Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 1. Grundlagen Seite 17
mit dem Exponenten D 0 als die Dimension des Attraktors, oder anders formuliert
D 0 = lim
ε→0
ln(N(ε))
ln(1/ε) . (1.27)
Diese Dimension bezeichnet man als Box-Counting- oder auch Kapazitäts-Dimension.
Sie basiert auf den metrischen Eigenschaften des Attraktors. Gerade für chaotische
Attraktoren ist es jedoch typisch, dass bestimmte Bereiche von einer Trajektorie
weit häufiger aufgesucht werden als andere, was durch die Box-Counting-Dimension
nicht berücksichtigt wird. Mathematisch lässt sich dies durch das natürliche Maß
η(N i , T )
µ(N i ) = lim
T →∞ T
(1.28)
beschreiben, wobei η(N i , T ) die Zeitdauer ist, die eine Trajektorie im Zeitintervall
0 ≤ t ≤ T in der Zelle N i verweilt. Dies kann auch interpretiert werden als die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in der Zelle N i liegt. Diese Größe ist fast immer 2
unabhängig vom Startpunkt x 0 . Die Box-Counting-Dimension ist der Spezialfall,
wenn alle Zellen in etwa das gleiche natürliche Maß besitzen, d.h. wenn für alle i =
1, . . . , N(ε) gilt µ(N i ) ≈ 1/N(ε). Bei chaotischen Attraktoren variiert das natürliche
Maß aber meist stark mit der betrachteten Zelle N i , weshalb man bei genügend
kleinem ε einen Großteil des natürlichen Maßes der Punktmenge mit einem Bruchteil
der Zellen N(ε) abdecken kann. Man definiert daher die Informationsdimension
∑ N(ε)
i=1
D 1 = lim
µ(N i) ln µ(N i )
ε→0 ln(ε)
I(ε)
= lim
ε→0 ln(1/ε) , (1.29)
wobei I(ε) = − ∑ N(ε)
i=1 µ(N i) ln µ(N i ) die auf Shannon zurückgehende Information
(auch Informationsentropie) darstellt. Diese ist hier ein Maß für die Menge an
Information, die gewonnen wird, wenn die Unterteilung des Systems mit der Kantenlänge
ε vorgenommen wird. Die Informationsdimension ergibt sich somit durch
Betrachtung des Verhältnisses von gewonnener Information zur Kantenlänge der
Unterteilung.
Beide Dimensionsbegriffe können auf die generalisierte Dimension D q von Renyi
zurückgeführt werden die definiert ist durch
( ∑N(ε)
1 ln
D q = lim
ε→0 q − 1 ·
i=1 (µ(N i)) q)
, (1.30)
ln(ε)
2 Dies ist im maßtheoretischen Sinn zu verstehen: die Menge von Startpunkten von denen das
natürliche Maß abhängt hat Lebesgue-Maß Null.