Dies hängt mit den vielfältigen Anwendungen und,
damit einhergehend, der Gültigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes zusammen.
Zur (numerischen) Beschreibung der Normalverteilung benötigen wir die Dichtefunktion.
Sie ist gegeben durch
f(x) := fµ,σ(x) := 1
√ 2πσ e −(x−µ)2 /(2σ 2 ) , x ∈ R . (40)
Wie ergeben sich nun daraus die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen, die normalverteilt
ist? Hier ist der Zusammenhang in Worten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Experiment den Ausgang x zwischen a, b mit
a < b hat, wird durch die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion
beschrieben.
In mathematischen Termen lautet diese Formulierung etwa so: Ist Z eine Zufallsvariable,
die normalverteilt ist mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ, so ergibt sich
die Wahrscheinlichkeit, dass Z Werte zwischen a, b mit a < b annimmt durch
P (a < Z ≤ b) =
� z
−∞
fµ,σ(x)dx =
45 Carl Friedrich Gauß, 1777-1855
� z
−∞
1
√ 2πσ e −(x−µ)2 /(2σ 2 ) dx = N (µ, σ)(−∞, b) . (41)
Stand: 21. November 2011 77 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Hierbei haben wir N (µ, σ) als Abbildung auf R × R zu verstehen.
Wir müssen hier den Integralbegriff
unterstellen,
�
nur soviel: das Integral
z
− fµ,σ(x)dx berechnet die Fläche unterhalb
des Graphen von fµ,σ zwischen den
Grenzen −∞ und z .
Man nennt den Spezialfall µ = 0, σ =
1 die Standard-Normalverteilung.
Da aus jeder Normalverteilung durch
Verschiebung und Skalierung eine Standard-Normalverteilung
gemacht werden
kann, reicht es, die Standard-
Normalverteilung zu untersuchen.
In der Abbildung 23 liegt der Fall
a = µ − σ, b = µ + σ
8.2 Simulation der Normalverteilung
Abbildung 23: Normalverteilung
vor. Die Prozentzahl 68.3 besagt, dass
die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausgang eines Experiments mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.683 im Intervall (µ − σ, µ + σ) liegt. Verbreitert man das Fenster um den Erwartungswert
µ zu (µ − 2σ, µ + 2σ), so erhöht sich die Wahrscheinlichkeit auf 0.954 . Man
kann den Spieß auch umdrehen und fragen, welche Umgebung (µ − zσ, µ + zσ) etwa zu
einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 führt; sie wird realisiert mit z ≈ 1.96 . In der Literatur
findet man Tabellen, die diesen Zusammenhang zum Inhalt haben; siehe [38].
Es gibt ein einfaches Verfahren, aus gleichverteilten Zufallszahlen Zahlen zu konstruieren,
die nach einer Standard-Normalverteilung verteilt sind. Dies geht so:
Seien x1, . . . , xn, . . . gleichverteilte, unabhängig voneinander erzeugter Zufallszahlen im
Intervall [0, 1] . Wir setzen
�
12
y :=
n (x1 + · · · + xn − n
) .
2
konstruiert man auf diese Weise Zufallszahlen y1, . . . , yl, . . . , so sind diese Zufallszahlen
standard-normalverteilt; der zentrale Grenzwertsatz liefert den Beweis dazu. In der
Praxis arbeitet man mit n = 12 . Diese Methode hat u.a. den Nachteil, dass für eine
” normalverteilte Zufallszahl“ 12 gleichmäßig verteilte Zufallszahlen benötigt werden.
Seien X1, . . . , Xn gleichverteilte, unabhängige Zufallsgrößen auf dem Intervall [0, 1] .
Wir wissen, dass der Erwartungswert einer gleichmäßig verteilten Zufallsgröße gleich 1/2
und die Varianz gleich 1 ist. Wir setzen
12
�
12
Y :=
n (X1 + · · · + Xn − n/2)
und damit gilt
E(Y ) =
und in analoger Rechnung
� 12
n (
n�
E(Xi) − n/2) =
i=1
� 12
n (
n�
i=1
V(Y ) = 12
n V
�
n�
�
Xi − n/2 = 1 .
i=1
1
− n/2) = 0
2
Stand: 21. November 2011 78 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.3 Simulation der Aktienkurse
Beachte V ( � n
i=1 Xi) = � n
i=1 V(Xi) auf Grund der Tatsache, dass X1, . . . , Xn als unabhängig
angenommen wurden. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Y eine Standard-
Normalverteilung approximiert. In der Praxis wählt man n = 12 .
Die eben beschriebene Methode hat u.a. den Nachteil, dass für eine ” normalverteilte
Zufallszahl“ 12 gleichmäßig verteilte Zufallszahlen benötigt werden. Ein besseres Verfahren
ist das Box-Muller-Verfahren, das wir hier aber mathematisch nicht darstellen
und begründen können, da es tiefere Ergebnisse der Analysis schon in der Beschreibung
erfordert. Wir geben es allerdings algorithmisch an. 46
Algorithm 3 Box-Muller-Algorithmus
EIN Zwei gleichverteilte Zufallsgrößen U1, U2 .
Schritt 1 Setze θ := 2πU2 , ρ := � −2 ln(U1) .
Schritt 2 Setze Z1 := ρ cos(θ) , Z2 := ρ sin(θ) .
AUS Z1, Z2 sind unabhängige standard-normalverteilte Zufallsgrößen.
Der Algorithmus ist numerisch recht aufwändig, da Wurzeln, trigonometrische Funktionen
und der Logarithmus ausgewertet müssen. Die Polar-Methode von Marsaglia und
Bray ([60]) entledigt sich der trigonometrischen Funktionen.
Algorithm 4 Marsaglia’s Polar-Methode
EIN Zwei gleichverteilte Zufallsgrößen U1, U2 .
Schritt 1 Setze Vi := 2Ui − 1 solange W := V 2
1 + V 2
2 < 1 .
� �
−2 ln(W )/W , Z2 := V2 −2 ln(W )/W .
Schritt 2 Setze Z1 := V1
AUS Z1, Z2 sind standard-normalverteilte Zufallsgrößen.
