Mathematisches Institut Universität Tübingen Rainer Nagel Vera ...

Mathematisches Institut
Universität Tübingen
Rainer Nagel
Vera Keicher
Test zur Vorlesung
Operatorentheorie
Tübingen, den 17. Juli 2007
Die reine Mathematik ist eine Art Dichtung in logischen Begriffen. Man sucht nach
möglichst allgemeinen Begriffen und Operationen, die einen möglichst weiten Kreis
formaler Beziehungen in einfacher und logisch einheitlicher Weise umspannen. Bei solchem
Streben nach logischer Schönheit werden die geistigen Instrumente erfunden, deren wir für
das tiefere Eindringen in die Gestaltlichkeit der Natur bedürfen.
Albert Einstein, Aus dem Nachruf auf Emmy Noether in der New York Times, 1935
Erlaubte Hilfsmittel: Papier und Bleistift. Zeit: bis zum Examen.
Aufgabe 1 (wichtige Definitionen)
Gib die Definitionen zu folgenden Begriffen:
(a) stark stetige Halbgruppe; (b) Generator; (c) Resolvente;
(d) Yosida-Approximanten; (e) Abstraktes Cauchyproblem; (f) milde Lösung;
(g) Wohlgestelltheit; (h) Dyson-Phillips-Reihe; (i) Post-Widder-Formel;
(j) analytische Halbgruppe; (k) Wachstumsschranke; (l) Spektralschranke;
(m) Approximatives Punktspektrum (n) Spektraler Abbildungs“satz”; (o) gleichm. exp. stabil.
Aufgabe 2 (Stark stetige Halbgruppen)
Welche der folgenden Halbgruppen sind stark stetig auf X = C b (R) bzw. C 0 (R) (jeweils mit
der Supremumsnorm)
1. (e tV ) t≥0 , V f(t) := ϕ(t) ∫ t
f(s)ds wobei ϕ stetig mit Träger = [0, 1] (Welche Zusatzeigenschaften
hat diese
0
Halbgruppe)
2. (T l (t)) t≥0 mit (T (t)f)(s) := f(s − t) für f ∈ X, s ∈ R, t ≥ 0.
3. (e qt ) t≥0 mit q(s) := s, q(s) := is, bzw. q(s) := arctan(s).
Aufgabe 3 (Sätze über Generatoren)
Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen kennst du dafür, dass ein Operator
(A, D(A)) auf einem Banachraum X der Generator einer stark stetigen Kontraktionshalbgruppe
ist Was ändert sich für beschränkte Halbgruppen
Aufgabe 4 (Abstrakte Cauchyprobleme)
Sei A der Generator einer stark stetigen Halbgruppe. Formuliere das zugehörige Abstrakte
Cauchyproblem. Was versteht man unter einer Lösung Ist das Abstrakte Cauchyproblem
für alle Anfangswerte eindeutig lösbar Wenn ja, wie sehen die Lösungen aus und wann sind
sie klassisch

Aufgabe 5 (Störungstheorie)
Sei A der Generator einer stark stetigen Halbgruppe auf dem Banachraum X.
Auf dem Banachraum X := C 0 (R) sei der abgeschlossene Operator Af := f ′′ +qf, q ∈ C b (R),
D(A) := {f ∈ C 2 (R) : f, f ′ , f ′′ ∈ X} definiert.
(a) Wieso erzeugt (A 1 , D(A)), A 1 f := f ′′ eine (analytische!) Halbgruppe
(b) Wieso erzeugt (A, D(A)) ebenfalls eine (analytische!) Halbgruppe
Aufgabe 6 (Approximationstheorie)
Sei A eine unendliche Matrix, die aus Matrixblöcken B 1 , B 2 , . . . entlang der Hauptdiagonalen
besteht. Mit “maximalem” Defintionsbereich D(A) = D max ist (A, D(A)) ein Operator auf
l 1 . Ferner sollen alle B j kontraktive (Matrix-)Halbgruppen erzeugen.
(a) Zeige, dass der Unterraum D := 〈e j : j ∈ N〉 ein Gen von A ist.
(b) Zeige mittels des Zweiten Satzes von Trotter-Kato (siehe Engel, Nagel: A Short Course
on Operator Semigroups, Theorem III.4.9), dass A eine Kontraktionshalbgruppe auf
l 1 erzeugt, die starker Limes (endlichdimensionaler) Matrixhalbgruppen ist.
Aufgabe 7 (Spektraltheorie)
Sei X ein komplexer Banachraum und A der Generator einer stark stetigen Halbgruppe auf
X. Nenne jeweils mindestens 4 wichtige Eigenschaften der Resolventenabbildung R(·, A).
Aufgabe 8 (Spektrum von Gruppengeneratoren)
Welche der folgenden Mengen kann das Spektrum des Generators einer stark stetigen Gruppe
sein Begründe, wieso nicht, bzw. gib ein Beispiel.
(a) {λ ∈ C : Reλ ≤ 1}; (b) {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}; (c) R; (d) (0, 1) + iR; (e) iR.
Aufgabe 9 (Spektraler Abbildungssatz)
(a) Skizziere den Beweis des Spektralen Abbildungssatzes für das Punktspektrum.
(b) Nenne ein Gegenbeispiel zum Spektralen Abbildungssatz, wo aber noch der schwache
spektrale Abbildungssatz gilt.
(c) Zeige, wie aus dem schwachen spektralen Abbildungssatz s(A) = ω 0 folgt.
Aufgabe 10 (Stabilität)
Gib jeweils ein Beispiel einer stark stetigen Halbgruppe, die
(a) gleichmäßig exponentiell stabil;
(b) stark stabil, aber nicht gleichmäßig stabil;
(c) schwach stabil, aber nicht stark stabil ist.
Sei (wie immer) (T (t)) t≥0 eine stark stetige Halbgruppe und A ihr Generator. Welche der
folgenden Aussagen widerspricht T (t) −−−→
stark
0
t→∞
1. s(A) = 0;
2. i ∈ P σ(A);
3. i ∈ Aσ(A);
4. (T (t)) t≥0 nicht gleichmäßig beschränkt.