Relativistische vier und zwei Spinor Finite Elemente Berechnungen ...

Zusammenfassung der Dissertation
Relativistische vier und zwei Spinor Finite Elemente
Berechnungen zweiatomiger Moleküle
Dipl. Phys. O. Kullie
Fachbereich Naturwissenschaften der Universität Kassel, Februar 2004
Themenbereich: Numerisch genaue relativistische Beschreibung von Atomen und linearen
Molekülen. Finite Elemente Methode (FEM). 2-Spinor Min-Max Berechnungen für
Ein- und Mehrelektronensysteme.
Der Vielelektronen Aspekt wird in einteilchenartigen Formulierungen berücksichtigt, entweder
in Hartree-Fock Näherung oder unter der Einschluß der Elektron-Elektron Korrelationen
durch die Dichtefunktional Theorie. Da die Physik elektronischer Systeme (Atome,
Moleküle, Cluster, Kondensierte Materie, Plasmen) relativistisch ist, habe ich von Anfang
an die relativistische 4-Spinor Dirac Theorie eingesetzt, in jüngenster Zeit aber, und das
wird der Hauptfortschritt in den relativistischen Beschreibung durch meine Promotionsarbeit
werden, eine ebenfalls voll relativistische, auf dem sogenannten Minimax Prinzip
beruhende 2-Spinor Theorie umgesetzt. Im folgnden ist eine kurze Beschreibung meiner
Dissertation:
1. Ein wesentlicher Effizienzgewinn in der relativistischen 4-Spinor Dirac Rechnungen
konnte durch neuartige singuläre Koordinatentransformationen erreicht werden,
so daß sich auch noch für das superschwere ¢¡¤£¦¥¨§�©
höchste Lösungsgenauigkei-
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ten mit moderatem Computer Aufwand ergaben, und zu zwei weiteren interessanten
Veröffentlichungen führten (Publikationsliste Ref. [2, 3] ).
2. Trotz der damit bereits ermöglichten sehr viel effizienteren relativistischen Berechnung
von Molekülen und Clustern blieben diese Rechnungen Größenordnungen aufwendiger
als entsprechende nicht-relativistische. Diese behandeln das tatsächliche
(relativistische) Verhalten elektronischer Systeme nur näherungsweise richtig, um
so besser jedoch, je leichter die beteiligten Atome sind (kleine Kernladungszahl Z).
Deshalb habe ich nach einem neuen Formalismus gesucht, der dem möglichst gut
Rechnung trägt und trotzdem die Physik richtig relativistisch beschreibt. Dies gelingt
durch ein 2-Spinor basierendes Minimax Prinzip: Systeme mit leichten Atomen
sind voll relativistisch nunmehr nahezu ähnlich effizient beschrieben wie nichtrelativistisch,
was natürlich große Hoffnungen für genaue (d.h. relativistische) Berechnungen
weckt. Es ergab sich eine erste grundlegende Veröffentlichung (Publikationsliste).
Die Genauigkeit in stark relativistischen Systemen wie ¢¡�£¦¥¨§�©
ist ähnlich �
oder leicht besser als in 4-Spinor Dirac-Formulierung. Die Vorteile der neuen Formulierung
gehen aber entscheidend weiter Ref. [4]:
A- Die neue Minmax Formulierung der Dirac-Gl. ist frei von spuriosen Zuständen
und hat keine positronischen Kontamination.
B- Der Aufwand ist weit reduziert, da nur ein £
der Matrix Elemente gegenüber
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der 4-Spinor zu berechnen, und alle Matrixdimensionen Faktor 2 kleiner sind.
C- Numerisch verhält sich die neue Formulierung ähnlich gut wie die nichtrelativistische
Schrödinger Gleichung (Obwohl es eine exakte Formulierung und
keine Näherung der Dirac-Gl. ist), und hat damit bessere Konvergenzeigenschaften
als 4-Spinor. Insbesondere die Fehlerwichtung (singulärer und glatter
Anteil) ist in 2-Spinor anderes, und zeigt die guten Extrapolationseigenschaften
wie bei der nichtrelativistischen Schrödinger Gleichung.

3. Die Ausweitung des Anwendungsbereichs von (relativistische) 2-Spinor ist bereits
in FEM Dirac-Fock-Slater, mit zwei Beispielen ��� und � � , erfolgreich gemacht.
Weitere Erweiterungen sind möglich. Siehe Minmax LCAO Näherung, Ref. [5].
Die folgende Veröffentlichung zeigen die Wichtigkeit dieser wissenschaftlichen Arbeit.
Literatur
[1] O. Kullie, C. Düsterhöft and D. Kolb. Dirac-Fock finite element method (FEM)
calculations for some diatomic molecules. Chem. Phys. Lett. 314, 307 (1999).
[2] O. Kullie and D. Kolb. High accurracy Dirac-finite-element (FEM) calulations for
and � . Eur. Phys. J. D 17, 167 (2001).
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[3] O. Kullie and D. Kolb. Dirac finite element method Calculation for
Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 36, 4361 (2003).
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£¦¥¨§�© � , J. of.
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[4] O. Kullie, D. Kolb and A. Rutkowski Two-spinor Fully Relativistic Finite-Element
(FEM) Solution of the Two-center Coulombic Problem. Chem. Phys. lett, 383, 215
(2004).
[5] H. Zhang, O. Kullie, D. Kolb, Minmax LCAO Approach to the relativistic Two
Center Coulombic Problem and its FEM Spectrum. J. of. Phys. B: At. Mol. Opt.
Phys. 37, 905 (2004).