Triebwerke II Formelsammlung - Heide-im-netz.de

Triebwerke II Formelsammlung
Einlauf:
T
t 0
⎛
= T0
⋅⎜
+
⎝
χ −1
⋅ M
2
2
1
a0
⎞
⎟
⎠
T = T
t 2 t0
p = p
t0 t1
p
=
⎛
p ⋅ 1+
⎝
χ −1
⋅
2
2
t0
0 ⎜ M a 0
⎞
⎟
⎠
χ
χ−1
π
τ
beschreibt Druckverhältnisse
beschreibt Temperaturverhältnisse
pt
π = 2
≤1
als Auslegungswert: π = 0, 98
E
E
p
t1
τ
0
T
=
T
t0
0
=
χ −1
χ
2
1+
⋅ M
a0
c
a
⋅
0
= M
0
⋅ χ ⋅ R T0
Einlaufwirkungsgrad:
η
Es
T
T
=
τ
t 2s
0
0
−1
τ
=
−1
0
χ
⋅π
E
−
τ −1
0
χ−1
1
1

2
Verdichter
χ
R
A
p
T
m
M a
⋅
⋅
⋅
=
1
&
2
3
t
t
V
T
T
=
τ
2
3
t
t
V
p
p
=
π
reduzierter Massenstrom:
2
2
t
N
N
t
L
red
p
p
T
T
m
m
⋅
⋅
= &
& mit: Pa
p N 101325
=
und:
K
T N 15
288,
=
à
N
t
t
N
red
L
p
p
T
T
m
m
2
2
⋅
⋅
= &
&
reduzierte Drehzahl:
2
t
N
red
T
T
n
n
⋅
=
Isentroper
Verdichterwirkungsgrad:
1
1
1
1
1
2
3
2
3
−
−
=
−
−
=
−
V
V
t
t
t
t
Vs
T
T
p
p
τ
π
η
χ
χ
à
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⋅
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ − Vs
V
T t T t
η
π χ
χ
1
1
2,3
____ 1
2
3
mit:
2
1
1 3
1
3
2
2
χ
χ
χ
χ
χ
χ
−
+
−
=
−
2,3
2,3
t
s
t
Vs
T
T
∆
∆
≡
η
N
Vi
Vsi
N
Vi
Vs
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
−
=
−
−
⋅
1
1
1
1
1
1
χ
χ
χ
χ
π
η
π
η
1
1
1
1
1
2,3
____
2,3
____
−
−
=
⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
V
V
V
Vs
η
χ
χ
χ
χ
π
π
η

3
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
= −
2
3
2
3
ln
ln
t
t
p
t
t
V
T
T
c
p
p
R
η
für die einzelnen Stufen:
1
1
1
−
−
=
−
Vi
Vi
Vsi
τ
π
η
χ
χ
1
−
=
ti
ti
Vi
p
p
π
1
−
=
ti
ti
Vi
T
T
τ
N
V π Vi
π =
Polytroper
Verdichterwirkungsgrad:
V
V
V
τ
π
η
χ
χ
ln
ln 3
2,
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
1
1
−
⋅
−
=
n
n
V
χ
χ
η
V
V
V
χ η
χ
π
τ
⋅
−
=
1
V
V
n
n
V
V
χ η
χ
π
π
τ
⋅
−
−
=
=
1
1
N
N
V
Vsi
V
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
=
⋅
−
1
1
1
1
χ
χ
π
η
τ
Verdichterarbeit: ( )
2
3
,3
2 t
t
p
V
V
T
T
c
m
P
W
−
⋅
=
= &
mit:
1
−
⋅
= χ χ R
c p und
2
3
2
2,3
p
p
p
c
c
c
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
=
∆
2
3
2
3
,3
2 ln
ln
t
t
t
t
p
p
p
R
T
T
c
s

Brennkammer
Heizwert:
Q
HU
≡
m
ab
B
Brennstoff-
Luftmassenverhältnis:
m&
m&
B
β = mit:
I
&
m I
m&
0
= 1 + µ
α
=
m&
m&
Z
I
Energiebilanz (ein = aus):
ηBK
⋅ m&
B
⋅ HU
+ m&
L
⋅ c
p3
⋅( Tt
3
− 298K
)
( m&
+ m ⋅η
) ⋅ c ⋅( T − 298K
)
L
B
BK
p4
t 4
=
1−α
β = η
BK
c
⋅
Tt
4
p4
298
Tt
3
( T − 298K
) − c ⋅( T − 298K)
t 4
H
U
−
c
Tt
4
p4
298
p3
298
( T − 298K)
t 4
t3
mB
mB
β
stöch
= = = 0,068381 (Tabellenwert)
m m
Lstöch
L
Luftüberschusszahl:
β
λ ≡ β
stöch
m&
=
m&
L
Lstöch
Äquivalenzverhältnis:
β
Φ ≡ ( Φ < 1 à zu mageres Gemisch
β stöch
Φ =1 à stöchiometrisches Gemisch
Φ > 1 à zu fettes Gemisch)
Kontinuitätsgleichung: m & = ρ ⋅ c⋅
A = konst.
p
1+
χ ⋅ M
2
4
a3
à =
2
p3
1+
χ ⋅ M
a4
⎛
p = p⋅
1+
⎝
χ −1
2
2
t ⎜ M a
⎞
⎟
⎠
χ
χ
−1
T
t
⎛
= T ⋅⎜
+
⎝
χ −1
M
2
2
1
a
⎞
⎟
⎠
4

