Die logistische Gleichung

Erstellt mit Maple 7 unter Linux; Stand: Jan. 2003
Die logistische Gleichung
EMEW, FH N
Die diskrete logistische Gleichung lautet
x n+ 1 = α xn ( 1 − xn ) .
Dabei ist xn die relative Populationsgröße einer Spezies (ein Wert zwischen 0 und 1)
zum Zeitpunkt tn . (Im allgemeinen ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Zeitpunkten konstant.) Der Faktor α ist die Fertilitätsrate der Spezies. Die Vermehrungsrate
der Spezies ist einerseits proportional zur Populationsgröße (im Grenzfall unbegrenzter
Ressourcen mit dem Proportionalitätsfaktor α), andererseits steht der Faktor 1 − xn für die Begrenztheit der Ressourcen, die bei einer Populationsgröße 1 völlig ausgeschöpft sind.
Es handelt sich bei diesem Modell um ein einfachstes
diskretes nichtlineares System.
> restart;
Diese Routine ermittelt die Häufungspunkte zum Parameterwert a, indem erst, mit Startwert x0,
n Iterationsschritte durchlaufen werden und dann eine Liste vom letzten und den k folgenden Punkten
erstellt und als Ergebnis ausgegeben wird.
Die erste Koordinate a wird im Hinblick auf das zu erzeugende Feigenbaum-Diagramm hinzugefügt.
> logistic:=proc(a,x0,n,k)
local x,j,b;
x:=x0;
for j from 1 to n do
x:=evalhf(a*x*(1-x));
end do;
b:=[[a,x]];
for j from 1 to k do
x:=evalhf(a*x*(1-x));
b:=[op(b),[a,x]];
end do;
b;
end proc;
> logistic(4,.3,10000,10);
> with(plots):
Nun werden in 401 Schritten die Parameterwerte von 0 bis 4 durchlaufen, um mit 128 nach 10000 Folgengliedern
das Feigenbaum-Diagramm zu erzeugen. (Auf meinem vom Frühjahr 2000 stammenden PC dauert das keine Minute!)
> for i from 0 to 400 do
p||i:=pointplot(logistic(i/100,.3,10000,128),
symbol=POINT,color=BLACK)
end do:
> display({seq(p||i,i=0..400)});
#Bild 01
Man sieht: Für Parameterwerte zwischen 0 und 1 stirbt die Populaton aus, für Werte zwischen 1 und 3
konvergiert sie gegen eine Grenzpopulationsgröße, und dann beginnt eine Kaskade der Periodenverdoppelung;
zwischen 3 und 3.45 pendelt die Population zwischen zwei Werten hin und her - von Generation zu Generation -, dann gibt ein
Hin und Her zwischen vier Werten, dann acht, dann 16, usw. Bei der Fertilitätsrate von ca. 3.57 ist ein chaotischer Zustand
erreicht. Schon dieses grobe Bild zeigt, dass es später noch einmal Fenster mit wenigen Häufungswerten gibt.
Den Bereich von 3.5 bis 4 schauen wir noch genauer an: Ein erstaunliches Bild!
> for i from 3500 to 4000 do
pp||i:=pointplot(logistic(i/1000,.3,10000,128),symbol=POINT,
color=BLACK) end do:
> display({seq(pp||i,i=3500..4000)});
#Bild 02
Periode 3 impliziert Chaos!
So lautete der Titel eines Artikels im American Mathematical Monthly.
Gemeint ist: Tritt die Periode 3 auf, dann auch alle anderen.
Eine ziemlich erstaunliche weit allgemeinere Aussage trifft der berühmte Satz von Sarkovskii; siehe z.B.
Robert L. Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.
Beim Parameterwert 3.83 ist die Periode 3, wie man dem großen "Fenster" mit Periode 3 in Bild 2 entnehmen kann:
> logistic(3.83,.3,10000,8); # Periodenlaenge 3
Auch ein Fenster mit Periode 5, nicht so groß, ist deutlich zu erkennen, 3.739 ist ein zugehöriger Parameterwert:
> logistic(3.739,.7,10000,14); # Periodenlaenge 5
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Es ist instruktiv, sich auch die iterierte logistische Funktion anzusehen.
