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Strömungsmechanik-Formelsammlung
0. Widerstand umströmter Körper
0.1 Grenzschicht
0.2 Widerstand
l
∫
l
∫
W = 2 b p tanϕ dx + 2 b τ dx W (nur für Symmetrische Profile)
0 0
Widerstandsbeiwert:
W
c W
=
ρ 2
⋅ v∞
⋅ b ⋅ l
2
(projizierte Fläche)
F G
= Acos χ
Druckbeiwert:
p − p
c ∞
= p ρ
⋅ v
2
∞
2
=
p − p
q
∞
∞
Auftriebsbeiwert:
c A
A
=
ρ 2
⋅ v∞
⋅ S
2
v
∞
=
2F
G
ρ ⋅ S ⋅ c
A
Reibungsbeiwert:
τ
W
c
f
=
ρ
⋅ v
2
2
∞
1
⎛ x ⎞
cW = 2∫
c
p
tanϕ
d⎜
⎟ + 2
⎝ l ⎠
0
ohne Reibung: c = 0
W
1
∫
0
⎛ x ⎞
c
f
d⎜
⎟
⎝ l ⎠
mit Reibung: c ≈ 10%;
Re
≈ 90%
WDruck
c W
ibung
0.3 Widerstand der längs angeströmten Platte
⎛ k
s ⎞
Rohrströmung: λ = f ⎜Re,
⎟ für Re >10 4 :
⎝ d ⎠
⎛ k
s ⎞
Ebene Platte: cW = g⎜Re,
⎟
⎝ l ⎠
ρ ⋅ v∞
⋅ l
Re =
η
Re
krit
v∞
⋅ l
=
ν
v ⋅ x
.
= ∞ u
= 5⋅10
ν
5
1

laminare Strömung: Re ≤ Re
krit.
laminar/turbulente Strömung: Re ≥ Re
krit.
turbulente Strömung:
7
Re ≥ 2 ⋅10
turbulente Strömung mit künstl.
Rauigkeit im Nasenbereich:
Re ≤ 2 ⋅10
7
cW
=
W
ρ 2
⋅ v ⋅
2
∞ 2
⋅b
⋅ l
(benetzte Fläche)
c
= 2 ⋅
W
c W
0.4 Ablösung
Druckanstieg bzw. Verzögerung kann zur Ablösung führen, was wiederum den
Widerstand erhöht. Laminare Strömungen verstärkt.
0.5 Kugelumströmung
W
c W
=
ρ 2 π
⋅ v∞
⋅ ⋅ d
2 4
v∞
⋅ d
Re =
ν
2
c W
= f (Re) c W sinkt mit steigenden Re
v ⋅ d v ⋅ d
Re =
1 1 2 2
1
= = Re
2
ν
1
ν
2
-lam : Re < 4*10 5
c W =0.4
-turb.: Re>4*10 5
c W =0.2
Ablösung der Grenzschicht:
inkompressible Strömungen: Ma ≤ 0, 3
kompressible Strömungen: Ma ≥ 0, 3
Windkanalmodelltechnik:
Re
M
= Re
O
⇒ c = c
WM
WO
MaM ≥ Ma O
2

η
η
⎛
= ⎜
⎝
T
T
⎞
⎟
⎠
1.5
T
⋅
T
bez.
⎜ ⎟
bez . bez.
+
+ S
S
1. Aerostatik
1.1 Grundgleichungen
Sutherlandzahl:
S = 111K
für Luft
T bez .
= 273K
η
bez. = 1,73⋅10
−5
Ns
2
m
Grundgleichung der Hydrostatik :
p =
p =
p
p
0
0
+ ρ ⋅ g ⋅ h
− ρ ⋅ g ⋅ z
mit
p
0
5
= 1.013⋅10
Pa
kg
ρ = 1.225
3
m
Grundgleichung der Aerostatik:
dp
dz
= −ρ
( z)
⋅ g
Zustandsgleichung:
ρ ( z)
=
p(
z)
R ⋅T
( z)
1.2 Isotherme Atmosphäre (11.000m

ρ(
z)
ρ
0
⎡ κ −1
= ⎢1
− ⋅
⎣ κ
z
H
0
⎤
⎥
⎦
κ −1
κ
T ( z)
T
0
⎡ κ −1
= ⎢1
− ⋅
⎣ κ
z
H
0
⎤
⎥
⎦
Diese 3 Gleichungen mit dem Polytropenexponenten n=1.235.
1.4 Standardatmosphäre (0

