Branch-and-Bound Beispiel mit Musterlösung

Branch-and-Bound
Beispiel mit Musterlösung
Stefan Lämmer
27. Juli 2004
Aufgabenstellung
Maximieren Sie
unter den Nebenbedingungen
F = x 1 + 2x 2 (1)
3x 1 + 5x 2 ≤ 15 (2)
x 2 ≤ 2 (3)
x 1 , x 2 ∈ N 0 (4)
Verwenden Sie den Branch-and-Bound Algorithmus. Die relaxierten Probleme P ′
können Sie grafisch lösen.
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Vorbetrachtung
Knackpunkte
Ins Auge sticht die Ganzzahligkeitsbedingung (4), welche die Suche nach dem Optimum
erschwert. Machen wir uns zunächst vier Punkte klar:
1. Ohne die Ganzzahligkeitsbedingung müssen die Optima in den Eckpunkten des
zulässigen Bereichs liegen, und wir bräuchten nur dort suchen. Mit der Ganzzahligkeitsbedingung
dagegen können die Optima auch woanders liegen, sogar weit
von den Eckpunkten entfernt. Und weil wir nicht wissen, wo wir zu suchen haben
(und auch nicht alles durchprobieren wollen), verwenden wir diesen Algorithmus.
2. Beim Simplex-Algorithmus sieht man dem Tableau sofort an, ob man die optimale
Lösung gefunden hat. Das ist hier beim Branch-and-Bound anders. Auch
wenn wir das Optimum in der Hand halten, können wir nicht entscheiden, ob
es auch wirklich eins ist. Wir wissen es erst, wenn wir gezeigt haben, dass alle
anderen Lösungen schlechter sind. Das Ziel und die Kunst des Algorithmus liegt
darin, ganze Bereiche es Lösungsraums auszuschließen.
3. Im Verlauf des Algorithmus wird der Lösungsraum in Teilbereiche unterteilt.
Jeder dieser Teilbereiche ist ein Optimierungsproblem für sich. Der Algorithmus
macht keinen Unterschied, ob wir das Ursprungsproblem oder ein tiefer liegendes
Teilproblem behandeln. Von jedem Teilproblem wollen wir wissen, ob es dort ein
Optimum gibt, ob es besser ist als was wir woanders schon gefunden haben und
wo es liegt. Das nennen wir im Weiteren “ausloten”.
4. Die Ganzzahligkeitsbedingung schränkt den Lösungsraum ein. Als Lösung kommen
nur noch wenige Punkte aus Simplex-Bereich, der durch (2), (3) und die
Koordinatenachsen begrenzt ist, in Frage. Deshalb wissen wir schon jetzt: Mit
der Ganzzahligkeitsbedingung können wir keine bessere Lösung finden als wenn
es sie nicht gäbe – im Besten Fall finden wir das gleiche Optimum. Auf dieser
Erkenntnis beruhen Fall a und Fall b (Siehe Skript).
Bezeichner
Folgende Bezeichner benutzen wir im Laufe des Algorithmus:
P i . . . Teilproblem i. Das Ursprungsproblem ist P 0 .
P ′ i
. . . relaxiertes Teilproblem i. Ein Teilproblem nennen wir relaxiert, wenn wir die
Ganzzahligkeitsbedingung (4) außer Acht lassen. Diese Fälle können wir mit
bekannten Werkzeugen, z.B. den Simplex-Algorithmus oder grafisch, bearbeiten.
F i . . . obere Schranke von P i . Diese ist das Optimum des relaxierten Teilproblems P ′ i .
Wir sprechen deshalb von ‘oberer Schranke’, weil das Optimum von P i niemals
besser sein kann als das Optimum von P ′ i .
F . . . untere Schranke von P 0 . Das ist die beste bisher gefundene zulässige Lösung
von P 0 . Etwas schlechteres brauchen wir nicht zu akzeptieren. D.h., stoßen wir
während der Iterationen auf Lösungsbereiche, deren obere Schranke F i nicht
besser ist als F , brauchen wir dort gar nicht mehr weiter zu suchen. Ist am Ende
der gesamte Lösungsbereich untersucht, ist F das gesuchte Optimum.
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Algorithmus
Den Ablauf des Algorithmus zeigt Abbildung 1. Blöcke stehen für Aktionen, Rauten
für Entscheidungen. Mit jeder Verzweigung entstehen zwei Teilprobleme, die wir aber
nicht gleichzeitig abarbeiten können. Deshalb sehen wir eine Liste vor, in der wir noch
offene Probleme zwischenspeichern. Sind alle abgearbeitet, sind wir fertig.
Abbildung 1: Ablaufplan des Branch-and-Bound Algorithmus.
