Integralrechnung

fundus.woeste.org

Integralrechnung

Integralrechnung

2


0

x 2 1 dx


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung

f(x) = x 2 + 1


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung

f(x) = x 2 + 1

(Die folgenden Überlegungen gelten zunächst nur für

Funktionen mit f(x) ≥ 0, d.h.: Der Graph verläuft ganz

oberhalb der x–Achse.)


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung

f(x) = x 2 + 1

Gesucht wird die Größe der Fläche, die

von der Parabel, der x-Achse, der y-Achse

und der Geraden x = 2 eingeschlossen

wird.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Untersummen

Man unterteilt das Intervall, über dem man

die Fläche berechnet, in n Teile.

Hier ist n = 8.

Über jedem Teil-Intervall wird ein Rechteck

gezeichnet, das die Kurve im linken oberen

Eckpunkt berührt.

1. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

2. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

3. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

4. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

5. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

6. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

7. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

8. Rechteck


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Von jedem Rechteck kann man auf

elementare Weise den Flächeninhalt

bestimmen:

A = Länge · Breite


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Für die gemeinsame Breite aller Rechtecke

gilt:

Breite = 2 : 8 = 0,25

Allgemein gilt bei n Rechtecken:

Breite = 2 n

Breite

=

0,25


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Die Höhen sind für alle Rechtecke unterschiedlich

lang. Sie betragen:

f(0) ; f(0,25) ; f(0,50) ; f(0,75) ; f(1)

f(1,25) ; f(1,5) ; f(1,75)

Länge = f(0,25)

Breite

=

0,25


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Für die Längen der Höhen gilt allgemein

bei n Rechtecken:

f(0) ; f(2/n) ; f(4/n) ; f(6/n) ; f(8/n) ;

... ; f((n-1)2/n)

Länge = f(2/n)

Breite

=

2/n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Die Größe der Fläche erhält man

näherungsweise durch Aufsummieren aller

Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke:

U 8

= 0,25 · f(0)

+ 0,25 · f(0,25)

+ 0,25 · f(0,5)

+ 0,25 · f(0,75)

+ 0,25 · f(1)

+ 0,25 · f(1,25)

+ 0,25 · f(1,5)

+ 0,25 · f(1,75)

= 0,25 · (1 + 1,0625 + 1,25 + 1,5625 + 2

+ 2,5625 + 3,25 + 4,0625)

= 0,25 · 16,75 = 4,1875


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Allgemein beträgt die Summe der

Rechtecksflächen:

2

U n

=

n

[f(0) + f(2/n) + f(4/n) + f(6/n) +

f(8/n) + ... + f((n-1)2/n)]


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Die Summe dieser Flächeninhalte

bezeichnet man als Untersumme der

Funktion f auf dem Intervall [0 ; 2].

2

U n

= [f(0) + f(2/n) + f(4/n) + f(6/n) +

n

f(8/n) + ... + f((n-1)·2/n)]


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Mit dem Summenzeichen ∑ lässt sich diese

Summe kurz schreiben:

U n

=

2

n

[f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n)

+ f(4·2/n) + ... + f((n-1)·2/n)]

=

2

n

n−1


i=0

f i⋅2/ n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Diese Summe

2

U n

= [f(0) + f(2/n) + f(4/n) + f(6/n) +

n

f(8/n) + ... + f((n-1)2/n)]

unterscheidet sich von dem tatsächlichen

Flächeninhalt um die Größe der Flächen

der weißen „Dreiecke“.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie kann die Genauigkeit verbessert werden?

Verdoppelt man die Zahl der Rechtecke, so

sieht man, dass die Restfläche der weißen

„Dreiecke“ kleiner geworden ist.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Lässt man nun die Zahl der Rechtecke immer größer werden, so ist leicht vorstellbar,

dass die Restfläche der weißen „Dreiecke“ immer kleiner wird, sie strebt gegen 0.

Die Gesamtfläche der Rechtecke nähert sich gleichzeitig immer mehr dem Wert der

gesuchten Fläche an.