Thermischer Totaldruckverlust:
π
BK
th
=
p
p
t 4
t3
=
p
p
4
3
⎛
⎜1+
⋅⎜
⎜
1+
⎝
χ −1
⋅ M
2
χ −1
⋅ M
2
2
a4
2
a3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
χ
χ−1
π
BKth
1+
=
1+
χ
χ
3
4
⋅ M
⋅ M
2
a3
2
a4
⎛
⎜1+
⋅
⎝
⎛
⎜1
+
⎝
χ4
−
2
χ3
−
2
1
⋅ M
1
⋅ M
2
a4
2
a3
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
χ4
χ4
−1
χ3
χ3−1
Totaltemperaturverhältnis:
T
T
t 4
t 3
⎛ M
=
⎜
⎝ M
a4
a3
1+
⋅
1+
χ ⋅ M
χ ⋅ M
2
a3
2
a4
gilt nur für χ = konst.
!!
2
⎞
1+
⎟ ⋅
⎠ 1+
χ −1
⋅ M
2
χ −1
⋅ M
2
2
a4
2
a3
Brennkammerdruckverlust:
π
= π
⋅π
BK BK R BK th
π
BK R
π
BK th
mit:
und
à Reibungsverluste
à thermische Verluste
Brennkammermachzahlen sollen bei etwa 0,25 liegen.
Brennkammeraustritts-
machzahl:
M
a4
= M
a3
1+
χ
⋅
1+
χ
4
3
⋅ M
⋅ M
2
a4
2
a3
T
⋅
T
t 4
t3
1+
⋅
1+
χ3
−1
2
⋅ M
a3
2
χ4
−1
2
⋅ M
a4
2
M gleich
Ansatz: Iterativ lösen, in dem das erste
a4
M gesetzt wird und dann mit den Ergebnissen für
a3
M
a4
weitergerechnet wird, bis die Werte sich nicht
mehr stark verändern.
5

Turbine
Reaktionsgrad:
ρ
h
=
c1
U
+ c
2⋅
U
2U
1−
bei Aktionsturbine:
ρ = 0 à = 2⋅
U
h
c1
U
bei Reaktionsturbine: ρ
h
= 0,5 à c1
U
= U
W
AT
W
RT
= ≈ 0, 7
2
⋅ W
RT
Isentroper
Turbinenwirkungsgrad:
η
Ts
1−τ
τ
T
T
= =
χ−1
χ−
1−π
χ π χ
T
T
−1
1
−1
τ
T
T
=
T
t 5
t 4
π
T
=
p
p
t5
t 4
Arbeit:
− wV
w
T
=
wenn m&
Z
= 0!!
η ⋅ +
mech
( 1 β )
Polytroper
Turbinenwirkungsgrad:
η
T
lnτ
T
=
χ −′ 1
lnπ
χ′
T
mit:
χ −′ 1
ηT
⋅
χ′
T
τT
= π
χ′als Isentropenexponent eines Heißgases
η
η
Ts
T
π
=
χ −′ 1
ηT
⋅
χ′
T
χ −′ 1
χ′
T
π
−1
−1
n −′ 1 χ′
= ⋅
n χ −′ 1
Leistung: P = w ⋅( m&
+ m&
− m&
)
T
T
L
B
Z
Leistungsgleichgewicht:
P
= −
V
P T
η⋅
mech
Reduzierter Massenstrom:
m&
red
p
= m& ⋅
p
ref
t
⋅
Tt
T
ref
6

Reduzierte Drehzahl:
n
red
= n⋅
T
ref
T
t
Reduzierte spezifische Arbeit:
WT
red
= W
T
T
⋅
T
ref
t
Kühlung: T
s
=′ T t 4 T′à
s
Schaufeltemperatur Leitrad
T
s

π
T
⎡
⎢
= ⎢1
−
⎢
⎢⎣
T
c
p T
⋅
c′
T
p
T
t3
t 0
t 4
t 0
⋅
π
χ−1
χ
V
( 1+
β −α
)
−1
⋅η
⋅η
m
Vs
⋅η
Ts
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
χ′
χ −′ 1
Tt
2
Tt
0
χ −1
2
Im Einlauf des Verdichters: = = 1+
⋅ M
a0
≡τ
0
T T χ
0
0
T t 4
=τ λ
T0
à dimensionslose Turbineneintrittstemperatur
Turbinendruckverhältnis:
π
T
⎛
⎜
= ⎜1
−
⎜
⎝
c
p τ
⋅
c′
τ
p
0
λ
⋅
π
χ−1
χ
V
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
χ′
χ −′ 1
t5
( 1+
β −α
) ⋅η
m
⋅η
Vs
⋅η
Ts
pt
4
=
p
Druck am Turbinenaustritt:
p
t5
= p t 0
⋅π
E
⋅π
V
⋅π
BK
⋅π
T
p
t5
=
p
χ
⋅τ χ −1
0 0
π
E
⋅π
V
⋅π
BK
⋅π
T
Temperatur am Turbinenaustritt:
T
χ −′ 1
⎡ ⎛ ⎞⎤
= ⋅ ⋅ ⎢ − ⋅ ⎜ −
χ′
T
⎟
0
τλ
1 ηTs
π
T ⎥
⎢
⎣ ⎝ ⎠⎥
⎦
t 5
1
T
t 5
= T
0
⎡
⎢
⋅
⎢
τ
⎢
⎣
λ
−
τ
0
c
p
⋅ ⋅
c′
p
π
χ−1
χ
V
( 1+
β −α
)
−1
⋅η
m
⋅η
Vs
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
wV
T
t 5
= Tt
4
−
wenn m&
Z
= 0!!
c ⋅η ⋅ +
p4, 5
mech
( 1 β )
© Martin Heide, 2003
8