Zusammenfassung Funktionalanalysis

Die wichtigsten Begriffe und Theoreme
aus der Vorlesung Funktionalanalysis
von Prof. Rainer Nagel, WS 2007/08
Petra Csomós
29. Januar 2008
1 Banachräume
1.1 Banachräume
Definition 1.1. Sei X ein K (R oder C)-Vektorraum und ‖ · ‖ eine Norm auf X. Dann
heißt (X, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum. Falls X vollständig ist (d.h. jede Cauchyfolge
in X konvergiert in X), heißt X Banachraum.
Definition 1.2. Sei X ein metrischer Raum. Die Menge K ⊂ X heißt (folgen)kompakt,
falls jede Folge (x n ) ⊂ K eine in K konvergente Teilfolge besitzt, d.h. es existiert (x nk )
mit
∃ lim
k→∞
x nk = ¯x ∈ K.
Lemma 1.3 (Riesz). Die Einheitskugel B 1 (0) := {x ∈ X :
dann kompakt, wenn X endlichdimensional ist!
‖x‖ ≤ 1} ⊂ X ist genau
1.2 Linearformen
Definition 1.4. Sei X ein normierter Raum.
(i) Sei X ∗ := {Lineare Abbildungen von X nach K}. Dann heißt ϕ ∈ X ∗ beschränkt,
falls
sup |ϕ(x)| < ∞.
‖x‖≤1
(ii) Sei ϕ ∈ X ∗ beschränkt. Dann ist ‖ϕ‖ := sup |ϕ(x)| die Norm von ϕ.
‖x‖≤1
(iii) Der Raum X ′ := {ϕ ∈ X ∗ : ϕ ist beschränkt} heißt der (stetige) Dualraum von X.
Lemma 1.5. Der Raum X ′ ist ein Vektorraum, und ϕ ↦→ ‖ϕ‖ definiert eine Norm auf
X ′ .
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Satz 1.6. Sei X normiert, ϕ ∈ X ∗ . Dann sind äquivalent.
(a) ϕ ist gleichmäßig stetig;
(b) ϕ ist stetig;
(c) ϕ ist stetig in 0;
(d) ϕ ist beschränkt;
(e) kerϕ ist abgeschlossen.
Theorem 1.7. Sei (X, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum. Dann ist (X ′ , ‖ · ‖) immer ein
Banachraum! (Auch wenn X selbst nicht vollständig ist.)
Theorem 1.8 (Hahn – Banach). Sei X ein normierter Vektorraum, Y ⊂ X ein linearer
Teilraum. Sei ϕ ∈ Y ′ . Dann existiert Φ ∈ X ′ mit
Φ Y = ϕ und ‖Φ‖ = ‖ϕ‖,
d.h. es existiert eine stetige, normgleiche Fortsetztung von ϕ auf ganz X.
Korollar 1.9. Sei X ein normierter Vektorraum und Y ⊂ X ein linearer Teilraum. Aus
dem Satz von Hahn – Banach folgt:
(i) X ′ ist nicht trivial, d.h. X ≠ {0} ⇒ X ′ ≠ {0}.
Genauer: X ′ trennt die Punkte von X, d.h.
∀x 1 , x 2 ∈ X mit x 1 ≠ x 2 ∃ ϕ ∈ X ′ mit ϕ(x 1 ) ≠ ϕ(x 2 ).
(ii) Es gilt für x ∈ X: ‖x‖ =
sup |ϕ(x)|.
ϕ∈X ′ ,‖ϕ‖≤1
(iii) Y = ⋂ {kerϕ : ϕ ∈ X ′ mit Y ⊆ kerϕ}.
1.3 Hilberträume
Definition 1.10. Sei H ein K-Vektorraum. Die Abbildung (·, ·) : H × H → K heißt
Skalarprodukt auf X, falls
(i) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇒ x = 0 ∀x ∈ X;
(ii) (x 1 + x 2 , y) = (x 1 , y) + (x 2 , y) ∀x 1 , x 2 , y ∈ X,
(αx, y) = α(x, y) ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X;
(iii) (x, y) = (y, x) ∀x, y ∈ X.
Bemerkung 1.11. Aus der Definition folgt:
(i) (x, βy) = β(x, y) ∀β ∈ K, ∀x, y ∈ H,
(x, y 1 + y 2 ) = (x, y 1 ) + (x, y 2 ) ∀x, y 1 , y 2 ∈ H;
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(ii) (x, 0) = (0, x) = 0 ∀x ∈ H.
