Zeitabhängige Störungsrechnung

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Zeitabhängige Störungsrechnung

Einleitung Zeitabhängige SGL Störungsrechnung WW Licht/Materie Quantenkontrolle

Zeitabhängige Störungsrechnung

Zeitabhängige Störungsrechnung

Wir verwenden das Diracbild. Dort gilt:

Es gilt:

|ψ(t)〉 D

= Û W (t, t 0) |ψ(t 0)〉 i d dt Û W = ĤW D Û W

|ψ(t)〉 D

= |ψ(t 0)〉 D

+ 1 ĤD W (t 1) |ψ(t 0)〉

i

D

dt 1

t 0

+ 1 ∫t


( i) 2

t 0

t 1

∫ t

t 0

Ĥ W D (t 1)ĤW D (t 2) |ψ(t 0)〉 D

dt 2 dt 1 + · · ·

zeitabhängige Störungsrechnung n-ter Ordnung = Summe bis n-fach ĤW D

Faktor zwischen dem n-ten und (n + 1)-ten Summanden

˜κ =

∣ t − 〈

∣ 〉 t0

E (0)

∣ ∣∣E j ∣


ĤW (0) ∣∣

k



iterative Hierarchie von DGLn: i d ∣

dt

∣ψ (n) ∣

(t) = ĤW D ∣ψ (n−1) (t)

D

D

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Einleitung Zeitabhängige SGL Störungsrechnung WW Licht/Materie Quantenkontrolle

Zeitabhängige Störungsrechnung

Übergangswahrscheinlichkeit

Ĥ W sei zeitunabhängig. Zur Zeit t 0 = 0 sei das Gesamtsystem in einem

Eigenzustand ∣ 〉 E

0

a . Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, das

Gesamtsystem zur Zeit t in einem anderen Eigenzustand ∣ 〉 E

0

e anzutreffen.

Diese ist definiert als

w a→e = ∣ 〈 Ee

0 〉

∣ ψ(t) ∣ 2 .

Es sei ∣ 〉 ∣ 〉 〈 ∣ 〉

∣Ee 0 ≠ Ea 0 und damit E

0

e Ea 0 = 0. Dann erhält man mit

Störungsrechnung erster Ordnung

( ∫ 〈 ∣

w a→e (t) =

∣ E

0 ∣∣E 〉

e 0 1 t


a + Ĥ W 〉 )∣ 2


D (t 1 ) dt 1 ∣E 0

i

a ∣∣

0

∣〈

〉∣ ( )

= t2 ∣∣

2 Ee

0 ∣ ĤW∣ ∣Ea

0 ∣∣

2

sinc

2 E

0

e − Ea

0 t

.

2

Übergangswahrscheinlichkeit w a→e ist zeitabhängig, sie wird 〈 bestimmt ∣ durch

die Übergangsenergie (Ee 0 − Ea 0 ) und das Matrixelement Ee

0 ∣∣E

∣ ĤW 0

a

〉.

D

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Übergangsrate

Maximalwert bei festem t für E 0 e = E 0 a

wesentliche Beiträge aber auch für |E0 e −E0 a |t

2

π 2

Bedingung ist also E 0 e ≈ E 0 a (Quasiresonanz)

Änderung der Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit

∆w a→e

∆t

= 2π

2 ∣ ∣∣


E 0 e


∣〈

∣∣

−→

t→∞ 2 Ee

0

zeitunabhängiger Ausdruck

〉∣ ∣ ∣ ĤW∣ ∣ E

0 ∣∣

2 ∣exp( i (E0 e − Ea 0 )t) − 1 ∣ 2

a

2πt(Ee 0 − Ea 0 ) 2 −2

)

∣ ĤW∣ ∣ E

0

a

〉∣ ∣∣

2

δ

( E

0

e − E 0 a


Praktisch anwendbar, wenn ∆t zwar makrophysikalisch klein, aber groß gegen

die charakteristische Zeitdauer mikrophysikalischer Einschaltvorgänge ist.

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Zeitabhängige Störungsrechnung

Fermis goldene Regel

Zeitunabhängige Änderungsrate aus der totalen Übergangswahrscheinlichkeit

Dazu viele Endzustände ∣ 〉 E

0

e mit E

0

e ≈ Ea 0 . Die Wahrscheinlichkeit für den

Übergang vom festen Anfangszustand ∣ 〉

∣Ea 0 in einen der Endzustände ist dann

W (t) =



w a→e = σ(Ee 0 )w a→e dEe 0 .

alle |E 0 e 〉

mit E 0 e ≈E0 a

E 0 e ≈E0 a

Wesentliche Beiträge nur im Intervall Ea 0 ± 2π/t. σ und 〈· | ·|〉 seien dort konstant:


∣ 〉∣ ∫ ∞ ( )

W (t) = t2

2 σ(E0 a ) ∣ Ee

0 ∣∣E

∣ ĤW 0 ∣∣

2 E

0

a sinc 2 e − Ea

0 t

dEe 0 .

