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10. Verhältniszahlen
Verhältniszahlen sind Quotienten zweier Größen. Im Rahmen
der Statistik sind drei Kategorien von Verhältniszahlen
wichtig: Gliederungszahlen, Beziehungszahlen
und Messzahlen. Aus Letzteren werden im nächsten
Kapitel die Indexzahlen hergeleitet.
1. Gliederungszahlen dienen zur Aufgliederung eines
Konzentrationsmerkmals in einzelnen Anteile. Als
Anteilswert sind sie dimensionslos und werden häufig
in Prozenten ausgedrückt.
Sprachgebrauch: erwähnt man bei der Aufteilung alle Anteile,
gebraucht man das Adverb davon, ansonsten das Adverb darunter:
“Es wurden 5 Mio Kfz hergestellt, davon 4 Mio PKW
und 1 Mio Nutzfahrzeuge. Es gibt mehrere Hersteller, darunter
VW (1.2 Mio) und DaimlerChrysler (0.8 Mio).”
Beispiel: Aufgliederung des jährlicher Gesamtenergieverbrauchs
in Deutschland
• strukturell: auf Verkehr, Haushalt, Industrie, etc
• räumlich: Anteil von Bayern,Sachsen,NRW, ...
• zeitlich: Januar,Februar,
• nach Herkunft der Energiequellen: Gas, Atom, Öl, Kohle,
Wasser, Wind, Sonne etc.
• Nach Produktionsort: Inland, Ausland
• Nach Energieart: Elektrizität, Wärme, chemische Energie,
etc.
Frage: Welche Arten von grafischen Darstellungen (vgl. Kap. 5)
eignen sich besonders für Gliederungszahlen?

10.2 Beziehungs- und Messzahlen
2. Beziehungszahlen sind Quotienten zweier verschiedenartiger,
aber sinnvoll zusammenhängender Größen.
Sie sind daher einheitenbehaftet und i.A. umkehrbar.
Sie dienen vor allem zum Formulieren von
• Vergleichen,
• Raten (z.B. Geschwindigkeiten, Renditen, Inflationsraten
etc.
• Dichten (z.B. Bevölkerungsdichte),
• Diversen Koeffizienten wie Motorisierungsgrad, Arbeitsproduktivität,
Kurs-Gewinn-Verhältnis, etc.
3. Messzahlen dienen zum direkten (zeitlichen oder
räumlichen) Vergleich von gleichartigen Größen. Da
gleichartige Größen also im Zähler und Nenner stehen,
sind Messzahlen wie Gliederungszahlen einheitenlos.

10.2 (b): Beispiele
1. Autokauf: Herr Blau möchte sich ein Auto kaufen und berücksichtigt
dabei u.a. die folgenden Größen:
Wirkungsgrad des Motors, Höchstgeschwindigkeit in km/h und
m/s, Zahl der Sitze, Benzinverbrauch, Beschleunigung, Preis,
Faktor, um den das Kfz teurer ist als sein letztes, Anteil am
Preis, den er sich finanzieren lassen will, Zinsen der Finanzierung,
Rabatt auf Listenpreis, Farbe, Leistung des Motors.
Ordnen Sie jeder dieser Größen, falls zutreffend, eine der drei
Verhältniszahl-Kategorien zu!
2. Gliederungszahlen: Die Haushalte einer statistischen Gesamtheit
teilen sich auf in 50% Einpersonenhaushalte, 20%
Zweipersonen-, je 10% drei- und Vierpersonen- und der Rest
Mehrpersonenhaushalte mit im Mittel 6 Personen. Wie gliedern
sich die Personen auf die verschiedenen Haushaltsgrößen auf?
3. Beziehungs- und Messzahlen: Die Sicherheit bzw. Unsicherheit
des MIV in Deutschland kann man mit verschiedenen Risiko-
Beziehungszahlen quantifizieren, z.B.
• Verkehrstote pro Einwohner pro Jahr,
• Verkehrstote pro einer Milliarde gefahrener km,
• Verkehrstote pro Jahr.
Bestimmen Sie anhand folgenden Zahlen den Reduktionsfaktor
(Messzahl) des Risikos im Jahre 2004 gegenüber 1960 für die
drei obigen Risikodefinitionen.
Jahr Einw. (Mio)
Verk.-leistung
(Mrd. Pers-km)
Verkehrstote
1960 73.1 160 16 447
1970 77.7 350 21 332
1990 79.1 600 11 046
2004 82.6 750 5 842

