Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 61
3.7 Lokale radiale Basisfunktionen
Das in Abschnitt 2.1.1 vorgestellt Prinzip der lokalen Modellbildung stellt frei, welche
Form von Modell in der Umgebung des Anfragepunktes verwendet wird. Prinzipiell
kann jede Form von Modell gewählt werden, wobei sich jedoch aufgrund der
niedrigen Zahl der Datenpunkte nur wenige wirklich eignen. Als Alternative zu polynomialen
Modellen sollen daher noch lokale Modelle mit radialen Basisfunktionen
(RBF) vorgestellt werden.
Hierbei werden an vorgegebenen Stützstellen c i , i = 1, . . . , k, rotationssymmetrische
Funktionen g i (‖x−c i ‖) aufgespannt und additiv überlagert. Als Stützstellen bei der
lokalen Modellierung dienen die nächsten Nachbarn des Anfragepunktes [29].
Die beiden populärsten RBF sind die Gauß-Funktion
g i (x) = exp
(− ‖x − c )
i‖ 2
σ 2
(3.35)
und die multiquadratische Funktion
g i (x) = √ r 2 + ‖x − c i ‖ 2 , (3.36)
wobei σ ∈ R bzw. r ∈ R frei wählbare Parameter sind. Das Modell ergibt sich durch
Linearkombination dieser Basisfunktionen, d.h.
f(x) =
k∑
ν i g i (x) . (3.37)
i=1
Der Parameter σ ist die Halbwertsbreite der Gauß-Kurve und definiert somit den
Grad der Lokalität der Basisfunktion. Im Falle der multiquadratischen Basisfunktion,
die im Gegensatz zur Gauß-Funktion nicht beschränkt ist, kann durch den
Parameter r die Glattheit der resultierenden Überlagerung gesteuert werden. Für
r = 0 ergibt sich die Betragsfunktion g i (x) = ‖x − c i ‖, die an der Stützstelle x = c i
nicht mehr differenzierbar ist.
Die Berechnung einer Approximation durch Überlagerung von radialen Basisfunktionen
erfolgt durch Minimierung einer Kostenfunktion
P (ν) = ‖y − Aν‖ 2 + ‖Rν‖ 2
= (y − Aν) T (y − Aν) + ν T R T Rν .
(3.38)