> logist:=(a,x)->evalf(a*x*(1-x),100);
> logit:=(a,n)->unapply(((x->logist(a,x))@@n)(x),x);
> logit(1,4);
> plot({logit(3.83,1)(x),logit(3.83,3)(x),x},x=0..1,
numpoints=1000,scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.83, Periode 3",titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 03
Nun machen wir die Periode 3 unmittelbar sichtbar:
> logi:=x->evalhf(3.83*x*(1-x));
> zykel:=plot([[.156149315683605322,.156149315683605322],
[.156149315683605322,logi(.156149315683605322)],
[logi(.156149315683605322),logi(.156149315683605322)],
[logi(.156149315683605322),logi(logi(.156149315683605322))],
[logi(logi(.156149315683605322)),logi(logi(.156149315683605322))],
[logi(logi(.156149315683605322)),logi(logi(logi(.156149315683605322)))],
[.156149315683605322,.156149315683605322]],x=0..1,y=0..1,
linestyle=3,thickness=2,color=BLUE):
> plogi:=plot(logi,0..1):px:=plot(x,x=0..1,color=BLACK):
> display({plogi,zykel,px},axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.83, Periode 3",titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 04
Das ist noch instruktiver:
> pl:=plot(logit(3.83,3)(x),x=0..1,numpoints=1000,scaling=CONSTRAINED):
display({pl,zykel,px},axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.83, Periode 3",titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 05
Nun eine kleine Prozedur, die den Fortgang der Iteration sichtbar macht:
> langzykel:=proc(a,x0,n)
local pkte,k ;
pkte:=[[x0,x0]];
for k from 1 to n do
pkte:=[op(pkte),[pkte[-1][1],logist(a,pkte[-1][1])],
[logist(a,pkte[-1][1]),logist(a,pkte[-1][1])]];
end do;
pkte;
end proc;
> liste:=langzykel(3.83,.3,20):
anf:=plot([[.3,0],[.3,.3]],x=0..1,style=line,linestyle=2,color=BLACK):
pliste:=plot(liste,x=0..1,linestyle=3):
> display({zykel,px,anf,pliste},scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.83, Periode 3",
titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 06
> liste:=langzykel(3.83,.3,100):
pliste:=plot(liste,x=0..1,linestyle=3):
display({px,anf,pliste},scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.83, Periode 3",
titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 07
Nach hundert Iterationen ist der Zykel fast erreicht.
Nun ein paar andere Fälle.
> liste07:=langzykel(.7,.5,5):
pliste07:=plot(liste07,x=0..1,linestyle=3,color=BLUE):
anf07:=plot([[.5,0],[.5,.5]],x=0..1,style=line,linestyle=2,color=BLACK):
plogi07:=plot(logist(.7,x),x=0..1):
> display({plogi07,px,anf07,pliste07},scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=0.7, Aussterben",
titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 08
> liste25:=langzykel(2.5,.7,5):
pliste25:=plot(liste25,x=0..1,linestyle=3,color=BLUE):
anf25:=plot([[.7,0],[.7,.7]],x=0..1,style=line,linestyle=2,color=BLACK):
plogi25:=plot(logist(2.5,x),x=0..1):
> display({plogi25,px,anf25,pliste25},scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=2.5, Konvergenz",
titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 09
> liste32:=langzykel(3.2,.3,31):pliste32:=plot(liste32,x=0..1,
style=line,linestyle=3,color=BLUE):
anf32:=plot([[.3,0],[.3,.3]],x=0..1,style=line,linestyle=2,color=BLACK):
plogi32:=plot(logist(3.2,x),x=0..1):
display({plogi32,px,anf32,pliste32},scaling=CONSTRAINED,
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display({plogi32,px,anf32,pliste32},scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.2, Periode 2",
titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 10
> pit32:=plot({logit(3.2,1)(x),logit(3.2,2)(x),x},x=0..1,color=BLACK,
numpoints=1000,scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.2, Periode 2",titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]):
pit25:=plot({logit(2.5,1)(x),logit(2.5,2)(x),x},x=0..1,color=BLACK,
numpoints=1000,scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=2.5, Konvergenz",titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]):
display(array([pit25,pit32]));
#Bild 11
> plot({logit(3.5,1)(x),logit(3.5,4)(x),x},x=0..1,color=BLACK,
numpoints=1000,scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.5, Periode 4",
titlefont=[HELVETICA, BOLD, 16]);
#Bild 12
> liste35:=langzykel(3.5,.3,51):pliste35:=plot(liste35,x=0..1,
style=line,linestyle=3,color=BLUE):
anf35:=plot([[.3,0],[.3,.3]],x=0..1,style=line,linestyle=2,color=BLACK):
plogi35:=plot(logist(3.5,x),x=0..1):
display({plogi35,px,anf35,pliste35},scaling=CONSTRAINED,
title="alpha=3.5, Periode 4",
titlefont=[TIMES, BOLD, 16]);
#Bild 13
Wird fortgesetzt!
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