10.3 Messzahlen der zeitlichen Entwicklung
In den ersten drei Monaten dieses Jahres
ist die Geburtenrate im Vergleich zu den
ersten drei Monate des Vorjahres um 3.9%
gestiegen. Es spricht für eine gewisse Ungeduld
der Statistiker. Vielleicht sollten sie
beim nächsten Mal 9 Monate warten
Kommentar in einem Fernsehmagazin
Betrachtet wird eine mindestens verhältnisskalierte
Größe Xt (z.B. eine Messzahl) zu äquidistanten Zeitpunkten
t = 1, 2, · · ·. Dann definiert man
den Wachstumsfaktor It = xt
xt−1
die Wachstumsrate rt = It − 1 = ∆xt
.
mit dem absoluten Zuwachs ∆xt.
Der Wachstumsfaktor sowie die auf eine feste Zeitspanne
bezogene Wachstumsrate ist eine (dynamische)
Messzahl, ansonsten ist die Wachstumsrate eine Beziehungszahl
(im Nenner steht die Zeit).
(i) Wie errechnet man aus den It und rt, t = 1, · · · , n, den
Wachstumsfaktor In1 = xn
x1 ?
(ii) Um einen mittleren Wachstumsfaktor aus mehreren Werten
I1, · · · In zu ermitteln, wird das geometrische Mittel verwendet.
Warum?
,
xt

11. Indexzahlen
11.1 Problemstellung und Definition
Messzahlen eignen sich sehr gut zur Beschreibung zeitlicher
Entwicklungen oder räumlicher Unterschiede einer
Größe. Häufig möchte man jedoch die zeitliche Entwicklung
mehrerer gleichartigen Größen mit ebenfalls einer
Mess-Zahlenreihe beschreiben. Dies führt zur Definition
von Indexzahlen:
Ein Index (eine Indexzahl) ist eine Messzahl, die
globale Eigenschaften mehrerer Einzelerscheinungen
(eines Aggregats von Einzelerscheinungen) beschreibt.
Die wichtigsten Kategorien von Indices sind:
• Preisindex
• Mengenindex
• Wertindex
Anwendungen und Beispiele:
Inflationsrate (aus Preisindex), Lebenshaltungskosten
(aus Wertindex), Änderung des Energieverbrauchs (aus
Mengenindex), Aktienindex (spezieller Preisindex)

11.2 Berechnung von Indexzahlen
Als Beispiel dient der Sektor Personenverkehr. Folgendes
fiktives “Zahlenwerk” soll stark vereinfachend diesen
Sektor repräsentieren:
Verkehrsart
Kfz (nur
Treibstoff) Bahn ÖPNV Flugzeug
Preis 1995 0,8 e/l 0,10 e/km 1 e/Fahrt 0.10 e/km
Verbr. 1995 500 l 1000 km 100 Fahrten 1000 km
Preis 2000 0,8 e/l 0,125 e/km 2 e/Fahrt 0.05 e/km
Verbr. 2000 750 l 800 km 100 Fahrten 1200 km
Preis 2005 1.0 e/l 0,125 e/km 2 e/Fahrt 0.05 e/km
Verbr. 2005 600 l 1000 km 100 Fahrten 1000 km
Man möchte gern wissen:
• Wie groß ist die Inflation in diesem Sektor? ⇒ Preisindex
• Nahm die nachgefragte Transportleistung zu oder ab?
⇒ Mengenindex
• Hat man durchschnittlich mehr Geld in diesem Sektor
ausgegeben? ⇒ Wertindex
Man könnte auf die Idee kommen, zum Berechnen eines Preisindex
(i) in jedem Jahr einfach die vier Preise zu addieren, (ii) das
arithmetische Mittel der Preis-Messzahlen der vier Transportarten
zu verwenden. Warum ist beides nicht sinnvoll?

11.2(b) Berechnung von Indexzahlen II
Zur sinnvollen Definition von Preisindices muss man
offensichtlich die Preise der einzelnen Produkte bzw.
Dienstleistungen nach ihrer Bedeutung gewichten. Dazu
hält man die nachgefragten Mengen an Liter Benzin,
Bahn-km, ÖPNV-Fahrten etc. fest und berechnet die
Änderung der Gesamtausgaben für diesen Warenkorb,
der, wie hier, auch Dienstleistungen enthalten kann.
Es gibt zwei naheligende Möglichkeiten zur Ermittlung
eines Preisindex Pt0 von Preisen im Jahr t verglichen
mit denen im Jahr 0:
1. Man nimmt als Warenkorb die im Mittel nachgefragten
Mengen im Ausgangsjahr 0 und berechnet
den Index aus dem Preis des Warenkorbs im Jahr t
bezogen auf den Preis im Jahr 0. Dies definiert den
Preisindex von Laspeyres.
2. Man bildet den Warenkorb aus den im Mittel nachgefragten
Mengen im betrachteten Jahr t und verfährt
wie oben. Dies definiert den Preisindex von Paasche.

11.3 Indices von Laspeyres und Paasche
Allgemein liegen für n Produkte bzw. Dienstleistungen
i = 1, · · · , n jeweils Zeitreihen für die Preise pi(t) pro
Mengeneinheit sowie für die im Mittel nachgefragten
Mengen qi(t) vor. Dann ist
Der Preisindex von Laspeyres:
P (L)
t0
=
�n i=1 pi(t)qi(0)
�n i=1 pi(0)qi(0) = P (w0, t)
P (w0, 0)
Der Preisindex von Paasche:
P (P)
t0
=
�n i=1 pi(t)qi(t)
�n i=1 pi(0)qi(t) = P (wt, t)
P (wt, 0)
Hier ist wt = {qi(t)} der ”Warenkorb” (einschließlich
Dienstleistungen) zur Zeit t und w0 der Warenkorb zur
Zeit 0.
Daneben gibt es noch “Mischformen”, z.B. arithmetisches
und geometrisches Mittel der beiden Preisindices.
Aufgabe: Berechnen Sie für das obige Beispiel des Transportsektors
die beiden Indices

11.3(b) Bemerkungen zu den Preisindices
• Die Information aus den 2n Zeitreihen wird jeweils
auf eine einzige Zeitreihe “kondensiert”
• Das Statistische Bundesamt berechnet die Inflationsraten
mit dem Preisindex nach Laspeyres (mit Anpassung
der Warenkörbe in großen Zeitabständen),
da
– das Gewichtungsschema im Gegensatz zum Paasche-Index
konstant bleibt,
– das Bundesamt auch Subindices berechnet (z.B. für Familien
mit Kinder, Rentner, etc) und dafür die Ermittlung der
jeweiligen Warenkörbe extrem aufwändig ist,
– Beim Auftreten neuer Produkte (z.B. Mobiltelefone!) der
Paasche-Index nicht berechnet werden kann (warum?)
• Der Paasche-Index hat aber auch einige Vorteile:
– Der Warenkorb ist ständig aktuell, so dass der Index die
tatsächliche Belastung im Geldbeutel besser wiederspiegelt
– beliebig lange Zeitreihen sind ohne Brüche möglich
• Keiner dieser Indices berücksichtigt, inwieweit Preiserhöhungen
durch echte Inflation oder durch Produktverbesserungen
verursacht werden!

11.3(c) Mengenindices
Mit den Mengenindices wird die Veränderung von nachgefragten
Mengen untersucht. Auch hier ist ein einfaches
Mittel nicht sinnvoll (man kann z.B. nicht Liter, km und
Fahrten addieren!). Vielmehr gewichtet man die Messzahlen
der Mengenänderungen mit dem Preisanteil im
Warenkorb und erhält analog zu den Preisindices den
Mengenindex von Laspeyres:
Q (L)
t0
=
�n i=1 pi(0)qi(t)
�n i=1 pi(0)qi(0) = P (wt, 0)
P (w0, 0)
Mengenindex von Paasche:
Q (P)
t0
=
Schließlich gibt es noch den
Wertindex: Wt0 =
und es gilt (zeigen Sie dies):
�n i=1 pi(t)qi(t)
�n i=1 pi(t)qi(0) = P (wt, t)
P (w0, t)
�n i=1 pi(t)qi(t)
�n i=1 pi(0)qi(0) = P (wt, t)
P (w0, 0)
Wt0 = Q (P) (L) (P) (L)
t0 P t0 = P t0 Q t0 .

11.3(d) Fragen und Aufgaben
• Zeigen Sie, dass man die Indices nach Laspeyres und Paasche
als gewichtetes arithmetisches Mittel der Preis- bzw. Mengen-
Messzahlen der einzelnen Produkte im Warenkorb auffassen
kann. Wie sind jeweils die Gewichtungsfaktoren?
• Zeigen Sie, dass die Preis- bzw. Mengendices die sog. Proportionalitätsbedingung
erfüllen: Wenn alle Preise um denselben
Faktor λ und alle Mengen um den Faktor µ steigen, so sind alle
Preisindices = λ, alle Mengenindices =µ, und der Wertindex
= λµ.
• Zeigen Sie, dass Messzahlen aus Zeitreihen einer Größe P (t)
die “Verkettungsbedingung” (vgl. Kap. 10.3)
Pt0 = PtjPj0
erfüllen, im Allgemeinen aber nicht die obigen Preisindices! 1
• Berechnen Sie die Indices für die Tabelle von Kap. 11.2
• Der Aktienindex Euro-Stoxx 50 enthält 50 europäische AG’s, die
nach ihrer Marktkapitalisierung piqi gewichtet sind (Aktienkurs
pi, Zahl der Aktien qi). Der amerikanische Dow Jones hingegen
gewichtet nach dem Aktienkurs allein. Sind die Indices gemäß
Laspeyres oder Paasche konstruiert? Welcher repräsentiert die
jeweiligen AG’s besser?
• Indices können auch zum räumlichen Vergleich herangezogen
werden: Diskutieren Sie damit Wechselkurse und Kaufkraftparitäten!
1 Historische Bemerkung: I. Fisher stellte 1922 einige Bedingungen auf, die
“vernünftige” Indexformeln erfüllen sollten, v.a. die Proportionalitätsbedingung
und die Verkettungsbedingung. Es wurde aber später nachgewiesen, dass kein
Index existiert, der alle diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt!