2.3 Grundgleichungen für isentrope Strömungen
a)Kontinuitätsgleichung
m&
= ρ ⋅ v ⋅ A
m&
1
= m&
2
b)Energiesatz
v
2
2
1
p1
+ + c
ρ
1
v
⋅T
1
v
=
2
2
2
p2
+
ρ
2
+ c
v
⋅T
2
ohne Reibung und Energiezufuhr, inkompressibel
U
Luft:
p
h = + cv
⋅T
2
2
ρ Enthalpie v1
v2
+ c
p
⋅T1
= + c
p
⋅T
2 2
2
h = c ⋅T
c
c
v
p
p
2
m ⎡ Nm ⎤
= 717.5 mit
2
s K
⎢
kgK
⎥ κ = 1.4
⎣ ⎦
2
2
m
m
= 1004.5 mitR = 287
2
2
s K
s K
⇒ kompressibel, innere Energie
c
p
κ = R = c p
− cv
c
v
c p
κ
= ⋅ R
κ −1
c v
1
= ⋅ R
κ −1
Isentropengleichung:
p
1
p
κ =
2
κ
ρ1
ρ
2
2.4 Ausströmen aus einem Kessel
κ −1
1
T 1
⎛ p ⎞ κ
ρ ⎛ p ⎞ κ ρ
0
2
= ⎜
⎟
⎛ κ −1
⎞ κ −
= → = ⎜1+
⎟
1
T0
p ⎜
⎟
Ma
0
ρ
0
p0
ρ ⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
5

v
v
max
=
⎛
1−
⎜
⎝
p
p
0
⎞
⎟
⎠
κ −1
κ
T
T
0
⎛ κ −1
= ⎜1+
Ma
⎝ 2
2
⎞
⎟
⎠
Ma =
⎡
2 ⎢⎛
⎢
⎜
κ −1
⎢
⎝
⎣
p
p
0
⎞
⎟
⎠
⎛ κ −1
−⎜
⎝ κ
⎞
⎟
⎠
⎤
−1
⎥
⎥
⎥⎦
p
p
0
⎛ κ −1
= ⎜1+
Ma
⎝ 2
2
⎞
⎟
⎠
κ
κ1
v
1
=
v = v
2c
max
p
=
( T − T )
0
1
2c
T
p
0
Unterschallbereich; κ=1.4; T=0K (Vakuum)
Für den krit. Zustand Ma=1 gilt mit
* * *
p ; ρ ; T folgendes:
p
p
*
0
= 0.528
*
ρ
ρ
0
= 0.634
T
T
*
0
= 0.833
1
1
*
⎛
ρv
A ⎛ κ + 1⎞
κ −1
⎛ p ⎞ κ
κ + 1⎜
⎛
= = ⎜ ⎟ ⋅
⎜
⎟ ⎜1−
⎜
*
ρ v A ⎝ 2 ⎠ ⎝ p0
⎠ κ −1⎜
⎝
⎝
p
p
0
⎞
⎟
⎠
κ −1
κ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Unterschallströmung:
Überschallströmung:
Dichteänderung gering
Dichteänderung rel. Hoch
3. Impulssatz
3.1 Kontinuitätsgleichung
dm&
= ρ ⋅ v
n
⋅
dA
Newton´sches Grundgesetz
r r r
m ⋅ a = = Γ
d
dt
∑
F i
r r r
J = ∫ ρ ⋅ v ⋅ dQ = F
k
3.2 Impulssatz
∫
A
r r
ρ ⋅ v ⋅ dQ = F
k
r
+ F
p
r
+ F
s
= −ρ
⋅ v
2
⋅ A
6