2

Man schreibt dann: A = lim 2 n−1

= ∫ x 2 1dx

n∞ n ⋅ ∑ f i⋅2/n

i=0

0


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

A = lim 2 =

n ⋅ ∑ f i⋅2/n

n∞

n−1

i =0

2

∫ x 2 1 dx

0

Diese Schreibweise wird so gelesen:

Unter-Integral von 0 bis 2, x–Quadrat plus 1 dx

Dabei symbolisiert dx die gegen 0 strebende Breite der Rechtecke.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

2

n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

2

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

n

2

= n [0 2 +1 + 1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + (n-1) 2·(2/n) +1]

2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

2

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

n

2

= n [0 2 +1 + 1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + (n-1) 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + (n-1) 2·(2/n) 2 + n]

n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

2

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

n

2

= n [0 2 +1 + 1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + (n-1) 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + (n-1) 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + (n-1) 2·(2/n) 3 + 2]


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

2

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

n

2

= n [0 2 +1 + 1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + (n-1) 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + (n-1) 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + (n-1) 2·(2/n) 3 + 2]

= (2/n) 3 · [1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + (n-1) 2 ] + 2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Aus der Formelsammlung:

1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = ·n·(n+1)·(2n+1)

1

6

Also:

1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + (n–1) 2 = ·(n–1)·n·(2n–1)

1

6


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

2

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

n

2

= n [0 2 +1 + 1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + (n-1) 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + (n-1) 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + (n-1) 2·(2/n) 3 + 2]

= (2/n) 3 · [1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + (n-1) ] 2 + 2

= (2/n) 3 · (1/6)·(n–1)·n·(2n–1) + 2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Untersumme berechnet?

2

U n

= [ f(0) + f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f((n-1)·2/n) ]

n

2

= n [0 2 +1 + 1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + (n-1) 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + (n-1) 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + (n-1) 2·(2/n) 3 + 2]

= (2/n) 3 · [1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + (n-1) ] 2 + 2

= (2/n) 3 · (1/6)·(n–1)·n·(2n–1) + 2

4

= + 2

3 ⋅n−1 n ⋅n n ⋅2n−1 n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt die Grenzwertbildung!

4

U n

= + 2

3 ⋅n−1 n ⋅n n ⋅2n−1 n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt die Grenzwertbildung!

4

U n

= + 2

3 ⋅n−1 n ⋅n n ⋅2n−1 n

4

U n

= + 2

3 ⋅1− 1 n ⋅1⋅2− 1 n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt die Grenzwertbildung!

lim

n ∞

4

U n

= + 2

3 ⋅n−1 n ⋅n n ⋅2n−1 n

4

U n

= + 2

3 ⋅1− 1 n ⋅1⋅2− 1 n

4

U n = + 2

3 ⋅1⋅1⋅2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt die Grenzwertbildung!

4

U n

= + 2

3 ⋅n−1 n ⋅n n ⋅2n−1 n

4

U n

= + 2

lim

n ∞

3 ⋅1− 1 n ⋅1⋅2− 1 n

4

U n = + 2 =

3 ⋅1⋅1⋅2

14

3


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Zwischenergebnis:

2


0

x 2 1dx

A = = 14 3


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Hausaufgabe:

2


0

x 2 xdx

Dazu wird folgende Formel benötigt: 1 + 2 + 3 + …+ n = 1 2 ⋅n⋅n1


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Obersummen


Über jedem Teil-Intervall wird nun ein

Rechteck gezeichnet, das die Kurve im

rechten oberen Eckpunkt berührt.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Obersummen



Über jedem Teil-Intervall wird nun ein

Rechteck gezeichnet, das die Kurve im

rechten oberen Eckpunkt berührt.

Die Summe ihrer Flächeninhalte wird

Obersumme genannt.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Obersummen




Über jedem Teil-Intervall wird nun ein

Rechteck gezeichnet, das die Kurve im

rechten oberen Eckpunkt berührt.