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Lösung
Ursprungsproblem P 0
Die Nebenbedingungen (2), (3) und die Koordinatenachsen stecken einen konvexen Bereich
in der x 1 -x 2 -Ebene ab. In diesem Bereich nennen wir genau die Punkte ‘zulässig’,
die ganzzahlige Koordinaten haben, siehe Abbildung (2).
Abbildung 2: Die gelbe Fläche ist der zulässige Bereich des relaxierten Problems P ′ 0.
Die zulässigen Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten) sind blau markiert.
Weiterhin weist eine Zielfunktion (1) jedem Punkt (x 1 , x 2 ) in der Ebene einen Wert
F zu. Interpretiert man F als die dritte räumliche Dimension, kann man sich ein
Dach vorstellen, dessen Höhe über dem Punkt (x 1 , x 2 ) dem Zielfunktionswert F (x 1 , x 2 )
entspricht. Ist, wie hier, die Zielfunktion linear, ist das Dach eine Ebene. Abbildung 3
versucht, dies zu veranschaulichen.
Abbildung 3: Den Zielfunktionswert F (x 1 , x 2 ) kann man sich als die Höhe eines Daches
über der x 1 -x 2 -Ebene vorstellen.
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Starten wir mit dem Algorithmus. Unser erstes ‘Teil-’Problem, das wir betrachten,
ist das Ursprungsproblem P 0 . Die untere Schranke F , also die beste bisher bekannte
Lösung, setzen wir zu Beginn auf −∞.
Nun die erste Entscheidung: Ist der Lösungsraum leer Nein, es gibt mindestens eine
zulässige Lösung. Wer es nicht sieht, kann gern den Punk (0, 0) testen. Somit folgen
wir dem Pfad nach unten. Jetzt müssen wir das Optimum des relaxierten Problems P 0
′
finden. Das erledigen wir mit dem Simplex-Algorithmus (oder, weil es hier schneller
geht, grafisch). Das Optimum ist F ( 9 5 , 2) = 9 2 . Wir setzen nun die obere Schranke F i :=
9
2
Der Punkt ist zwar nicht zulässig, aber lässt vermuten, dass es bessere Lösungen
als F = −∞ gibt. Angenommen, das Optimum von P 0 ′ wäre auch −∞, bräuchten wir
nicht weitergehen. Damit haben wir schon die nächste Entscheidung ‘F i ≤ F ’ mit
nein beantwortet und steigen weiter hinab. Auch zur Frage, ob F i zulässig ist, haben
wir schon nein gesagt.
Also, in P 0 es gibt es mindestens eine zulässige Lösung, die vermutlich besser als die
bisher beste ist – aber wir kennen sie noch nicht. Deshalb unterteilen wir das Problem
in zwei disjunkte (einander ausschließende) Teilprobleme und suchen dort weiter.
Vorschlag zum Verzweigen
Hier ein Vorschlag, wie man die Verzweigung vornehmen kann (siehe [DD02]): Wir
trennen den Lösungsraum mit einem Schnitt, der durch das Optimum von P ′ i verläuft
und genau eine Dimension teilt. Aber welche der beiden Dimensionen Wir wählen
die aus, wo die Optimalstelle am weitesten in der Mitte zwischen den neuen Rändern
liegt. Man kann auch sagen: Wo der kürzeste Abstand der entsprechenden Koordinate
der Optimalstelle zur nächsten ganzen Zahl am größten ist. Im Beispiel der Abbildung
4 wird die horizontale Dimension (könnte x 1 sein) getrennt.
In unserer Aufgabe schneiden wir x 1 . Für die neuen Teilbereiche gelten damit
zusätzliche zu (2) bis (4) folgende Nebenbedingungen:
P 1 : x 1 ≤ 1 (5)
P 2 : x 1 ≥ 2 (6)
Die neuen Teilprobleme legen wir in die Liste ab, d.h. wir merken sie für die weitere
Bearbeitung vor. Abbildung 5 zeigt die neuen Teilbereiche.
Abbildung 4: Eine Möglichkeit, den Lösungsraum in zwei Teilprobleme zu unterteilen,
ist, die Dimension zu schneiden, wo die Optimalstelle am weitesten in
der Mitte zwischen den nächsten ganzzahligen Koordinaten liegt.
