Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 2. Lokale Modelle Seite 27
1
0.8
p n
(0.1)
0.6
0.4
0.2
0 5 10 15 20 25 30
Dimension n
Abbildung 2.1: Wahrscheinlichkeit, dass sich Punkt im Abstand 0.1 vom Rand des
Einheitswürfels [0, 1] n befindet
des Einbettungsraumes. Als Beispiel wurden Punkte des Lorenz-Systems generiert,
das durch das Differentialgleichungssystem
ẋ 1 = σ(x 1 − x 2 )
ẋ 1 = rx 1 − x 2 − x 1 x 3
ẋ 3 = x 1 x 2 − bx 3
(2.6)
gegeben ist, wobei σ = −10, b = 8/3 und r = 28 gesetzt wurde. Mit diesen Parametern
ergibt sich ein chaotischer Attraktor mit Korrelationsdimension 2.055 [37].
Die Variable x 1 wurde als Zeitreihe aufgefasst, auf das Intervall [0, 1] normiert und
schrittweise in Räume immer höherer Dimension eingebettet (von d = 5 bis d = 100,
Delay τ = 1). Hierbei wurde auch die Länge der Zeitreihe so erhöht, dass immer
konstant 5000 Delay-Vektoren im Datenraum zur Verfügung standen. Es wurde nun
für jeden Punkt die 100 nächsten Nachbarn berechnet und die Distanzen als Histogramm
aufgetragen.
Wie man an Abbildung 2.2(a) sieht, wird mit wachsender Dimension das Histogramm
breiter und flacher, das Maximum verschiebt sich aber zu höheren Distanzen.
Zum Vergleich wurden für verschiedene Dimensionen (von d = 3 bis d = 300)
zufällig und gleichverteilt wieder 5000 Punkte gewählt, die somit nicht auf einer
niedrigdimensionalen Untermannigfaltigkeit liegen. Auch hier wurden jeweils die 100
nächsten Nachbarn berechnet und als Histogramm aufgetragen (Abbildung 2.2(b)).
Man sieht deutlich, dass das Histogramm ab ca. d = 30 kaum noch abflacht und
sich auch in der Breite praktisch nicht verändert, sich jedoch sehr stark zu größeren
Distanzen verschiebt. Dies führt dazu, dass sich die Distanzen relativ gesehen
annähern: das Verhältnis vom nächsten und dem am weitesten entfernten Nachbar
geht gegen Eins. Dies führt dazu, dass es zunehmend schwerer wird, mit lokalen
Umgebungen zu arbeiten, weil es “Lokalität” in dem Sinne nicht mehr gibt [16].