2

Fermis goldene Regel:

∆W

∆t

= 2π 〈

σ(E0 a ) ∣

E 0 a

−∞

∣ ĤW ∣ ∣∣E 0

a

〉∣ ∣∣

2

Beachte: t muss (mikrophysikalisch) hinreichend groß sein. Das gleiches Ergebnis

erhält man für viele Anfangszustände und einen Endzustand.

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Anwendungen

Emission und Absorption

Wechselwirkung eines (fixierten) molekularen Systems (ĤA) mit einem

Strahlungsfeld (ĤR). Unter den Bedingungen der Dipolnäherung sei Ĥ W = −ˆ⃗µ ˆ⃗ E.

Das freie System Ĥ0 = ĤA + ĤR wird beschrieben durch

E 0 = E A + ∑ (

ω j n j + 1 )

∣ E

0 〉 = |E A 〉 |n 1, . . . , n j, . . .〉

2

j

Emission:

∣ E

0

a


= |EA 〉 |n 1, . . . , n j, . . .〉

∣ E

0

e


=

∣ ∣E ′

A


|n1, . . . , n j + 1, . . .〉

Matrixelement für die Änderungsrate der totalen Übergangswahrscheinlichkeit


∣ 〉 〈

Ee

0 ∣∣E

∣ ĤW 0

a = − E A

′ ∣ ˆ⃗µ

〉 〈


∣E A · n 1, . . . , n j + 1, . . . ∣ ˆ⃗

∣ 〉

∣∣n1, E . . . , n j, . . .


∣ 〉∣ ∣ Ee

0 ∣∣E

∣ ĤW 0 ∣∣

2

a = |⃗µea⃗e j| 2 ω j

ω j

nj + |⃗µea⃗ej|2

2ε 0V 2ε . 0V

2 Beiträge zur Emission

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Anwendungen

Emission und Absorption

Der zweite Summand repräsentiert die spontane Emission. Die Energie des

emittierten Photons ist

Man erhält:

∆W sp E

∆t

ω j ≈ ω ae = E A − E ′ A.

=

1

3ε 0πc 3 |µea|2 ω 3 ae = A ae.

Der erste Summand beschreibt für n j > 0 die stimulierte Emission. Man erhält (mit

der räumlichen Energiedichte pro Kreisfrequenzeinheit ζ):

Absorption

∆W st E

∆t

= 1

3ε 0 2 |µea|2 ζ(ω ae) = B aeζ(ω ae).

∆W Abs

st E

∆W

=

∆t ∆t

Wichtig für Spektroskopie und Quantenelektronik, bspw. bei

Laser-Bilanzgleichungen.

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Anwendungen

Natürliche Linienbreite

Die bei der spontanen Emission ausgesandten Photonen haben nicht genau die

Energie (E A − E ′ A). Sie liegen vielmehr in einem Frequenzintervall um

ω ae = E A − E A

′ .


Für die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass pro Zeiteinheit ein Photon der Frequenz ω

in ein Intervall dω spontan emittiert wird erhält man

( )

dW sp E

10

= A 10g sp

dt

10(ω) mit g sp

A 10/2π

10 =

(ω − ω M ) 2 + (A . 10/2) 2

ω

Lorentz-Verteilung mit der Halbwertsbreite ∆ω = A 10 und ω M = ω 10.

Diese endliche Lininbreite der spontan emittierten Strahlung (bei Atomen

∆ω

ω

10−8 ) hängt nicht von äußeren Bedingungen ab. Sie ensteht allein durch die

Kopplung des atomaren Systems an das elm. Strahlungsfeld im Zustand des

Photonenvakuums. Daher heißt sie natürliche Linienbreite.

Analog lassen sich auch atomare Übergänge beschreiben, die mit der simultanen

Erzeugung und Vernichtung von mehreren Photonen verbunden sind

(Mehr-Photonen-Prozesse).

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Streuung

Streuung

Ein Streuprozess besteht aus folgenden drei Abschnitten:

1 Das Teilchen bewegt sich auf das Objekt zu. Sein Impuls ist in Richtung und

Betrag bekannt. Die Reichweite des streuenden Objekts sei begrenzt und der

Abstand des Teilchens vom Objekt so groß, dass seine Bewegung nicht durch

das Objekt beeinflusst wird ( ”

freies Teilchen“).

2 Das Teilchen befindet sich in der Nähe des Objekts. Infolge der

Wechselwirkung mit dem Objekt wird seine Bewegung durch das Objekt

beeinflusst.

3 Das Teilchen hat das Objekt passiert. Es befindet sich in großem Abstand vom

Objekt, seine Bewegung wird als frei angesehen. Durch die Wechselwirkung

mit dem Objekt können sich Bewegungsrichtung und Energie geändert haben.

Ändert sich nur die Bewegungsrichtung des Teilchens (und nicht die Energie)

spricht man von elastischer Streuung, ändert sich die Energie handelt es sich um

einen inelastischen Streuprozess.

Streuung gibt Informationen über die Natur des Feldes, des Teilchens und der

Wechselwirkung.

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Streuung

Beispiel (Streuung an der 1D-Barriere)

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