Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 37
Für die Berechnung der Koeffizienten ist es sinnvoll, obigen Ausdruck mit Matrizen
zu schreiben. Es soll gelten
sowie
X =
⎛
⎜
⎝
⎞
1 (x 1 − q) . . . (x 1 − q) p
⎟
. .
. ⎠ (3.3)
1 (x n − q) . . . (x n − q) p
y =
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
y 1
ν
⎟
⎜
. ⎠ und ν = ⎝
0.
T
y n
ν T p
⎞
⎟
⎠ . (3.4)
Weiterhin sei
{√ }
W = diag Kh (x i − q)
=
⎛
⎞
w 1 0 · · · 0
0 w 2 · · · 0
⎜
⎝ . .
..
⎟ . . ⎠
0 0 · · · w n
(3.5)
(3.6)
eine n × n-Wichtungsmatrix, auf deren Diagonale die sich aus der Kernfunktion
ergebenden Gewichte stehen. Dann kann (3.2) geschrieben werden als
P (ν) = (y − Xν) T W T W(y − Xν) (3.7)
= y T W T Wy − ν T X T W T Wy − y T W T WXν + ν T X T W T WXν (3.8)
= y T W y W − ν T X T W y W − y T W X W ν + ν T X T W X W ν , (3.9)
wobei hier wie im Folgenden die Abkürzungen X W = WX und y W = Wy verwendet
werden. Der Gradient dieser Funktion ist
∇ ν P (ν) = −2X T W y W + 2X T W X W ν (3.10)
und Nullsetzen des Gradienten und Auflösen nach ν ergibt ein eindeutiges Extremum
der Funktion P (ν) bei