Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Seite 68 3.10. Suche nach nächsten Nachbarn k-d-Bäume Der k-d-Baum ist eine Datenstruktur, die als Verallgemeinerung des binären Suchbaums 1975 von Bentley eingeführt wurde (siehe [6]); die Abkürzung “k-d” ist hierbei als “k-dimensional” zu verstehen 5 . Ein k-d-Baum ist zunächst einmal ein binärer Suchbaum: zu jedem Knoten P existieren maximal zwei Söhne; diese sind als Pointer LS(P ) und RS(P ) im Knoten von P gespeichert. Hierbei sind diese Pointer so zu verstehen, dass sie den gesamten Teilbaum links bzw. rechts des Knotens P repräsentieren. Im Gegensatz zum normalen binären Suchbaum, wo jeder Knoten genau einen Schlüssel trägt, trägt beim k-d-Baum jeder Knoten k verschiedene Schlüssel K 0 (P ), . . . , K k−1 (P ). Weiterhin trägt jeder Knoten eine ganzzahlige Dimensionsangabe D(P ) zwischen 0 und k − 1, den sog. Diskriminator. Die Anordnung der Knoten erfüllt nun folgende Regel: Sei j = D(P ) der Diskriminator eines Knotens P im k-d-Baum, dann gilt für alle Knoten U im Teilbaum LS(P ), dass K j (U) < K j (P ) und für alle Knoten V im Teilbaum RS(P ) gilt K j (V ) > K j (P ). Sollten zwei Schlüssel gleich sein, werden die restlichen Schlüssel als Vergleichsobjekte herangezogen (für Details siehe [6]). Für die Anwendung der Suche nach nächsten Nachbarn sind die Schlüssel eines Knotens K 0 (P ), . . . , K k−1 (P ) Komponenten eines k-dimensionalen Vektors; jeder Knoten im k-d-Baum trägt somit einen Punkt x ∈ R k . Alle Punkte aus Knoten U im Teilbaum LS(P ) sind somit bezüglich der Komponente j = D(P ) kleiner als P . In Abbildung 3.11 ist dies für den Fall des 2-d-Baumes gezeigt, einmal in räumlicherund einmal in Graph-Darstellung. Der Knoten A ist die Wurzel des Baumes, für seine Söhne gelte die x-Komponenten als Vergleichskriterium: Alle Knoten im linken Teilbaum von A (also B,D,E und G) liegen links von A, die anderen rechts. Ausgehend von den Söhnen von A, nämlich B und C, gilt nun die y-Komponente als Vergleichskriterium: alle Knoten im linken Teilbaum von B liegen unterhalb, der Knoten E im rechten Teilbaum oberhalb. Analog verhält es sich beim Knoten C, wo der Knoten F im rechten Teilbaum liegt und somit oberhalb von C. Der eigentliche Trick liegt somit darin, dass mit jedem Knoten nicht nur ein Punkt, sondern auch gleichzeitig ein k-dimensionaler Quader des Raumes verknüpft ist, dessen Kanten durch die Vorgängerknoten bestimmt wird. Jeder nicht-terminale Knoten eines k-d-Baumes ist somit Wurzel eines Teilbaumes, der alle Punkte eines bestimmten Quaders enthält; die Wurzel des Baumes umfasst als einziger Knoten den gesamten Raum. Der k-d-Baum liefert somit eine hierarchische räumliche Aufteilung der Punkte. In der Praxis ist es aus Gründen der Laufzeit sinnvoll, eine minimale Anzahl L an Punkten vorzugeben, ab der keine Aufteilung mehr vorgenommen werden soll. Diese Punktmengen mit einer Punktzahl kleiner als L laden in den terminalen Knoten des Baumes; sie werden meist als Buckets bezeichnet. 5 Um dem Begriff “k-d-Baum” Genüge zu tun, wird in diesem Abschnitt die bisherige Notation fallengelassen, die mit d die Dimension und mit k die Zahl nächster Nachbarn bezeichnet.