Satz 1.12 (Cauchy – Schwarz–Ungleichung). Sei X ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt
(·, ·). Dann gilt:
|(x, y)| 2 ≤ (x, x) · (y, y) ∀x, y ∈ H.
Lemma 1.13. Sei H ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt (·, ·). Definiere ‖x‖ := √ (x, x).
Dann ist H ein normierter Raum bezüglich ‖ · ‖.
Definition 1.14. Ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt (·, ·) heißt Prähilbertraum.
Satz 1.15 (Parallelogrammgleichung). Sei ( H, ‖ · ‖ ) ein Prähilbertraum. Dann gilt:
‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2‖x‖ 2 + 2‖y‖ 2 ∀x, y ∈ H.
Definition 1.16. Prähilbertraum H heißt Hilbertraum, wenn H vollständig ist, d.h. H
ein Banachraum bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm ist.
Theorem 1.17 (Projektionssatz). Sei H ein Hilbertraum, M ≠ ∅ abgeschlossen und
konvex, x /∈ M. Dann existiert genau ein Element in M mit minimalen Abstant von x,
d.h.
∀x ∈ X ∃! x 0 ∈ M : d(x, M) = ‖x 0 − x‖.
Definition 1.18. Sei H ein Prähilbertraum mit Skalarpodukt (·, ·), x, y ∈ H, M ⊂ H.
(i) x⊥y (x ist senkrecht oder orthogonal zu y), falls (x, y) = 0.
(ii) x⊥M, falls x⊥y für alle y ∈ M.
(iii) M ⊥ := {y ∈ H : y⊥M}.
(iv) M ⊥⊥ := ( M ⊥) ⊥
.
Theorem 1.19 (Zerlegungssatz). Sei H ein Hilbertraum, F ein abgeschlossener linearer
Teilraum. Dann H = F ⊕ F ⊥ , d.h.
∀x ∈ H ∃! x 1 ∈ F, x 2 ∈ F ⊥ mit x = x 1 + x 2 .
Insbesondere gilt ‖x‖ 2 = ‖x 1 ‖ 2 + ‖x 2 ‖ 2 .
Satz 1.20. Sei H ein Hilbertraum.
(i) Die Menge M ⊥ ist ein abgeschlossener Teilraum, und M ⊥ =
(ii) M ⊥⊥⊥ = M ⊥ .
(iii) lin(M) = M ⊥⊥ .
(
lin(M)) ⊥.
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Definition 1.21. Sei H ein Hilbertraum.
(i) (x α ) α∈A ⊂ H heißt Orthogonalsystem (OGS), falls x α ⊥x β für alle α ≠ β.
(ii) (x α ) α∈A ⊂ H heißt Orthonormalsystem (ONS), falls
{ 0, α ≠ β,
(x α , x β ) =
1, α = β.
Korollar 1.22 (Pythagoras). Sei H ein Hilbertraum, {x 1 , x 2 , . . . , x n } Othogonalsystem.
∑
Dann ‖ n ∑
x i ‖ 2 = n ‖x i ‖ 2 .
i=1
i=1
Definition 1.23. Sei H Hilbertraum, S := {e 1 , e 2 , . . . } ONS, x ∈ H. Dann heißt (x, e n ) ∈
C der n-te Fourierkoeffizient von x bezüglich S.
Satz 1.24. Sei H Hilbertraum, S := {e 1 , e 2 , . . . } (abzählbares) ONS, x ∈ H. Dann gilt:
(i)
(ii)
∞∑
|(x, e n )| 2 ≤ ‖x‖ 2
n=1
∞∑
(x, e n )e n = lim
n=1
(iii) x − y ∈ (linS) ⊥ .
k→∞ n=1
(Besselsche Ungleichung).
k∑
(x, e n )e n =: y existiert.
Satz 1.25. Sei S := {e 1 , e 2 , . . . } ONS in einem Hilbertraum H. Die folgenden Aussagen
sind äquivalent.
∑
(a) Für alle x ∈ H gilt: x = ∞ (x, e n )e n (‖ · ‖-Konvergenz!).
(b) S ⊥ = 0.
n=1
(c) Die Menge linS liegt dicht in H (d.h. linS = H).
Definition 1.26.
(i) Ein ONS in H heißt Orthonormalbasis ONB (oder Hilbertraumbasis oder ein vollständiges
ONS), falls eine der äquivalenten Bedingungen (a)–(c) des letzten Satzes gilt.
