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II Theoretische Grundlagen 15
Wird ein Balken entlang einer gedachten Biegelinie wxverformt, ˆ( ) so widerstrebt der
Balken der Verformung. Um die gewünschte Biegefigur zu halten, bedarf es somit einer
äußeren Belastung p(x). Die Energie, die dafür benötigt wird, ist gleich der Summe der
Einzelarbeiten wˆ
( x)
p(
x)
entlang der Länge l.
l
IV
∫ wˆ
EIw dx = ∫
0 0
l
wˆ
p dx
Durch Umformung der Dgl. mit Hilfe der partiellen Integration folgt:
u = wˆ , v′
= EIw
u′ = wˆ ′ , v = EIw
IV
III
l
l
∫ = [ ] 0
−∫
uv′ dx uv u′
v dx
0 0
l
l
Partielle Integration auf∫
uv ′ dx anwenden, folgt
0
∫
∫
l
l
[ ]
0 0 0
l
uv′ dx = uv − u′
v dx
0 0 0
∫
l
l
l
( ∫
′ )
IV III III
wEIw ˆ dx = ⎡
⎣wEIw ˆ ⎤
⎦ − wˆ EIw dx (1)
Anwendung der partiellen Integration auf
⎜
⎛ ′
⎝∫ l
wˆ
EIw
0
III
⎟ ⎠
⎞
u = wˆ
′
u′
= wˆ
′′
,
,
v′
= EIw
III
v = EIw
II
∫
∫
l
l
[ ] 0
0 0
l
uv′ dx = uv − u′
v dx
III II II
wEIw ˆ′ dx= ⎡
⎣wEIw ˆ′ ⎤
⎦ − wˆ′′
EIw dx
0 0 0
Einsetzen in (1), folgt
∫
l
∫
l
0 0 0 0
∫
l
0 0 0
l
∫
l
IV III
l
II
l
II
wEIw ˆ dx = ⎡wEIw ˆ ⎤ −⎡⎡wˆ′ EIw ⎤ − wˆ′′
EIw dx⎤
⎣ ⎦ ⎢⎣⎣ ⎦ ∫ ⎥⎦
IV III II II
wEIw ˆ dx = ⎡
⎣wEIw ˆ − wˆ′ EIw ⎤
⎦ + wˆ′′
EIw dx
l
l
∫
l
Durch Umstellen des linken Terms auf die rechte Seite und Multiplikation mit (-1), folgt
∫
l
IV III II II
0 = wEIw ˆ dx −⎡
⎣wEIw ˆ −wˆ′ EIw ⎤
⎦ − wˆ′′
EIw dx
0 0 0
∫
l
IV III II II
0 = wEIw ˆ dx + ⎡
⎣− wEIw ˆ + wˆ′ EIw ⎤
⎦ − wˆ′′
EIw dx
0 0 0
l
l
∫
l
∫
l