Die Idee für die Approximation der Kreisfläche aus Abschnitt 3.4 ordnet sich hier
ein. Wir legen über den Graphen der Dichte der Standard–Normalverteilung ein hinreichend
breites Rechteck [−a, a] × [0, 1]; hinreichend meint, dass außerhalb des Intervalls
[−a, a] die Werte der Dichte ” klein“ sind. Dann erzeugen wir N gleichverteilte Punkte
(x1, y1), . . . , (xN, yN) ∈ [−a, a]×[0, 1] und akzeptieren davon die Punkte (˜x1, ˜y1), . . . , (˜xl, ˜yl),
die innerhalb der Fläche des Graphens der Dichte zu liegen kommen. Die Punkte ˜x1, . . . , ˜xl
sind dannn nahezu standard-normalverteilt. Diese so genannte Wegwerfmethode geht
auf J. von Neumann (1951) zurück.
8.3 Simulation der Aktienkurse
Bevor wir über Optionen oder allgemein über Finanzderivate reden können, sollten wir
über die ’ Zutaten“ reden, die hauptsächlich benötigt werden: Aktien, Wertpapiere, Geldanlagen,
Marktannahmen.
46 Die trigonometrischen Funktionen sin, cos sollten hier zumindest ” tafelmäßig bekannt sein.
Stand: 21. November 2011 79 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Aktien
8.3 Simulation der Aktienkurse
Eine Aktie ist ein Anteil am Grundkapital einer Gesellschaft und eine Urkunde, die dem
Inhaber seine Rechte verbrieft. 47 Eine Aktiengesellschaft erhält durch den Verkauf von
Anteilen des Unternehmens Kapital in Höhe des Aktienpreises, das im Gegensatz zum
Kredit nicht zurückgezahlt werden muss. Als Kompensation erhält der Aktionär/Aktienkäufer
Anspruch auf Einbeziehung bei Dividendenzahlungen, spezielle Bezugsrechte und
Mitbestimmungsrechte. Aktienausgaben stellen für Unternehmen alternative Quellen zur
Fremdfinanzierung am Finanzmarkt dar.
Die Erträge von Aktien sind in der Regel höher als risikolose Geldanlagen, sie sind
aber auch mit höheren Risko behaftet. Das Risiko besteht darin, dass Aktien im Preis
schwanken, an Wert verlieren können, ja sogar wertlos werden können, wenn die Aktiengesellschaft
ihre ” Existenz“ verliert. Die Risikoeinschätzung geht ein in die Einteilung
nach ihrer Qualität:
Blue Chips Aktien erstklassiger Unternehmen mit sehr guter Marktposition und Erfolg.
Zyklische Aktien Aktien, die sehr stark konjunkturabhängig sind (Autowerte, Bauunternehmen,.
. . ).
Nebenwerte Aktien kleinerer und mittlerer Unternehmen mit heftigeren Kursbewegungen.
Penny Stocks Extrem risikoreiche Aktien, deren Wert im ” Penny“–Bereich liegen.
Aktien werden hauptsächlich an den Börsen gehandelt. Ihre Kurswerte sind jedem
” Kapitalinvestor“, insbesondere in Internetzeiten, zugänglich. Die Gründe für die Veränderung
der Aktienkurse sind zum Teil objektiver Natur, zum Teil aber sehr schwer zu
durchschauen. Beobachtet man die Kursentwicklung einer Aktie, so stellt man fest, dass
sich meist zwei Effekte überlagern: langfristig bestimmender Trend und kurzfristige
Einflüsse. Diese Erkenntnis wird im Allgemeinen durch jeden Kursverlauf zumindest über
bestimmte Zeiträume bestätigt.
Festverzinsliche Wertpapiere
Ein Wertpapier ist eine Urkunde, die ein Vermögensrecht verbrieft, etwa die Miteigentümerschaft
an einem Unternehmen. Wertpapiere sind zum Beispiel Aktien, Anleihen,
Schecks und Wechsel. Börsenfähige Wertpapiere werden als Effekten bezeichnet.
Unter festverzinslichen Wertpapieren (Kupon-Anleihen/Bonds) versteht man
Kapitalanlagen, bei denen der Zinssatz über die gesamte Laufzeit völlig gleich bleibt und
schon im Vorhinein festgelegt wird, so dass der Anleger hiermit eine völlig risikofreie
Geldanlage eingeht. Die Rendite, also das Verhältnis der Auszahlungen zu den Einzahlungen
der Anlage, steht dabei also schon vor Ablauf der Vertragszeit genau fest. Der
große Vorteil bei dieser Anlageform ist neben der Verlustsicherheit auch die Sicherheit bei
der Planung. So weiß der Anleger stets ganz genau, welche Rendite er in welcher Zeit zu
erwarten hat.
Als festverzinsliche Wertpapiere werden meistens Anleihen wie zum Beispiel Schuldverschreibungen
ausgegeben. Sie dienen Staaten, Institutionen und Unternehmen zur Fremdfinanzierung.
Im Gegensatz zu Aktien, durch die der Investor Eigentümer wird, sind die
Käufer festverzinslicher Wertpapiere Gläubiger und haben als solche nur Anspruch auf
Zinsen und Tilgung des Anleihekapitals. Wir verwenden festverzinsliche Anleihe“ oder
”
” festverzinsliche Geldanlage“ synonym für festverzinsliches Wertpapier.
47actio (lat.)= Handlung, übertragen einklagbarer Anspruch.
”
Stand: 21. November 2011 80 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.3 Simulation der Aktienkurse
Regel 8.2 (Verzinsung) Der Wert B(t) eines festverzinslichen Wertpapiers vom Betrage
B(0) mit einem jährlichen Zinssatz r beträgt nach t Jahren
• bei einmaliger Verzinsung pro Jahr: B1(t) = B(0)(1 + r) t
• bei m-maliger Verzinsung pro Jahr: Bm(t) = B(0)(1 + r
m )tm
• bei kontinuierlicher Verzinsung: B∞(t) = B(0)e rt
Die Formel für B∞ folgt als Grenzwert: B∞(t) := limm→∞ Bm(t) .
Unter Diskontierung (Abzinsung) versteht man den zur Verzinsung umgekehrten
Vorgang.