11.3(e) Beispiel zur Gewichtung: Dow Jones
Preisgewichtung: Eine Aktie mit Kurs 100 $ hat doppelte Gewichtung
wie eine mit 50 $, egal, ob die Firma groß ist (viele Aktien)
oder nicht (wenige Aktien).
Ein synthetisch nach der Marktkapitalisierung berechneter Dow
(verknüpft an den Original Dow zum Januar 2000) hat gegenübe
dem Original einen deutlich unterschiedlichen Verlauf!

11.4 Umbasierung, Verkettung, Verknüpfung
Voraussetzung: Verkettungsbedingung I t0 = I tj I j0 ist zumindest genähert erfüllt!
Umbasieren bedeutet Änderung des Bezugsjahrs, in welchem der
Index=1 ist:
I ∗
tb
= It0
Ib0
1 1
t=0 t
t=0 t=b t
Beim Verketten wird eine Index-Zeitreihe aus Wachstumsfaktoren
bezüglich benachbarter Zeitpunkte erzeugt:
1
t=0
I ∗
t0 = It,t−1 · · · I21I10 =
1
tY
i=1 1
Ii,i−1
1 t=0 t
Beim Verknüpfen wird aus zwei Index-Zeitreihen
{I10, I20, · · · , It0} und {I ′
τ+1,τ , · · · , I′
t2 ,τ } mit mindestens einem
überlappenden Zeitpunkt (d.h. τ ≤ t1) eine lange Index-Zeitreihe
erzeugt:
I ∗
t0 =
1
8
<
:
It0 falls t ≤ t1,
I
t,t
It
1 1 ,0 = It1 ,0
′ t,τ
I ′ t1 ,τ
t=t1
I ′
falls t > t1.
1
t=0 t=0
t
t= τ
1

11.4(b) Bemerkungen
Aufgrund der fehlenden Verkettungsbedingung der meisten
Indices sind die aus Umbasierungen, Verkettungen
oder Verknüpfungen hervorgegangenen Indexwerte I ∗ t0
im allgemeinen nicht identisch zu den direkt aus den
Ausgangsdaten berechneten Werten It0!
I a0
Periode 0
Periode a
I t0
It0 �= I ∗ t0 = ItaIa0
I ta
Periode t

11.5 Durchschnittsindex
Gegeben sei ein Warenkorb von bezüglich der Mengen
kommensurablen Gütern. Dann errechnet sich der
Durchschnittsindex (Preisindex nach Drobisch) aus
den mit den jeweiligen Mengen qi(t) gewichteten arithmetischen
Mitteln der Preise pi(t):
P (D)
t0
=
� n
i=1 pi(t)fi(t)
� n
i=1
mit den Gewichtungsfaktoren
fi(t) =
pi(0)fi(0) ,
qi(t)
� n
i=1 qi(t)
Dieser Index berücksichtigt neben Preisänderungen auch
Strukturänderungen, d.h. Verschiebungen im Warenkorb
z.B. hin zu billigeren oder teureren Qualitäten.
Diese Struktureffekte können die Preisänderungen überkompensieren,
was als Simpson’schen Paradoxon bezeichnet
wird.

11.5(b) Simpson’sches Paradoxon
Simpson’sches Paradoxon: Gewichtete arithmetische
Mittel können aufgrund von Struktureffekten
steigen, auch wenn alle Einzelwerte sinken.
Beispiel und Aufgabe:
Eine Halbleiterfirma stellt zwei Typen von Prozessoren her: den
2-Ghz-Prozessor A, den sie im Ausgangsjahr zu 100 e verkauft
und den 3-Ghzz-Prozessor B zu 300 e. Aufgrund des drastischen
Preisverfalls v.a. bei älteren Prozessoren muss sie im folgenden
Jahr Prozessor A für 10 e und B für 250 e verkaufen. Trotz
des Schnäppchenpreises für A steigt der verkaufte Anteil an Typ
B von 40% auf 80%. Wie ändert sich der Durchschnittspreis?
Vergleichen Sie den Durchschnittspreisindex mit den Preisindices
nach Lespeyres und Paasche!
Webtipp hierzu:
www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Parad/index.htm,
erstes Beispiel.