£¢ £ ¢ Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 69 (0,100) (100,100) E(40,85) ¨ ©¨ © F(70,85) G(10,60) ¤ ¥¤ ¥ A ¡ ¡ A(50,50) B C ¦ §¦ § D(25,20) D E F y C(80,15) (0,0) x (a) G (100,0) (b) B(10,70) Abbildung 3.11: Beispiel für k-d-Baum in räumlicher Darstellung (a) und als binärer Baum (b). Ist eine Punktmenge erstmal in solch einer Datenstruktur gespeichert, gestaltet sich die Suche nach m nächsten Nachbarn zum Anfragepunkt q recht einfach. Man verwendet zusätzlich zum k-d-Baum eine Liste D, die die bislang gefundenen m nächsten Punkte verwaltet, wobei diese nach den Distanzen d 1 , . . . , d m = d max sortiert ist. Beginnend mit der Wurzel wird rekursiv eine Funktion aufgerufen, die folgendes ausführt: • Falls ein terminaler Knoten (Bucket) angetroffen wird, werden alle Distanzen zwischen q und den dort vorhandenen Punkten berechnet und die Liste D entsprechend aktualisiert. Dies entspricht dem oben erwähnten Brute-Force Ansatz. • Immer wenn man einen Knoten antrifft dessen Punkt näher an q liegt als d max , wird dieser in die Liste eingefügt. Die Funktion wird dann rekursiv für den Sohn aufgerufen, in dessen Teilbaum der Anfragepunkt q liegt. • Falls nach Rückkehr aus dieser Funktion die Kugel mit Radius d max um den Anfragepunkt q mit dem Bereich des anderen Sohnes überlappt, muss auch dieser rekursiv aufgerufen werden. • Die Rekursion endet, falls diese Kugel komplett innerhalb der Grenzen des Knotens liegt. Die Effizienz des k-d-Baumes hängt von verschiedenen Parametern ab. Zunächst ist die Frage, wie man jeweils einen Punkt und den Diskriminator wählen soll, anhand
Seite 1 und 2:
Optimierte lokale Modelle in der ni
Seite 3 und 4:
Inhaltsverzeichnis Seite 3 3 Lokal
Seite 5 und 6:
Einleitung In der Physik hat man me
Seite 7 und 8:
Inhaltsverzeichnis Seite 7 worfen.
Seite 9 und 10:
Kapitel 1. Grundlagen Seite 9 1.1 D
Seite 11 und 12:
Kapitel 1. Grundlagen Seite 11 Das
Seite 13 und 14:
Kapitel 1. Grundlagen Seite 13 k Ly
Seite 15 und 16:
Kapitel 1. Grundlagen Seite 15 Im F
Seite 17 und 18: Kapitel 1. Grundlagen Seite 17 mit
Seite 19 und 20: Kapitel 1. Grundlagen Seite 19 werd
Seite 21 und 22: Kapitel 2 Lokale Modelle 2.1 Das Mo
Seite 23 und 24: Kapitel 2. Lokale Modelle Seite 23
Seite 37 und 38: Kapitel 3. Lokal polynomiale Modell
Seite 67: Kapitel 3. Lokal polynomiale Modell
Seite 77 und 78: Kapitel 4. Support-Vektor-Regressio
Seite 87 und 88: Kapitel 5 Anwendungen der Modelle I
Seite 89 und 90: Kapitel 5. Anwendungen der Modelle
Seite 99 und 100: Kapitel 6 Zusammenfassung und Ausbl
Seite 101 und 102: Anhang A Berechnung der Modellkoeff
Seite 103 und 104: Anhang B Nichtlineare Optimierung F
Seite 105 und 106: Anhang B. Nichtlineare Optimierung
Seite 107 und 108: Literaturverzeichnis [1] J. Argyris
Seite 109 und 110: Literaturverzeichnis Seite 109 [27]
Alle anzeigen

Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?