Regel 8.3 (Diskontierung) Der Wert B(0) eines festverzinslichen Wertpapiers vom
Betrage B(t) zur Zeit t mit einem jährlichen Zinssatz r beträgt
• bei m-maliger Verzinsung pro Jahr: B(0) = B(t)(1 + r
m )−tm
• bei kontinuierlicher Verzinsung: B(0) = B(t)e −rt
Approximation der Aktienkurse
Die Preisänderungen auf den Finanzmärkten sind eigentlich keine stetigen Prozesse: es
gibt üblicherweise kleinste Geldeinheiten, um welche die Preisänderungen mindestens von
Statten gehen müssen (also stückweise stetig). Zum anderen ändert sich der Preis nicht
permanent, sondern bleibt während einer gewissen kurzen Zeit konstant. Man hat also
in der Realität Prozesse, welche stückweise stetig sind und auf diesen stetigen Zwischenstücken
sind sie erst noch konstant (Treppenfunktionen)! Andererseits sind diese
Preisänderungen normalerweise derart häufig und die Änderungen im Vergleich zum ganzen
Preis derart klein, dass je nach Problemstellung doch ein Prozess in stetiger Zeit und
mit stetigem Zustandsraum angebracht ist. Als weiterer Vorteil kommt noch dazu, dass
wir in den Modellen stetiger Zeit explizitere Formeln erhalten als in den Modellen in
diskreter Zeit. Trotz alledem, wir skizzieren im Folgenden die Approximation der Aktienkurse
in diskreter Zeit, leiten diese allerdings aus einem kontinuierlichen Modell ab, dem
so genannten Black–Scholes–Modell.
Die Brownsche Bewegung, die zentral in der Modellierung der Aktienkurse ist,
wird in der Physik zur Modellierung der Bewegung eines Teilchens (Molekül) in einer
Flüssigkeit oder einem Gas eingesetzt; die Bewegung kommt dann durch Zusammenstöße
von Molekülen zustande. Die Brownsche Bewegung nennt man auch Wiener-Prozess.
Der Name ” Brownsche Bewegung“ stammt vom schottischen Botaniker Brown 48
Aktienkurse haben die Tendenz zu steigen“. Dadurch werden auch die Ausschläge
”
nach oben und nach unten immer größer. Deshalb macht es Sinn, die relativen Zuwächse
zu betrachten. Es ist nun die Grundannahme, dass sich die so genannten Log-returns
� �
St+∆t − St
ln
additiv aus einem deterministischen Term, der für die ” makroskopische Drift“ zuständig
ist, und einen stochastischen Term, der für die ” unvorhersagbaren Ausschläge“ verantwortlich
ist. 49 Dabei ist ∆t ein (kleiner) Zeitschritt.
Unter den folgenden Annahmen (und weiteren stochastischen Grundvoraussetzungen)
48 Brown, R., 1773-1858. Die Herkunft des Namens wird zwar korrekterweise meist mit
Brown in Verbindung gebracht, die Geschichte der Herkunft des Namens findet sich auf
http://www.sciences.demon.co.uk/wbbrowna.htm.
49 Dieses Modell für die Bewertung von Optionen geht auf P. Samuelson (1915-2009) zurück; siehe [74].
Er erhielt 1970 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften.
Stand: 21. November 2011 81 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
St

8.4 Simulation von Optionen
• das Basisobjekt hat eine konstante Volatilität σ, d.h. die Varianz der Renditen
wächst wie σ2O(∆t) . � �
∆St
V = σ 2 O(∆t) ;
siehe unten.
St
• die Renditen sind normalverteilt, also
∆St
St
∼ N (µ∆t, σ √ ∆) ,
können wir das Modell so hinschreiben:
� �
St+∆t
ln ∼ N ((µ − 1
2 σ2 )∆t, σ √ ∆) .
St
Wir diskretisieren nach der expliziten Euler-Methode, welche im Zusammenhang
mit stochastischen Differentialgleichungen das Verfahren von Euler-Maruyama heißt.
Die auftretenden infinitesimalen Inkremente werden dabei durch finite Zuwächse ersetzt.
Dazu wählen wir ein Zeitgitter 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T und führen die Bezeichnungen
∆tj := tj+1 − tj, Sj := Stj
ein. Damit stellt sich das Diskretisierungsverfahren so dar:
Sj+1 = Sj + µ∆tj + σ 2 �
zj ∆tj , j = 0, . . . , N − 1 . (42)
Dabei ist zj jeweils eine Zufallszahl, die standard-normalverteilt ist.
Algorithm 5 Simulation mit dem Euler–Maruyama-Verfahren
EIN Zeitgitter 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T . ∆j := tj+1 − tj , j = 0, . . . , N − 1 .
Volatilitätskonstante σ, Driftterm µ, Basiskurs S0 zur Zeit t = 0 .
Mechanismus zur Erzeugung von standard-normal-verteilten Zufallszahlen.
Schritt 1 Für k = 0, . . . , N − 1:
• erzeuge eine Zufallszahl u k ;
• setze Sk+1 := Sk + µ∆j + ujσ 2� ∆j
AUS Diskrete Approximation S0, . . . , SN des Aktienkurses in [0, T ] .
8.4 Simulation von Optionen
Optionen
Eine europäische call option ermöglicht dem Besitzer einen Finanztitel zu einem bestimmten
Zeitpunkt (maturity) zu einem bestimmten Preis (strike price) zu erwerben.
Zu beachten ist, dass hier nur die Möglichkeit eingeräumt wird, jedoch muss der Besitzer
dieser Option sie nicht wahrnehmen.
Betrachten wir nun einen Investor der eine call option für IBM Aktien mit einem strike
price von 100 $ kauft. Der aktuelle Aktienpreis liegt bei 98 $, die Laufzeit beträgt 2 Monate
und der Preis der call Option ist 5 $. Falls die Aktie nach Ende der Laufzeit weniger als
Stand: 21. November 2011 82 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.4 Simulation von Optionen
100 $ wert ist, wird der Investor seine Option sicher nicht einlösen. (Es wäre wohl sinnlos
eine Aktie welche weniger als 100 $ wert ist um 100 $ zu kaufen!). In diesem Fall verliert
der Investor sein ursprüngliches Investitionskapital von 5 $. Falls der Aktienpreis nun
z.B. bei 115 $ liegt, wird er von seinem Kaufrecht um 100 $ jedoch sicherlich Gebrauch
machen. Er macht somit 15 15 -5 $, also 10 $ Reingewinn (net profit).
Eine Option ist ein Vertrag, der seinen Besitzer (Inhaber der Option) das
Recht einräumt, eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes (Basisobjekt)
zu einem festgelegten Preis, dem Ausübungspreis (strike) zu kaufen
(Call, Kaufoption) bzw. zu veräußern (Put, Verkaufsoption). Für dieses
Recht zahlt der Käufer der Option dem Verkäufer eine Prämie, den Optionspreis.
Wer eine Kaufoption (Call Option) besitzt, hat das Recht (aber nicht die Pflicht!)
einen in der Option beschriebenen Basiswert (Aktie, Währung, . . . ) zu einem im voraus
bestimmten fixen Preis, dem Ausübungspreis zu kaufen. Wer eine Verkaufsoption
(Put Option) besitzt, hat das Recht (aber nicht die Pflicht!) einen in der Option beschriebenen
Basiswert (Aktie, Währung, . . . ) zu einem im voraus bestimmten fixen Preis,
dem Ausübungspreis, verkaufen. Wer eine Option kauft, der hat eine Long-Position.
Wer eine Option verkauft, der hat eine Short-Position. Es werden vorwiegend amerikanische
Optionen gehandelt!
Bewertung von Optionen
Wir betrachten ein Optionsgeschäft für Aktien. Es werde mit V der Optionspreis, mit
St der Kurs des Basisobjekts zur Zeit t, mit T die Laufzeit, mit K der Ausübungspreis
und mit ST der Kurs der Aktie (Basiswert) am Fälligkeitstag bezeichnet. Ist ST > K
(die Option ist ” in the money“), so kann der Besitzer der Option die Aktie zum Preis
K erwerben und sofort zum höheren Preis ST am Markt verkaufen. Er erzielt dann eine
Auszahlung (payoff) in Höhe von ST − K (unter Vernachlässigung von Transaktionskosten).
Ist ST < K (die Option ist ” out of the money“), so lässt der Besitzer der Option
sein Recht verfallen, selbst wenn er Interesse am Kauf dieser Aktie hätte. Es ist nämlich
dann günstiger, die Aktie am Markt zum Preis ST zu erwerben. In diesem Fall ist die
Auszahlung für die Option gleich Null. Der Fall ST = K (die Option ist ” at the money“),
ist eine Situation, die wie der Fall ST < K zu behandeln ist.
Zusammengefasst ergibt sich für den Besitzer der Option eine ” Auszahlung“ zum Zeitpunkt
T in Höhe von
(ST − K) +
wobei h + := h, falls h ≥ 0, h + := 0, falls h < 0 ist.
Aus den obigen Ausführungen können wir schließen, dass eine Option ihrem Besitzer
eine nichtnegative Auszahlung zusichert, die in ihrer Höhe allerdings unsicher ist. Daher ist
es verständlich, dass man für den Erwerb einer Option eine Zahlung, die Optionsprämie,
leisten muss. Die Auszahlung ist also um den Wert der Optionsprämie zu mindern, genauer
um den verzinsten Wert der Optionsprämie, um den Gewinn/Verlust zu ermitteln.
Hier haben wir ein Optionsgeschäft beschrieben, das man europäisch nennt. Bei einem
amerikanischen Optionsgeschäft kann man zu jedem Zeitpunkt in [0, T ] entscheiden,
ob man das Recht ausüben will. Es ist offensichtlich, dass für eine amerikanische Option
eine höhere Optionsprämie zu entrichten sein sollte, bietet sie doch mehr Rechte.
Stand: 21. November 2011 83 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

Das Ein-Perioden-Modell
8.4 Simulation von Optionen
Das Problem im (seriösen) Optionshandel ist, die Optionsprämie zu berechnen, d.h. den
Preis der Option zum Zeitpunkt t = 0 festzusetzen, und, um den Handel mit der Option,
solange sie noch nicht ausgeübt ist, zu ermöglichen, zu jedem Zeitpunkt t den Wert
der Option zu bestimmen. Die Schwierigkeit besteht darin, dass man den Verlauf des
Aktienkurses über den Laufzeitraum nicht kennt.
Wir machen uns die Problematik an einem einfachen Modell klar, dem sogenannten
Ein-Perioden -Binomialmodell. Zur Frage der Festsetzung des Optionspreises wird ein
Wertpapierdepot, auch Portfolio genannt, gebildet, das folgendermaßen zusammenzusetzen
ist:
Aktiendepot der betreffenden Aktie, festverzinsliche Anleihe.
Es ist nicht überraschend, dass nun Anleihen ins Spiel kommen, müssen doch die Aktien
bzw. die Optionsprämie finanziert werden.
Wir kaufen also einen Bruchteil 50 ∆ der Aktie auf, und finanzieren die Geschäfte durch
die Aufnahme eines Kredits B. Zum Zeitpunkt T = 1 verfalle die Option, deren Preis wir
ermitteln wollen, d.h. T = 1 ist die Laufzeit. Diesen Preis setzen wir dann als Wert
des Depots zum Zeitpunkt t = 0 fest, dessen quantitative Zusammensetzung wir noch
nicht kennen, da ∆ und B noch unbekannt sind. Man spricht bei diesem Vorgehen von
einer Duplikationsstrategie. Dabei ist es notwendig, neben den angegebenen Daten die
Verzinsung für risikolose Geldaufnahmen und Geldanlagen zu kennen.
Im weiteren wird angenommen, dass der konstante Zinssatz für risikofreie Anlagen für
eine Periode am Markt r ist, dass der Aufzinsungsfaktor bei einmaliger Verzinsung also
gerade z := 1 + r ist. Offen ist die Kursentwicklung der Aktie. Das einstufige Binomialmodell
besteht nun darin, anzunehmen, dass der Kurs der Aktie mit Wahrscheinlichkeit q
auf den Wert uS0 steigt und mit Wahrscheinlichkeit 1 − q auf den Wert lS0 fällt; also
u > 1, 0 < l ≤ 1 . Das Diagramm 24 gibt die Entwicklung des Portfolios wieder. Dabei
gehen wir davon aus, dass lS0 ≤ K ≤ uS0 gilt (um hier anderen Annahmen über den
Markt aus dem Wege zu gehen). Die Optionsprämie wird nun so festgesetzt, dass
Endwert des Duplikationsdepots = Auszahlungswert der Option
erfüllt ist. Dies führt auf zwei Gleichungen für die Unbekannten ∆ und B :
Hieraus folgt:
l∆S0 − zB = 0 , u∆S0 − zB = uS0 − K .