a)Volumenkraft
r r
F = kdV
k
∫
V
F r
k
Schwerefeld
r
k = ρg
b)Druckkraft auf den freien Teil der Kontrollfläche F r
r r
F pdA
= A p − p )
p
= −∫
A
c)Stützkraft
r r
= sdO
F s
∫
0
F r
s
d)Reaktionskraft
r r
F R
= −F s
Γ =
∫
C
F r
R
r r
vds
= ( v v )t
2 y
−
1y
F p
Spannungsvektor
(
0
r r r
s = − pe n
+ τ e
p
W
t
F
Ry
= −Γρ bv F R
= Γbρ v∞
Auftriebssatz von Kutta Joukowsky
∞x
W R
δ
v y ⎛ v y
bv
dy
v v ⎟ ⎞
= 2 ( ) ( )
ρ ∞∫
⎜1
−
0 ∞ ⎝ ∞ ⎠
1
7
⎛ y ⎞
v ( y)
= v ∞ ⎜ ⎟ 1/7 Potenzgesetz für turbulente Grenzschicht
⎝ δ ⎠
4. Ebene, reibungslose, inkompressible Strömung
4.1 Kontinuitätsgleichung
∂vx
∂x
∂v
y
+
∂y
= 0
4.2 Impulsgleichung
⎛
⎜v
⎝
⎛
⎜v
⎝
x
x
∂vx
+ v
∂x
∂v
y
∂x
+ v
y
y
∂vx
⎞ ∂p
⎟ρ
= −
∂y
⎠ ∂x
mit Reibung
∂v
y ⎞ ∂p
= −
y
⎟ρ
∂ ⎠ ∂y
Euler-Gleichungen(Bewegungsgleichung)
2
⎛ ∂ v
+ η
⎜
2
⎝ ∂x
x
2
∂ v
+
2
dy
⎞
⎟
⎠
2 2
⎛ ∂ v ⎞
y
∂ v
y
+ η⎜
+ ⎟
2 2
⎝ ∂x
∂y
⎠
Navier-Stokes Gleichungen
x
7

4.3 Drehung
1 ⎛ ∂v
y ∂v
⎞
x
1
ω =
⎜ −
⎟ Drehung = ( ω
1
+ ω 2
)
2 ⎝ ∂x
∂y
⎠
2
ω =
1
d 1
γ
dt
v
x
∂ω
+ v
∂x
y
∂ω
= 0
∂y
Wirbeltransportgleichung
Strömungen ohne Reibung sind drehungsfrei! Homogene Strömung
4.4 Potentialströmungen(drehungsfrei)
4.4.1 Potentialgleichung
∂v
x
∂y
∂v
y
−
∂x
= 0
∂vx
∂x
∂v
y
+ = 0
∂y
Potentialfunktion φ ( x,
y)
∂
v x
= φ und
∂x
∂
v y
= φ
∂y
2 2
∂ φ ∂ φ
+ = 0
2 2
∂x
∂y
Stromfunktion ψ ( x,
y)
Potenzialgleichung
∂
v x
= ψ und
∂y
∂
v y
= ψ
∂x
2 2
∂ ψ ∂ ψ
+ = 0
2 2
∂y
dx
Laplace-Gleichung
4.4.2 Einige Grundlösungen der Potentialgleichung
a) Translationsströmung
Φ(
x;
y)
= v
∂Φ
= v
∂x
∞ x
∞x
= v
⋅ x
∞
8

) Quellströmung
E
Φ(
x;
y)
= ln
2π
E
Φ(
r)
= ln( r)
2π
1.Ableitung
E
vx
= ⋅
2π
x
2
E y
v
y
= ⋅
2π
r
2.Ableitug
E
v = 1
2π
⋅ r
x
+ y
2 2
( x + y )
2
Stromfunktion(beschr. von Stromlinien)
E y
Ψ(
x;
y)
= ⋅ arctan
2π
x
Q = V ⋅ A = E ⋅b
E
Ψ(
x;
y)
= ⋅ϕ
2π
c) Potenzialwirbelströmung
Γ = v ⋅ 2 ⋅ r ⋅π
Γ
v = siehe Beiblatt 4.11
2πr
d) Quell-Senkenströmung
siehe Beiblatt 4.11
4.4.3 Umströmung zylindrischer Körper
a) Ebener Halbkörper
r ( ϕ)
=
E
2πv
∞
⎛π
−ϕ
⎞
⎜ ⎟ =
⎝ sinϕ
⎠
D ⎛π
−ϕ
⎞
⎜ ⎟
2π
⎝ sinϕ
⎠
c p
2
sin 2ϕ
sin ϕ
( ϕ ) = − −
2
π −ϕ
( π −ϕ)
2
v ( ϕ)
= 1−
v
2
∞
=
p(
ϕ)
− p
ρ 2
⋅ v∞
2
∞
E
c ( , )
2 ⎜ 2 ⎟ p
x y = − ⋅ − π ⋅ v∞
r ⎝ π ⋅ v∞r
⎠
x
⎛
⎜
E
⎞
2
9

Φ(
x,
y)
= v
Ψ(
x,
y)
= v
∞
∞
E
⋅ x + ln r
2π
E
⋅ y + ϕ
2π
E x
vx
( x,
y)
= v ∞
⋅
2
2π
r
E y
v
y
( x,
y)
= ⋅
2
2π+
r
E
D = dicke Halbkörper
v
∞
b) Kreiszylinder
Translation und Dipol
2 M
R =
2πv
∞
für die Kontur:
2
c ( ϕ)
= 1−
4sin ϕ Kreiszylinder
p
9 2
c
p
( ϕ)
= 1−
sin ϕ Kugel
4
Φ(
x,
y)
= v
Ψ(
x,
y)
= v
∞
∞
M ⋅ x
⋅ x +
2
2π
⋅ r
M ⋅ y
⋅ y −
2
2π
⋅ r
2
M y − x
vx
( x,
y)
= v ∞
+ ⋅
4
2π
r
M 2 ⋅ x ⋅ y
v
y
( x,
y)
= − ⋅
4
2π
r
2
M = v ⋅
2 ∞
R ⋅ 2π Dipolmoment
c) Kreiszylinder mit Zirkulation (Magnus-Effekt)
Translation, Dipol und Potentialwirbel
c p
1 ⎛
Γ ⎞
( ϕ )
sinϕ
− ⎟
2 π R ⎠
= 1−
2
2
⎜ v∞
v∞
⎝
2
v K
1 Γ
( ϕ)
= 2v∞
⋅ sinϕ
− Geschwindigkeit auf der Kontur
2 π r
Γ = −3π ( v ⋅ R)
Potentialwirbelstärke (Γ ist linksrum positiv)
∞
A −b
⋅ ρ ⋅ v ⋅ Γ Kutta Joukowsky
=
∞
Geschwindigkeiten v x , v y , v siehe 6.5.2002 oder Blatt 4.17
10

d) Angestellte ebene Platte
A greift in l/4 an
c
a
= 2π ⋅α
v
α ≈ −
v
z
∞
5. Einige Ergebnisse zur Profilströmung
5.1 Profilgeometrie
5.2 Profilsystematiken
5.3 Einfluß des Anstellwinkels α
α =
⋅ Γ
2 ⋅π
⋅ v ⋅ l
2 1
2
q∞
= ⋅ ρ
∞
⋅ v∞
∞
2
c a
=
q
∞
A
⋅b
⋅l
= 2πα
c w
=
W
q ⋅ l ⋅ b
∞
c m
=
q
∞
M
⋅b
⋅ l
2
c p
=
p − p
q
∞
∞
5.4 Einfluß der Wölbung
im linearen Bereich
dca
c = ⋅ ( α −α 0
)
d α
dc
c = ⋅ c + c
m
a m
a mo
dca
Profiltheorie
dc ⎛ dc
a m
⎞ 1
= 2π
= −
dα
⎜
⎟
⎝ dc ⎠ 4
a
Nase
5.5 Einfluß der Dicke
α 0 ,c m0 ,dc a /dα,dc m /dc a bleiben von der Dicke unbeinflußt
c w , c a,max verändern sich(Reibung)
11

