Bestimmung von Schwerpunkten - Oberstudienrat Wolfgang Gerhards

Bestimmung von Schwerpunkten
Merke:
Jeder Körper hat einen Punkt, in dem man sich sämtliche Massekräfte als seine gesamte
Eigenlast vereinigt denken kann. Dieser Massemittelpunkt ist der Angriffspunkt der
gesamten Schwerkraft eines Körpers. Es ist der Schwerpunkt. Für den Schwerpunkt heben
sich die Drehmomente aller Kräfte der Masseteilchen gegenseitig auf.
Die Lage des Schwerpunktes wird nur durch seine geometrische Form
bestimmt, wenn der Körper eine homogene Struktur besitzt. Alle gerade
Linien, die durch den Schwerpunkt gehen, sind Schwerelinien. Beim
Aufhängen eines Körpers an den Punkten P 1 bis P 3 wird sich der
Schwerpunkt durch die Erdanziehungskraft soweit wie möglich nach
unten bewegen. Der Schwerpunkt befindet sich dann lotrecht unter dem
Aufhängepunkt. Von beliebigen Aufhängepunkten ausgehende lotrechte
Linien sind Schwerelinien. Alle diese Linien schneiden sich in einem
Punkt. Es ist der Schwerpunkt.
Folie (siehe Bild rechts)
a) Schwerpunkt von Körpern
Kugel: Der Schwerpunkt einer Kugel ist ihr Mittelpunkt.
Quader: Die Raumdiagonalen eines Quaders schneiden sich im Schwerpunkt.
Prisma: Die Mitte der Verbindungslinien der Schwerpunkte von Grund- u. Deckfläche
ist der Schwerpunkt.
Pyramide u.
Kegel: Schwerpunkt liegt im Viertelspunkt der Verbindungslinie vom Schwerpunkt der
Grundfläche zur Spitze.
Folie: Schwerpunkte von Körpern
Merke:
In der Praxis wird man oft nur die Schwerpunkte von prismatischen Körpern zu bestimmen
haben. Träger und Balken sind solch prismatische Körper. Hierbei bestimmt man den
Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Die Verbindungslinie aller Querschnittsflächen ist die
sog. Schwereachse eines Körpers, sie wird auch Stabachse genannt. Der Schwerpunkt kann
auch außerhalb einer Querschnittsfläche liegen. Damit liegt auch die Schwereachse außerhalb
des Körpers.
Folie: - Stabachse eines prismatischen Körpers
- Der Schwerpunkt kann auch außerhalb
des Körpers liegen.

) Schwerpunkt von Flächen
Merke:
Unter dem Schwerpunkt einer Fläche stellt man sich den Schwerpunkt eines sehr dünnen
scheibenförmigen Körpers vor. Meist sind die untersuchten Flächen die Querschnittsflächen
von Körpern. Bei Flächen mit einer Symmetrieachse liegt der Schwerpunkt auf der
Symmetrieachse. Bei Flächen mit mehreren Symmetrieachsen liegt der Schwerpunkt im
Schnittpunkt der Symmetrieachsen und ist damit bekannt.
Folie: - Schwerpunkt auf der Symmetrieachse
- Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt
mehrerer Symmetrieachsen
b 1) Einfache Flächen (Folie Schwerpunkte von Flächen)
Parallelogramm, Rechteck u. Quadrat
Schwerpunktabstand z 0 = h/2
Der S. liegt im Schnittpunkt der
Diagonalen
Dreieck
Schwerpunktabstand z 0 = h/3
Der S. liegt im Schnittpunkt der
Seitenhalbierenden.
Trapez
Schwerpunktabstand
z
z
0
'
0
h a + 2b
= *
3 a + b
h 2a
+ b
= *
3 a + b
Der S. liegt auf der Verbindungslinie der
Mittelpunkte der parallelen Seiten und
auf der Verbindungslinie der verlängerten
parallelen Seiten.
Regelmäßige Vielecke
Der S. ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Kreis u. Kreisring
Der S. ist der Kreismittelpunkt.
Kreisausschnitt
Kreisabschnitt
Halb- u. Viertelkreis

Der Schwerpunktabstand z 0 einer
Kreisausschnittsfläche vom
Kreismittelpunkt M wird berechnet mit
z
0
2 r * s
= *
3 b
Für die Halbkreis- u. Viertelkreisfläche
ergibt sich daraus mit s = 2r und b = rp
z
z
Kreisabschnitt
0
0
2 r * 2r
= *
3 r * p
4 r
= *
3 p
Der Schwerpunktabstand bei flachen
Kreisabschnittflächen kann
näherungsweise berechnet werden mit
Profilflächen
2
z0
5
=
h
Die Maße für die Lage des Schwerpunktes
bei genormten Profilen aus Stahl
sind den Profiltafeln zu entnehmen und
brauchen nicht mehr berechnet zu
werden.
c) Zusammengesetze Flächen (Folie Zusammengesetzte Flächen)
Merke:
Zusammengesetzte Flächen bestehen aus mehreren bestimmbaren Einzelflächen. Sind diese
Einzelflächen symmetrisch angeordnet, liegt der Schwerpunkt in der Symmetrieachse bzw.
im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.

Merke (Fortsetzung):
Auch andere Flächen, deren Schwerpunkt durch Zerlegen in Teilflächen bestimmt werden
kann, nennt man zusammengesetzte Flächen. Bei zusammengesetzten Flächen kann der
Schwerpunkt berechnet werden, wenn die Einzelschwerpunkte leicht zu bestimmen sind. Die
Fläche wird dann in Teilflächen mit bekannten Schwerpunkten zerlegt (Rechtecke, Dreiecke
usw.). Es wird der Momentensatz angewendet, indem anstelle der Kräfte nun die Teilflächen
eingesetzt werden.
Folie (Zusammengesetzte Flächen)
Aus
F * * wird jetzt
1 a1
+ F2
* a2
+ ...... = R a0
1 * y1
+ A2
* y2
+ ...... = A y0
A *
wobei die Summe aller Teilflächen die Gesamtfläche A ergibt.
Allgemein gilt also
å Ai * yi
= A*
y0
bzw. Ai * zi
= A * z0
y
0
å Ai
* y
=
A
i
å
Übungsbeispiel
Für die zusammengesetzte Fläche
sind die Abstände des Gesamtschwerpunktes
von den Achsen
zu berechnen (siehe Folie)
z
0
å Ai
* z
=
A
i
Momentensatz

Übungsbeispiel (Fortsetzung)