∆ = uS0 − K
, B =
(u − l)S0
l(uS0 − K)
.
(u − l)z
Nun ist die Zusammensetzung des äquivalenten Portfolios bekannt und die Optionsprämie
C0 berechenbar:
C0 = ∆S0 − B .
Beachte: Die Wahrscheinlichkeit q geht gar nicht ein.
Das obige einstufige Modell ist nur von theoretischem Wert. Ersetzt man nun die einmalige
Preisänderung der Aktien durch eine endliche Anzahl n von Änderungen im Zeitraum
[0, T ] kommt man einer kontinuierlicher Preisänderung schon nahe; die Analyse des
50 In der Wirklichkeit erwirbt man ein Paket von Optionen, die Anzahl der aufzukaufenenden Aktien
wird dann auch eine ganze Zahl.
Stand: 21. November 2011 84 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.4 Simulation von Optionen
Portfoliobewegung Wert des Portfolios Wert des Portfolios
t = 0 T = 1
Aktie kaufen, t = 0 ∆S0 l∆S0 u∆S0
Anleihe aufnehmen, t = 0 −B −zB −zB
Summe ∆S0 − B l∆S0 − zB u∆S0 − zB
Beachte die Annahme S0 ≤ K ≤ uS0
Abbildung 24: Duplikationsstrategie
Auszahlung
T = 1
0 uS0 − K
Modells birgt keine neuen Schwierigkeiten, nur der Aufwand wird größer. Dieses so entstehende
so genannte n-Perioden-Modell wird Cox-Ross-Rubinstein-Modell (1979)
genannt.
Wir wollen nun Annahmen über den zugrundeliegenden Finanzmarkt anführen. Sie gilt
es immer im Auge zu behalten, wenn man Diskrepanzen zwischen Modell und Wirklichkeit
diskutieren will 51 .
Marktannahmen und Marktbegriffe
Regel 8.4 ( ” Geschäftsbedingungen“)
• Alle Investoren haben den selben Informationsstand und können verzögerungsfrei
handeln,
• Investoren handeln rational und ziehen ein größeres Vermögen einem kleineren vor,
• es werden keine Transaktionskosten und Steuern berücksichtigt,
• der Wertpapier– bzw. Optionshandel ist zu jedem Zeitpunkt möglich,
• Leerverkäufe (Verkauf eines Basiswertes, den man noch nicht besitzt, aber später
liefert) sind möglich,
• gewünschte Transaktionen können in beliebigem Umfang ohne Rückwirkungen auf
die Kursentwicklung durchgeführt werden,
• Wertpapiere sind beliebig teilbar,
• Wertpapiere stehen in beliebiger Menge zur Verfügung (Liquidität),
• die Verzinsung für festverzinsliche Anleihen und Geldanlagen erfolgt nach demselbem
Zinssatz. Zusätzlich vereinbaren wir eine kontinuierliche Verzinsung (eine Vereinbarung,
die nicht zwingend wäre, beachte aber, dass daraus quantitative Konsequenzen
sich ergeben).
Regel 8.5 (Arbitragefreiheit) Der Markt lässt keine Arbitragemöglichkeiten zu.
Regel 8.6 (Modellierbarkeit) Der Markt, bestehend aus Wertpapieren, Anleihen, Optionen,
. . . kann durch ein Modell abgebildet werden.
51 Der Zoologe Thomas Huxley schreibt: Die Tragödie der Wissenschaft - das Erschlagen einer schönen
Hypothese durch eine hässliche Tatsache
Stand: 21. November 2011 85 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.4 Simulation von Optionen
Unter einem Leerverkauf (short selling) versteht man eine Handelsstrategie, bei
der ein Teilnehmer am Finanzgeschehen (Investor) Objekte, die er nicht besitzt, verkauft
und sie später zurückkauft. 52
Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Handelsstrategie, die keine Anfangsinvestitionen
benötigt und mit positiver Wahrscheinlichkeit einen Gewinn ergibt, ohne das Risiko eines
Verlustes zu beinhalten. Etwas formaler:
Sei I(t) die Entwicklung des Vermögens eines Investors über den Zeitraum
[0, T ] . Man sagt, dass eine Arbitragemöglichkeit für den Investor besteht,
falls es möglich ist, dass er mit dem Vermögen I(0) startet und für sein Endvermögen
I(T )
I(T ) ≥ I(0) , Wahrscheinlichkeit({I(T ) > I(0)}) > 0
gilt. Hierbei wird I(t), t ∈ [0, T ], als Zufallsgröße aufgefasst.
Rendite, Risiko und Volatilität
Rendite bezeichnet den Gesamterfolg einer Kapitalanlage, gemessen als tatsächliche Verzinsung
des eingesetzten Kapitals. Sie beruht auf den Ertragseinnahmen (z.B. Zinsen,
Dividenden, realisierte Kursgewinne) und den Kursveränderungen. Die Rendite soll erkennbar
machen, wie gut sich eine früher angelegte Kapitalanlage entwickelt hat. Rendite
wird meist in Prozent und jährlich angegeben.
Mit dem Begriff Risiko bezeichnet man
in der Finanzwelt die Unsicherheit, mit
der die erwarteten Renditen auch wirklich
eintreten. Je stärker das Risiko einer
Anlageform ist, um so stärker schwankt
die Wertentwicklung im Zeitverlauf und
umgekehrt.
Abbildung 25: DAX-Verlauf im April 2011
53 Das Instrument um diese
Unregelmäßigkeit oder Flatterhaftigkeit
der Renditeentwicklungen zu messen,
ist die sogenannte Volatilität54 . Sie
misst die Schwankungsbreite des Kurses
des Basiswertes für Kursbewegungen innerhalb
eines bestimmten Zeitrahmens.
Üblicherweise wird sie mit σ bezeichnet.
Die Volatilitätsgröße ist keine direkt beobachtbare
Größe. Sie ist daher aus Marktdaten
zu schätzen“. Man unterscheidet zwi-
”
schen historischer und impliziter Volatilität
unterscheiden, solange wir die Volatilität als eine Konstante betrachten.
Die Aufgabe eines Investment-Analysten ist nun die Zusammenstellung eines Portfolios
aus Finanztiteln, welches einen möglichst guten Kompromiss zwischen Risiko und
52 Aus der FAS am 31. Juli 2011, S. 38: Dabei dürfte es solche hohen Preise eigentlich nicht geben. In
einem effizienten Markt sollte jede Überschätzung des Kurses sofort professionelle Investoren auf den Plan
rufen, die mit so genannten Leerverküfen auf fallende Kurse spekulieren und gleichzeitig den Aktienkurs
zurückstutzen.
53 Diese Binsenweisheit wollen nicht alle akzeptieren und reissen damit sich (o.k.) und andere, ja ganze
Staaten ins Unglück. Man sollte sich an folgende Weisheit (Andrè Kostelany) halten: Man sollte wissen,
dass hinter den Fassaden großer Finanzinstitute keine Musterknaben sitzen.
54 lat. volare: fliegen; volatilis: fliegend, flüchtig
Stand: 21. November 2011 86 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

8.5 Simulationen von Optionen
möglichem Gewinn darstellt. Dafür benötigt er eine Abschätzung des Wertes der Option,
welche von der Preisentwicklung der ihr zugrundeliegenden Aktie abhängt.
8.5 Simulationen von Optionen
Mit dem oben skizzierten Rechenvorschriften können wir viele“ Approximationen SN für
”
. Damit stehen uns auch die Auszahlungen
den Basiskurs ST errechnen, etwa S1 N , . . . , SM N
(S1 N − K)+ , . . . , (S1 N − K)+ zur Verfügung. Eine Approximation CN,M für den zu ermittelnden
Optionspreis besteht nun im Mittelwert dieser Auszahlungen, diskontiert auf den
Zeitpunkt t = 0:
−rT 1
C0 := e
M
M�
j=1
(S j
N
− K)+
Die Qualität der Diskretisierung hängt von den Parametern N, M ab: N sollte groß sein,
damit der ” Pfad“ der Aktienkurse gut approximiert wird, M sollte groß sein, damit die
Qualität der Mittelwertsberechnung hoch ist. Bei Berücksichtigung dieser Forderungen
entsteht ein hoher Rechenaufwand. Den Beweis, dass dieses Vorgehen realisiert und mathematisch
abgesichert werden kann, müssen wir übergehen.
Bibliographische Anmerkungen
Die Monte Carlo-Methoden sind beschrieben in ganz unterschiedlichen Disziplinen der
Wissenschaften: im Kontext Physik siehe [18], in der Mathematik als Methode der Integration
siehe etwa [64], als Werkzeug in der Finanzmathematik siehe [37].
Zur Normalverteilung und ihrer Approximation durch die Normalverteilung siehe etwa
[38, 21, 51]. Zur Simulation der Normalverteilung siehe [37, 36].
Die Theorie zur approximativen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen ist
ein extrem schnell wachsendes Gebiet; siehe [25, 48].
Als ” einfachster Zugang“ zur Modellierung von Bewertungsmodellen für Optionen kann
[24] angesehen werden. Die Bewertung von Optionen wird elementar beschrieben etwa in
[19, 41, 53].
Stand: 21. November 2011 87 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
(43)

9 Sierpinski-Mengen
Für einen Zufallsgenerator braucht man einen richtigen
Samen ( ” Seed“). Wer kennt den weltweit zufälligsten ?
Eintrag in einem Forum zum Thema Gutes Chaos ist
verdammt teuer !
Das Sierpinski-Dreieck 55 ist eine geometrische Figur, die die Eigenschaft des Fraktals 56
besitzt. Es kann unter Zuhilfenahme von Zufallszahlen auf unterschiedliche Weise erzeugt
werden; der Zusammenhang mit dynamischen Systemen wird dabei offensichtlich.
Da der Zufall benutzt wird, kann die Konstruktion als Test für Pseudozufallszahlen
verwendet werden; wir gehen diesem Ansatz aber nicht eigentlich nach.
9.1 Sierpinski-Dreieck
Viele Formen der Natur lassen sich nicht mit den klassischen geometrischen Körpern ausreichend
beschreiben: eine Wolke ist keine Kugel, ein Baum kein Kegel, ein Blitz keine Linie,
ein Farn kein Dreieck. Bei genauerem Hinsehen entdecken wir oft Selbstähnlichkeit
und eine zerbrochene Struktur. Selbstähnlichkeit bedeutet, dass man die Form eines
Objekt in sich selbst wieder auf kleinerer Skala wiederfindet, oder etwas mehr formal:
Eine Struktur/Objekt heißt selbstähnlich genau dann, wenn sie in Teile zerlegt
werden kann, von denen jedes eine kleinere Kopie des Ausgangsobjekts
ist.
Das Sierpinski-Dreieck als geometrische Figur
passt hier sehr gut her; siehe unten. Beispiele für
Selbstähnlichkeit finden sich auch im Werk von
M.C. Escher. Fraktale sind geometrische Objekte,
denen keine im klassischen Sinne (ganzzahlige)
Dimension zugeordnet werden kann;
daraus leitet sich die Namengebung Fraktal“
”
ab. Diese Begriffsbildung geht auf B. Mandelbrot
Abbildung 26: Sierpinski-Dreieck
57 zurück. Er griff dabei auf mathematische
Grundlagen zurück, die im 19. Jahrhundert von
Cantor, Peano und Hausdorff geschaffen wurden.
Im Allgemeinen besitzen solche Objekte bestimmte
Eigenschaften, wie zum Beispiel verschiedene
Arten von Selbstähnlichkeit, eventuell
unendlich großen Umfang, . . . . Das Sierpinski-
Dreieck (siehe Abbildung 26), das als geometrische
Figur schon vor Sierpinski bekannt war – es findet sich in itaienischen Kathedralen
aus dem 12. Jahrhundert als Fußbodenmosaik und an einer Kanzel – besitzt solche Eigenschaften.