∑
(ii) Die Reihe ∞ (x n , e n )e n heißt die Fourierreihe von x bzgl. der ONB {e n : n ∈ N}.
n=1
Satz 1.27. Jeder Hilbertraum besitzt eine ONB. Die Mächtigkeit dieser ONB ist eindeutig
bestimmt.
Satz 1.28. Sei H Hilbertraum, S := {e 1 , e 2 , . . . } ONB. Dann gilt:
∞∑
|(x, e n )| 2 = ‖x‖ 2
n=1
(Parsevalsche Gleichung).
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Theorem 1.29 (Darstellungstheorem). Jeder separable (unendlichdimensionale) Hilbertraum
ist isometrisch isomorph zu l 2 (N).
Theorem 1.30. Für alle x ∈ H definiert die Abbildung ϕ : H → C, y ↦→ ϕ x (y) := (y, x)
ein Element aus H ′ mit ‖x‖ = ‖ϕ x ‖. Außerdem gibt es für jedes x ∈ H genau ein solches
ϕ x . Die Abbildung x ↦→ ϕ x ist (konjugiert) linear. Damit kann H ′ mit H identifiziert
werden.
1.4 Banachräume stetiger Funktionen
Definition 1.31. Für ein kompakter metrischer Raum K sei C(K) := {f : K →
C | f stetig} mit ‖f‖ ∞ := sup |f(s)| < +∞.
s∈K
Satz 1.32 (Stone – Weierstraß). Sei K ein kompakter metrischer Raum. Ein linearer
Teilraum Y von C(K) ist dicht bzgl. ‖ · ‖, falls
(i) die konstanten Funktionen zu Y gehören,
(ii) für s ≠ t ∈ K ein f ∈ Y mit f(s) ≠ f(t) existiert,
(iii) fg, ¯f ∈ Y für f, g ∈ Y .
Korollar 1.33. Die Polynome sind dicht in C[0, 1].
Satz 1.34. Sei X = C(K). Dann ist X eine kommutative Banachalgebra mit Einheit
1, d.h. X ist ein Banachraum und eine kommutative Algebra bezüglich (f, g) ↦→ fg mit
(fg)(s) := f(s)g(s) für alle s ∈ K, und ‖fg‖ ≤ ‖f‖ · ‖g‖ für alle f, g ∈ X, und ‖1‖ = 1.
Theorem 1.35 (Gelfand). Sei a eine kommutative Banachalgebra mit Einheit, und
Involution ∗ , sodass ‖xx ∗ ‖ = ‖x‖ 2 für alle x ∈ a. Dann existiert ein kompakter Raum K,
so dass a ∼ = C(K).
Theorem 1.36 (Arzelà – Ascoli). Sei X = C(K), K kompakt. Sei M ⊂ X. Dann sind
die folgenden Aussagen äquivalent.
(a) M ist relativkompakt, d.h. M ist kompakt.
(b) M ist beschränkt und M ist gleichgradig stetig, d.h.
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : d(s, t) < δ =⇒ |f(s) − f(t)| < ε ∀f ∈ M.
(Wichtig: δ ist von f unabhängig!)
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2 Lineare Operatoren
2.1 Beschränkte lineare Operatoren
Definition 2.1. Seien X 1 , X 2 normierte Vektorräume.
(i) Der Operator T ∈ L(X 1 , X 2 ) := {f : X 1 → X 2 | f linear} heißt beschränkt, falls
∃ c > 0 mit ‖T x‖ ≤ c für alle x ∈ X 1 mit ‖x‖ ≤ 1 (also aus der Einheitskugel).
(ii) L(X 1 , X 2 ) := {T ∈ L(X 1 , X 2 ) : T beschränkt}, L(X) := L(X, X).
(iii) T ∈ L(X 1 , X 2 ) : ‖T ‖ := sup ‖T x‖ (< +∞) definiert eine Norm auf L(X 1 , X 2 ).
‖x‖≤1
Satz 2.2. Sei X normiert, T ∈ L(X). Dann sind äquivalent.
(a) T ist gleichmäßig stetig;
(b) T ist stetig;
(c) T ist stetig in 0;
(d) T ist beschränkt.
Bemerkung 2.3. Ist X 2 vollständig, so ist auch L(X 1 , X 2 ) vollständig.