5.6 Einfluß der Reynoldszahl
5.7 Einfluß der Machzahl
Ma ≤ 0.3 inkompressibel
∞
c
pinkompr.
c
p
=
analog dazu c
kompr.
akompr: und (dc a /dα) kompr.
1−
Ma
2
∞
6. Profiltheorie
6.1 Skelett-Theorie
p
u
− p
o
= ρ ⋅ v ⋅ k(x)
k ( x = l)
= 0 Kutta´sche Abflußbedingung
∞
dz
dx
( s)
l
1 k(
x′
) dx′
v
= α −
v
∫ Grundgleichung der Skelett-Theorie ( = α + z
)
2π
x − x′
v
∞
0
∞
c
p
vx
( x)
k(
x)
( x)
= −2
= m
v v
∞
∞
A = ρ ⋅b
⋅ v∞
⋅ Γ
Γ = ∫ k(
x)
dx
l
0
Ansatz von Ackermann und Birnbaum
dz
dx
( s)
N
N
⎛ ϕ
⎞
= α − A0
− ∑cos( nϕ)
k( ϕ ) = 2v∞
⎜ A=
tan + ∑ A n
sin( nϕ)
⎟
n=
1
⎝ 2 n=
1 ⎠
A
0
1
= α −
π
π
∫
0
( s)
dz
dϕ
dx
A
2
= −
π
π
∫
( s
dz
dx
cos( nϕ
dϕ
n
)
0
)
Kräfte und Momente
Auftriebsbeiwert
⎛ A1
⎞
dc
c = 2π
⎜ A0 + ⎟ = 2π
( α −α
0
)
a
a
= 2π
⎝ 2 ⎠
dα
unabh. der Profilgeometrie
c a
π
k
= ∫
v
0
( ϕ′
)
∞
sinϕ′
dϕ′
12

c
p
N
k(
ϕ)
⎛ ϕ
⎞
( ϕ ) = = 2⎜
A tan + ∑ An
sin( nϕ
⎟
v∞
⎝
)
0 2 n=
1 ⎠
α
=
π
(
1
dz s
= ϕ
π ∫ (1 + cos )
dx
0
)
dϕ
Nickmomentenbeiwert
π
c π
1
c
m.
Nase
= −
0 1 2
1 2
+
4
4 4
4
a
( 2A
+ 2A
+ A ) = − − ( A + A ) = − ca
cmo
dc
m,
Nase
dc
a
1
= −
4
geometrieunabhängig
( A A )
c m 0
= −
π
1
+
4
2
Angestellte ebene Platte (beschreibt Symmetrisches Profil, Auftriebserzeugung)
( )
( ) dz s
z s ( x)
= 0 = 0
dx
ϕ
k ( ϕ)
= 2v∞
⋅α
⋅ tan( )
2
A = α A = 0 α 0 c 0
0
c p
x
1−
( x)
= 2α
l
x
l
n
m OBEN
UNTEN
0
=
m0
=
Parabelskelett ohne Anstellwinkel
f ⎛ x ⎞
x)
= −4
⎜ − x
⎟
l ⎝ l ⎠
2
(
z s )
4 f ⎛
⎜
l ⎝
( )
( dz s ( x)
= − 2 −1
= −4
( 1+
cos ρ −1)
x
l
⎞
⎟
⎠
f
l
A
0
= 0
A = 1
4
f
l
c a
=
f
π ⋅ A = 1
4π
l
A1
α = −
2
0
= −
2
f
l
π
= − A
c m Nase
= −
,
2 1
f
2π
l
c m 0
π
− A
4
=
1
f
= −π
l
13

2x
⎛ 2x
⎞
x ⎛ x ⎞
k( ϕ ) = 2v∞ A1
⎜ − 2⎟
k ( x)
= 4v∞ ⋅ A1
⎜ −1⎟ l ⎝ l ⎠
l ⎝ l ⎠
k(
x)
c p
( x)
= ±
v
∞
Parabelskelett mit Anstellwinkel:
c a
f
= 2 πα + 4π
l
c
1
= − c
4
f π f
− π = − α 2π
l 2 l
m, Nase
a
−
Anstellwinkel des stoßfreien Eintritts:
π
( )
1 dz
α = ∫
s
s
dρ
Parabelskelett: α
s
= 0°
π dx
0
Druckpunkt:
Angriffspunkt der resultierenden Luftkraft
c
= −
c
x D m , Nase
l
a
dc
c c + c
a
= c ( α − )
m,
Nase
m, Nase
a m0
dca
a
dc
= d α
α 0
dc
= −
dc
x D
m,
Nase m 0
l
a
c
−
c
a
x dc
D
m,
Nase
Sonderfall: symmetrisches Profil c
m0
= 0 = − = 0.25 = const.
l dc
Neutralpunkt:
a
Druckpunkt ist fest
Der Punkt, auf den bezogen das Nickmoment unabhängig vom Anstellwinkel ist.
x
l
N
dc
= −
dc
m,
Nase
a
=
1
4
c
mN
= c m0
14

Klappenflügel (geknickte Platte):
Klappentiefenverhältnis:
lk
l − xk
xk
λ
k
= = = 1−
kleine η k cos η
k
= 1
l l l
Bereich 1:
0 ≤ x ≤ x k
π ϕ ≥ ϕ
k
Bereich 2:
x k
≤ x ≤ l ≥ ϕ ≥ 0
( )
dz s
≥ = 0
dx
dz
dx
( s)
ϕ k
= − tanηk
= −η
k
A
ϕ
k
k ⎛ ⎞
0
= α + ηk
An
= ⎜ sin nϕ
k ⎟
⎠
π
2η
1
π ⎝ n
c A
( λ k
+ λ k
( − λ k
)) η k
= 2 πα + 4 arcsin 1
Klappenwirksamkeit bzgl. c a
∂c a
= 4
∂η
k
( arcsin λ + λ ( 1−
λ ))
k
k
k
λ → 0
k
λ → 1
k
∂c
∂η
∂c
a
k
a
∂η
k
= 0
= 2π
Nullauftriebswinkel α 0
2
α
0
= − arcsin λ k
+ λ k
1−
λ k
π
( ( )) η k
Nullmomentenbeiwert c m0
2η
k
An
= sinϕ
k
π
c m 0
= −
π 2η
k
( A1
+ A2
) A1
= sinϕ
k
=
4
π
ηk
A2
= sin 2ρ
k
π
cos ϕ −2λ
+ 1
k
=
k
2η
k
2
π
λ (1 − λ
k
k )
c
dc
c = c + c
3
m
m0 = −2 λk
(1 − λk
) ηk
m
a m0
dca
15

Klappenwirksamkeit bzgl.c m0
dc
dη
m0
k
= −
λ (1 − λ )
2
k k
3
λ → 0
k
λ → 1
k
∂c
∂c
m0
∂η
k
m0
∂η
k
= 0
= 0
Druckverteilung
c
p
mit
c
p
N
k ⎡ ϕ
= ± = ± ⎢A
tan + ∑ A
v∞
⎣ 2 n=
1
A
⎤
sin( nϕ
⎥
⎦
)
0 n
ϕ
k
k
0
= α + ηk
und An = sin( nϕ)
π
2η
nπ
⎡ ϕ ϕ
k ϕ 2η
k
1−
cos( ϕ
k
+ ϕ)
⎤
= ± ⎢2α
tan + 2 ηk
tan + ln
⎥
⎣ 2 π 2 2π
1−
cos( ϕ
k
−ϕ)
⎦
6.2 Tropfentheorie
Randbedingungen:
kinematische Strömungsbedingung
Konturgeschwindigkeit
l ( t)
vk
( x)
1 dz dx′
= 1+
v
∫
dx′
( x − x′
∞
π
)
0
nicht für Staupunkt und v x , v y

Sonderfall Kreis oder Kreiszylinder mit δ = 1
v k
ϕ)
= 2v
sinϕ Potentialtheorie
(
∞
2v∞
v k
( ϕ)
= = 2v∞
sinϕ
Tropfentheorie
2
1+
cot ϕ
7. Tragflügelströmungen
7.1 Geometrie
Bezugspunkt ist der geometrische Neutralpunkt N 25
7.2 Wirbelgleichungen der Fluidmechanik
Die Zirkulation eines Wirbelfadens ist konstant.
Kutta-Joukowsky
Biot-Savart
Γ
A = ρ ⋅b
⋅ v∞
⋅ Γ
v z
= ( cosϕ1 − cosϕ
2
) alles positiv!
4πy
Γ
v z
= ( cosϕ1 + 1)
4πy
einseitig unendlich langer Wirbelfaden
8. Der ungepfeilte Flügel großer Streckung (λ>5)
8.1 Wirbelmodell
α = α + α
g
e
i
α ( y)
e
=
c ( y)
a
2π
Induzierter Widerstand
2
c
A
c
wi
= spez. Ellipse
π Λ
c
wi
2
c
A
= eπΛ
allgemein(mit e

18
Prandtl´sche Umrechnungsformel
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Λ
−
Λ
+
=
1
2
1
2
1
1
π
α
α
A
g
g
c
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Λ
−
Λ
+
=
1
2
2
1
2
1
1
π
A
w
w
c
c
c