Das Konstruktionsverfahren für das Sierpinski-Dreieck ist einfach:
• Man beginnt mit einem schwarzem gleichseitigem Dreieck, halbiert die Seiten und
nimmt das Dreieck ” heraus“, das durch die Seitenmittelpunkte gegeben ist.
55 Wac̷law Sierpinski, Mathematiker und Physiker, 1882-1969
56 Vom Lateinischen: frangere = brechen, fractus = gebrochen
57 Benoit Mandelbrot, Mathematiker, 19??-2011
Stand: 21. November 2011 88 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

• Es bleiben drei schwarze Teildreiecke übrig.
9.2 Fraktale und ihre Dimension
• Nehme bei den drei verbliebenen Dreiecken wieder das Mitteldreieck heraus und
fahre so fort.
Das Sierpinski-Dreieck besteht offenbar aus Flächenstücken, die immer und immer wieder
durchbrochen und zersplittert sind. Unten werden wir zwei ” dynamische“ Konstruktionsverfahren
kennenlernen.
(a) Ausgangsdreieck (b) 1. Schritt (c) Weitere Schritte
Abbildung 27: Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks
9.2 Fraktale und ihre Dimension
Unser gewohnter Dimensionsbegriff in der Geometrie ist die euklidische Dimension: ein
Punkt hat die Dimension null, eine Strecke die Dimension eins, eine Fläche die Dimension
zwei, einer Pyramide die Dimension 3, . . . . In der Linearen Algebra/Analytischen
Geometrie ordnen wir Vektorräumen als Dimension die Zahl zu, die die minimale Anzahl
der zur Erzeugung aller Punkte des Raums erforderlichen Basisvektoren angibt; jeweils
haben wir eine ganze Zahl als Dimension.
Wie oben beschrieben, können selbstähnliche Objekte beliebig zerlegt werden und die
entstehenden Teilmengen ergäben vergrö¨sert wieder das Ausgangsobjekt. Für die Objekte
der euklidischen Geometrie mit einer Dimension d gilt bei einem Verkleinerungsfaktor s
für die Anzahl t der verkleinerten Objekte
t = 1
( 1
s )d
d.h. d = log(t)
log(s)
Dies lässt sich nun auf Fraktale übertragen. Beim Sierpinski-Dreieck haben wir für s = 2
t = 3 und daher
dSierpinski = log(3)
≈ 1.585
log(2)
(45)
Der Wert dSierpinski ≈ 1.585 macht den fraktalen Charakter des Sierpinski-Dreiecks messbar.
Mit dem obigen Dimensionsbegriff können interessante und zumeist klassische Beispiele
fraktaler Objekte bestimmt werden. Etwa:
• Koch-Kurve als Nachbildung einer ” Schneeflocke“. Die Dimension ist
DKoch = log(4)
log(3)
Stand: 21. November 2011 89 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo
(44)

9.3 Konstruktion mit Hilfe des ” Chaos-Spiel-Verfahrens“
• Dürer-Pentagon Dabei wird jedes regelmäßiges Fünfeck in sechs kleinere regelmäßige
Fünfecke zerlegt. Keine Überraschung sollte sein, dass die goldene Schnittzahl g hierbei
ins Spiel kommt bei der Dimensionsformel:
DDuerer = log(6)
log(1 + g)
≈ 1.863
9.3 Konstruktion mit Hilfe des ” Chaos-Spiel-Verfahrens“
Um das Sierpinski-Dreieck zu konstruieren, wendet man den ” Chaos-Spiel-Algorithmus“
oder ein iteriertes Funktionssystem an. Dabei ist es unverzichtbar, gleichverteilte Zufallszahlen
für die Erzeugung von Koordinaten der Punkte zu benutzen; siehe unten.
Unter einer Iteration 58 versteht man in der Mathematik eine wiederholte Durchführung
einer Anweisung oder eines Anweisungsblocks. Ein iteriertes Funktionssystem ist damit
die Wiederholung einer Folge von festdefinierten Funktionen. Wir haben diese Idee
schon im Zusammenhang mit der Erzeugung von Zufallszahlen kennengelernt.
Der Name des Spiels kommt daher, dass jedem, der sich das erste Mal mit diesem
Verfahren beschäftigt, am Anfang das Ganze wie ein Chaos vorkommt. Die Regeln des
Spiels sind folgendermaßen beschrieben:
1. Man definiert 3 Eckpunkte eines (gleichseitigen) Dreiecks.
2. Man legt einen Startpunkt in das Dreieck.
3. Man wählt zufällig einen der drei Eckpunkte mit Wahrscheinlichkeit p = 1
3 .
4. Man bildet einen neuen Punkt, in dem man die Strecke zwischen dem Startpunkt
bzw. dem zuletzt erzeugten Punkt und dem ausgewählten Eckpunkt halbiert und
den neuen Punkt dorthin legt.
5. Man wiederholt Schritt 3 und 4.
Da der Zufall ” blind“ ist, erwartet man, dass die ” Spielpunkte“ gleichmäßig im Dreieck
verteilt sind. Die Überraschung ist aber groß, es bildet sich ein strukturiertes Bild heraus.
Die Struktur ist nach ca. 500 Iterationen schon erkennbar und nach ca. 10.000 Iterationen
ist das Sierpinski-Dreieck ” fertig“.
Die Entstehung wird plausibel, wenn man eine Ecke des Ausgangsdreiecks als Startpunkt
wählt. Man stellt fest, dass die dann erzeugten Punkte stets Eckpunkte eines Teildreiecks
der jeweils nächsten Konstruktionsstufe gemäß sind.
Abschließend noch eine Anmerkung zur Namensgebung des Konstruktionsverfahrens.
In Abschnitt 2.5 haben wir Kausalität, sensitive Abhängigkeit und Chaos angesprochen.
Wie ordnet sich dies hier ein? Haben wir zwei nahe benachbarte Startwerte gewählt,
so ist ganz einfach einzusehen, dass die Punktfolge, die nun konstruiert wird, schon nach
ganz wenigen Konstruktionsschritten sich im Allgemeinen weit voneinander entfernt. Aber
auch das ” Gegenteil“ist zu beobachten, nämlich, dass sie sich auch wieder stark annähern.
