Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 1. Grundlagen Seite 11
Das dynamische System sei zunächst durch ein DGL-System der Form (1.5) gegeben.
Die zeitliche Ableitung der gestörten Trajektorie ist gegeben durch
d(x + δx)
dt
= F(x + δx) . (1.7)
Linearisierung in der Umgebung von x ergibt
dx
dt + δx dF
= F(x) +
dt dx · δx
⇒ δẋ = J(x) · δx ,
(1.8)
wobei J(x) = dF/dx die Jacobi-Matrix des DGL-Systems ist. Die Zeitentwicklung
der Störung ergibt sich durch die Transfermatrix U t , die die Differentialgleichung
˙U = JU mit U 0 = I löst. Man erhält somit
δx t = U t δx 0 (1.9)
und der Lyapunov-Exponent in Richtung des Einheitsvektors u 0 = δx 0 /‖δx 0 ‖ ist
gegeben durch
1
λ(x 0 , δx 0 ) = lim
t→∞ t ln ‖δx t‖
‖δx 0 ‖ = lim 1
t→∞ t ln ‖Ut (x 0 )u 0 ‖ . (1.10)
Bei zeitdiskreten Abbildungen der Form (1.6) ist der Fluss des Systems direkt durch
die Abbildung gegeben. Die zeitliche Entwicklung der Störung erhält man daher
direkt durch die Jacobi-Matrix der Abbildung, d.h. es gilt
δx t+1 = J(x t ) · δx t (1.11)
mit J(x) = df/dx und der Lyapunov Exponent in Richtung von u 0 ist gegeben
durch
1
λ(x 0 , δx 0 ) = lim
n→∞ n ln ‖δx n‖
‖δx 0 ‖ = lim ln n→∞ ‖Jn (x 0 )u 0 ‖ (1.12)
wobei J n (x 0 ) = J(x n−1 ) · J(x n−2 ) · . . . · J(x 0 ).
Für einen d-dimensionalen Phasenraum gibt es entsprechend d im Allgemeinen verschiedene
Lyapunov-Exponenten, die das zeitliche Verhalten der Störung in den
verschiedenen Richtungen des Raums beschreiben. Für ergodische Systeme sind sie