Definition 2.4. Sei X ein Banachraum und T ∈ L(X). Den zu T adjungierten Operator
T ′ ∈ L(X ′ ) definieren wir als (T ′ ϕ)(x) := ϕ(T x) für alle x ∈ X und ϕ ∈ X ′ . Es gilt
‖T ‖ = ‖T ′ ‖.
2.2 Hauptsätze über L(X, Y )
Theorem 2.5 (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit). Sei X Banachraum,
Y normierter Raum. Sei B ⊂ L(X, Y ). Falls B punktweise beschränkt auf X ist, dann
ist B gleichmäßig beschränkt. Das heißt:
∀x ∈ X ∃ c x > 0 : ‖T x‖ ≤ c x ∀T ∈ B
⇓
∃ c > 0 : ‖T ‖ ≤ c ∀T ∈ B.
(Die umgekehrte Richtung gilt natürlich immer.)
Theorem 2.6 (Banach – Steinhaus). Seien X, Y Banachräume, {T n : n ∈ N} ⊂
L(X, Y ). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
(a) Es existiert lim
n→∞
T n x für alle x ∈ X.
(b) Es existiert eine dichte Teilmenge D ⊂ X, so dass lim
n→∞
T n x existiert für alle x ∈ D,
und ∃ c > 0 mit ‖T n ‖ ≤ c ∀n ∈ N.
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Korollar 2.7. Falls eine der äquivalenten Bedingungen (a),(b) des letzten Theorems gilt,
definiere T x := lim
n→∞
T n x für alle x ∈ X. Dann ist T ∈ L(X, Y ).
Theorem 2.8 (Banachscher Homomorphiesatz). Seien X, Y Banach, T ∈ L(X, Y )
bijektiv. Dann ist T −1 linear und stetig (d.h. T bijektiv ⇒ ∃ T −1 ∈ L(Y, X)).
Varianten: Satz vom abgeschlossenen Graphen, Satz von der stetigen Inversen.
2.3 Kompakte Operatoren
Definition 2.9. Seien X, Y Banachräume, T ∈ L(X, Y ).
(i) T heißt kompakt, falls T ( B 1 (0) ) relativkompakt ist.
Oder: für jede beschränkte Folge (x n ) ⊂ X besitzt (T x n ) eine in Y konvergente
Teilfolge.
(ii) K(X, Y ) := {T ∈ L(X, Y ) : T kompakt}, K(X) := K(X, X).
Satz 2.10. Seien X, Y Banachräume.
(i) K(X, Y ) ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von L(X, Y ).
(ii) K(X) ist ein abgeschlossenes Ideal in L(X).
Bemerkung 2.11. Ein kompakter Operator auf einem unendlichdimensionalen Banachraum
kann nie invertierbar sein!
Theorem 2.12 (Fredholm-Alternative). Sei X ein Banachraum, T ∈ K(X), S :=
Id − T . Dann sind äquivalent:
(a) ∀y ∈ X
∃ x ∈ X mit x − T x = y (d.h. S ist surjektiv).
(b) Falls T x = x (also Sx = 0), dann x = 0 (d.h. S ist injektiv).
(S surjektiv ⇐⇒ S injektiv ⇐⇒ S bjiektiv)
3 Spektraltheorie
3.1 Spektrum und Resolvente
Definition 3.1. Sei X ein komplexer Banachraum, T ∈ L(X).
(i) Die Menge ϱ(T ) := {λ ∈ C : (λ − T ) bijektiv auf X} heißt die Resolventenmenge
des Operators T .
(ii) Die Menge σ(T ) := C\ϱ(T ) heißt das Spektrum von T .
(iii) Sei λ ∈ ϱ(T ), dann heißt der Operator R(λ, T ) := (λ − T ) −1 die Resolvente von T
in λ.
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(iv) Die Abbildung ϱ(T ) ∋ λ ↦→ R(λ, T ) ∈ L(X) heißt die Resolventenabbildung.
(v) Die Zahl r(T ) := sup |λ| heißt der Spektralradius von T .
λ∈σ(T )
Definition 3.2 (Feinstruktur des Spektrums). Sei X ein komplexer Banachraum,
T ∈ L(X).
P σ(T ) := {λ ∈ C : (λ − T ) nicht injektiv auf X} Punktspektrum,
Rσ(T ) := {λ ∈ C : Bild(λ − T ) nicht dicht in X} Residualspektrum,
Aσ(T )
:= {λ ∈ C : ∃ (x n ) ⊂ X, ‖x n ‖ = 1 mit ‖(λ − T )x n ‖ n→∞
−−−→ 0}
approximatives
= {λ ∈ C : Bild(λ − T ) nicht abgeschlossen} Punktspektrum,
dabei heißt λ ∈ P σ(T ) Eigenwert von T , und λ ∈ Aσ(T ) approximativer Eigenwert von
T .
Satz 3.3. Sei X ein komplexer Banachraum, T ∈ L(X).
(i) r(T ) ≤ ‖T ‖, d.h. σ(T ) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ ‖T ‖}.
(ii) ϱ(T ) ist offen, und σ(T ) ist kompakt.
(iii) Die Resolventenabbildung ϱ(t) ∋ λ ↦→ R(λ, T ) ∈ L(X) ist holomorph.
(iv) σ(T ) ≠ ∅.
Satz 3.4. Sei X ein komplexer Banachraum, T ∈ K(X) (d.h. T kompakt).
(i) σ(T )\{0} = P σ(T )\{0}.
(ii) σ(T )\{0} ist entweder endlich oder eine Folge (λ n ) mit λ n
(iii) Für 0 ≠ λ ∈ σ(T ) gilt: 0 ≠ dimker(λ − T ) < +∞.
Bemerkung 3.5. σ(T ) = Rσ(T ) ∪ Aσ(T ).
Satz 3.6. Sei X Banachraum und T ∈ L(X). Dann gilt:
(i) Rσ(T ) = P σ(T ′ ).
(ii) ∂σ(T ) ⊂ Aσ(T ) (∂σ(T ) sei der topologische Rand des Spektrums).
3.2 Operatoren auf Hilberträumen
n→∞
−−−→ 0 ( ”
Nullfolge“).
Definition 3.7. Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H). Setze (T ∗ x, y) := (x, T y) für alle
x, y ∈ H.
Satz 3.8. Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H). Dann σ(T ∗ ) = σ(T ).
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Definition 3.9. Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H). Dann heißt T
(i) selbstadjungiert, falls T ∗ = T ;
(ii) unitär, falls ∃ T −1 und T −1 = T ∗ ;
(iii) normal, falls T T ∗ = T ∗ T (z.B. selbstadjungierte oder unitäre Operatoren);
(iv) positiv definit, falls (T x, x) > 0 für alle 0 ≠ x ∈ H;
(v) orthogonale Projektion, falls T 2 = T = T ∗ .
Satz 3.10. Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gelten:
(i) σ(T ) ⊂ R;
(ii) r(T ) = ‖T ‖.
Satz 3.11 (Spektralsatz). Sei H Hilbertraum und T ∈ K(H) (d.h. kompakt und) selbstadjungiert.
Dann existieren λ n ∈ R, |λ n | −−−→ n→∞
0 und orthogonale Projektionen P n = Pn
∗
mit
T x =
∞∑
λ n P n x ∀x ∈ H.
n=1
4 Mehr als Banachräume und Funktionen
4.1 Lokalkonvexe Vektorräume
Definition 4.1. Sei X ein Vektorraum. Dann heißt p : X → R + eine Halbnorm, falls
(i) x = 0 =⇒ p(x) = 0,
(ii) p(λx) = |λ| · p(x) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ C,
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ X.
(Keine Norm, weil die Rückrichtung in (i) nicht gefordert wird.)
Definition 4.2. X heißt lokalkonvexer Vektorraum, falls
(i) ∃ Familie {p α : α ∈ A} von Halbnormen auf X;
(ii) ∀ 0 ≠ x ∈ X ∃ p α mit p α (x) ≠ 0.
Schreibe: (X, {p α }).
Satz 4.3. Sei (X, {p α }) ein lokalkonvexer Vektorraum. Dann existiert genau eine Topologie
τ auf X, so dass
x n
τ
−−→ x =⇒ p α (x n − x) −−−→ n→∞
0 ∀α ∈ A.
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Definition+Satz 4.4. Sei (X, {p α }) lokalkonvexer Vektorraum.
Def.: X ′ := {f : X → C mit f linear und stetig} Dualraum von X.
Beh.: X ′ trennt die Punkte in X, d.h.
∀ x ≠ y ∈ X
∃ϕ ∈ X ′ mit ϕ(x) ≠ ϕ(y).
Definition 4.5. (X, {p α }) heißt Fréchetraum, falls X metrisierbar und vollständig ist.
(Metrisierbar erfüllt, falls es abzählbar viele Halbnormen gibt.)
4.2 Topologien punktweiser Konvergenz
Definition 4.6. Sei X ein Banachraum, für alle x ∈ X definieren wir eine Halbnorm auf
L(X) durch
p x (T ) := ‖T x‖
T ∈ L(X).
Die von {p x } induzierte Topologie auf L(X) heißt starke Operatortopologie (stop).
Satz 4.7. Seien T n ∈ L(X). Dann
T n
stop
−−→ T,
falls p x (T n − t) n→∞
−−−→ 0 ∀x ∈ X,
d.h. ‖T n x − T x‖ n→∞
−−−→ 0 ∀x ∈ X.
Bemerkung 4.8. Konvergenz in starker Operatortopologie bedeutet punktweise Konvergenz
auf X!
Satz 4.9. Seien T n ∈ L(X), T ∈ L(X), T n
stop
−−→ T . Dann ist T ∈ L(X).
Satz 4.10. Sei X ein Banachraum. Für ϕ ∈ X ′ definiere die Halbnorm
p ϕ (x) := |ϕ(x)|
∀x ∈ X
auf X. Die zugehörige Topologie heißt schwache Topologie auf X (σ(X, X ′ )), d.h.
x n
σ(X,X ′ )
−−−−→ x,
falls ∀ϕ ∈ X ′ gilt p ϕ (x n − x) = |ϕ(x n ) − ϕ(x)| n→∞
−−−→ 0,
d.h. ϕ(x n ) n→∞
−−−→ ϕ(x) für alle ϕ ∈ X ′ .
Definition 4.11. Sei X ′ der Dualraum von X. Definiere die Halbnormen p x (ϕ) := |ϕ(x)|
für x ∈ X und ϕ ∈ X ′ . Die zugehörige Topologie heißt schwach*-Topologie auf X ′ .
Schreibe σ(X ′ , X).
Bemerkung 4.12. σ(X ′ , X) ≠ σ(X ′ , X ′′ ), weil im allgemeinen X ≠ X ′′ .
Theorem 4.13 (Kompaktheit der Einheitskugel in X ′ und X). Sei X ein Banachraum.
(i) U ◦ := {ϕ ∈ X ′ : ‖ϕ‖ ≤ 1} ist schwach*-kompakt;
(ii) U := {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1} ist schwach-kompakt ⇐⇒ X = X ′′ (d.h. X ist
reflexiv). Insbesondere für Hilberträume!
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4.3 Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen)
Definition 4.14. Schwartzraum = Raum der in allen Ableitungen schnell fallenden Funktionen:
{
}
S = S(R) := f ∈ C ∞ (R, C) : ∀k, l ∈ N gilt ‖f‖ k,l := sup |s l f (k) (s)| < +∞
s∈R
.
Satz 4.15. Der Raum S(R) ist ein Fréchetraum bezüglich der Halbnormen ‖ · ‖ k,l für alle
k, l ∈ N.
Definition 4.16. Der Raum S ′ = S(R) ′ heißt der Raum der temperierten Distributionen.
Definition 4.17 (Konvergenz in S ′ ).
ϕ n
n→∞
−−−→ ϕ in S ′ ⇐⇒ ϕ n (f) −−−→ n→∞
ϕ(f) ∀f ∈ S.
Definition 4.18 (Verallgemeinerte (distributionelle) Ableitung).
Sei ϕ ∈ S ′ . Dann ist die distributionelle Ableitung
(D n ϕ)(f) := (−1) n ϕ(D n f) ∀f ∈ S, ∀ϕ ∈ S ′ .
Definition+Satz 4.19. (Verallgemeinerte (distributionelle) Fouriertransformation)
Definiere die distributionelle Fouriertransformation F : S ′ → S ′ als
(Fϕ)(f) := ϕ( ̂f) ∀f ∈ S, ∀ϕ ∈ S ′ ,
wobei ̂f die auf S definiertn Fouriertransformation von f ist. Dann gilt
Fϕ g = ϕ bg ∀g ∈ S.
Literatur
[1] Funktionalanalysis Vorlesung von Prof. Rainer Nagel gehalten in WS 2006/2007 :)
[2] D. Werner, Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin. (2005)
[3] H. Heuser, Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, Wiesbaden. (2006)
[4] N. Dunford, J., T. Schwartz, Linear operators, Part I.–III., John Wiley & Sons, Inc.,
New York. (1988)
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