Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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5.1. Modellierung künstlich generierter Systeme
ihre Stärken kaum ausspielen zu können. Durch die Parameteroptimierung über die
LOO-CV wird bereits die Komplexität des Modells wesentlich vorgegeben, weshalb
das Konzept der ε-insensitiven Kostenfunktion hier nicht so greift wie bei globalen
Modell-Ansätzen.
Sehr gute Ergebnisse liefern das Modell mit lokal radialen Basisfunktionen und die
nichtlineare SVR mit Gauß-Kern. Allerdings sind hier die Parameter r bzw. σ zusätzlich
zu optimieren, die sehr kritisch für die Genauigkeit des Modells sind und die bei
falscher Wahl zu einem völligen Versagen des Modells führen. Hinzu kommt, dass
gerade das nichtlineare SVR-Modell weitaus höhere Rechenzeiten hat als das normale
lokal lineare Modell, weshalb gerade hier die Optimierung der Parameter sehr
langwierig ist. Die lokal linearen Modelle haben somit den Vorteil, deutlich robuster
und zudem schneller zu sein.
5.1.2 Hindmarsh-Rose-System
Das Modell von Hindmarsh und Rose (HR-Modell) ist ein Versuch zur Beschreibung
von Aktionspotentialen, die nach Depolarisation von Zellen im Hirn einer
Schnecke beobachtet wurden [17]. Diese zeigen eine Anordnung sog. Bursts, die von
längeren Aussetzern unterbrochen werden.
Das Differentialgleichungssystem lautet
ẋ = y − x 3 + 3x 2 − z ,
ẏ = 1 − 5x 2 − y ,
ż = ε [x − (z − z 0 )/4] .
(5.1)
Der Parameter ε ist sehr klein zu wählen, d.h. die z-Variable ändert sich nur sehr
langsam; im Folgenden wurde ε = 0, 004 gesetzt. Je nach Wahl von z 0 ergeben sich
unterschiedliche Dynamiken des System, darunter auch Chaos in einem schmalen
Fenster zwischen z 0 ≈ 3, 159 und z 0 ≈ 3, 2, wobei in diesem auch periodische Fenster
existieren [43].
Im Folgenden wurde z 0 = 3, 19 gewählt. Das System wurde von T = 0 bis T =
6000 integriert und alle ∆T = 0, 2 abgetastet. Die Variable x wurde als Zeitreihe
aufgefasst und die ersten 15000 Samples als transient verworfen. Die verbleibenden
15000 Samples sind in Abbildung 5.1 zu sehen. Man sieht das periodische Auftreten
von Bursts, die aus zahlreichen einzelnen Spikes bestehen. Die Zahl der Spikes und
auch die Abstände variieren hierbei chaotisch. Unterbrochen werden die Bursts von
längeren Aussetzern. Die Modellierung dieses Systems ist recht schwierig, da die
Dynamik hier auf zwei unterschiedlichen Zeitskalen abläuft: die Aussetzer zwischen
den Bursts haben ca. die 10fache Länge der einzelnen Spikes. Dennoch kommen
lokale Modelle erstaunlich gut mit dieser Problematik zurecht.