Dieses Verhalten ist Teil der Definition von Chaos in dynamischen Systemen. Man mag
nun der Meinung sein, dass dies eine Folge des Zufalls ist, den wir eingebaut haben. Dies
ist nicht der Fall, sensitive Abhängigkeit kann eintreten auch bei einer Nichtzufallsfolge
der gewählten Eckpunkte; siehe nachfolgende Bemerkung.
Überraschenderweise hängt aber das Ergebnis des ” Spiels“ nicht von diesen Sensitivitäten
ab: bei jedem Startwert erhalten wir diesselbe Figur.
58 Vom Lateinischen: iterare = wiederholen
Stand: 21. November 2011 90 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

9.4 Konstruktion mit Hilfe eines iterierten Funktionssystems
Bemerkung 9.1 Die Anwendung von Zufall ist für die Konstruktion eines Sierpinski-
Dreiecks unverzichtbar. Wenn wir zum Beispiel eine periodische Zahlenfolge statt ein Zufallsexperiment
für die Wahl des angewendeten Funktionsparameter oder für die Wahl des
Eckpunktes im ” Chaos-Spiel-Algorithmus“ benutzen, werden wir keine fertige Struktur erkennen.
Im Allgemeinen entsteht dann eine periodische Punktfolge oder eine Punktfolge,
die offenbar gegen Fixpunkte konvergiert. �
9.4 Konstruktion mit Hilfe eines iterierten Funktionssystems
In einem Koordinatensystem setzt man einen Startpunkt, dann wählt man zufällig eine
Funktion aus eine Gruppe von drei Funktionen und setzt den Startpunkt ein, um die
Koordinaten des neuen Punktes zu erzeugen. Dabei wiederholt man dieses Verfahren, bis
die Struktur erkennbar ist.
Die Funktionen, die dabei benutzt werden, sind Funktionen auf R×R, also Funktionen
mit den Variablen x, y ∈ R. Sie sind definiert als:
f(x, y) := ax + by + e
g(x, y) := cx + dy + f
wobei die Parameter a, b, . . . , f Zahlen zwischen 0 und 1 sind; sie werden den Zeilen der
Tabelle in Abbildung 28 entnommen. Damit ergibt sich die Iteration
xn+1 := axn + byn + e
yn+1 := cxn + dyn + f
mit einem noch zu wählenden Startwert (x0, y0) . Die Funktionen werden entsprechend
der gewählten Zufallszahl aus {1, 2, 3} gewählt. Wir können die Iteration als diskretes
dynamisches System interpretieren.
F a b c d e f
1 0.5 0.0 0.0 0.5 0.00 0.0
2 0.5 0.0 0.0 0.5 0.25 0.5
3 0.5 0.0 0.0 0.5 0.50 0.0
Abbildung 28: Parameter zum Sierpinski-Dreieck
Die Aussage von Bemerkung 9.1 trifft auch hier zu.
9.5 Variationen des Sierpinski-Dreiecks
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, mit denen man abgeänderte Sierpinski-Dreiecke konstruieren
kann. Hier stellen wir ein paar Variationen mit anderen Anfangswerten und Gegebenheiten
vor, die die fertige Struktur des Dreiecks anders gestalten. Zudem erklären
wir, wie wichtig die Verwendung des Zufalls bei der Konstruktion des Fraktals ist.
Verzerrung
Die Form des Fraktals muss nicht gleichseitig sein. Als Grundform könnte man zum Beispiel
ein beliebiges Dreieck nehmen. Dadurch entsteht eine ” verzerrte“ Struktur, die die
Eigenschaften eines Sierpinski-Dreiecks immer noch besitzt; siehe: Abbildung 29 (a).
Stand: 21. November 2011 91 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

(a) (b) (c)
Veränderte Wahrscheinlichkeiten
Abbildung 29: Variationen des Themas
9.5 Variationen des Sierpinski-Dreiecks
Bei der Konstruktion eines normalen Sierpinski-Dreiecks nutzen wir für die Wahl des
Eckpunktes im ” Chaos-Spiel-Verfahren“ ein Laplace-Experiment; siehe Kapitel ??. Jedes
Elementareireignis tritt also mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p ein. Wenn wir nun
die Wahrscheinlichkeit der Wahl verändern, entsteht eine Struktur mit abgeschwächter
Dichte der Punkte; siehe Abbildung 29 (b). Als Beispiel setzen wir beim ” Chaos-Spiel-
Algorithmus“ die Wahrscheinlichkeiten für die Wahl der Eckpunkte folgendermaßen:
• Eckpunkt 1: p = 5
10
• Eckpunkt 2: p = 1
10
• Eckpunkt 3: p = 4
10
Sierpinski-Teppich
Der Sierpinski-Teppich ist ein Fraktal, welcher eine selbstähnliche Teilmenge eines Quadrats
ist. Um das Fraktal zu konstruieren, überträgt man die Idee des ” Chaos-Spiel-
Algorithmus“ auf diese Situation. Der Unterschied zu der Konstruktion eines Sierpinski-
Dreiecks besteht darin, dass man beim Sierpinski-Teppich vier Eckpunkte und vier Mittelpunkte
aller Kanten einsetzt, also insgesamt acht Punkte nutzt. Dadurch entstehen acht
Teilquadrate. Außerdem teilt man, um einen neuen Punkt zu erzeugen, die Verbindungsstrecke
zwischen dem aktuellen Punkt und dem gewählten Eckpunkt nicht in zwei sondern
in drei Teile. Der neu konstruierte Punkt entsteht als Endpunkt der Drittelstrecke, die im
gewählten Eckpunkt endet; siehe Abbildung 29 (c).
Bibliographische Anmerkungen
In Abschnitt haben wir die ” Selbstähnlichkeitsdimension“ kennengelernt. Es gibt eine
Reihe weiterer Dimensionsbegriffe; siehe für einen Überblick [39, 87].
Interessante Fraktale kommen als Attraktoren und daraus abgeleiteten Mengen von
dynamischen Systemen zustande; siehe etwa [4, 58, 66].
Stand: 21. November 2011 92 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo

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Stand: 21. November 2011 97 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo