Klausur im WS 1999/2000 Einführung in Operations Research

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Klausur im WS 1999/2000 Einführung in Operations Research

Prof. Dr. W. Domschke

Fachgebiet Operations Research

Institut für Betriebswirtschaftslehre

Technische Universität Darmstadt

Klausur im WS 1999/2000

Einführung in Operations Research

am Dienstag, 8. 2. 2000

Raum 47/50, 16.30-18.30 Uhr

Name:

Fachbereich:

Vorname:

Studiengang:

Matr.-Nr.:

Teilnahme am Praktikum im WS:

• Bitte tragen Sie alle erforderlichen Angaben ein!

• Es sind keine Hilfsmittel außer einem nicht programmierbaren Taschenrechner zugelassen!

• Ergebnisse ohne ausreichende Begründung werden nicht gewertet!

• Falls Sie diese Klausur bestehen, gibt es keine Wiederholungsmöglichkeit!

• Die Klausur muß ohne die in der Übung erzielten Punkte bestanden werden!

Aufgabe 1 2 3 Gesamt + Übung Summe

Maximal 40 40 40 120

Erreicht

Note:

- 1 -


Aufgabe 1: Lineare Optimierung (40 Punkte)

a) Gegeben ist die folgende Instanz eines LP-Modells, die ein Produktionsplanungsproblem der Fa.

Kleinmeier repräsentiert (mit als zu bestimmender Produktionsmenge von Produkt i=1,...,4):

x i

Maximiere F() x = 5x 1

+ 4x 2

+ 6x 3

+ 3x 4

– 15 Zielfunktion: Maximiere den Gesamtgewinn (1)

unter den Nebenbedingungen

3x 1

+ 4x 2

+ 2x 3

+ 2x 4

≤50

2x 1

+ 3x 2

+ 4x 3

+ 3x 4

≤100

3x 1

+ 3x 2

+ 4x 3

+ 3x 4

≤90

x 1

, x 2

, x 3

, x 4

≥ 0

Beschränkung der Maschinenkapazität (2)

Budgetbeschränkung (3)

Beschränkung der Personalkapazität (4)

Nichtnegativitätsbedingungen (5)

Lösen Sie die Modellinstanz mit dem Simplex-Algorithmus! Geben Sie die optimale Lösung und den

optimalen Zielfunktionswert an!

b) Die Fa. Kleinmeier hat derzeit weder Kenntnisse über die Lösung von LP-Modellen noch verfügt sie

über entsprechende Standardsoftware. Die Planung wird von Herrn D. Isponent per gesundem Menschenverstand

vorgenommen. Er ermittelt den Produktionsplan x = ( 0220 ,, , 0)

. Sie werden als Unternehmensberater

gebeten, diesen Plan zu beurteilen. Charakterisieren Sie die vorgegebene Lösung

möglichst genau! Ist die Lösung zulässig, optimal und/oder eine Basislösung Verwenden Sie Ihre

Ergebnisse aus a)!

c) Die bei der Produktion verwendete Maschine ist nicht immer zuverlässig. Gelegentlich sind nur 90%

ihrer Nennkapazität tatsächlich verfügbar. Können Sie mit Hilfe der Dualitätstheorie anhand Ihrer

Ergebnisse aus a) eine einfache Abschätzung über den in einem solchen Fall entstehenden Gewinnrückgang

angeben Diskutieren Sie die Güte dieser Abschätzung! Wie ließe sich überprüfen, ob die

Abschätzung dem tatsächlichen Gewinnrückgang entspricht

d) Aufgrund eines gewachsenen Kundenstamms fordert der Marketingleiter, daß von jedem Produkt eine

Mindestmenge von 5 Stück herzustellen ist. Wie ist das Modell umzuformulieren, so daß die modifizierte

Problemstellung mit derselben Anzahl an Variablen und Nebenbedingungen abgebildet werden

kann Geben Sie die modifizierte Modellinstanz an!

Ist diese Forderung sinnvoll Argumentieren Sie durch Analysieren der Modellinstanz!

e) Nehmen Sie nun zusätzlich zu a) an, daß die folgende Nebenbedingung zu berücksichtigen ist:

x 1

+ x 2

+ x 3

+ x 4

≥ 25

Mindest-Produktionsausstoß (6)

Stellen Sie das Start-Tableau für die Anwendung der M-Methode auf! Zeigen Sie durch Aufstellen der

modifizierten Zielfunktion und geeignetes Umformen, daß Ihre Eintragungen in der M-Zeile korrekt

sind!

- 2 -


Aufgabe 2: Modellierung und klassisches Transportproblem (40 Punkte)

a) Die Firma Bö-Ing stellt Passagierflugzeuge her und vertreibt diese weltweit. Einen der letzten Arbeitsschritte

bei der Flugzeugherstellung stellt die Produktion (und Montage) der Triebwerke dar. Zum

aktuellen Zeitpunkt muß die Herstellung der in den nächsten 4 Monaten benötigten Triebwerke geplant

werden. Die monatlichen Bedarfe b j

(j=1,...,4) sowie die aufgrund von Kapazitätsrestriktionen in

jedem der Monate höchstens produzierbaren Stückzahlen a i

(i=1,...,4) seien vorgegeben. Die Produktionskosten

(in GE) eines Triebwerkes variieren von Monat zu Monat; sie werden mit p i

(i=1,...,4)

bezeichnet. Aufgrund unterschiedlicher Produktionskosten kann es sinnvoll sein, eine größere Stückzahl

als die in diesem Monat benötigte zu produzieren. Die Lagerung der nicht verwendeten Triebwerke

verursacht konstante Kosten von q GE pro Stück und Monat. Es wird vorausgesetzt, daß die

Lagerkosten am Ende eines Monats anfallen, und zwar für die bereits hergestellten Triebwerke, die in

dem laufenden Monat noch nicht montiert wurden.

Die Zielsetzung besteht darin, einen kostenminimalen Produktionsplan für die nächsten 4 Monate so

zu erstellen, daß die für die Montage benötigte Anzahl Triebwerke bereitsteht. Die Problemstellung

läßt sich als geringfügig modifiziertes klassisches Transportproblem modellieren.

a1)Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines zulässigen Produktionsplans

für Triebwerke müssen bezüglich der Datenparameter und erfüllt sein

a2)Welche Bedeutung haben die Variablen x ij

des Transportproblems in bezug auf das geschilderte Produktionsplanungsproblem

Unterscheiden Sie die Fälle i≤j

und i>

j !

a3)Wie ist die Kostenmatrix C= ( c ij

) im Transportproblem zu definieren, so daß der Zielfunktionswert

eines ermittelten Transportplans den Kosten des zugehörigen Produktionsplans für Triebwerke entspricht

Beachten Sie bei der Definition der Matrix die Fallunterscheidung aus a2).

a4)Wie ergibt sich aus einer zulässigen Lösung des Transportproblems der entsprechende Produktionsplan

für Triebwerke, d.h. Produktionsmengen y i

mit i=1,...,4 Wie ergeben sich die Lagermengen l i

am Ende der Perioden i=1,...,4

a i

b j

b) Gegeben sei nebenstehendes Transporttableau. Die Einträge

M sind sehr große positive Zahlen, die als Kostenbewertungen

nicht existenter Transportverbindungen

fungieren.

b1)Ermitteln Sie eine Startlösung des Problems mit Hilfe der

Nordwesteckenregel. Ist diese Lösung zulässig (Begründung!)

1 2 3 4 5 a i

1 16 16 13 22 17 50

2 14 14 13 19 15 60

3 19 19 20 23 M 50

4 M 0 M 0 0 50

b j 30 20 70 30 60

b2)Gehen Sie von folgender zulässigen Basislösung aus:

x 13 =30; x 15 =20; x 22 =20; x 23 =40; x 31 =30; x 34 =20; x 44 =10; x 45 =40

Ist sie optimal (Begründung!) Falls nicht, bestimmen Sie ausgehend von der gegebenen Lösung einen

optimalen Transportplan und dessen Kosten. Was können Sie über die optimale Lösung aussagen

b3)Geben Sie für die in b2) ermittelte optimale Lösung eine Baumdarstellung an.

- 3 -


Aufgabe 3: Ganzzahlige Optimierung (40 Punkte)

Ein Wanderer kann in seinem Rucksack unterschiedlich nützliche

Gegenstände i = 1 ,…,

5 (Nutzen des Gegenstandes i sei c i

) unterschiedlichen

i 1 2 3 4 5

Gewichts mitnehmen (vgl. Tabelle). Dabei möchte er von c i 3 6 6 8 1

jedem Gegenstand höchstens zwei Exemplare bei sich tragen. Er muß

nun entscheiden, wieviel Exemplare der einzelnen Gegenstände er mitführen

g i 5 4 2 2 2

soll, so daß bei vorgegebenem Gesamtgewicht G = 15, das nicht überschritten werden darf, der Nut-

zen maximiert wird. Helfen Sie ihm bei der Lösung seines Problems!

a) Bei der zu lösenden Aufgabenstellung handelt es sich um eine Verallgemeinerung eines aus Vorlesung

und Übung bekannten Optimierungsproblems. Welches Problem ist gemeint Wie läßt sich die obige

Aufgabenstellung in dieses Problem überführen

b) Formulieren Sie das zu lösende Problem als ganzzahliges lineares Optimierungsmodell unter Verwendung

der oben gegebenen Daten. Definieren Sie dazu zuerst geeignete Entscheidungsvariablen für die

Anzahl mitzunehmender Exemplare eines Gegenstandes.

c) Wie lassen sich die untenstehenden Bedingungen in Ihrem Modell berücksichtigen Führen Sie zusätzliche

Entscheidungsvariablen nur dann ein, wenn dies nicht vermeidbar ist.

1. Der Wanderer soll mindestens soviele Exemplare von Gegenstand 3 wie von Gegenstand 2 bei sich

tragen.

2. Es dürfen insgesamt höchstens zwei Exemplare der Gegenstände 2 und 5 mitgenommen werden.

3. Wenn ein oder mehrere Exemplare von Gegenstand 3 mitgeführt werden, so ist auch mindestens ein

Exemplar von Gegenstand 4 unterzubringen.

4. Die Gegenstände 1 und 5 dürfen nicht gemeinsam eingepackt werden.

d) Lösen Sie das Problem inklusive der Nebenbedingungen aus Teilaufgabe c) mit Hilfe eines geeigneten

B&B-Verfahrens:

- Starten Sie mit einer unteren Schranke F = 0 .

- Bestimmen Sie obere Schranken, indem Sie zunächst die Ganzzahligkeitsbedingungen sowie die

zusätzlichen Nebenbedingungen aus Teilaufgabe c) relaxieren. Lösen Sie die entstehenden relaxierten

Teilprobleme ohne Anwendung des Simplexverfahrens. Nutzen Sie dazu die Verwandtschaft der

Aufgabenstellung zu dem in Teilaufgabe a) angesprochenen Optimierungsproblem aus!

- Verzweigen Sie nach einer Variablen mit nichtganzzahligem Wert x i

= f . Bilden Sie dazu zwei Teilprobleme,

wobei im ersten Teilproblem die Nebenbedingung x i

≤ f und im zweiten Teilproblem

die Nebenbedingung ≥ f einzuführen ist.

x i

- Verwenden Sie zur Auswahl des nächsten zu verzweigenden Teilproblems die LIFO-Regel (reine

Tiefensuche).

- Begründen Sie jeweils, warum Sie ein Teilproblem ausloten (Fall a, b, c).

- Hinweis: Wenn Sie richtig vorgehen, so ergeben sich höchstens 11 Knoten im B&B-Baum!

- 4 -

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