5

Teilproblem P 1
Als Nächstes wählen wir eins der beiden Teilprobleme aus der Liste aus. Nehmen wir
P 1 und beginnen im Ablaufdiagramm wieder ganz oben. Ist der Lösungsraum leer
Nein. Das Optimum des relaxierten Teilproblems P ′ 1 finden wir bei F (1, 2) = 5, womit
die obere Schranke F 1 := 5 belegt wird. Ist F 1 ≤ F , also ≤ −∞ Sicher nicht, also
weiter nach unten. Ist F 1 zulässig Ja, die Koordinaten sind ganzzahlig! Wir haben
auf einen Schlag das zulässige Optimum von P 1 gefunden! Das merken wir uns und
setzen F := 5. Das Problem P 1 ist nach Fall b ausgelotet und wir können es aus der
Liste steichen. Ist die Liste leer Nein, da liegt noch P 2 .
Abbildung 5: Das Problem P 1 ließ sich nicht ausloten und wird deshalb in zwei Teilprobleme
P 1 und P 2 zerlegt.
Teilproblem P 2
Wir nehmen P 2 und beginnen wieder ganz oben. Ist der Lösungsraum leer Nein. Das
Optimum von P 2 ′ ist F (2, 5 3 ) = 16 3 , und wir weisen es F 2 := 16 3
zu. Weil F 2 nicht kleiner
ist als F , steigen wir im Ablaufdiagramm weiter nach unten hinab. Und, nein, F 2 ist
nicht zulässig. Deshalb verzweigen wir wieder. Diesmal schneiden wir, wie Abbildung
6 zeigt, die Dimension x 2 .
P 3 : x 2 ≤ 1 (7)
P 4 : x 2 ≥ 2 (8)
P 3 und P 4 legen wir in die gerade leer gewordene Liste. Nun wählen wir P 3 aus.
Teilproblem P 3
Nein, der Lösungsraum ist nicht leer. Das Optimum von P 3 ′ liegt bei F ( 12 5 , 1) = 22 5 , also
F 3 := 22 5
. Halt, das ist schlechter als unsere beste bisher bekannte Lösung, nämlich die
untere Schranke F = 5. Wenn uns also schon das Optimum des relaxierten Problems
P 3 ′ nicht zufrieden stellt, dann erst recht nicht die zulässigen (ganzzahligen) Lösungen
von P 3 . Das Teilproblem brauchen wir nicht weiter zu betrachten, es ist nach Fall a
ausgelotet. Im Ablaufdiagramm beantworten wir die Frage ‘F 3 ≤ F ’ mit nein und
steichen das Teilproblem aus der Liste. Nun liegt dort nur noch P 4 .
6

Abbildung 6: Die Teilprobleme P 3 und P 4 entstehen durch Verzweigung von P 2 . Wie
man hier sieht, verträgt sich der Lösungsraum von P 4 nicht mit den
ursprünglichen Nebenbedingungen.
Teilproblem P 4
Jedes Teilproblem ‘erbt’ die Nebenbedingungen des Problems, aus dem es hervorging.
Und mit jeder Verzweigung kommt eine neue Nebenbedingung hinzu. Für dieses Teilproblem
gelten unter anderem Gl. (2) aus P 0 , Gl. (6) aus P 2 und Gl. (8) als neue
Nebenbedingung. Genau diese schließen sich jedoch aus! Wie man auch in Abbildung
6 sieht, gibt es keinen Punkt in der gesamten x 1 -x 2 -Ebene, der alle drei erfüllt.
Im Ablaufdiagramm beantworten wir also schon die erste Frage mit ja, und das
Teilproblem ist nach Fall c augelotet.
Weil in der Liste kein weiteres Teilproblem mehr liegt, sind wir fertig! Das Optimum
des Ursprungsproblems P 0 liegt im Punkt (1, 2) und hat den Zielfunktionswert
F (1, 2) = 5.
Lösungsbaum
Der Lösungsbaum zeigt die Verzweigungen des Ursprungsproblems P 0 in seine Teilprobleme
P i . Mit jeder Verzweigung entstehen zusätzliche Nebenbedingungen, die an
die Pfeile geschrieben sind. Neben den Knoten stehen die oberen Schranken F i des
dazugehörigen Teilproblems P i und die untere Schranke F . Ist ein Teilproblem nach
einem der drei Fälle a, b oder c ausgelotet, braucht der Ast nicht weiter verzweigt zu
werden. Sind alle Teilprobleme ausgelotet, findet sich das Optimum bei F .
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Abbildung 7: Die Verzweigungsstruktur des Ursprungsproblems P 0 .
Literatur
[DD02]
Wolfgang Domschke and Andreas Drexl. Einführung in Operations Research.
Springer, 2002.
[Dom97] Wolfgang Domschke. Logistik, Band.2, Rundreisen und Touren. Oldenbourg,
1997.
[HL97]
Frederick S. Hillier and Gerald J. Lieberman. Operations Research. Oldenbourg,
1997.
[MM92] Heiner Müller-Merbach. Operations Research. Vahlen, 1992.
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