Die Summe ihrer Flächeninhalte wird

Obersumme genannt.

Die gemeinsame Breite aller

Rechtecke ist b = 0,25 bzw. b = 2/n.


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Obersummen





Über jedem Teil-Intervall wird nun ein

Rechteck gezeichnet, das die Kurve im

rechten oberen Eckpunkt berührt.

Die Summe ihrer Flächeninhalte wird

Obersumme genannt.

Die gemeinsame Breite aller

Rechtecke ist b = 0,25 bzw. b = 2/n.

Die Höhen sind für alle Rechtecke

wieder unterschiedlich lang. Sie

betragen:

f(0,25) ; f(0,50) ; f(0,75) ; f(1) ;

f(1,25) ; f(1,5) ; f(1,75) ; f(2).


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Lässt man nun die Zahl der Rechtecke immer größer werden, so ist leicht vorstellbar,

dass die Fläche der überstehenden „Dreiecke“ immer kleiner wird, sie strebt gegen 0.

Die Gesamtfläche der Rechtecke nähert sich gleichzeitig immer mehr dem Wert der

gesuchten Fläche an.

Man schreibt dann: A = lim 2 n


= x 2 1dx (Oberintegral)

n ⋅ ∑ f i⋅2/n

n∞

i=1

2


0


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

2

n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

2

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

n

2

= n [1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + n 2·(2/n) +1]

2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

2

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

n

2

= n [1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + n 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + n 2·(2/n) 2 + n]

n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

2

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

n

2

= n [1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + n 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + n 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + n 2·(2/n) 3 + 2]


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

2

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

n

2

= n [1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + n 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + n 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + n 2·(2/n) 3 + 2]

= (2/n) 3 · [1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 ] + 2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

2

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

n

2

= n [1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + n 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + n 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + n 2·(2/n) 3 + 2]

= (2/n) 3 · [1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n ] 2 + 2

= (2/n) 3 · (1/6)·n·(n+1)·(2n+1) + 2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Wie wird die Obersumme berechnet?

2

O n

= [ f(1·2/n) + f(2·2/n) + f(3·2/n) + ... + f(n·2/n) ]

n

2

= n [1 2·(2/n) 2 +1 + 2 2·(2/n) 2 +1 + 3 2·(2/n) 2 +1 + ... + n 2·(2/n) +1]

2

2

= [1 2·(2/n) 2 + 2 2·(2/n) 2 + 3 2·(2/n) 2 + ... + n 2·(2/n) 2 + n]

n

= [1 2·(2/n) 3 + 2 2·(2/n) 3 + 3 2·(2/n) 3 + ... + n 2·(2/n) 3 + 2]

= (2/n) 3 · [1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n ] 2 + 2

= (2/n) 3 · (1/6)·n·(n+1)·(2n+1) + 2

4

= + 2

3 ⋅n n ⋅n1 n ⋅2n1 n


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt wieder die Grenzwertbildung!

4

O n

= 3 ⋅n n ⋅n1 n ⋅2n1 n + 2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt wieder die Grenzwertbildung!

lim

n ∞

4

O n

= 3 ⋅n n ⋅n1 n ⋅2n1 n + 2

4

O n = 3 ⋅1⋅1⋅2 + 2


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Nun erfolgt wieder die Grenzwertbildung!

lim

n ∞

4

O n

= 3 ⋅n n ⋅n1 n ⋅2n1 n + 2

4

O n = 3 ⋅1⋅1⋅2 14

+ 2 =

3


Integralrechnung

Wie berechnet man krummlinig berandete Flächen?

Ergebnis:

Die Grenzwerte der Untersumme und der Obersumme sind

gleich. In den Fällen, in denen dies zutrifft, sagt man:

Die Funktion f ist über dem betrachteten Intervall integrierbar.

_

2


0

x 2 1 dx

A = A = = 14 3

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine