Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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3.9. Zeitliche Variation der Parameter
1. Wähle ein Intervall ∆p, in das die gewünschte Vorhersagedauer p unterteilt
werden soll (im Folgenden wird davon ausgegangen, dass p/∆p ganzzahlig ist).
Setze die Zählvariable j = 0.
2. Optimiere die Parameter des lokalen Modells für die Vorhersage von T a = 0 bis
T e = ∆p und speichere die erhaltenen Parameter P 0 ab. Für jeden einzelnen
Punkt x i des Datensatzes speichere die vom optimalen Modell vorhergesagten
Werte in einem Vektor v i .
3. Setze T a = T a + ∆p, T e = T e + ∆p und j = j + 1. Falls T a > p ist der
Algorithmus abzubrechen.
4. Optimiere die Parameter des lokalen Modells für die Vorhersage von T a bis T e ,
allerdings auch unter Verwendung der bereits von den vorherigen Modellen
vorhergesagten Werte v i , i = 1, . . . , N. Speichere die so erhaltenen optimalen
Parameter in P j . Für jeden Punkt x i , i = 1, . . . , N des Datensatzes berechne
anhand des optimalen Modells die Vorhersagen von T a bis T e und hänge diese
jeweils an den Vektor v i an.
5. Springe zu 3.
Das endgültige Modell setzt sich somit aus p/∆p einzelnen Modellen zusammen mit
den Parameterwerten P i und i = 1, . . . , p/∆p.
Als Beispiel wurde das System von Baier und Sahle verwendet, welches eine Verallgemeinerung
des Rössler-Systems darstellt [4]. Es ist gegeben durch das Differentialgleichungssystem
ẋ 1 = −x 2 + ax 1
ẋ i = x i−1 − x i+1 mit i = 2, . . . , M − 1
ẋ M = ε + bx M · (x M−1 − d) ,
(3.43)
wobei als Parameter a = 0.28, b = 4, d = 2, ε = 0.1 gewählt wurden. Der Parameter
M steuert die Dimensionalität des Systems und muss ungeradzahlig gewählt werden;
mit M ≥ 5 ergibt sich ein hyperchaotisches System.
In diesem Beispiel wurde M = 5 gewählt und zunächst mit dem vorgestellten Optimierungsalgorithmus
die Vorhersage für p = 40 Zeitschritte optimiert. Als Unterteilung
wurde ∆p = 10 gewählt. Hier wurde nun ausschließlich der Parameter s c
optimiert, während alle andere Parameter konstant gehalten wurden. Dieser variierte
von s c = 7, 5 · 10 −5 für die Zeitschritte von 0 bis 10 zu s c = 0.05 für die Zeitschritte
von 30 bis 40. Das so erhaltene Modell, dass sich aus den vier unterschiedlichen
Einzelmodellen zusammensetzt, brachte um 8% bessere Ergebnisse.